I. GIỚI THIỆU

1. Hình học không gian là gì?

Hình học không gian là ngành toán học nghiên cứu về các hình và quan hệ giữa chúng trong không gian ba chiều (3D). Đây là sự mở rộng của hình học phẳng từ 2 chiều lên 3 chiều.

Các yếu tố cơ bản trong hình học không gian:

• Điểm: Vị trí trong không gian, không có kích thước
• Đường thẳng: Tập hợp vô số điểm thẳng hàng, kéo dài vô tận hai phía
• Mặt phẳng: Bề mặt phẳng kéo dài vô tận, chia không gian thành hai phần
• Khối đa diện: Hình lập phương, hình hộp, hình chóp, lăng trụ…
• Khối tròn xoay: Hình trụ, hình nón, hình cầu…

2. Tại sao cần học công thức hình học không gian?

Trong học tập:

• Nền tảng chương trình Toán 11, 12: Chiếm tỷ trọng lớn trong chương trình THPT
• Bài tập thi THPT Quốc gia: Thường có 2-3 câu hình học không gian trong đề thi
• Kiến thức cơ sở: Cho các môn Vật lý, Hóa học, Kỹ thuật ở bậc đại học
• Phát triển tư duy: Tư duy logic, tư duy không gian 3D

Trong thực tế:

• Kiến trúc: Thiết kế nhà cửa, công trình, tính toán kết cấu
• Kỹ thuật: Thiết kế cơ khí, sản xuất, chế tạo
• Thiết kế đồ họa: Mô hình 3D, game, phim hoạt hình
• Xây dựng: Tính toán vật liệu, thể tích bê tông, diện tích sơn
• Đời sống: Tính dung tích bể nước, thùng chứa, hộp quà

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết được tổ chức thành các phần chính:

• Phần II: Công thức về vị trí tương đối (đường thẳng, mặt phẳng)
• Phần III: Công thức về khoảng cách (điểm, đường, mặt)
• Phần IV: Công thức về góc (đường-đường, đường-mặt, mặt-mặt)
• Phần V: Công thức diện tích các hình phẳng
• Phần VI: Công thức thể tích và diện tích khối đa diện
• Phần VII: Công thức thể tích và diện tích khối tròn xoay
• Phần VIII: Công thức về tọa độ trong không gian
• Phần IX: Các công thức đặc biệt

II. CÔNG THỨC VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

A. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ trong không gian.

Lưu ý:

• Nếu $d \subset (\alpha)$, ta nói d thuộc $(\alpha)$
• Nếu $d \cap (\alpha) = {A}$, đường thẳng d đi qua điểm A và không song song với $(\alpha)$

B. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $d$ và $d’$ trong không gian.

Cách nhận biết:

• Trùng nhau: Mọi điểm của d đều thuộc d’
• Song song: $d \parallel d’$ khi chúng cùng phương và không trùng
• Cắt nhau: $d \cap d’ = {A}$ và d, d’ cùng nằm trong một mặt phẳng
• Chéo nhau: Không song song, không cắt nhau

Lưu ý quan trọng:

• Trong không gian, hai đường thẳng không song song chưa chắc đã cắt nhau (có thể chéo nhau)
• Đây là điểm khác biệt cơ bản so với hình học phẳng

C. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ trong không gian.

Ký hiệu:

• Song song: $(\alpha) \parallel (\beta)$
• Cắt nhau: $(\alpha) \cap (\beta) = d$

Tính chất:

• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì giao tuyến là một đường thẳng
• Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung
• Ba mặt phẳng có thể cắt nhau tại một đường thẳng hoặc một điểm

III. CÔNG THỨC VỀ KHOẢNG CÁCH

A. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $(\alpha)$ là độ dài đoạn vuông góc MH, với H là hình chiếu của M lên $(\alpha)$.

Công thức tổng quát:

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: $$Ax + By + Cz + D = 0$$

Và điểm $M(x_0, y_0, z_0)$, khoảng cách từ M đến $(\alpha)$ là:

$$\boxed{d(M, (\alpha)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$$

Cách nhớ:

• Tử số: Thay tọa độ M vào phương trình mặt phẳng, lấy giá trị tuyệt đối
• Mẫu số: Căn bậc hai tổng bình phương các hệ số x, y, z

Ví dụ: Tính khoảng cách từ $M(1, 2, 3)$ đến mặt phẳng $2x – y + 2z – 5 = 0$

$$d = \frac{|2(1) – 2 + 2(3) – 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|2 – 2 + 6 – 5|}{3} = \frac{1}{3}$$

B. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là độ dài đoạn vuông góc MH, với H là hình chiếu của M lên d.

Phương pháp hình học:

1. Dựng hình chiếu H của M lên d
2. Tính $MH = d(M, d)$

Công thức vector:

Cho đường thẳng d đi qua điểm $A$ và có vector chỉ phương $\vec{u}$, điểm $M$ ngoài d:

$$\boxed{d(M, d) = \frac{|\vec{MA} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}}$$

Trong đó:

• $\vec{MA}$: Vector từ M đến A
• $\vec{u}$: Vector chỉ phương của d
• $\times$: Tích có hướng (tích vector)
• $|\vec{v}|$: Độ dài vector $\vec{v}$

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$ là độ dài đoạn vuông góc chung AB, với A thuộc $d_1$ và B thuộc $d_2$.

Công thức:

$$\boxed{d(d_1, d_2) = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}}$$

Trong đó:

• $A \in d_1$, $B \in d_2$ (bất kỳ)
• $\vec{u_1}$: Vector chỉ phương của $d_1$
• $\vec{u_2}$: Vector chỉ phương của $d_2$
• $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$: Tích có hướng

Cách tính:

1. Lấy điểm A trên $d_1$ và điểm B trên $d_2$
2. Tính $\vec{AB}$
3. Tính $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$
4. Áp dụng công thức

D. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Điều kiện: Đường thẳng d song song với mặt phẳng $(\alpha)$, tức $d \parallel (\alpha)$.

Công thức: $$\boxed{d(d, (\alpha)) = d(M, (\alpha))}$$

với M là điểm bất kỳ trên đường thẳng d.

Giải thích: Vì d song song với $(\alpha)$ nên mọi điểm trên d đều cách $(\alpha)$ một khoảng bằng nhau.

E. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Điều kiện: Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau, tức $(\alpha) \parallel (\beta)$.

Công thức: $$\boxed{d((\alpha), (\beta)) = d(M, (\beta))}$$

với M là điểm bất kỳ trên mặt phẳng $(\alpha)$.

Giải thích: Mọi điểm trên $(\alpha)$ đều cách $(\beta)$ một khoảng bằng nhau.

Cách tính:

1. Chọn điểm M bất kỳ trên $(\alpha)$
2. Tính khoảng cách từ M đến $(\beta)$

IV. CÔNG THỨC VỀ GÓC

A. Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $d_1’$ và $d_2’$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với $d_1$ và $d_2$.

Công thức:

$$\boxed{\cos(d_1, d_2) = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}}$$

Trong đó:

• $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$: Vector chỉ phương của $d_1$, $d_2$
• $\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}$: Tích vô hướng
• Có dấu giá trị tuyệt đối ở tử số

Lưu ý quan trọng:

• Góc giữa hai đường thẳng luôn từ $0°$ đến $90°$
• Nếu tính được góc tù, lấy góc bù của nó

Trường hợp đặc biệt:

• Nếu $\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0$ thì $d_1 \perp d_2$ (vuông góc)

B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $(\alpha)$ là góc giữa d và hình chiếu d’ của nó lên $(\alpha)$.

Công thức:

$$\boxed{\sin(d, (\alpha)) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}}$$

Trong đó:

• $\vec{u}$: Vector chỉ phương của d
• $\vec{n}$: Vector pháp tuyến của $(\alpha)$

Lưu ý:

• Dùng sin (không phải cos)
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn từ $0°$ đến $90°$

Trường hợp đặc biệt:

• Nếu $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ thì $d \parallel (\alpha)$ hoặc $d \subset (\alpha)$
• Nếu $|\vec{u} \cdot \vec{n}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{n}|$ thì $d \perp (\alpha)$

C. Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với $(\alpha)$ và $(\beta)$.

Công thức:

$$\boxed{\cos((\alpha), (\beta)) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}}$$

Trong đó:

• $\vec{n_1}$: Vector pháp tuyến của $(\alpha)$
• $\vec{n_2}$: Vector pháp tuyến của $(\beta)$

Lưu ý:

• Dùng cos (như góc giữa hai đường thẳng)
• Góc giữa hai mặt phẳng luôn từ $0°$ đến $90°$

Trường hợp đặc biệt:

• Nếu $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ thì $(\alpha) \perp (\beta)$

V. CÔNG THỨC DIỆN TÍCH CÁC HÌNH PHẲNG

Bảng tổng hợp công thức diện tích

Ghi chú:

• Công thức Heron: $p$ là nửa chu vi tam giác
• Tam giác đều: Công thức này áp dụng khi biết độ dài cạnh
• Hình quạt: $\alpha$ tính bằng độ, hoặc $S = \frac{1}{2}R^2\alpha$ (với $\alpha$ tính bằng radian)

VI. CÔNG THỨC THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A. Hình hộp chữ nhật

Đặc điểm: 6 mặt đều là hình chữ nhật, 3 kích thước a, b, c.

Ghi chú:

• Diện tích xung quanh: Tổng diện tích 4 mặt bên (không tính hai đáy)
• Diện tích toàn phần: Tổng diện tích tất cả 6 mặt

B. Hình lập phương

Đặc điểm: 6 mặt đều là hình vuông bằng nhau, cạnh a.

Công thức đặc biệt:

• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
• Bán kính mặt cầu nội tiếp: $r = \frac{a}{2}$

C. Hình lăng trụ

Đặc điểm: Hai đáy là hai đa giác bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.

Lăng trụ đứng:

Trong đó:

• $S_{đáy}$: Diện tích đáy
• $P_{đáy}$: Chu vi đáy
• $h$: Chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy)

Lăng trụ xiên:

$$V = S_{đáy} \times h$$

(h là khoảng cách giữa hai đáy, không phải độ dài cạnh bên)

Lăng trụ đều:

Đặc điểm: Đáy là đa giác đều, các cạnh bên vuông góc với đáy.

D. Hình chóp

Đặc điểm: Có một đáy là đa giác, các mặt bên là tam giác có chung đỉnh.

Ghi chú: Thể tích hình chóp bằng 1/3 thể tích hình lăng trụ có cùng đáy và chiều cao.

Hình chóp đều:

Đặc điểm:

• Đáy là đa giác đều
• Chân đường cao trùng với tâm đáy
• Các mặt bên là tam giác cân bằng nhau

Công thức diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = \frac{1}{2} P_{đáy} \times d$$

Trong đó:

• $P_{đáy}$: Chu vi đáy
• $d$: Trung đoạn (đường cao của mặt bên, từ đỉnh đến trung điểm cạnh đáy)

E. Hình chóp cụt đều

Đặc điểm: Cắt hình chóp đều bởi mặt phẳng song song với đáy.

Trong đó:

• $S_1, S_2$: Diện tích hai đáy (đáy lớn và đáy nhỏ)
• $P_1, P_2$: Chu vi hai đáy
• $h$: Chiều cao
• $d$: Trung đoạn (đường nối trung điểm hai cạnh tương ứng của hai đáy)

F. Tứ diện

Đặc điểm: Khối đa diện có 4 mặt đều là tam giác.

Tứ diện thường:

$$V = \frac{1}{3} S_{đáy} \times h$$

Tứ diện đều cạnh a:

Đặc điểm: 4 mặt đều là tam giác đều bằng nhau.

Tứ diện vuông:

Đặc điểm: Ba cạnh OA, OB, OC xuất phát từ O vuông góc từng đôi một.

$$V = \frac{1}{6} \times OA \times OB \times OC$$

Đây là công thức đặc biệt rất hữu ích trong bài tập.

G. Hình hộp

VII. CÔNG THỨC THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

A. Hình trụ (Cylinder)

Đặc điểm: Hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, mặt xung quanh vuông góc với đáy.

Trong đó:

• $r$: Bán kính đáy
• $h$: Chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy)

Cách nhớ:

• Diện tích xung quanh = Chu vi đáy × Chiều cao
• $S_{xq} = (2\pi r) \times h$

B. Hình nón (Cone)

Đặc điểm: Đáy là hình tròn, đỉnh nối với mọi điểm trên đường tròn đáy.

Trong đó:

• $r$: Bán kính đáy
• $h$: Chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến đáy)
• $l$: Đường sinh (độ dài từ đỉnh đến điểm trên đường tròn đáy)

Quan hệ giữa r, h, l: $$l^2 = r^2 + h^2$$ (Định lý Pythagore)

C. Hình nón cụt

Đặc điểm: Cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đáy.

Trong đó:

• $r_1, r_2$: Bán kính hai đáy ($r_1 > r_2$, $r_1$ là đáy lớn)
• $h$: Chiều cao
• $l$: Đường sinh

D. Hình cầu (Sphere)

Đặc điểm: Tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tâm) một khoảng R.

Trong đó: $R$ là bán kính hình cầu.

Cách nhớ:

• Thể tích: “Bốn phần ba pi R lập phương”
• Diện tích: “Bốn pi R bình phương”

E. Mặt cầu – Các công thức liên quan

Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật:

$$R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

(R bằng một nửa đường chéo hình hộp)

Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương:

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a:

$$R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$$

Mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a:

$$r = \frac{a\sqrt{6}}{12} = \frac{R}{3}$$

Quan hệ: Bán kính mặt cầu nội tiếp bằng 1/3 bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

F. Hình xuyến (Torus)

Đặc điểm: Quay hình tròn bán kính r quanh một trục cách tâm hình tròn khoảng R (với $R > r$).

Trong đó:

• $R$: Khoảng cách từ tâm hình tròn đến trục quay
• $r$: Bán kính hình tròn

Ứng dụng: Hình dạng bánh rán (donut), săm lốp xe.

VIII. CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. Vector trong không gian

Tọa độ vector:

Vector $\vec{a}$ trong không gian Oxyz có tọa độ: $$\vec{a} = (x; y; z)$$

Hoặc: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Độ dài vector:

$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Tích vô hướng:

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$$

Tích có hướng (tích vector):

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$$

$$= (y_1z_2 – z_1y_2)\vec{i} – (x_1z_2 – z_1x_2)\vec{j} + (x_1y_2 – y_1x_2)\vec{k}$$

Góc giữa hai vector:

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

B. Tọa độ điểm

Khoảng cách giữa hai điểm:

Cho $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$:

$$AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}$$

Tọa độ trung điểm:

$$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right)$$

Tọa độ trọng tâm tam giác:

Cho tam giác ABC với $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$, $C(x_C; y_C; z_C)$:

$$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$$

Tọa độ trọng tâm tứ diện:

$$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}; \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}; \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4}\right)$$

C. Phương trình đường thẳng

Dạng tham số:

$$\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \end{cases}$$

Dạng chính tắc:

$$\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c}$$

Trong đó:

• $(x_0, y_0, z_0)$: Tọa độ điểm đường thẳng đi qua
• $(a, b, c)$: Tọa độ vector chỉ phương $\vec{u}$

D. Phương trình mặt phẳng

Dạng tổng quát:

$$Ax + By + Cz + D = 0$$

Trong đó: $(A, B, C)$ là tọa độ vector pháp tuyến $\vec{n}$.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ và có VTPT $\vec{n} = (A, B, C)$:

$$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$$

Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C:

$$\begin{vmatrix} x – x_A & y – y_A & z – z_A \ x_B – x_A & y_B – y_A & z_B – z_A \ x_C – x_A & y_C – y_A & z_C – z_A \end{vmatrix} = 0$$

IX. CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT

A. Công thức tỷ lệ thể tích

Hình chóp với thiết diện song song đáy:

Cho hình chóp có thiết diện song song với đáy, cách đỉnh một khoảng $h’$, chiều cao toàn phần $h$:

$$\frac{V_{nhỏ}}{V_{lớn}} = \left(\frac{h’}{h}\right)^3$$

Hệ quả:

• Tỷ lệ diện tích: $\frac{S_{nhỏ}}{S_{lớn}} = \left(\frac{h’}{h}\right)^2$
• Tỷ lệ cạnh: $\frac{a_{nhỏ}}{a_{lớn}} = \frac{h’}{h}$

B. Công thức Euler về đa diện lồi

$$\boxed{Đ – C + M = 2}$$

Trong đó:

• $Đ$: Số đỉnh
• $C$: Số cạnh
• $M$: Số mặt

Ví dụ:

• Hình lập phương: $8 – 12 + 6 = 2$ ✓
• Tứ diện: $4 – 6 + 4 = 2$ ✓

C. Công thức thể tích tứ diện

Dùng tích hỗn tạp:

$$V = \frac{1}{6}|\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|$$

Dùng định thức:

Cho tứ diện ABCD với tọa độ các đỉnh:

$$V = \frac{1}{6}\left|\begin{vmatrix} x_B – x_A & y_B – y_A & z_B – z_A \ x_C – x_A & y_C – y_A & z_C – z_A \ x_D – x_A & y_D – y_A & z_D – z_A \end{vmatrix}\right|$$

D. Công thức diện tích tam giác trong không gian

Cho tam giác ABC trong không gian:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$$

Cách tính:

1. Tính $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$
2. Tính tích có hướng $\vec{AB} \times \vec{AC}$
3. Tính độ dài của vector kết quả
4. Nhân với 1/2

X. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ và hệ thống các công thức hình học không gian quan trọng:

Vị trí tương đối – Quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng

Khoảng cách – 5 loại khoảng cách cơ bản trong không gian

Góc – Góc giữa đường-đường, đường-mặt, mặt-mặt

Diện tích hình phẳng – 11 công thức diện tích thường dùng

Khối đa diện – Hình hộp, lăng trụ, chóp, tứ diện với công thức thể tích và diện tích

Khối tròn xoay – Hình trụ, nón, cầu, xuyến

Tọa độ không gian – Vector, điểm, đường thẳng, mặt phẳng

Công thức đặc biệt – Tỷ lệ thể tích, công thức Euler, tứ diện

Tài liệu tham khảo mở rộng

Các chủ đề nên học thêm:

• [Công thức thể tích khối đa diện chi tiết]
• [Bài tập hình học không gian có lời giải]
• [Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz]
• [Khoảng cách và góc trong không gian]
• [Mặt cầu – Tính chất và bài tập]
• [Bất đẳng thức hình học không gian]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa