I. GIỚI THIỆU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1. Hệ phương trình là gì?

Định nghĩa:

Hệ phương trình là một tập hợp gồm hai hoặc nhiều phương trình có chung các ẩn số. Nghiệm của hệ phương trình là bộ giá trị của các ẩn thỏa mãn đồng thời tất cả các phương trình trong hệ.

Ký hiệu hệ phương trình hai ẩn x, y:

$$\begin{cases} f(x, y) = 0 \\ g(x, y) = 0 \end{cases}$$

Trong đó $f(x, y)$ và $g(x, y)$ là các biểu thức chứa hai ẩn x và y.

Ví dụ đơn giản:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

Hệ này có nghiệm $(x, y) = (3, 2)$ vì:

• $3 + 2 = 5$ ✓ (thỏa mãn phương trình 1)
• $3 – 2 = 1$ ✓ (thỏa mãn phương trình 2)

Nghiệm của hệ phương trình:

• Là cặp giá trị $(x_0; y_0)$ thỏa mãn cả hai phương trình
• Về mặt hình học, nghiệm là tọa độ giao điểm của hai đồ thị

2. Phân loại hệ phương trình

Theo bậc của phương trình:

Hệ phương trình bậc nhất (tuyến tính): $$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$$

Ví dụ: $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x – y = 1 \end{cases}$

Hệ phương trình bậc hai: Chứa ít nhất một phương trình bậc hai

Ví dụ: $\begin{cases} x + y = 5 \ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$

Hệ phương trình bậc cao: Chứa phương trình bậc ba trở lên

Ví dụ: $\begin{cases} x + y = 4 \\ x^3 + y^3 = 28 \end{cases}$

Theo cấu trúc đặc biệt:

Hệ đối xứng loại 1: Khi đổi vai trò $x \leftrightarrow y$, hệ không thay đổi

Ví dụ: $\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

Hệ đối xứng loại 2: Khi đổi vai trò $x \leftrightarrow y$, hai phương trình đổi chỗ cho nhau

Ví dụ: $\begin{cases} x + y^2 = 7 \\ y + x^2 = 11 \end{cases}$

Hệ đẳng cấp: Các hạng tử trong mỗi phương trình có cùng bậc

Ví dụ: $\begin{cases} x^2 + xy = 10 \\ xy + y^2 = 6 \end{cases}$

Hệ đặc biệt: Chứa căn thức, phân thức, mũ, logarit…

Theo số nghiệm:

• Hệ có nghiệm duy nhất: Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm
• Hệ vô nghiệm: Hai đường thẳng song song
• Hệ vô số nghiệm: Hai đường thẳng trùng nhau

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết sẽ trình bày đầy đủ và chi tiết:

• 3 phương pháp cơ bản: Thế, Cộng đại số, Đặt ẩn phụ
• 2 dạng hệ đối xứng: Loại 1 và Loại 2
• Các dạng đặc biệt: Căn thức, giá trị tuyệt đối, mũ-logarit, bậc cao
• Bảng tổng hợp: Chọn phương pháp phù hợp cho từng dạng
• Lưu ý và mẹo: Tránh sai sót, giải nhanh trong thi

II. PHƯƠNG PHÁP THẾ

1. Ý tưởng của phương pháp

Phương pháp thế dựa trên nguyên tắc: từ một phương trình trong hệ, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại, sau đó thay (thế) biểu thức này vào phương trình kia để được một phương trình chỉ còn một ẩn.

Ưu điểm:

• Trực quan, dễ hiểu
• Áp dụng được cho nhiều dạng hệ
• Phù hợp khi một ẩn dễ rút ra

Nhược điểm:

• Có thể dẫn đến biểu thức phức tạp
• Tính toán có thể dài dòng

2. Các bước thực hiện

Bước 1: Chọn phương trình và rút ẩn

• Chọn một phương trình đơn giản (thường là phương trình có hệ số bằng 1 hoặc -1)
• Rút một ẩn theo ẩn còn lại

Bước 2: Thế vào phương trình còn lại

• Thay biểu thức vừa tìm được vào phương trình thứ hai
• Thu được phương trình một ẩn

Bước 3: Giải phương trình một ẩn

• Giải phương trình vừa thu được
• Tìm giá trị của ẩn thứ nhất

Bước 4: Tìm ẩn còn lại

• Thế giá trị vừa tìm được vào biểu thức ở Bước 1
• Tính giá trị ẩn thứ hai

Bước 5: Kết luận nghiệm

• Viết nghiệm dưới dạng cặp $(x; y)$
• Kiểm tra điều kiện (nếu có)

3. Khi nào nên dùng phương pháp thế?

✅ Nên dùng khi:

• Một phương trình có ẩn có hệ số bằng 1 hoặc -1
• Dễ dàng rút một ẩn theo ẩn kia mà không tạo ra phân thức phức tạp
• Hệ có dạng đơn giản, dễ biểu diễn
• Một phương trình đã được giải sẵn theo một ẩn

❌ Không nên dùng khi:

• Việc rút ẩn dẫn đến biểu thức chứa nhiều phân thức
• Xuất hiện nhiều căn thức phức tạp
• Hệ số của các ẩn đều lớn và không đẹp

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Hệ bậc nhất cơ bản): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + 2y = 7 \quad (1)\\ 3x – y = 5 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Từ phương trình (1), rút $x$ theo $y$: $$x = 7 – 2y \quad (*)$$

Bước 2: Thế (*) vào phương trình (2): $$3(7 – 2y) – y = 5$$

Bước 3: Giải phương trình với ẩn $y$: $$21 – 6y – y = 5$$ $$-7y = -16$$ $$y = \frac{16}{7}$$

Bước 4: Thế $y = \frac{16}{7}$ vào (*): $$x = 7 – 2 \cdot \frac{16}{7} = 7 – \frac{32}{7} = \frac{49 – 32}{7} = \frac{17}{7}$$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x, y) = \left(\frac{17}{7}, \frac{16}{7}\right)$

Ví dụ 2 (Hệ bậc hai): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + y = 5 \quad (1)\\ x^2 + y^2 = 13 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Từ phương trình (1): $$y = 5 – x \quad (*)$$

Bước 2: Thế (*) vào phương trình (2): $$x^2 + (5-x)^2 = 13$$

Bước 3: Khai triển và giải: $$x^2 + 25 – 10x + x^2 = 13$$ $$2x^2 – 10x + 25 – 13 = 0$$ $$2x^2 – 10x + 12 = 0$$ $$x^2 – 5x + 6 = 0$$

Phân tích thành nhân tử: $$(x – 2)(x – 3) = 0$$

Suy ra: $x = 2$ hoặc $x = 3$

Bước 4: Tìm $y$ tương ứng:

• Với $x = 2$: $y = 5 – 2 = 3$
• Với $x = 3$: $y = 5 – 3 = 2$

Kết luận: Hệ có hai nghiệm: $(x, y) = (2, 3)$ hoặc $(x, y) = (3, 2)$

Ví dụ 3 (Hệ chứa phân thức): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \quad (1)\\ \frac{1}{x} – \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Điều kiện: $x, y \neq 0$

Phương pháp: Đặt ẩn phụ để đơn giản hóa

Đặt $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$

Hệ trở thành: $$\begin{cases} u + v = \frac{5}{6} \quad (1′)\\ u – v = \frac{1}{6} \quad (2′) \end{cases}$$

Bước 1: Từ (1′): $$u = \frac{5}{6} – v$$

Bước 2: Thế vào (2′): $$\frac{5}{6} – v – v = \frac{1}{6}$$ $$-2v = \frac{1}{6} – \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$$ $$v = \frac{1}{3}$$

Bước 3: Tính $u$: $$u = \frac{5}{6} – \frac{1}{3} = \frac{5}{6} – \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Bước 4: Tìm $x, y$:

• $x = \frac{1}{u} = \frac{1}{1/2} = 2$
• $y = \frac{1}{v} = \frac{1}{1/3} = 3$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x, y) = (2, 3)$ (thỏa mãn điều kiện)

5. Lưu ý khi dùng phương pháp thế

⚠️ Chú ý 1: Điều kiện xác định

• Luôn kiểm tra và ghi rõ điều kiện nếu có mẫu, căn thức
• Nghiệm phải thỏa mãn điều kiện

⚠️ Chú ý 2: Khi thế vào

• Cần mở ngoặc cẩn thận, chú ý dấu
• Kiểm tra lại phép tính để tránh sai sót

⚠️ Chú ý 3: Hệ bậc cao

• Có thể có nhiều nghiệm
• Phải giải đầy đủ tất cả các trường hợp

⚠️ Chú ý 4: Kiểm tra nghiệm

• Nên thế nghiệm vào hệ ban đầu để kiểm tra
• Đảm bảo nghiệm thỏa mãn cả hai phương trình

III. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

1. Ý tưởng của phương pháp

Phương pháp cộng đại số (hay còn gọi là phương pháp khử) dựa trên nguyên tắc: nhân hai phương trình với các số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế theo vế để khử một ẩn, thu được phương trình một ẩn.

Ưu điểm:

• Đơn giản, trực tiếp
• Tránh được phân thức phức tạp
• Rất hiệu quả với hệ bậc nhất

Nhược điểm:

• Chủ yếu áp dụng cho hệ tuyến tính
• Cần xác định đúng số nhân

2. Các bước thực hiện

Bước 1: Chuẩn bị hệ số

• Nhân hai phương trình với các số thích hợp để hệ số của một ẩn ở hai phương trình bằng nhau (hoặc đối nhau)

Bước 2: Cộng hoặc trừ vế theo vế

• Nếu hệ số đối nhau: cộng vế theo vế
• Nếu hệ số bằng nhau: trừ vế theo vế
• Thu được phương trình một ẩn

Bước 3: Giải phương trình một ẩn

• Tìm giá trị của ẩn còn lại

Bước 4: Tìm ẩn đã khử

• Thế giá trị vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu
• Tính giá trị ẩn thứ hai

Bước 5: Kết luận nghiệm

• Viết nghiệm và kiểm tra (nếu cần)

3. Khi nào nên dùng phương pháp cộng?

✅ Nên dùng khi:

• Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• Hệ số của các ẩn dễ tạo thành cặp bằng nhau hoặc đối nhau
• Muốn tránh phân thức phức tạp khi rút ẩn
• Hệ số đẹp, dễ nhân để khử

❌ Không nên dùng khi:

• Hệ phi tuyến (bậc hai trở lên) phức tạp
• Các hệ số quá lớn, khó tìm bội chung
• Hệ có cấu trúc đặc biệt (đối xứng, đẳng cấp)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Hệ số đối nhau sẵn): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \quad (1)\\ x – 3y = 1 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Nhận xét: Hệ số của $y$ ở hai phương trình là $3$ và $-3$ (đối nhau)

Bước 1: Cộng vế theo vế hai phương trình: $$(2x + 3y) + (x – 3y) = 8 + 1$$ $$3x = 9$$ $$x = 3$$

Bước 2: Thế $x = 3$ vào phương trình (2): $$3 – 3y = 1$$ $$-3y = -2$$ $$y = \frac{2}{3}$$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x, y) = \left(3, \frac{2}{3}\right)$

Ví dụ 2 (Cần nhân để khử): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \quad (1)\\ 5x – 4y = 2 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Mục tiêu: Khử ẩn $y$

Bước 1: Nhân phương trình (1) với 2 để hệ số của $y$ đối nhau: $$\begin{cases} 6x + 4y = 24 \quad (1′)\\ 5x – 4y = 2 \quad (2) \end{cases}$$

Bước 2: Cộng vế theo vế (1′) và (2): $$(6x + 4y) + (5x – 4y) = 24 + 2$$ $$11x = 26$$ $$x = \frac{26}{11}$$

Bước 3: Thế $x = \frac{26}{11}$ vào phương trình (1): $$3 \cdot \frac{26}{11} + 2y = 12$$ $$\frac{78}{11} + 2y = 12$$ $$2y = 12 – \frac{78}{11} = \frac{132 – 78}{11} = \frac{54}{11}$$ $$y = \frac{27}{11}$$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x, y) = \left(\frac{26}{11}, \frac{27}{11}\right)$

Ví dụ 3 (Cộng và trừ song song): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + y = 7 \quad (1)\\ x – y = 3 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Phương pháp nhanh: Cộng và trừ song song

Cộng hai phương trình: $$(x + y) + (x – y) = 7 + 3$$ $$2x = 10$$ $$x = 5$$

Trừ hai phương trình: $$(x + y) – (x – y) = 7 – 3$$ $$2y = 4$$ $$y = 2$$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x, y) = (5, 2)$

Ví dụ 4 (Hệ có tham số): Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$$\begin{cases} 2x + my = 3 \quad (1)\\ x + y = 1 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Nhân phương trình (2) với 2: $$2x + 2y = 2 \quad (2′)$$

Bước 2: Trừ (1) cho (2′): $$(2x + my) – (2x + 2y) = 3 – 2$$ $$(m – 2)y = 1$$

Phân tích:

• Để hệ có nghiệm duy nhất, phương trình $(m – 2)y = 1$ phải có nghiệm duy nhất
• Điều kiện: $m – 2 \neq 0$

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m \neq 2$

5. Ưu điểm của phương pháp cộng

✅ Ưu điểm 1: Đơn giản, dễ thực hiện với hệ bậc nhất

✅ Ưu điểm 2: Tránh được phân thức phức tạp khi rút ẩn

✅ Ưu điểm 3: Dễ kiểm soát các phép tính

✅ Ưu điểm 4: Phù hợp để giải nhanh trong thi trắc nghiệm

✅ Ưu điểm 5: Có thể áp dụng cho hệ nhiều ẩn (mở rộng)

IV. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

1. Ý tưởng của phương pháp

Phương pháp đặt ẩn phụ là kỹ thuật đặt biểu thức phức tạp hoặc biểu thức lặp lại nhiều lần bằng một ẩn mới (ẩn phụ), từ đó biến đổi hệ phương trình phức tạp thành hệ đơn giản hơn, dễ giải hơn.

Ưu điểm:

• Đơn giản hóa hệ phức tạp
• Giúp nhận ra cấu trúc ẩn của bài toán
• Rất hiệu quả với nhiều dạng đặc biệt

Nhược điểm:

• Cần kinh nghiệm để nhận biết
• Phải chú ý điều kiện của ẩn phụ

2. Các dạng thường gặp

Dạng 1: Biểu thức lặp lại nhiều lần ($(x+y)$, $(x-y)$, $xy$…)

Dạng 2: Hệ chứa phân thức $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$

Dạng 3: Hệ chứa căn thức $\sqrt{x}$, $\sqrt{y}$

Dạng 4: Hệ đẳng cấp bậc 2

Dạng 5: Hệ có cấu trúc đặc biệt khác

3. Các bước thực hiện

Bước 1: Nhận dạng

• Quan sát và tìm biểu thức phù hợp để đặt ẩn phụ
• Xác định biểu thức lặp lại hoặc cấu trúc đặc biệt

Bước 2: Đặt ẩn phụ

• Đặt biểu thức đó bằng ẩn mới (thường là $u$, $v$, $t$…)
• Xác định điều kiện của ẩn phụ (nếu cần)

Bước 3: Biến đổi hệ

• Viết lại hệ ban đầu theo ẩn phụ
• Thu được hệ mới đơn giản hơn

Bước 4: Giải hệ mới

• Sử dụng các phương pháp đã học (thế, cộng…)
• Tìm giá trị ẩn phụ

Bước 5: Trở về ẩn ban đầu

• Từ giá trị ẩn phụ, tìm giá trị ẩn ban đầu

Bước 6: Kiểm tra và kết luận

• Kiểm tra điều kiện
• Viết nghiệm cuối cùng

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Hệ chứa phân thức): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 4 \quad (1)\\ \frac{1}{x} – \frac{2}{y} = -1 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Điều kiện: $x, y \neq 0$

Bước 1: Đặt ẩn phụ $$u = \frac{1}{x}, \quad v = \frac{1}{y}$$

Bước 2: Hệ trở thành: $$\begin{cases} 2u + 3v = 4 \quad (1′)\ u – 2v = -1 \quad (2′) \end{cases}$$

Bước 3: Từ (2′): $u = 2v – 1$

Bước 4: Thế vào (1′): $$2(2v – 1) + 3v = 4$$ $$4v – 2 + 3v = 4$$ $$7v = 6$$ $$v = \frac{6}{7}$$

Bước 5: Tính $u$: $$u = 2 \cdot \frac{6}{7} – 1 = \frac{12}{7} – 1 = \frac{5}{7}$$

Bước 6: Tìm $x, y$: $$x = \frac{1}{u} = \frac{7}{5}, \quad y = \frac{1}{v} = \frac{7}{6}$$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x, y) = \left(\frac{7}{5}, \frac{7}{6}\right)$ (thỏa mãn điều kiện)

Ví dụ 2 (Hệ chứa căn): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \quad (1)\ \sqrt{x} – \sqrt{y} = 1 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Điều kiện: $x, y \geq 0$

Bước 1: Đặt ẩn phụ $$u = \sqrt{x}, \quad v = \sqrt{y} \quad (u, v \geq 0)$$

Bước 2: Hệ trở thành: $$\begin{cases} u + v = 5 \ u – v = 1 \end{cases}$$

Bước 3: Cộng hai phương trình: $$2u = 6 \Rightarrow u = 3$$

Bước 4: Trừ hai phương trình: $$2v = 4 \Rightarrow v = 2$$

Bước 5: Tìm $x, y$: $$x = u^2 = 9, \quad y = v^2 = 4$$

Kiểm tra điều kiện: $x = 9 \geq 0$ ✓, $y = 4 \geq 0$ ✓

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x, y) = (9, 4)$

Ví dụ 3 (Biểu thức lặp lại): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} (x+y)^2 + (x+y) = 6 \quad (1)\\ (x+y)(x-y) = 8 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Đặt ẩn phụ $$u = x + y, \quad v = x – y$$

Bước 2: Hệ trở thành: $$\begin{cases} 2u + 3v = 4 \quad (1′)\\ u – 2v = -1 \quad (2′) \end{cases}$$

Bước 3: Từ (1′): $$u^2 + u – 6 = 0$$ $$(u + 3)(u – 2) = 0$$ $$u = -3 \text{ hoặc } u = 2$$

Bước 4: Tìm $v$ tương ứng:

• Với $u = 2$: $v = \frac{8}{2} = 4$
• Với $u = -3$: $v = \frac{8}{-3} = -\frac{8}{3}$

Bước 5: Tìm $x, y$:

Trường hợp 1: $\begin{cases} x + y = 2 \ x – y = 4 \end{cases}$

• Cộng: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$
• Trừ: $2y = -2 \Rightarrow y = -1$
• Nghiệm: $(3, -1)$

Trường hợp 2: $\begin{cases} x + y = -3 \ x – y = -\frac{8}{3} \end{cases}$

• Cộng: $2x = -3 – \frac{8}{3} = -\frac{17}{3} \Rightarrow x = -\frac{17}{6}$
• Trừ: $2y = -3 + \frac{8}{3} = -\frac{1}{3} \Rightarrow y = -\frac{1}{6}$
• Nghiệm: $\left(-\frac{17}{6}, -\frac{1}{6}\right)$

Kết luận: Hệ có hai nghiệm: $(x, y) = (3, -1)$ hoặc $\left(-\frac{17}{6}, -\frac{1}{6}\right)$

Ví dụ 4 (Hệ đẳng cấp): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7 \quad (1)\\ x^2 – xy + y^2 = 3 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Đặt ẩn phụ $$u = x^2 + y^2, \quad v = xy$$

Bước 2: Hệ trở thành: $$\begin{cases} u + v = 7 \\ u – v = 3 \end{cases}$$

Bước 3: Giải hệ:

• Cộng: $2u = 10 \Rightarrow u = 5$
• Trừ: $2v = 4 \Rightarrow v = 2$

Bước 4: Ta có: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ xy = 2 \end{cases}$$

Bước 5: $x, y$ là nghiệm của phương trình: $$t^2 – (x+y)t + xy = 0$$

Tính $(x + y)^2$: $$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 5 + 4 = 9$$ $$\Rightarrow x + y = 3 \text{ hoặc } x + y = -3$$

Trường hợp 1: $\begin{cases} x + y = 3 \\ xy = 2 \end{cases}$

• Phương trình: $t^2 – 3t + 2 = 0$
• $(t – 1)(t – 2) = 0$
• Nghiệm: $(x, y) = (1, 2)$ hoặc $(2, 1)$

Trường hợp 2: $\begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 2 \end{cases}$

• Phương trình: $t^2 + 3t + 2 = 0$
• $(t + 1)(t + 2) = 0$
• Nghiệm: $(x, y) = (-1, -2)$ hoặc $(-2, -1)$

Kết luận: Hệ có 4 nghiệm: $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(-1, -2)$, $(-2, -1)$

5. Khi nào nên dùng đặt ẩn phụ?

✅ Khi có biểu thức lặp lại nhiều lần trong hệ

✅ Hệ chứa phân thức $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ → Đặt $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$

✅ Hệ chứa căn thức $\sqrt{x}$, $\sqrt{y}$ → Đặt $u = \sqrt{x}$, $v = \sqrt{y}$

✅ Hệ đẳng cấp bậc 2 → Đặt $u = x^2 + y^2$, $v = xy$

✅ Cấu trúc đặc biệt như $(x+y)$, $(x-y)$, $(xy)$ xuất hiện nhiều lần

V. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1

1. Định nghĩa

Hệ đối xứng loại 1 là hệ phương trình mà khi đổi vai trò $x \leftrightarrow y$, hệ không thay đổi.

Dạng tổng quát:

$$\begin{cases} f(x, y) = f(y, x) \\ g(x, y) = g(y, x) \end{cases}$$

Đặc điểm nhận biết:

• Các phương trình đều đối xứng qua $x$ và $y$
• Nếu $(x_0, y_0)$ là nghiệm thì $(y_0, x_0)$ cũng là nghiệm

Ví dụ điển hình:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases}$$

2. Phương pháp giải

Phương pháp tổng quát để giải hệ đối xứng loại 1:

Bước 1: Đặt $S = x + y$ (tổng) và $P = xy$ (tích)

Bước 2: Biến đổi các phương trình trong hệ theo $S$ và $P$

Bước 3: Giải hệ mới với ẩn $S$ và $P$

Bước 4: Sau khi tìm được $S$ và $P$, ta có: $x, y$ là nghiệm của phương trình bậc hai:

$$t^2 – St + P = 0$$

Bước 5: Giải phương trình bậc hai và kết luận nghiệm

3. Công thức cần nhớ

Các hằng đẳng thức biểu diễn theo $S$ và $P$:

• $x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = S^2 – 2P$
• $x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y) = S^3 – 3PS$
• $(x – y)^2 = (x + y)^2 – 4xy = S^2 – 4P$
• $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 – 2(xy)^2 = (S^2 – 2P)^2 – 2P^2$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Cơ bản): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + y = 7 \\ xy = 12 \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Đặt $S = x + y = 7$ và $P = xy = 12$

Bước 2: $x, y$ là nghiệm của phương trình: $$t^2 – 7t + 12 = 0$$

Bước 3: Phân tích: $$(t – 3)(t – 4) = 0$$ $$t = 3 \text{ hoặc } t = 4$$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x, y) = (3, 4)$ hoặc $(4, 3)$

Ví dụ 2 (Có biến đổi): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Từ $x^2 + y^2 = 25$ và $xy = 12$

Ta có: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 25 + 24 = 49$

Suy ra: $x + y = 7$ hoặc $x + y = -7$

Trường hợp 1: $S = 7$, $P = 12$

• Phương trình: $t^2 – 7t + 12 = 0$
• $(t – 3)(t – 4) = 0$
• Nghiệm: $(3, 4)$ hoặc $(4, 3)$

Trường hợp 2: $S = -7$, $P = 12$

• Phương trình: $t^2 + 7t + 12 = 0$
• $(t + 3)(t + 4) = 0$
• $t = -3$ hoặc $t = -4$
• Nghiệm: $(-3, -4)$ hoặc $(-4, -3)$

Kết luận: Hệ có 4 nghiệm: $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(-3, -4)$, $(-4, -3)$

Ví dụ 3 (Bậc cao): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x + y = 5 \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Đặt $S = x + y = 5$

Bước 2: Sử dụng công thức $x^3 + y^3 = S^3 – 3PS$: $$35 = 5^3 – 3P \cdot 5$$ $$35 = 125 – 15P$$ $$15P = 90$$ $$P = 6$$

Bước 3: $x, y$ là nghiệm của: $$t^2 – 5t + 6 = 0$$ $$(t – 2)(t – 3) = 0$$

Kết luận: Hệ có nghiệm $(x, y) = (2, 3)$ hoặc $(3, 2)$

VI. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2

1. Định nghĩa

Hệ đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:

$$\begin{cases} f(x, y) = f(y, x) \\ g(x, y) = g(y, x) \end{cases}$$

Khi đổi vai trò $x \leftrightarrow y$, phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại.

Đặc điểm nhận biết:

• Hai phương trình có cấu trúc giống nhau nhưng đổi vai trò $x$ và $y$
• Nếu $(x_0, y_0)$ là nghiệm thì $(y_0, x_0)$ cũng là nghiệm

Ví dụ:

$$\begin{cases} x + y^2 = 7 \\ y + x^2 = 11 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x^2 + y = 3 \\ y^2 + x = 3 \end{cases}$$

2. Phương pháp giải

Cách 1: Trừ vế theo vế

Bước 1: Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2)

Bước 2: Phân tích thành nhân tử, thường được: $$(x – y) \cdot (\text{biểu thức}) = 0$$

Bước 3: Giải hai trường hợp:

• TH1: $x = y$ → Thế vào hệ ban đầu
• TH2: Giải điều kiện còn lại

Cách 2: Cộng và trừ để tạo hệ đối xứng loại 1

Bước 1: Cộng hai phương trình

Bước 2: Trừ hai phương trình

Bước 3: Đặt $S = x + y$, $P = xy$ hoặc biến đổi phù hợp

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Trừ vế): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + y^2 = 6 \quad (1) \\ y + x^2 = 6 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Trừ (1) cho (2): $$(x + y^2) – (y + x^2) = 0$$ $$x – y + y^2 – x^2 = 0$$ $$(x – y) – (x^2 – y^2) = 0$$ $$(x – y) – (x – y)(x + y) = 0$$ $$(x – y)[1 – (x + y)] = 0$$

Bước 2: Giải hai trường hợp:

TH1: $x = y$

• Thế vào (1): $x + x^2 = 6$
• $x^2 + x – 6 = 0$
• $(x + 3)(x – 2) = 0$
• $x = 2$ hoặc $x = -3$
• Nghiệm: $(2, 2)$ và $(-3, -3)$

TH2: $x + y = 1$

• Từ (1): $x + y^2 = 6$ và $x = 1 – y$
• Thế: $(1 – y) + y^2 = 6$
• $y^2 – y – 5 = 0$
• $y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$
• Với $y = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$: $x = \frac{1 – \sqrt{21}}{2}$
• Với $y = \frac{1 – \sqrt{21}}{2}$: $x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$

Kết luận: Hệ có 4 nghiệm:

• $(2, 2)$, $(-3, -3)$
• $\left(\frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{1 – \sqrt{21}}{2}\right)$
• $\left(\frac{1 – \sqrt{21}}{2}, \frac{1 + \sqrt{21}}{2}\right)$

Ví dụ 2 (Cộng trừ): Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x^2 + y = 3 \quad (1)\\ y^2 + x = 3 \quad (2) \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Cộng hai phương trình: $$x^2 + y^2 + x + y = 6 \quad (*)$$

Bước 2: Trừ (1) cho (2): $$x^2 – y^2 + y – x = 0$$ $$(x – y)(x + y) – (x – y) = 0$$ $$(x – y)(x + y – 1) = 0$$

Bước 3: Giải:

TH1: $x = y$

• Thế vào (1): $x^2 + x = 3$
• $x^2 + x – 3 = 0$
• $x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$

TH2: $x + y = 1$

• Kết hợp với (*): $x^2 + y^2 + 1 = 6$
• $x^2 + y^2 = 5$
• Giải hệ đối xứng loại 1…

VII. CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT

1. Hệ chứa căn thức

Phương pháp:

• Đặt ẩn phụ cho biểu thức trong căn
• Bình phương hai vế (chú ý điều kiện)
• Sử dụng phương pháp nhân liên hợp nếu cần

Ví dụ: Giải hệ:

$$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \\ x + y = 10 \end{cases}$$

Lời giải:

• Điều kiện: $x, y \geq 0$
• Đặt $u = \sqrt{x}, v = \sqrt{y}$ (với $u, v \geq 0$)
• Hệ trở thành: $\begin{cases} u + v = 4 \ u^2 + v^2 = 10 \end{cases}$
• $(u + v)^2 = 16 \Rightarrow u^2 + v^2 + 2uv = 16$
• $10 + 2uv = 16 \Rightarrow uv = 3$
• $u, v$ là nghiệm: $t^2 – 4t + 3 = 0$
• $(t – 1)(t – 3) = 0 \Rightarrow t = 1$ hoặc $t = 3$
• Nghiệm: $(x, y) = (1, 9)$ hoặc $(9, 1)$

2. Hệ chứa giá trị tuyệt đối

Phương pháp:

• Xét dấu các biểu thức trong giá trị tuyệt đối
• Chia thành các trường hợp
• Giải từng trường hợp và kiểm tra điều kiện

Ví dụ: Giải hệ:

$$\begin{cases} |x| + |y| = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$$

Lời giải:

• TH1: $x \geq 0, y \geq 0$: $x + y = 5$ và $x + y = 3$ (vô lý)
• TH2: $x \geq 0, y < 0$: $x – y = 5$ và $x + y = 3$
  • Cộng: $2x = 8 \Rightarrow x = 4$
  • Trừ: $-2y = 2 \Rightarrow y = -1$
  • Nghiệm: $(4, -1)$ (thỏa mãn $x \geq 0, y < 0$) ✓
• TH3: $x < 0, y \geq 0$: $-x + y = 5$ và $x + y = 3$
  • Cộng: $2y = 8 \Rightarrow y = 4$
  • Trừ: $2x = -2 \Rightarrow x = -1$
  • Nghiệm: $(-1, 4)$ (thỏa mãn $x < 0, y \geq 0$) ✓
• TH4: $x < 0, y < 0$: $-x – y = 5$ và $x + y = 3$ (vô lý)
• Nghiệm: $(4, -1)$ và $(-1, 4)$

3. Hệ mũ – logarit

Phương pháp:

• Đưa về cùng cơ số
• Đặt ẩn phụ cho số mũ
• Sử dụng tính chất logarit

Ví dụ cơ bản: Giải hệ:

$$\begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 12 \\ x + y = 3 \end{cases}$$

Lời giải:

• $2^x \cdot 3^y = 12 = 2^2 \cdot 3^1$
• Nếu $2^x = 2^2$ và $3^y = 3^1$ thì $x = 2, y = 1$
• Kiểm tra: $x + y = 2 + 1 = 3$ ✓
• Nghiệm: $(x, y) = (2, 1)$

4. Hệ phương trình bậc 3, bậc 4

Phương pháp:

• Phân tích thành nhân tử
• Đặt ẩn phụ cho biểu thức lặp lại
• Sử dụng hệ đối xứng nếu có

Ví dụ: Giải hệ:

$$\begin{cases} x^3 + y^3 = 28 \\ x + y = 4 \end{cases}$$

Lời giải:

• Sử dụng: $x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)$
• $28 = 4^3 – 3xy \cdot 4$
• $28 = 64 – 12xy$
• $12xy = 36 \Rightarrow xy = 3$
• Hệ đối xứng loại 1: $\begin{cases} x + y = 4 \ xy = 3 \end{cases}$
• $x, y$ là nghiệm: $t^2 – 4t + 3 = 0$
• $(t – 1)(t – 3) = 0$
• Nghiệm: $(x, y) = (1, 3)$ hoặc $(3, 1)$

VIII. BẢNG TỔNG HỢP CHỌN PHƯƠNG PHÁP

Sơ đồ tư duy chọn phương pháp

Đọc đề bài
    ↓
Quan sát cấu trúc hệ
    ↓
Có đối xứng? → Có → Loại 1 hay Loại 2?
    ↓                     ↓
  Không              Loại 1: Đặt S, P
    ↓                Loại 2: Trừ vế
Có biểu thức lặp lại?
    ↓
  Có → Đặt ẩn phụ
    ↓
Không
    ↓
Dễ rút ẩn? → Có → Phương pháp thế
    ↓
  Không
    ↓
Hệ số dễ khử? → Có → Phương pháp cộng
    ↓
  Không
    ↓
Biến đổi sáng tạo

Thứ tự ưu tiên kiểm tra

1. Kiểm tra hệ đối xứng → Dùng $S, P$ hoặc trừ vế
2. Tìm biểu thức lặp lại → Đặt ẩn phụ
3. Xem có dễ rút ẩn không → Phương pháp thế
4. Hệ số dễ khử → Phương pháp cộng
5. Không có điều trên → Biến đổi sáng tạo hoặc kết hợp nhiều phương pháp

IX. LƯU Ý VÀ MẸO KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1. Lưu ý về điều kiện xác định

⚠️ Luôn kiểm tra điều kiện:

Mẫu thức: Mẫu số phải khác 0

Ví dụ: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$ → Điều kiện: $x, y \neq 0$

Căn thức bậc chẵn: Biểu thức trong căn phải $\geq 0$

Ví dụ: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ → Điều kiện: $x, y \geq 0$

Logarit:

• Cơ số và biểu thức trong log phải $> 0$
• Cơ số phải khác 1

Ví dụ: $\log_2(x) = 3$ → Điều kiện: $x > 0$

Mũ với số mũ 0: Cơ số phải khác 0

Ví dụ: $x^0 = 1$ → Điều kiện: $x \neq 0$

Lưu ý quan trọng:

• Ghi điều kiện ngay từ đầu bài
• Nghiệm tìm được phải thỏa mãn điều kiện
• Loại bỏ nghiệm không thỏa mãn

2. Lưu ý về miền giá trị

Khi đặt ẩn phụ, phải chú ý miền xác định của ẩn mới:

Ví dụ 1: Đặt $u = \sqrt{x}$ thì $u \geq 0$

Ví dụ 2: Đặt $u = \frac{1}{x}$ thì $u \neq 0$

Ví dụ 3: Đặt $u = \log_2 x$ thì $u \in \mathbb{R}$

Cảnh báo: Quên điều kiện của ẩn phụ có thể dẫn đến nghiệm thừa!

3. Kỹ thuật biến đổi

Mẹo 1: Nhóm hạng tử thông minh

Nhóm các hạng tử để xuất hiện $(x + y)$, $(x – y)$, $xy$

Ví dụ: $x^2 + y^2 + x + y = 7$ Có thể viết: $(x^2 + y^2) + (x + y) = 7$

Mẹo 2: Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức

Thêm bớt cùng một số để xuất hiện bình phương hoàn hảo

Ví dụ: $x^2 + y^2 + 2x + 2y = 10$ $\Rightarrow (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 12$ $\Rightarrow (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 12$

Mẹo 3: Nhân liên hợp

Khử căn thức bằng cách nhân với biểu thức liên hợp

Ví dụ: $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x} – \sqrt{y}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} – \sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x} – \sqrt{y}}{x – y}$

Mẹo 4: Chia cả hai vế

Đối với hệ đẳng cấp, có thể chia cho $x^n$ hoặc $y^n$ (với điều kiện $\neq 0$)

Ví dụ: Hệ $\begin{cases} x^2 + xy = 10 \ xy + y^2 = 6 \end{cases}$

Chia cả hai vế cho $y^2$ (với $y \neq 0$), đặt $t = \frac{x}{y}$

4. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Quên kiểm tra điều kiện

Sai: Giải xong rồi ghi luôn nghiệm mà không kiểm tra điều kiện

Đúng: Luôn kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện ban đầu không

Ví dụ: $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Nếu tìm được $x = 0$ thì phải loại vì không thỏa mãn $x \neq 0$

❌ Sai lầm 2: Bỏ sót nghiệm

Sai: Khi có phương trình tích, chỉ xét một trường hợp

Đúng: Phải xét tất cả các trường hợp

Ví dụ: $(x – y)(x + y – 1) = 0$

Phải xét cả $x = y$ VÀ $x + y = 1$

❌ Sai lầm 3: Chia hai vế cho biểu thức chứa ẩn

Sai: Chia hai vế cho $(x – y)$ mà không xét trường hợp $x = y$

Đúng: Phải xét riêng trường hợp biểu thức đó bằng 0

Ví dụ: Từ $(x – y)(x + y) = (x – y) \cdot 5$

Không được chia ngay cho $(x – y)$, phải xét $x = y$ trước!

❌ Sai lầm 4: Không kiểm tra lại nghiệm

Sai: Tìm được nghiệm rồi ghi luôn, không thế vào kiểm tra

Đúng: Luôn thế nghiệm vào hệ ban đầu để chắc chắn

❌ Sai lầm 5: Nhầm lẫn giữa hai loại đối xứng

Sai: Nhầm hệ đối xứng loại 2 với loại 1

Đúng:

• Loại 1: Đổi $x \leftrightarrow y$, hệ KHÔNG ĐỔI → Đặt $S, P$
• Loại 2: Đổi $x \leftrightarrow y$, hai PT đổi chỗ → Trừ vế

5. Mẹo làm nhanh

✅ Với hệ đối xứng loại 1:

Nhìn thấy $x + y$ và $xy$ xuất hiện → Nghĩ ngay đến đặt $S, P$

Công thức vàng: $\begin{cases} x + y = S \\ xy = P \end{cases} \Rightarrow t^2 – St + P = 0$

✅ Với hệ đối xứng loại 2:

Trừ vế theo vế ngay để xuất hiện $(x – y)$

Kỹ thuật: Trừ vế → Phân tích nhân tử → Xét $x = y$ và điều kiện còn lại

✅ Với hệ chứa phân thức:

Đặt $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$ ngay từ đầu

Không cần quy đồng, chỉ cần đặt ẩn phụ!

✅ Với hệ chứa căn thức:

Có hai lựa chọn: Bình phương hoặc đặt ẩn phụ

Bình phương: Khi một vế đơn giản

Đặt ẩn phụ: Khi có $\sqrt{x}$, $\sqrt{y}$ riêng rẽ

✅ Nhận biết nhanh trong 5 giây:

1. Đọc đề (3 giây)
2. Nhận dạng dạng (2 giây)
3. Chọn phương pháp (tức thì)
4. Thực hiện

6. Chiến lược trong thi cử

📝 Phân bổ thời gian:

Đọc đề: 10-15 giây

• Đọc kỹ, gạch chân từ khóa
• Xác định điều kiện

Nhận dạng: 5-10 giây

• Dạng gì? Đối xứng? Đặc biệt?
• Chọn phương pháp phù hợp

Giải: 2-3 phút

• Thực hiện từng bước
• Ghi rõ ràng, mạch lạc

Kiểm tra: 30 giây

• Thế nghiệm vào kiểm tra
• Xem có sót trường hợp không

📝 Thứ tự làm bài:

Bước 1: Làm câu dễ trước

• Phương pháp thế, cộng đơn giản
• Hệ bậc nhất cơ bản

Bước 2: Làm câu trung bình

• Hệ đối xứng loại 1
• Đặt ẩn phụ đơn giản

Bước 3: Làm câu khó sau

• Hệ đối xứng loại 2
• Hệ đặc biệt phức tạp

📝 Khi bí:

Chiến lược 1: Thử cả 3 phương pháp cơ bản

• Thế được không?
• Cộng được không?
• Đặt ẩn phụ được không?

Chiến lược 2: Nhìn lại đề xem có manh mối

• Có số đặc biệt không? (0, 1, -1)
• Có cấu trúc đặc biệt không?

Chiến lược 3: Bỏ qua tạm thời

• Làm câu khác trước
• Quay lại sau khi đầu óc tỉnh táo hơn

📝 Tips ghi điểm:

✅ Ghi rõ điều kiện (nếu có) → Được điểm

✅ Trình bày rõ ràng từng bước → Điểm quá trình

✅ Kết luận đúng định dạng → Điểm hoàn chỉnh

✅ Kiểm tra nghiệm → Tránh mất điểm oan

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình từ cơ bản đến nâng cao:

3 phương pháp cơ bản:

• Phương pháp thế: Rút ẩn từ một phương trình, thế vào phương trình còn lại
• Phương pháp cộng đại số: Nhân rồi cộng/trừ vế theo vế để khử ẩn
• Phương pháp đặt ẩn phụ: Đơn giản hóa hệ phức tạp bằng ẩn mới

2 dạng hệ đối xứng quan trọng:

• Loại 1: Đổi $x \leftrightarrow y$ không đổi → Đặt $S = x + y$, $P = xy$
• Loại 2: Đổi $x \leftrightarrow y$ hai PT đổi chỗ → Trừ vế theo vế

Các dạng đặc biệt:

• Hệ chứa căn thức: Đặt ẩn phụ hoặc bình phương
• Hệ chứa giá trị tuyệt đối: Xét dấu từng trường hợp
• Hệ mũ – logarit: Đưa về cùng cơ số
• Hệ bậc cao: Phân tích nhân tử, sử dụng hằng đẳng thức

Bảng tổng hợp: Chọn phương pháp nhanh cho từng dạng hệ

Lưu ý và mẹo:

• 5 sai lầm thường gặp và cách tránh
• 5 mẹo làm nhanh trong thi
• Chiến lược phân bổ thời gian

Lời kết

Hệ phương trình là một trong những chủ đề quan trọng nhất trong chương trình Toán THPT. Việc nắm vững các phương pháp giải không chỉ giúp bạn đạt điểm cao trong các kỳ thi mà còn rèn luyện tư duy logic, kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề – những kỹ năng cần thiết cho cả cuộc sống và sự nghiệp sau này.

Hãy nhớ: Không có con đường tắt để thành công. Chỉ có thực hành đều đặn, kiên trì và phương pháp học tập đúng đắn mới giúp bạn chinh phục được hệ phương trình.

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa