I. GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ VI-ÉT

1. Định lý Vi-ét là gì?

Định nghĩa: Định lý Vi-ét (hay hệ thức Vi-ét) là một định lý toán học quan trọng thiết lập mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai.

Bản chất: Định lý này cho phép ta biểu diễn tổng và tích của hai nghiệm thông qua các hệ số của phương trình mà không cần tính toán nghiệm cụ thể.

Đặc điểm nổi bật:

• Công thức đơn giản, dễ nhớ (chỉ có 2 công thức chính)
• Không cần tính Delta hay căn bậc hai
• Ứng dụng rộng rãi trong nhiều bài toán
• Là công cụ mạnh mẽ để giải nhanh phương trình

Tên gọi khác:

• Định lý Viète (phiên bản tiếng Pháp)
• Hệ thức Viet
• Công thức tổng tích nghiệm

2. Nhà toán học François Viète (1540-1603)

Tiểu sử ngắn:

François Viète là một nhà toán học, luật sư và nhà mật mã học người Pháp, được coi là “cha đẻ của đại số hiện đại”.

Đóng góp quan trọng:

• Người đầu tiên sử dụng ký hiệu chữ cái để đại diện cho các đại lượng trong toán học
• Phát triển phương pháp giải phương trình đại số
• Thiết lập mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình
• Góp phần quan trọng vào việc phát triển lượng giác

Di sản:

• Định lý mang tên ông được sử dụng rộng rãi trong toán học phổ thông và đại học
• Các công thức của ông là nền tảng cho đại số hiện đại
• Được vinh danh là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 16

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết này sẽ hướng dẫn toàn diện về định lý Vi-ét:

Phần II: Công thức Vi-ét chính xác, điều kiện áp dụng, chứng minh

Phần III: 6 ứng dụng quan trọng của Vi-ét kèm ví dụ minh họa

Phần IV: Bảng công thức Vi-ét mở rộng để tính các biểu thức phức tạp

Phần V: Mẹo, kỹ thuật áp dụng Vi-ét hiệu quả, các lỗi thường gặp

Phần VI: 6 dạng bài tập tự luyện có đáp án chi tiết

II. CÔNG THỨC VI-ÉT (HỆ THỨC VI-ÉT)

1. Phát biểu định lý Vi-ét

Định lý: Cho phương trình bậc hai: $$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$

Nếu phương trình có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thì:

$$\boxed{\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} & \text{(Tổng hai nghiệm)} \\[0.8em] x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} & \text{(Tích hai nghiệm)} \end{cases}}$$

Hoặc viết dưới dạng ký hiệu:

• Tổng hai nghiệm: $S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$
• Tích hai nghiệm: $P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

Cách đọc:

• “Tổng hai nghiệm bằng âm b chia a”
• “Tích hai nghiệm bằng c chia a”

Ghi nhớ:

• Tổng có dấu trừ (âm) trước phân số
• Tích không có dấu trừ
• Cả hai đều có mẫu số là $a$

2. Điều kiện áp dụng định lý Vi-ét

⚠️ Điều kiện bắt buộc: Phương trình phải có nghiệm thực, tức là $\Delta \geq 0$

Giải thích: Nếu phương trình vô nghiệm ($\Delta < 0$) thì không tồn tại $x_1$, $x_2$ để áp dụng công thức.

Các cách kiểm tra điều kiện:

Cách 1: Tính Delta $$\Delta = b^2 – 4ac \geq 0$$

Đây là cách chính xác nhất và được khuyến nghị khi không chắc chắn.

Cách 2: Kiểm tra dấu của $a$ và $c$

Nếu $ac \leq 0$ (tức $a$ và $c$ trái dấu hoặc một trong hai bằng 0) thì: $$\Delta = b^2 – 4ac \geq b^2 \geq 0$$

Do đó phương trình luôn có nghiệm, không cần tính Delta.

Ví dụ: $2x^2 + 3x – 5 = 0$ có $a = 2 > 0$ và $c = -5 < 0$ → Luôn có nghiệm

Cách 3: Ước lượng nhanh

Nếu $a$ và $c$ cùng dấu, kiểm tra xem $|b|$ có đủ lớn so với $|2\sqrt{ac}|$ không.

3. Chứng minh định lý Vi-ét

Xuất phát từ công thức nghiệm:

Khi $\Delta \geq 0$, phương trình có hai nghiệm (có thể trùng nhau): $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Chứng minh công thức tổng:

$$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$$

$$= \frac{-b + \sqrt{\Delta} + (-b) – \sqrt{\Delta}}{2a}$$

$$= \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$$

Chứng minh công thức tích:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Sử dụng hằng đẳng thức $(A + B)(A – B) = A^2 – B^2$:

$$= \frac{(-b)^2 – (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 – \Delta}{4a^2}$$

Thay $\Delta = b^2 – 4ac$:

$$= \frac{b^2 – (b^2 – 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$

Kết luận: Định lý Vi-ét được chứng minh hoàn toàn từ công thức nghiệm. ✓

4. Trường hợp đặc biệt $a = 1$

Phương trình đơn giản hơn: $$x^2 + bx + c = 0$$

Công thức Vi-ét trở nên cực kỳ đơn giản:

$$\boxed{\begin{cases} x_1 + x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases}}$$

Ưu điểm:

• Không cần chia cho $a$
• Tổng bằng đối của hệ số $b$
• Tích bằng chính hệ số tự do $c$

Ví dụ minh họa:

Phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$

Áp dụng Vi-ét ngay:

• $x_1 + x_2 = -(-5) = 5$
• $x_1 \cdot x_2 = 6$

Nhẩm nghiệm: Tìm hai số có tổng 5 và tích 6 → Đó là 2 và 3

Vậy $x_1 = 2$, $x_2 = 3$

Kiểm tra:

• $2 + 3 = 5$ ✓
• $2 \times 3 = 6$ ✓

5. Bảng công thức Vi-ét theo hệ số

Bảng tra cứu nhanh:

Dạng cuối cùng đặc biệt quan trọng: Nếu biết tổng $S$ và tích $P$ của hai số, chúng là nghiệm của phương trình $x^2 – Sx + P = 0$

III. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT

1. Tính nhẩm nghiệm phương trình

Phương pháp: Sử dụng Vi-ét để tìm hai số có tổng và tích đã biết, đó chính là hai nghiệm cần tìm.

Quy trình 3 bước:

1. Tính $S = x_1 + x_2$ và $P = x_1 \cdot x_2$ từ hệ số
2. Tìm hai số có tổng $S$ và tích $P$
3. Viết kết luận nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^2 – 7x + 12 = 0$ bằng Vi-ét

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng Vi-ét (với $a = 1, b = -7, c = 12$)

• Tổng: $x_1 + x_2 = -\frac{-7}{1} = 7$
• Tích: $x_1 \cdot x_2 = \frac{12}{1} = 12$

Bước 2: Tìm hai số có tổng 7 và tích 12

• Thử các cặp có tích 12: (1,12), (2,6), (3,4)
• Kiểm tra tổng: $3 + 4 = 7$ ✓

Bước 3: Kết luận

• Nghiệm: $x_1 = 3$ và $x_2 = 4$

Kiểm tra:

• Với $x = 3$: $3^2 – 7(3) + 12 = 9 – 21 + 12 = 0$ ✓
• Với $x = 4$: $4^2 – 7(4) + 12 = 16 – 28 + 12 = 0$ ✓

Ví dụ 2: Giải phương trình $x^2 + x – 6 = 0$ bằng Vi-ét

Lời giải:

Bước 1: Vi-ét cho:

• $x_1 + x_2 = -1$
• $x_1 \cdot x_2 = -6$

Bước 2: Tìm hai số có tổng $-1$ và tích $-6$

• Vì tích âm nên hai số trái dấu
• Thử: $(2, -3)$ → Tổng: $2 + (-3) = -1$ ✓, Tích: $2 \times (-3) = -6$ ✓

Kết luận: $x_1 = 2$ và $x_2 = -3$

2. Tính tổng và tích nghiệm không cần tìm nghiệm

Ứng dụng: Khi đề bài chỉ hỏi tổng hoặc tích nghiệm, không cần giá trị cụ thể từng nghiệm.

Ví dụ 3: Cho phương trình $3x^2 – 6x + 2 = 0$. Không giải phương trình, hãy tính $x_1 + x_2$ và $x_1 \cdot x_2$.

Lời giải:

Kiểm tra điều kiện có nghiệm: $$\Delta = (-6)^2 – 4(3)(2) = 36 – 24 = 12 > 0$$ → Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có thể áp dụng Vi-ét

Áp dụng công thức Vi-ét: $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$$

Kết luận:

• Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = 2$
• Tích hai nghiệm: $x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}$

(Không cần tính nghiệm cụ thể $x_1, x_2$ là gì!)

3. Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm

Nguyên tắc: Biến đổi biểu thức về dạng chứa $S = x_1 + x_2$ và $P = x_1 \cdot x_2$, sau đó thay giá trị.

Dạng 1: Tính $x_1^2 + x_2^2$

Công thức: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 = S^2 – 2P$$

Chứng minh: $$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$$ $$\Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2$$

Ví dụ 4: Cho phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$ có nghiệm $x_1, x_2$. Tính $A = x_1^2 + x_2^2$.

Lời giải:

Bước 1: Tính $S$ và $P$ theo Vi-ét:

• $S = x_1 + x_2 = 5$
• $P = x_1 \cdot x_2 = 6$

Bước 2: Áp dụng công thức: $$A = x_1^2 + x_2^2 = S^2 – 2P = 5^2 – 2(6) = 25 – 12 = 13$$

Kết luận: $A = 13$

Dạng 2: Tính $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$

Công thức: $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{S}{P}$$

Chứng minh: Quy đồng mẫu số: $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2}$$

Ví dụ 5: Với phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$ ở ví dụ 4, tính $B = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$.

Lời giải:

Từ ví dụ 4: $S = 5$, $P = 6$

Áp dụng công thức: $$B = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{S}{P} = \frac{5}{6}$$

Kết luận: $B = \dfrac{5}{6}$

Dạng 3: Tính $x_1^3 + x_2^3$

Công thức 1: $$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 – 3x_1x_2(x_1 + x_2) = S^3 – 3PS$$

Công thức 2: $$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 – x_1x_2 + x_2^2) = S(S^2 – 3P)$$

Ví dụ 6: Với phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$, tính $C = x_1^3 + x_2^3$.

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức 1 $$C = S^3 – 3PS = 5^3 – 3(6)(5) = 125 – 90 = 35$$

Cách 2: Dùng công thức 2

• Từ ví dụ 4: $x_1^2 + x_2^2 = 13$
• $x_1^2 – x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) – x_1x_2 = 13 – 6 = 7$
• $C = S(x_1^2 – x_1x_2 + x_2^2) = 5 \times 7 = 35$

Kết luận: $C = 35$

4. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp: Hai số có tổng $S$ và tích $P$ là hai nghiệm của phương trình: $$\boxed{x^2 – Sx + P = 0}$$

Quy trình:

1. Lập phương trình $x^2 – Sx + P = 0$
2. Giải phương trình bằng Delta hoặc nhẩm nghiệm
3. Hai nghiệm chính là hai số cần tìm

Ví dụ 7: Tìm hai số có tổng bằng 8 và tích bằng 15.

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình

• Hai số cần tìm là nghiệm của: $x^2 – 8x + 15 = 0$

Bước 2: Giải phương trình (nhẩm nghiệm bằng Vi-ét)

• Tìm hai số có tổng 8 và tích 15
• Thử: $(3, 5)$ → $3 + 5 = 8$ ✓, $3 \times 5 = 15$ ✓

Kết luận: Hai số cần tìm là 3 và 5.

Ví dụ 8: Tìm hai số có tổng bằng -7 và tích bằng 12.

Lời giải:

Lập phương trình: $x^2 – (-7)x + 12 = 0$ hay $x^2 + 7x + 12 = 0$

Nhẩm nghiệm:

• Tổng: $-7$, Tích: $12$
• Vì tổng âm và tích dương → cả hai số đều âm
• Thử: $(-3, -4)$ → $(-3) + (-4) = -7$ ✓, $(-3) \times (-4) = 12$ ✓

Kết luận: Hai số là -3 và -4.

5. Lập phương trình khi biết nghiệm

Phương pháp: Nếu biết hai nghiệm $x_1, x_2$, phương trình bậc 2 có thể viết dưới các dạng:

Dạng 1 (Dùng Vi-ét): $$x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$$ $$x^2 – Sx + P = 0$$

Dạng 2 (Phân tích nhân tử): $$(x – x_1)(x – x_2) = 0$$

Ví dụ 9: Lập phương trình bậc 2 có hai nghiệm là 2 và -3.

Lời giải:

Cách 1: Dùng Vi-ét

Bước 1: Tính tổng và tích:

• $S = x_1 + x_2 = 2 + (-3) = -1$
• $P = x_1 \cdot x_2 = 2 \times (-3) = -6$

Bước 2: Viết phương trình: $$x^2 – Sx + P = 0$$ $$x^2 – (-1)x + (-6) = 0$$ $$x^2 + x – 6 = 0$$

Cách 2: Phân tích nhân tử $$(x – 2)(x – (-3)) = 0$$ $$(x – 2)(x + 3) = 0$$ $$x^2 + 3x – 2x – 6 = 0$$ $$x^2 + x – 6 = 0$$

Kết luận: Phương trình cần tìm là $x^2 + x – 6 = 0$

Ví dụ 10: Lập phương trình bậc 2 có hai nghiệm là $\dfrac{2}{3}$ và $-\dfrac{1}{2}$.

Lời giải:

Tính tổng và tích:

• $S = \frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{6} – \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$
• $P = \frac{2}{3} \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Lập phương trình: $$x^2 – \frac{1}{6}x + \left(-\frac{1}{3}\right) = 0$$ $$x^2 – \frac{1}{6}x – \frac{1}{3} = 0$$

Nhân cả hai vế với 6 để khử mẫu: $$6x^2 – x – 2 = 0$$

Kết luận: Phương trình là $6x^2 – x – 2 = 0$

6. Xét dấu hai nghiệm

Nguyên tắc: Sử dụng tổng $S$ và tích $P$ để xét dấu nghiệm mà không cần tính nghiệm cụ thể.

Bảng xét dấu nghiệm đầy đủ:

Lưu ý: Phải có điều kiện $\Delta \geq 0$ (phương trình có nghiệm) trước khi xét dấu.

Ví dụ 11: Không giải phương trình, xét dấu hai nghiệm của $x^2 – 5x + 6 = 0$.

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm: $$\Delta = (-5)^2 – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1 > 0$$ → Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bước 2: Tính $S$ và $P$:

• $S = x_1 + x_2 = 5 > 0$
• $P = x_1 \cdot x_2 = 6 > 0$

Bước 3: Xét dấu:

• Vì $S > 0$ và $P > 0$ → Cả hai nghiệm đều dương

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm dương.

Kiểm tra: Giải ra được $x_1 = 2 > 0$, $x_2 = 3 > 0$ ✓

IV. BẢNG CÔNG THỨC VI-ÉT MỞ RỘNG

1. Các công thức biến đổi từ Vi-ét

Bảng tra cứu các biểu thức thường gặp:

Ghi nhớ: Với $S = x_1 + x_2$ và $P = x_1 \cdot x_2$, mọi biểu thức đối xứng đều có thể biểu diễn qua $S$ và $P$.

2. Điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện

Điều kiện chung: Phương trình có nghiệm thực $$\Delta = b^2 – 4ac \geq 0$$

Điều kiện cả hai nghiệm dương: $$\begin{cases} \Delta \geq 0 \\ S = x_1 + x_2 > 0 \\ P = x_1 \cdot x_2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b^2 – 4ac \geq 0 \\ -\dfrac{b}{a} > 0 \\ \dfrac{c}{a} > 0 \end{cases}$$

Điều kiện cả hai nghiệm âm: $$\begin{cases} \Delta \geq 0 \\ S = x_1 + x_2 < 0 \\ P = x_1 \cdot x_2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b^2 – 4ac \geq 0 \\ -\dfrac{b}{a} < 0 \\ \dfrac{c}{a} > 0 \end{cases}$$

Điều kiện hai nghiệm trái dấu: $$P = x_1 \cdot x_2 < 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} < 0 \Leftrightarrow ac < 0$$

Lưu ý: Khi $ac < 0$ thì $\Delta = b^2 – 4ac > 0$ tự động thỏa mãn, không cần kiểm tra.

Điều kiện hai nghiệm đối nhau: $$\begin{cases} \Delta \geq 0 \\ S = x_1 + x_2 = 0 \\ P = x_1 \cdot x_2 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b^2 – 4ac \geq 0 \\ b = 0 \\ \dfrac{c}{a} < 0 \end{cases}$$

V. MẸO VÀ KỸ THUẬT ÁP DỤNG VI-ÉT

1. Khi nào dùng Vi-ét?

✅ NÊN dùng Vi-ét khi:

1. Đề bài yêu cầu tính tổng/tích nghiệm

• Ví dụ: “Tính $x_1 + x_2$ và $x_1 x_2$”
• Vi-ét cho kết quả ngay lập tức

2. Cần tính biểu thức chứa nghiệm

• Ví dụ: “Tính $x_1^2 + x_2^2$”, “$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$”
• Dùng công thức mở rộng của Vi-ét

3. Phương trình có hệ số đẹp, dễ nhẩm

• Ví dụ: $x^2 – 7x + 12 = 0$ → nhẩm ngay được nghiệm 3 và 4
• Nhanh hơn nhiều so với tính Delta

4. Tìm hai số biết tổng và tích

• Đây là ứng dụng kinh điển của Vi-ét
• Lập phương trình $x^2 – Sx + P = 0$

5. Lập phương trình khi biết nghiệm

• Dùng công thức $x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

6. Xét dấu nghiệm

• Dùng $S$ và $P$ để suy ra dấu của $x_1$, $x_2$

❌ KHÔNG nên dùng Vi-ét khi:

1. Đề bài yêu cầu tìm nghiệm cụ thể

• Ví dụ: “Tìm nghiệm của phương trình”
• Phải dùng Delta hoặc nhẩm nghiệm trực tiếp

2. Phương trình phức tạp, khó nhẩm

• Ví dụ: $7x^2 – 13x + 5 = 0$
• Tốt hơn nên dùng công thức Delta

3. Phương trình vô nghiệm

• Nếu $\Delta < 0$, Vi-ét không áp dụng được

4. Cần biết chính xác giá trị từng nghiệm

• Vi-ét chỉ cho tổng và tích, không cho từng nghiệm

2. Mẹo nhẩm nghiệm bằng Vi-ét

Quy trình 5 bước nhẩm nghiệm nhanh:

Bước 1: Kiểm tra $a = 1$ hay không

• Nếu $a = 1$: $S = -b$, $P = c$ (đơn giản hơn)
• Nếu $a \neq 1$: Cân nhắc chia cả hai vế cho $a$ hoặc dùng công thức đầy đủ

Bước 2: Tính $S$ và $P$

• $S = x_1 + x_2$
• $P = x_1 \cdot x_2$

Bước 3: Phân tích $P$ thành tích các số

• Liệt kê các cặp số có tích bằng $P$
• Ưu tiên các cặp số nguyên, đơn giản

Bước 4: Kiểm tra cặp nào có tổng bằng $S$

• Thử từng cặp ở bước 3
• Cặp nào có tổng đúng bằng $S$ là nghiệm

Bước 5: Viết kết luận

• Hai số vừa tìm được chính là hai nghiệm $x_1$, $x_2$

Ví dụ minh họa: Nhẩm nghiệm $x^2 – 11x + 28 = 0$

Bước 1: $a = 1$ ✓

Bước 2: $S = 11$, $P = 28$

Bước 3: Các cặp có tích 28:

• $(1, 28)$
• $(2, 14)$
• $(4, 7)$

Bước 4: Kiểm tra tổng:

• $1 + 28 = 29$ ✗
• $2 + 14 = 16$ ✗
• $4 + 7 = 11$ ✓

Bước 5: Nghiệm là $x_1 = 4$, $x_2 = 7$

3. Các lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Quên kiểm tra điều kiện có nghiệm

Sai:

• Phương trình: $x^2 + x + 1 = 0$ có $\Delta = -3 < 0$
• Vẫn tính: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 x_2 = 1$ ❌

Đúng:

• Kiểm tra $\Delta = -3 < 0$ → Phương trình vô nghiệm
• Không thể áp dụng Vi-ét vì không có $x_1$, $x_2$ ✓

Cách tránh: Luôn kiểm tra $\Delta \geq 0$ trước khi dùng Vi-ét.

❌ Lỗi 2: Nhầm dấu của tổng

Sai:

• Phương trình: $x^2 – 5x + 6 = 0$
• Tính: $x_1 + x_2 = \frac{-5}{1} = -5$ ❌

Đúng:

• $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-5)}{1} = 5$ ✓

Cách nhớ: Công thức có dấu trừ trước phân số: $-\frac{b}{a}$

❌ Lỗi 3: Áp dụng Vi-ét khi phương trình vô nghiệm

Sai:

• $2x^2 + 3x + 5 = 0$ có $\Delta = 9 – 40 = -31 < 0$
• Vẫn tính: $x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$ ❌

Đúng:

• $\Delta < 0$ → Vô nghiệm → Không tồn tại $x_1$, $x_2$ ✓
• Không thể dùng Vi-ét

❌ Lỗi 4: Nhầm lẫn giữa $S$ và $P$

Sai:

• Tổng = $\frac{c}{a}$, Tích = $-\frac{b}{a}$ ❌

Đúng:

• Tổng $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓
• Tích $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ ✓

Cách nhớ: “Tổng có trừ, tích không trừ”

4. So sánh Vi-ét và Delta

Bảng so sánh chi tiết:

Kết luận: Vi-ét và Delta bổ sung cho nhau, nên kết hợp cả hai để giải hiệu quả nhất.

VI. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 1: Tính tổng và tích nghiệm

Bài 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có):

a) $x^2 – 6x + 8 = 0$

b) $2x^2 + 5x – 3 = 0$

c) $-3x^2 + 9x – 6 = 0$

Hướng dẫn giải:

Câu a) $x^2 – 6x + 8 = 0$

• Kiểm tra: $\Delta = 36 – 32 = 4 > 0$ → Có nghiệm
• $S = x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1} = 6$
• $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{8}{1} = 8$
• Đáp số: $S = 6$, $P = 8$

Câu b) $2x^2 + 5x – 3 = 0$

• Kiểm tra: $\Delta = 25 + 24 = 49 > 0$ → Có nghiệm
• $S = -\frac{5}{2}$
• $P = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$
• Đáp số: $S = -\dfrac{5}{2}$, $P = -\dfrac{3}{2}$

Câu c) $-3x^2 + 9x – 6 = 0$

• Chia cả hai vế cho -3: $x^2 – 3x + 2 = 0$
• $\Delta = 9 – 8 = 1 > 0$ → Có nghiệm
• $S = 3$, $P = 2$
• Đáp số: $S = 3$, $P = 2$

Dạng 2: Nhẩm nghiệm bằng Vi-ét

Bài 2: Sử dụng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a) $x^2 – 9x + 20 = 0$

b) $x^2 + 7x + 12 = 0$

c) $x^2 – x – 12 = 0$

Hướng dẫn giải:

Câu a) $x^2 – 9x + 20 = 0$

• $S = 9$, $P = 20$
• Các cặp có tích 20: (1,20), (2,10), (4,5)
• Kiểm tra tổng: $4 + 5 = 9$ ✓
• Đáp số: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$

Câu b) $x^2 + 7x + 12 = 0$

• $S = -7$, $P = 12$
• Vì $S < 0$, $P > 0$ → cả hai nghiệm âm
• Các cặp: (-1,-12), (-2,-6), (-3,-4)
• $(-3) + (-4) = -7$ ✓
• Đáp số: $x_1 = -3$, $x_2 = -4$

Câu c) $x^2 – x – 12 = 0$

• $S = 1$, $P = -12$
• Vì $P < 0$ → hai nghiệm trái dấu
• Thử: $(4, -3)$ → $4 + (-3) = 1$ ✓, $4 \times (-3) = -12$ ✓
• Đáp số: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức

Bài 3: Cho phương trình $x^2 – 4x + 2 = 0$ có nghiệm $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính:

a) $A = x_1^2 + x_2^2$

b) $B = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$

c) $C = x_1^3 + x_2^3$

Hướng dẫn giải:

Tính $S$ và $P$:

• $\Delta = 16 – 8 = 8 > 0$ → Có nghiệm
• $S = x_1 + x_2 = 4$
• $P = x_1 \cdot x_2 = 2$

Câu a) $A = x_1^2 + x_2^2$

• $A = S^2 – 2P = 4^2 – 2(2) = 16 – 4 = 12$
• Đáp số: $A = 12$

Câu b) $B = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$

• $B = \frac{S}{P} = \frac{4}{2} = 2$
• Đáp số: $B = 2$

Câu c) $C = x_1^3 + x_2^3$

• $C = S^3 – 3PS = 4^3 – 3(2)(4) = 64 – 24 = 40$
• Đáp số: $C = 40$

Dạng 4: Tìm hai số biết tổng và tích

Bài 4: Tìm hai số trong các trường hợp sau:

a) Tổng bằng 10, tích bằng 21

b) Tổng bằng -7, tích bằng 12

c) Tổng bằng 1, tích bằng -20

Hướng dẫn giải:

Câu a) Tổng 10, tích 21

• Phương trình: $x^2 – 10x + 21 = 0$
• Nhẩm: $(3, 7)$ → $3 + 7 = 10$ ✓, $3 \times 7 = 21$ ✓
• Đáp số: Hai số là 3 và 7

Câu b) Tổng -7, tích 12

• Phương trình: $x^2 + 7x + 12 = 0$
• Nhẩm: $(-3, -4)$ → $-3 + (-4) = -7$ ✓, $(-3)(-4) = 12$ ✓
• Đáp số: Hai số là -3 và -4

Câu c) Tổng 1, tích -20

• Phương trình: $x^2 – x – 20 = 0$
• Nhẩm: $(5, -4)$ → $5 + (-4) = 1$ ✓, $5 \times (-4) = -20$ ✓
• Đáp số: Hai số là 5 và -4

Dạng 5: Lập phương trình khi biết nghiệm

Bài 5: Lập phương trình bậc 2 có hệ số nguyên với các nghiệm:

a) $x_1 = 1$, $x_2 = -5$

b) $x_1 = \dfrac{2}{3}$, $x_2 = -\dfrac{1}{2}$

Hướng dẫn giải:

Câu a) Nghiệm 1 và -5

• $S = 1 + (-5) = -4$
• $P = 1 \times (-5) = -5$
• Phương trình: $x^2 – Sx + P = 0$
• $x^2 – (-4)x + (-5) = 0$
• Đáp số: $x^2 + 4x – 5 = 0$

Câu b) Nghiệm $\frac{2}{3}$ và $-\frac{1}{2}$

• $S = \frac{2}{3} + (-\frac{1}{2}) = \frac{4 – 3}{6} = \frac{1}{6}$
• $P = \frac{2}{3} \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3}$
• Phương trình: $x^2 – \frac{1}{6}x – \frac{1}{3} = 0$
• Nhân với 6: $6x^2 – x – 2 = 0$
• Đáp số: $6x^2 – x – 2 = 0$

Dạng 6: Xét dấu nghiệm

Bài 6: Không giải phương trình, hãy xét dấu các nghiệm (nếu có):

a) $x^2 – 7x + 10 = 0$

b) $x^2 + 3x – 10 = 0$

c) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Hướng dẫn giải:

Câu a) $x^2 – 7x + 10 = 0$

• $\Delta = 49 – 40 = 9 > 0$ → Có 2 nghiệm
• $S = 7 > 0$, $P = 10 > 0$
• Kết luận: Cả hai nghiệm dương

Câu b) $x^2 + 3x – 10 = 0$

• $P = -10 < 0$
• Kết luận: Hai nghiệm trái dấu (một dương một âm)

Câu c) $x^2 + 5x + 6 = 0$

• $\Delta = 25 – 24 = 1 > 0$ → Có 2 nghiệm
• $S = -5 < 0$, $P = 6 > 0$
• Kết luận: Cả hai nghiệm âm

VII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về định lý Vi-ét – một trong những định lý quan trọng nhất trong đại số:

Định lý Vi-ét: Công cụ mạnh mẽ để giải phương trình bậc 2 và các bài toán liên quan

Công thức cốt lõi (chỉ 2 công thức!): $$\boxed{\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[0.5em] x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}}$$

6 ứng dụng quan trọng:

1. Nhẩm nghiệm nhanh
2. Tính tổng và tích nghiệm không cần giải
3. Tính biểu thức chứa nghiệm
4. Tìm hai số biết tổng và tích
5. Lập phương trình khi biết nghiệm
6. Xét dấu nghiệm

Bảng công thức mở rộng để tính các biểu thức phức tạp

Mẹo và kỹ thuật áp dụng hiệu quả, tránh sai lầm

6 dạng bài tập có hướng dẫn giải chi tiết

Xem thêm các chủ đề liên quan:

• [Công thức Delta – Giải phương trình bậc 2 chi tiết]
• [Công thức nghiệm phương trình bậc 2 đầy đủ]
• [Phương trình bậc 2 nâng cao – Bài toán tham số]
• [Bài tập phương trình bậc 2 có lời giải chi tiết]
• [Định lý Bezout – Phương trình bậc cao]
• [Hệ phương trình đối xứng]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa