I. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

1. Phương trình bậc 2 là gì?

Định nghĩa: Phương trình bậc hai (hay phương trình bậc 2) là phương trình có dạng tổng quát:

$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$

Trong đó:

• $a$, $b$, $c$ là các hệ số thực cho trước
• $x$ là ẩn số cần tìm
• $a \neq 0$ (nếu $a = 0$ thì phương trình trở thành bậc nhất)

Vai trò của các hệ số:

• Hệ số $a$: Hệ số của $x^2$, quyết định bề lõm của parabol (đồ thị hàm số)
• Hệ số $b$: Hệ số của $x$, ảnh hưởng đến vị trí trục đối xứng
• Hệ số $c$: Hệ số tự do, là tung độ giao điểm với trục Oy

Ví dụ các phương trình bậc 2:

• $2x^2 – 5x + 3 = 0$ (với $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$)
• $x^2 – 4x + 4 = 0$ (với $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$)
• $3x^2 + 6x – 9 = 0$ (với $a = 3$, $b = 6$, $c = -9$)
• $-x^2 + 2x = 0$ (với $a = -1$, $b = 2$, $c = 0$)

2. Tại sao cần công thức Delta?

Lý do quan trọng:

Xác định số nghiệm: Delta giúp biết trước phương trình có bao nhiêu nghiệm (0, 1, hay 2 nghiệm) mà không cần giải hoàn toàn.

Tìm nghiệm nhanh chóng: Sau khi tính Delta, ta có công thức nghiệm chuẩn để tìm các nghiệm một cách chính xác và nhanh nhất.

Nền tảng đại số: Delta là kiến thức cơ bản, nền tảng cho nhiều chuyên đề toán học phức tạp hơn như:

• Khảo sát hàm số bậc 2
• Giải hệ phương trình
• Bất phương trình bậc 2
• Phương trình có chứa tham số

Ứng dụng thực tế: Phương trình bậc 2 xuất hiện rất nhiều trong vật lý, kỹ thuật, kinh tế, và Delta là công cụ không thể thiếu để giải quyết các bài toán này.

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết này sẽ trình bày đầy đủ và chi tiết về hai công thức quan trọng:

Phần II: Công thức Delta (Δ) – công thức chuẩn, áp dụng cho mọi phương trình bậc 2

Phần III: Công thức Delta phẩy (Δ’) – công thức rút gọn, dùng khi hệ số b chẵn

Phần IV: Bảng so sánh Delta và Delta phẩy, mối liên hệ giữa hai công thức

Phần V: Mẹo và kỹ thuật giải nhanh, tránh sai lầm thường gặp

Phần VI: Ứng dụng thực tế trong toán học, vật lý, kinh tế

Phần VII: Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải chi tiết

II. CÔNG THỨC DELTA (Δ)

1. Công thức tính Delta

Cho phương trình bậc 2: $$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$

Công thức Delta (biệt thức):

$$\boxed{\Delta = b^2 – 4ac}$$

Cách đọc: “Delta bằng b bình phương trừ bốn a c”

Ý nghĩa tên gọi: Delta (Δ) là chữ cái Hy Lạp, viết hoa của δ, thường dùng trong toán học để biểu thị “sự thay đổi” hoặc “biệt số”.

Lưu ý quan trọng:

• $b^2$ luôn không âm (vì bình phương một số thực bất kỳ đều không âm)
• Dấu của $\Delta$ phụ thuộc vào $4ac$
• Delta quyết định số nghiệm của phương trình

2. Ý nghĩa của Delta

Delta cho biết phương trình bậc 2 có bao nhiêu nghiệm thực. Dựa vào dấu của Delta, ta có thể kết luận ngay:

Bảng xét dấu Delta:

Giải thích chi tiết:

Khi $\Delta > 0$ (Delta dương):

• Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $x_1 \neq x_2$
• Công thức tính: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ và $x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Đồ thị parabol cắt trục Ox tại hai điểm

Khi $\Delta = 0$ (Delta bằng không):

• Phương trình có nghiệm kép (nghiệm bội hai) $x_1 = x_2$
• Công thức: $x = -\frac{b}{2a}$ (đây chính là hoành độ đỉnh parabol)
• Đồ thị parabol tiếp xúc trục Ox tại đỉnh

Khi $\Delta < 0$ (Delta âm):

• Phương trình vô nghiệm trong tập số thực $\mathbb{R}$
• Không có công thức nghiệm (vì không tồn tại căn bậc hai của số âm trong $\mathbb{R}$)
• Đồ thị parabol không cắt và không chạm trục Ox

3. Các bước giải phương trình bằng Delta

Quy trình 4 bước chuẩn:

Bước 1: Xác định hệ số

• Đưa phương trình về dạng chuẩn $ax^2 + bx + c = 0$
• Xác định rõ giá trị của $a$, $b$, $c$
• Kiểm tra điều kiện $a \neq 0$

Bước 2: Tính Delta

• Áp dụng công thức $\Delta = b^2 – 4ac$
• Tính cẩn thận, chú ý dấu của các hệ số
• Rút gọn kết quả (nếu có thể)

Bước 3: Xét dấu Delta và kết luận

• So sánh $\Delta$ với 0
• Kết luận số nghiệm của phương trình

Bước 4: Tính nghiệm (nếu có)

• Nếu $\Delta > 0$: Tính hai nghiệm $x_1$, $x_2$ bằng công thức
• Nếu $\Delta = 0$: Tính nghiệm kép $x = -\frac{b}{2a}$
• Nếu $\Delta < 0$: Kết luận phương trình vô nghiệm

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• Phương trình đã ở dạng chuẩn: $x^2 – 5x + 6 = 0$
• Hệ số: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Bước 2: Tính Delta $$\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \times 1 \times 6$$ $$= 25 – 24 = 1$$

Bước 3: Xét dấu Delta

• Ta có: $\Delta = 1 > 0$
• Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bước 4: Tính nghiệm $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) – \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 – 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 3$ và $x_2 = 2$

Kiểm tra:

• Với $x = 3$: $3^2 – 5(3) + 6 = 9 – 15 + 6 = 0$ ✓
• Với $x = 2$: $2^2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0$ ✓

Ví dụ 2: Giải phương trình $x^2 – 4x + 4 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$

Bước 2: Tính Delta $$\Delta = (-4)^2 – 4 \times 1 \times 4 = 16 – 16 = 0$$

Bước 3: Xét dấu Delta

• Ta có: $\Delta = 0$
• Kết luận: Phương trình có nghiệm kép

Bước 4: Tính nghiệm kép $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Kết luận: Phương trình có nghiệm kép $x = 2$ (nghiệm bội 2)

Nhận xét: Phương trình này có thể viết lại thành $(x – 2)^2 = 0$, rõ ràng nghiệm kép là $x = 2$.

Ví dụ 3: Giải phương trình $x^2 + x + 1 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$

Bước 2: Tính Delta $$\Delta = 1^2 – 4 \times 1 \times 1 = 1 – 4 = -3$$

Bước 3: Xét dấu Delta

• Ta có: $\Delta = -3 < 0$
• Kết luận: Phương trình vô nghiệm trong tập số thực $\mathbb{R}$

Kết luận: Phương trình vô nghiệm thực.

Giải thích: Không tồn tại căn bậc hai của số âm trong tập số thực, do đó phương trình không có nghiệm thực nào.

5. Lưu ý quan trọng

⚠️ Lưu ý 1: Điều kiện $a \neq 0$

Luôn kiểm tra $a \neq 0$ trước khi áp dụng công thức. Nếu $a = 0$, phương trình trở thành bậc nhất $bx + c = 0$, không phải bậc 2.

⚠️ Lưu ý 2: Dấu của $b$ khi tính $b^2$

Khi tính $b^2$, kết quả luôn không âm bất kể $b$ dương hay âm:

• Nếu $b = -5$ thì $b^2 = (-5)^2 = 25$ (không phải -25)
• Nếu $b = 3$ thì $b^2 = 3^2 = 9$

⚠️ Lưu ý 3: Căn bậc hai của Delta

Khi $\Delta < 0$, không có căn bậc hai của số âm trong tập số thực. Do đó, phương trình vô nghiệm thực.

⚠️ Lưu ý 4: Viết nghiệm đầy đủ

Khi phương trình có 2 nghiệm, cần viết rõ cả $x_1$ và $x_2$. Không viết gộp dạng $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ trong kết luận cuối cùng.

⚠️ Lưu ý 5: Rút gọn nghiệm

Sau khi tính nghiệm, nên rút gọn phân số (nếu có thể) để có kết quả đẹp hơn.

III. CÔNG THỨC DELTA PHẨY (Δ’)

1. Khi nào dùng Delta phẩy?

Điều kiện áp dụng:

Delta phẩy (Δ’) được sử dụng khi hệ số $b$ là số chẵn hoặc $b$ chia hết cho 2.

Khi đó, ta có thể viết: $b = 2b’$ với $b’ = \frac{b}{2}$

Phương trình có dạng: $$ax^2 + 2b’x + c = 0$$

Ví dụ:

• Phương trình $x^2 + 6x + 8 = 0$ có $b = 6 = 2 \times 3$, nên $b’ = 3$
• Phương trình $2x^2 – 8x + 5 = 0$ có $b = -8 = 2 \times (-4)$, nên $b’ = -4$
• Phương trình $x^2 + 10x + 21 = 0$ có $b = 10 = 2 \times 5$, nên $b’ = 5$

Lợi ích của Delta phẩy:

• Tính toán đơn giản hơn: Không cần tính $b^2$ mà chỉ tính $(b’)^2$, số nhỏ hơn
• Giảm sai sót: Ít phép tính phức tạp hơn
• Công thức nghiệm gọn hơn: Mẫu số là $a$ thay vì $2a$

2. Công thức tính Delta phẩy

Công thức:

$$\boxed{\Delta’ = (b’)^2 – ac}$$

Trong đó: $b’ = \frac{b}{2}$

So sánh với Delta thường:

• Delta: $\Delta = b^2 – 4ac$
• Delta phẩy: $\Delta’ = (b’)^2 – ac$

Mối liên hệ: $$\Delta = 4\Delta’$$

Chứng minh: $$\Delta = b^2 – 4ac = (2b’)^2 – 4ac = 4(b’)^2 – 4ac = 4[(b’)^2 – ac] = 4\Delta’$$

3. Ý nghĩa của Delta phẩy

Tương tự như Delta, Delta phẩy cũng cho biết số nghiệm của phương trình:

Bảng xét dấu Delta phẩy:

So sánh công thức nghiệm:

Delta thường: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Delta phẩy: $x = \frac{-b’ \pm \sqrt{\Delta’}}{a}$

Nhận thấy: Công thức Delta phẩy không có số 2 ở mẫu, đơn giản hơn.

4. So sánh Delta và Delta phẩy

Bảng so sánh chi tiết:

Mối liên hệ: $$\Delta = 4\Delta’$$

Điều này có nghĩa là Delta luôn gấp 4 lần Delta phẩy (khi áp dụng được Delta phẩy).

5. Ví dụ minh họa Delta phẩy

Ví dụ 4: Giải phương trình $2x^2 – 8x + 6 = 0$ bằng công thức Delta phẩy

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 2$, $b = -8$, $c = 6$
• Nhận thấy $b = -8 = 2 \times (-4)$ là số chẵn
• Do đó: $b’ = -4$

Bước 2: Tính Delta phẩy $$\Delta’ = (b’)^2 – ac = (-4)^2 – 2 \times 6$$ $$= 16 – 12 = 4$$

Bước 3: Xét dấu Delta phẩy

• Ta có: $\Delta’ = 4 > 0$
• Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bước 4: Tính nghiệm $$x_1 = \frac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-(-4) – \sqrt{4}}{2} = \frac{4 – 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 3$ và $x_2 = 1$

So sánh với Delta thường:

• Nếu dùng Delta: $\Delta = (-8)^2 – 4(2)(6) = 64 – 48 = 16 = 4 \times 4 = 4\Delta’$ ✓

Ví dụ 5: Giải phương trình $x^2 + 6x + 9 = 0$ bằng Delta phẩy

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 1$, $b = 6$, $c = 9$
• Có $b = 6 = 2 \times 3$, nên $b’ = 3$

Bước 2: Tính Delta phẩy $$\Delta’ = (b’)^2 – ac = 3^2 – 1 \times 9 = 9 – 9 = 0$$

Bước 3: Xét dấu Delta phẩy

• Ta có: $\Delta’ = 0$
• Kết luận: Phương trình có nghiệm kép

Bước 4: Tính nghiệm kép $$x = -\frac{b’}{a} = -\frac{3}{1} = -3$$

Kết luận: Phương trình có nghiệm kép $x = -3$

Nhận xét: Phương trình có thể viết thành $(x + 3)^2 = 0$, nghiệm kép rõ ràng là $x = -3$.

Ví dụ 6: Giải phương trình $3x^2 – 12x + 15 = 0$ bằng Delta phẩy

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 3$, $b = -12$, $c = 15$
• Có $b = -12 = 2 \times (-6)$, nên $b’ = -6$

Bước 2: Tính Delta phẩy $$\Delta’ = (-6)^2 – 3 \times 15 = 36 – 45 = -9$$

Bước 3: Xét dấu Delta phẩy

• Ta có: $\Delta’ = -9 < 0$
• Kết luận: Phương trình vô nghiệm trong $\mathbb{R}$

Kết luận: Phương trình vô nghiệm thực.

IV. BẢNG TỔNG HỢP CÔNG THỨC

Bảng công thức đầy đủ

Bảng so sánh Delta và Delta phẩy:

Mối liên hệ giữa Δ và Δ’

Công thức: $$\boxed{\Delta = 4\Delta’}$$

Chứng minh chi tiết:

Xuất phát từ định nghĩa: $$\Delta = b^2 – 4ac$$

Với $b = 2b’$, ta có: $$\Delta = (2b’)^2 – 4ac$$ $$= 4(b’)^2 – 4ac$$ $$= 4[(b’)^2 – ac]$$ $$= 4\Delta’$$

Ý nghĩa:

• Nếu biết $\Delta’$, có thể tính ngay $\Delta = 4\Delta’$
• Nếu biết $\Delta$, có thể tính ngay $\Delta’ = \frac{\Delta}{4}$
• Dấu của $\Delta$ và $\Delta’$ luôn giống nhau (cùng dương, cùng âm, hoặc cùng bằng 0)

Ví dụ áp dụng:

• Nếu $\Delta’ = 3$ thì $\Delta = 4 \times 3 = 12$
• Nếu $\Delta = 16$ thì $\Delta’ = \frac{16}{4} = 4$
• Nếu $\Delta’ = 0$ thì $\Delta = 0$

V. MẸO VÀ KỸ THUẬT GIẢI NHANH

1. Khi nào dùng Delta, khi nào dùng Delta phẩy?

Quy tắc lựa chọn công thức:

Dùng Delta (Δ) khi:

• Hệ số $b$ là số lẻ
• Hệ số $b$ không chia hết cho 2
• Không chắc chắn nên dùng công thức nào (Delta luôn đúng)

Ví dụ:

• $x^2 + 5x + 6 = 0$ (b = 5 là số lẻ)
• $2x^2 – 3x + 1 = 0$ (b = -3 là số lẻ)
• $x^2 + 7x – 8 = 0$ (b = 7 là số lẻ)

Dùng Delta phẩy (Δ’) khi:

• Hệ số $b$ là số chẵn
• Hệ số $b$ chia hết cho 2
• Muốn tính toán nhanh hơn, đơn giản hơn

Ví dụ:

• $x^2 + 6x + 8 = 0$ (b = 6 = 2×3, dùng $b’ = 3$)
• $x^2 – 10x + 21 = 0$ (b = -10 = 2×(-5), dùng $b’ = -5$)
• $2x^2 + 8x – 10 = 0$ (b = 8 = 2×4, dùng $b’ = 4$)

Lưu ý: Cả hai công thức đều cho kết quả đúng, nhưng Delta phẩy giúp tính toán nhanh hơn khi $b$ chẵn.

2. Mẹo tính nhanh

Mẹo 1: Nhận diện nhanh số nghiệm (không cần tính chính xác)

Quan sát và so sánh sơ bộ:

• Nếu $b^2 < 4ac$ → Chắc chắn $\Delta < 0$ → Vô nghiệm
• Nếu $b^2 = 4ac$ → $\Delta = 0$ → Nghiệm kép
• Nếu $b^2 > 4ac$ → $\Delta > 0$ → 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ: $x^2 + 2x + 5 = 0$

• $b^2 = 4$, $4ac = 20$
• Rõ ràng $4 < 20$ → Vô nghiệm (không cần tính $\Delta = -16$)

Mẹo 2: Phân tích thành nhân tử trước (nếu được)

Trước khi áp dụng công thức Delta, hãy thử phân tích phương trình thành nhân tử. Nếu phân tích được thì sẽ nhanh hơn rất nhiều.

Ví dụ: $x^2 – 5x + 6 = 0$

• Phân tích: $(x – 2)(x – 3) = 0$
• Nghiệm: $x = 2$ hoặc $x = 3$
• Nhanh hơn nhiều so với tính Delta!

Mẹo phân tích: Tìm hai số có tổng bằng $-b$ và tích bằng $c$.

Mẹo 3: Sử dụng định lý Vi-et

Nếu đã biết một nghiệm của phương trình, có thể tìm nghiệm còn lại bằng định lý Vi-et mà không cần tính Delta:

Định lý Vi-et:

• Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Tích hai nghiệm: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Ví dụ: Biết phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$ có nghiệm $x_1 = 2$. Tìm $x_2$.

• Theo Vi-et: $x_1 + x_2 = 5$ → $2 + x_2 = 5$ → $x_2 = 3$

Mẹo 4: Chia cả hai vế cho hệ số chung

Nếu các hệ số $a$, $b$, $c$ có ước chung, hãy chia cả hai vế cho ước chung đó để đơn giản hóa.

Ví dụ: $2x^2 – 10x + 12 = 0$

• Chia cả hai vế cho 2: $x^2 – 5x + 6 = 0$
• Phương trình đơn giản hơn nhiều!

3. Các lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Quên dấu âm của b khi tính $b^2$

Sai:

• Phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$ có $b = -5$
• Tính sai: $\Delta = -5^2 – 4(1)(6) = -25 – 24 = -49$ ❌

Đúng:

• $\Delta = (-5)^2 – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1$ ✓

Lưu ý: $b^2$ luôn không âm. Nếu $b = -5$ thì $b^2 = 25$, không phải -25.

❌ Lỗi 2: Nhầm lẫn giữa $b$ và $b’$

Sai:

• Phương trình $x^2 + 6x + 5 = 0$ có $b = 6$
• Dùng Delta phẩy nhưng lấy nhầm: $b’ = 6$ ❌

Đúng:

• $b = 6 = 2 \times 3$ nên $b’ = 3$ ✓
• $\Delta’ = 3^2 – 1 \times 5 = 9 – 5 = 4$

Lưu ý: $b’ = \frac{b}{2}$, không phải $b’ = b$.

❌ Lỗi 3: Quên điều kiện $a \neq 0$

Sai:

• Giải phương trình $0 \cdot x^2 + 3x – 2 = 0$ bằng công thức Delta ❌

Đúng:

• Kiểm tra: $a = 0$ → Không phải phương trình bậc 2 ✓
• Đây là phương trình bậc nhất: $3x – 2 = 0$ → $x = \frac{2}{3}$

❌ Lỗi 4: Nhầm công thức nghiệm

Sai:

• $x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{a}$ (thiếu số 2 ở mẫu khi dùng Delta thường) ❌

Đúng:

• Delta thường: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ✓
• Delta phẩy: $x = \frac{-b’ \pm \sqrt{\Delta’}}{a}$ ✓

❌ Lỗi 5: Kết luận sai khi $\Delta < 0$

Sai:

• $\Delta = -3$ → Phương trình có nghiệm $x = \frac{-b \pm \sqrt{-3}}{2a}$ ❌

Đúng:

• $\Delta = -3 < 0$ → Phương trình vô nghiệm trong $\mathbb{R}$ ✓

Lưu ý: Không tồn tại căn bậc hai của số âm trong tập số thực.

VII. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 1: Giải phương trình bằng Delta

Bài 1: Giải các phương trình sau bằng công thức Delta:

a) $x^2 – 7x + 10 = 0$

b) $2x^2 + 5x – 3 = 0$

c) $x^2 + 4x + 5 = 0$

Dạng 2: Giải phương trình bằng Delta phẩy

Bài 2: Giải các phương trình sau bằng công thức Delta phẩy:

a) $x^2 + 8x + 12 = 0$

b) $3x^2 – 6x + 2 = 0$

c) $x^2 – 10x + 25 = 0$

Dạng 3: Tìm tham số m

Bài 3: Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình có:

a) 2 nghiệm phân biệt: $x^2 – 2x + m = 0$

b) Nghiệm kép: $x^2 + 4x + m = 0$

c) Vô nghiệm: $x^2 – 6x + m = 0$

Hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1:

Câu a) $x^2 – 7x + 10 = 0$

• Hệ số: $a = 1$, $b = -7$, $c = 10$
• $\Delta = (-7)^2 – 4(1)(10) = 49 – 40 = 9 > 0$
• Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
  • $x_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5$
  • $x_2 = \frac{7 – 3}{2} = 2$
• Đáp số: $x_1 = 5$, $x_2 = 2$

Câu b) $2x^2 + 5x – 3 = 0$

• Hệ số: $a = 2$, $b = 5$, $c = -3$
• $\Delta = 5^2 – 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 > 0$
• Phương trình có 2 nghiệm:
  • $x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
  • $x_2 = \frac{-5 – 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$
• Đáp số: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -3$

Câu c) $x^2 + 4x + 5 = 0$

• Hệ số: $a = 1$, $b = 4$, $c = 5$
• $\Delta = 4^2 – 4(1)(5) = 16 – 20 = -4 < 0$
• Đáp số: Phương trình vô nghiệm

Bài 2:

Câu a) $x^2 + 8x + 12 = 0$

• Hệ số: $a = 1$, $b = 8 = 2 \times 4$, nên $b’ = 4$, $c = 12$
• $\Delta’ = 4^2 – 1(12) = 16 – 12 = 4 > 0$
• Phương trình có 2 nghiệm:
  • $x_1 = \frac{-4 + 2}{1} = -2$
  • $x_2 = \frac{-4 – 2}{1} = -6$
• Đáp số: $x_1 = -2$, $x_2 = -6$

Câu b) $3x^2 – 6x + 2 = 0$

• Hệ số: $a = 3$, $b = -6 = 2 \times (-3)$, nên $b’ = -3$, $c = 2$
• $\Delta’ = (-3)^2 – 3(2) = 9 – 6 = 3 > 0$
• Phương trình có 2 nghiệm:
  • $x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$
  • $x_2 = \frac{3 – \sqrt{3}}{3}$
• Đáp số: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$, $x_2 = \frac{3 – \sqrt{3}}{3}$

Câu c) $x^2 – 10x + 25 = 0$

• Hệ số: $a = 1$, $b = -10 = 2 \times (-5)$, nên $b’ = -5$, $c = 25$
• $\Delta’ = (-5)^2 – 1(25) = 25 – 25 = 0$
• Phương trình có nghiệm kép: $x = \frac{5}{1} = 5$
• Đáp số: $x = 5$ (nghiệm kép)

Bài 3:

Câu a) Phương trình $x^2 – 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$

• $\Delta = (-2)^2 – 4(1)(m) = 4 – 4m$
• Điều kiện: $4 – 4m > 0$
• $\Leftrightarrow 4 > 4m$
• $\Leftrightarrow m < 1$
• Đáp số: $m < 1$

Câu b) Phương trình $x^2 + 4x + m = 0$ có nghiệm kép khi $\Delta = 0$

• $\Delta = 4^2 – 4(1)(m) = 16 – 4m$
• Điều kiện: $16 – 4m = 0$
• $\Leftrightarrow 16 = 4m$
• $\Leftrightarrow m = 4$
• Đáp số: $m = 4$

Câu c) Phương trình $x^2 – 6x + m = 0$ vô nghiệm khi $\Delta < 0$

• $\Delta = (-6)^2 – 4(1)(m) = 36 – 4m$
• Điều kiện: $36 – 4m < 0$
• $\Leftrightarrow 36 < 4m$
• $\Leftrightarrow m > 9$
• Đáp số: $m > 9$

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về hai công thức quan trọng trong giải phương trình bậc 2:

Công thức Delta (Δ): $\Delta = b^2 – 4ac$

• Áp dụng cho mọi phương trình bậc 2
• Công thức chuẩn, luôn đúng
• Phổ biến nhất trong chương trình Toán học

Công thức Delta phẩy (Δ’): $\Delta’ = (b’)^2 – ac$ với $b’ = \frac{b}{2}$

• Áp dụng khi hệ số $b$ chẵn hoặc chia hết cho 2
• Tính toán đơn giản, nhanh hơn
• Công thức nghiệm gọn gàng hơn

Mối quan hệ: $\Delta = 4\Delta’$

Ý nghĩa: Xác định số nghiệm của phương trình bậc 2:

• $\Delta > 0$ hoặc $\Delta’ > 0$: 2 nghiệm phân biệt
• $\Delta = 0$ hoặc $\Delta’ = 0$: 1 nghiệm kép
• $\Delta < 0$ hoặc $\Delta’ < 0$: Vô nghiệm thực

Ứng dụng rộng rãi: Toán học, vật lý, kinh tế, kỹ thuật

Xem thêm các chủ đề liên quan:

• [Định lý Vi-et và ứng dụng trong phương trình bậc 2]
• [Phương trình bậc 2 nâng cao – Bài toán chứa tham số]
• [Bài tập phương trình bậc 2 có lời giải chi tiết]
• [Hàm số bậc 2 – Parabol và tính chất]
• [Bất phương trình bậc 2 – Phương pháp giải]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa