I. GIỚI THIỆU VỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. Đường thẳng là gì?

Định nghĩa:

Trong hình học phẳng, đường thẳng là tập hợp vô hạn các điểm thẳng hàng, không có điểm đầu và điểm cuối. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi đường thẳng được xác định bởi một phương trình toán học thể hiện mối quan hệ giữa hoành độ x và tung độ y của các điểm thuộc đường thẳng đó.

Các yếu tố xác định đường thẳng:

Một đường thẳng được xác định duy nhất khi biết:

1. Hai điểm phân biệt: Cho hai điểm $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ với $A \neq B$, có duy nhất một đường thẳng đi qua cả hai điểm.

2. Một điểm và một vector chỉ phương: Cho điểm $M_0(x_0, y_0)$ và vector chỉ phương $\vec{u} = (a, b) \neq \vec{0}$.

3. Một điểm và một vector pháp tuyến: Cho điểm $M_0(x_0, y_0)$ và vector pháp tuyến $\vec{n} = (A, B) \neq \vec{0}$.

4. Hệ số góc k và một điểm: Cho hệ số góc $k$ và điểm $M_0(x_0, y_0)$.

5. Giao với hai trục tọa độ: Cho giao điểm với Ox tại $(a, 0)$ và giao điểm với Oy tại $(0, b)$.

2. Vector chỉ phương và vector pháp tuyến

Vector chỉ phương (VTCP) $\vec{u}$:

Định nghĩa: Vector chỉ phương của đường thẳng là vector khác $\vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

Ký hiệu: $\vec{u} = (a, b)$ hoặc $\vec{u} = (u_1, u_2)$

Đặc điểm quan trọng:

• Nếu $\vec{u} = (a, b)$ là VTCP thì $k\vec{u} = (ka, kb)$ cũng là VTCP với mọi $k \neq 0$
• Một đường thẳng có vô số VTCP
• Nếu đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ thì $\overrightarrow{AB} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)$ là một VTCP

Vector pháp tuyến (VTPT) $\vec{n}$:

Định nghĩa: Vector pháp tuyến của đường thẳng là vector khác $\vec{0}$ vuông góc với đường thẳng đó.

Ký hiệu: $\vec{n} = (A, B)$ hoặc $\vec{n} = (a, b)$

Đặc điểm quan trọng:

• Nếu $\vec{n} = (A, B)$ là VTPT thì $k\vec{n} = (kA, kB)$ cũng là VTPT với mọi $k \neq 0$
• Một đường thẳng có vô số VTPT

Mối quan hệ giữa VTCP và VTPT:

Điều kiện vuông góc: $$\vec{u} \perp \vec{n} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{n} = 0$$

Công thức chuyển đổi:

• Nếu $\vec{u} = (a, b)$ là VTCP thì $\vec{n} = (-b, a)$ hoặc $(b, -a)$ là VTPT
• Nếu $\vec{n} = (A, B)$ là VTPT thì $\vec{u} = (-B, A)$ hoặc $(B, -A)$ là VTCP

Quy tắc nhớ: “Đổi chỗ, đổi dấu một số”

3. Hệ số góc của đường thẳng

Định nghĩa hệ số góc k:

Hệ số góc (slope) của đường thẳng, ký hiệu là $k$, là tang của góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng với chiều dương của trục Ox:

$$k = \tan \alpha$$

Với $\alpha$ là góc hợp bởi đường thẳng và chiều dương trục Ox, đo ngược chiều kim đồng hồ.

Ý nghĩa hình học của k:

Khi $k > 0$:

• Đường thẳng tạo góc nhọn với trục Ox ($0° < \alpha < 90°$)
• Đường thẳng “đi lên” từ trái sang phải
• Khi x tăng thì y cũng tăng

Khi $k < 0$:

• Đường thẳng tạo góc tù với trục Ox ($90° < \alpha < 180°$)
• Đường thẳng “đi xuống” từ trái sang phải
• Khi x tăng thì y giảm

Khi $k = 0$:

• Góc $\alpha = 0°$
• Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox
• Phương trình có dạng $y = m$ (hằng số)

Khi k không xác định:

• Góc $\alpha = 90°$
• Đường thẳng vuông góc với trục Ox (song song hoặc trùng với trục Oy)
• Phương trình có dạng $x = c$ (hằng số)

Ý nghĩa thực tế:

• Trong kỹ thuật: k thể hiện độ dốc của đường (độ nghiêng)
• Trong kinh tế: k là tốc độ thay đổi (tỷ lệ biến thiên)
• Trong vật lý: k là vận tốc trong bài toán chuyển động thẳng đều

4. Cấu trúc bài viết

Bài viết sẽ trình bày đầy đủ và hệ thống:

• 5 dạng phương trình đường thẳng cơ bản: Tổng quát, Tham số, Chính tắc, Hệ số góc, Đoạn chắn
• Công thức tính hệ số góc k: 5 công thức khác nhau tùy dữ kiện
• Chuyển đổi giữa các dạng: Bảng chuyển đổi chi tiết
• Các bài toán thường gặp: Viết phương trình, tìm giao điểm, khoảng cách, vị trí tương đối
• Mẹo nhớ và lưu ý: Tránh sai sót, giải nhanh

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Tổng quan 5 dạng phương trình

Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ có thể được biểu diễn bằng nhiều dạng phương trình khác nhau. Mỗi dạng có ưu điểm riêng và phù hợp với từng loại bài toán cụ thể.

Mối quan hệ giữa các yếu tố

Cho đường thẳng $d$:

• Đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$
• Có VTCP: $\vec{u} = (a, b)$
• Có VTPT: $\vec{n} = (A, B)$

Quan hệ quan trọng:

1. Nếu $\vec{u} = (a, b)$ là VTCP thì $\vec{n} = (-b, a)$ hoặc $(b, -a)$ là VTPT
2. Hệ số góc được tính theo VTCP: $k = \frac{b}{a}$ (nếu $a \neq 0$)
3. Hệ số góc được tính theo VTPT: $k = -\frac{A}{B}$ (nếu $B \neq 0$)
4. Quan hệ: $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ (vuông góc)

III. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT

1. Định nghĩa và dạng chuẩn

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

$$\boxed{Ax + By + C = 0}$$

Trong đó:

• $A$, $B$, $C$ là các số thực (hằng số)
• $A^2 + B^2 \neq 0$ (A và B không đồng thời bằng 0)
• $x$, $y$ là tọa độ điểm trên đường thẳng (biến số)

Vector pháp tuyến: $\vec{n} = (A, B)$

Đặc điểm:

• Đây là dạng tổng quát nhất
• Mọi đường thẳng trong mặt phẳng đều viết được dưới dạng này
• Dễ xác định VTPT

2. Cách lập phương trình tổng quát

Cách 1: Biết một điểm và VTPT

Đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ và có VTPT $\vec{n} = (A, B)$:

$$\boxed{A(x – x_0) + B(y – y_0) = 0}$$

Khai triển: $Ax – Ax_0 + By – By_0 = 0$

Đặt $C = -Ax_0 – By_0$, ta được: $Ax + By + C = 0$

Cách 2: Biết hai điểm

Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$:

Bước 1: Tìm VTCP: $\vec{AB} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)$

Bước 2: Tìm VTPT: $\vec{n} = (y_2 – y_1, -(x_2 – x_1))$ hoặc $(y_1 – y_2, x_2 – x_1)$

Bước 3: Viết phương trình qua A (hoặc B) với VTPT vừa tìm được

Cách 3: Từ phương trình dạng khác chuyển về

Sẽ được trình bày chi tiết ở phần VIII – Chuyển đổi giữa các dạng

3. Các trường hợp đặc biệt

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Biết điểm và VTPT): Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $M(2, -3)$ và có VTPT $\vec{n} = (1, 2)$.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$A(x – x_0) + B(y – y_0) = 0$$

Với $A = 1$, $B = 2$, $x_0 = 2$, $y_0 = -3$: $$1(x – 2) + 2(y – (-3)) = 0$$ $$x – 2 + 2(y + 3) = 0$$ $$x – 2 + 2y + 6 = 0$$ $$x + 2y + 4 = 0$$

Kết luận: Phương trình đường thẳng là $x + 2y + 4 = 0$

Ví dụ 2 (Biết hai điểm): Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $A(1, 2)$ và $B(3, -4)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm VTCP $$\vec{AB} = (3 – 1, -4 – 2) = (2, -6)$$

Bước 2: Tìm VTPT

Từ VTCP $(2, -6)$, ta có VTPT: $\vec{n} = (-6, -2)$

Hoặc rút gọn: $\vec{n} = (3, 1)$ (chia cho -2)

Bước 3: Viết phương trình qua A với VTPT $(3, 1)$: $$3(x – 1) + 1(y – 2) = 0$$ $$3x – 3 + y – 2 = 0$$ $$3x + y – 5 = 0$$

Kết luận: Phương trình đường thẳng là $3x + y – 5 = 0$

Ví dụ 3 (Đường thẳng đặc biệt): Viết phương trình đường thẳng:

a) Đi qua điểm $M(2, 3)$ và song song với trục Ox

b) Đi qua điểm $N(-1, 4)$ và song song với trục Oy

Lời giải:

Câu a: Đường thẳng song song với Ox

• VTPT của Ox là $(0, 1)$ (vuông góc với Ox)
• Phương trình qua M: $0(x – 2) + 1(y – 3) = 0$
• $y – 3 = 0$ hay $y = 3$

Câu b: Đường thẳng song song với Oy

• VTPT của Oy là $(1, 0)$ (vuông góc với Oy)
• Phương trình qua N: $1(x – (-1)) + 0(y – 4) = 0$
• $x + 1 = 0$ hay $x = -1$

5. Nhận xét và lưu ý

✅ Ưu điểm của phương trình tổng quát:

• Dạng tổng quát nhất, áp dụng được cho mọi đường thẳng
• Dễ dàng xác định VTPT: $\vec{n} = (A, B)$
• Thuận tiện cho các bài toán về khoảng cách, góc, vị trí tương đối
• Dễ kiểm tra điểm thuộc đường thẳng: thay tọa độ điểm vào phương trình

⚠️ Lưu ý khi sử dụng:

• Có thể nhân hoặc chia cả hai vế với số khác 0 để đơn giản hóa
• Thường rút gọn hệ số để phương trình đẹp hơn
• Luôn kiểm tra điều kiện $A^2 + B^2 \neq 0$
• Cùng một đường thẳng có thể có nhiều phương trình tổng quát khác nhau (khác nhau một hệ số nhân)

IV. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ

1. Định nghĩa và dạng chuẩn

Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

$$\boxed{\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})}$$

Trong đó:

• $(x_0, y_0)$ là tọa độ một điểm trên đường thẳng (điểm gốc)
• $\vec{u} = (a, b)$ là VTCP với $(a, b) \neq (0, 0)$
• $t$ là tham số (biến thiên trên tập số thực $\mathbb{R}$)
• Mỗi giá trị của $t$ cho một điểm trên đường thẳng

Đặc điểm:

• Thể hiện rõ phương (VTCP) và điểm đi qua
• Dễ tìm tọa độ điểm bất kỳ trên đường thẳng

2. Cách lập phương trình tham số

Cách 1: Biết một điểm và VTCP

Đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0)$ và có VTCP $\vec{u} = (a, b)$:

$$\boxed{\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}}$$

Cách 2: Biết hai điểm

Đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$:

Bước 1: Tìm VTCP: $\vec{AB} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)$

Bước 2: Viết phương trình tham số qua A (hoặc B) với VTCP vừa tìm:

$$\begin{cases} x = x_1 + (x_2 – x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 – y_1)t \end{cases}$$

3. Ý nghĩa của tham số t

Tham số $t$ có ý nghĩa hình học quan trọng:

• $t = 0$: Điểm $M_0(x_0, y_0)$ (điểm gốc ban đầu)
• $t = 1$: Điểm $M(x_0 + a, y_0 + b)$
• $t < 0$: Điểm nằm về phía ngược với hướng của $\vec{u}$
• $t > 0$: Điểm nằm cùng phía với hướng của $\vec{u}$
• $|t|$: Tỷ lệ khoảng cách từ điểm đến $M_0$ so với độ dài $|\vec{u}|$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Biết điểm và VTCP): Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(1, -2)$ và có VTCP $\vec{u} = (3, 4)$.

Lời giải:

Áp dụng công thức với $x_0 = 1$, $y_0 = -2$, $a = 3$, $b = 4$:

$$\boxed{\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 + 4t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})}$$

Ví dụ 2 (Biết hai điểm): Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2, 1)$ và $B(-1, 5)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm VTCP $$\vec{AB} = (-1 – 2, 5 – 1) = (-3, 4)$$

Bước 2: Viết phương trình tham số qua A:

$$\boxed{\begin{cases} x = 2 – 3t \\ y = 1 + 4t \end{cases}}$$

Lưu ý: Có thể viết qua B:

$$\begin{cases} x = -1 – 3t \\ y = 5 + 4t \end{cases}$$

Cả hai đều đúng, chỉ khác điểm gốc và chiều dương của $t$.

Ví dụ 3 (Tìm tọa độ điểm trên đường thẳng): Cho đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$

a) Tìm tọa độ điểm M trên d có hoành độ bằng 5

b) Tìm tọa độ điểm N trên d có tung độ bằng 0

Lời giải:

Câu a:

• Hoành độ bằng 5: $x = 5$
• $1 + 2t = 5$
• $2t = 4$
• $t = 2$
• Tung độ: $y = -3 + 2 = -1$
• Vậy $M(5, -1)$

Câu b:

• Tung độ bằng 0: $y = 0$
• $-3 + t = 0$
• $t = 3$
• Hoành độ: $x = 1 + 2(3) = 7$
• Vậy $N(7, 0)$

5. Nhận xét và lưu ý

✅ Ưu điểm:

• Dễ dàng tìm tọa độ các điểm trên đường thẳng
• Thuận tiện cho bài toán tìm giao điểm
• Thể hiện rõ hướng và chiều của đường thẳng
• Dễ xác định VTCP

⚠️ Lưu ý:

• Một đường thẳng có vô số phương trình tham số khác nhau (thay đổi điểm gốc, VTCP, hoặc chiều của t)
• Nên chọn VTCP đơn giản (số nguyên, nhỏ) để tính toán dễ hơn
• Có thể rút gọn VTCP bằng cách chia cho ước chung

V. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC

1. Định nghĩa và dạng chuẩn

Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

$$\boxed{\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b}}$$

Trong đó:

• $(x_0, y_0)$ là tọa độ một điểm trên đường thẳng
• $\vec{u} = (a, b)$ là VTCP với $a \neq 0$ và $b \neq 0$

Điều kiện áp dụng: Cả $a$ và $b$ đều phải khác 0, tức là đường thẳng không song song với trục tọa độ.

2. Quan hệ với phương trình tham số

Phương trình chính tắc được suy ra trực tiếp từ phương trình tham số bằng cách khử tham số $t$:

Từ: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$

Suy ra: $t = \frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b}$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $M(1, 2)$ và có VTCP $\vec{u} = (3, -4)$.

Lời giải:

Áp dụng công thức với $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $a = 3$, $b = -4$:

$$\boxed{\frac{x – 1}{3} = \frac{y – 2}{-4}}$$

Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(0, -1)$ và $B(2, 3)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm VTCP $$\vec{AB} = (2 – 0, 3 – (-1)) = (2, 4)$$

Rút gọn: $\vec{u} = (1, 2)$

Bước 2: Viết phương trình qua A:

$$\boxed{\frac{x – 0}{1} = \frac{y – (-1)}{2}}$$

Hay: $$\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2}$$

4. Nhận xét

✅ Ưu điểm:

• Ngắn gọn, dễ nhớ
• Dễ xác định VTCP

❌ Nhược điểm:

• Không viết được cho đường thẳng song song với trục tọa độ ($a = 0$ hoặc $b = 0$)
• Ít được sử dụng trong thực tế
• Ít xuất hiện trong đề thi

VI. PHƯƠNG TRÌNH THEO HỆ SỐ GÓC

1. Định nghĩa và dạng chuẩn

Phương trình đường thẳng theo hệ số góc có dạng:

$$\boxed{y = kx + m}$$

Trong đó:

• $k$: hệ số góc (slope) của đường thẳng
• $m$: tung độ gốc (y-intercept) – tung độ giao điểm với trục Oy
• $x$, $y$: tọa độ điểm trên đường thẳng

Điều kiện: Đường thẳng không song song và không trùng với trục Oy (hệ số góc k xác định).

2. Ý nghĩa của k và m

Hệ số góc k:

Định nghĩa: $k = \tan \alpha$ với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương trục Ox.

Ý nghĩa hình học:

Ý nghĩa thực tế:

• Độ dốc của đường (càng lớn |k| càng dốc)
• Tốc độ thay đổi của y theo x
• Khi x tăng 1 đơn vị thì y thay đổi k đơn vị

Tung độ gốc m:

Định nghĩa: $m$ là tung độ của giao điểm giữa đường thẳng và trục Oy.

Tính chất:

• Khi $x = 0$ thì $y = m$
• Điểm $(0, m)$ thuộc đường thẳng
• Nếu $m = 0$ thì đường thẳng đi qua gốc tọa độ O

3. Các công thức tính hệ số góc k ⭐

Đây là phần RẤT QUAN TRỌNG – sẽ được tổng hợp chi tiết ở Phần IX.

Công thức 1: Từ phương trình tổng quát

Cho đường thẳng $Ax + By + C = 0$ với $B \neq 0$:

$$\boxed{k = -\frac{A}{B}}$$

$$m = -\frac{C}{B}$$

Công thức 2: Từ hai điểm

Cho đường thẳng qua $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ với $x_1 \neq x_2$:

$$\boxed{k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}}$$

Công thức 3: Từ VTCP

Cho VTCP $\vec{u} = (a, b)$ với $a \neq 0$:

$$\boxed{k = \frac{b}{a}}$$

Công thức 4: Từ góc

$$\boxed{k = \tan \alpha}$$

Với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương trục Ox.

Công thức 5: Từ phương trình tham số

Cho $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$ với $a \neq 0$:

$$\boxed{k = \frac{b}{a}}$$

4. Cách lập phương trình theo hệ số góc

Cách 1: Biết k và m

Trực tiếp: $y = kx + m$

Cách 2: Biết k và một điểm $M_0(x_0, y_0)$

$$\boxed{y – y_0 = k(x – x_0)}$$

Sau đó khai triển để tìm m: $$y = kx – kx_0 + y_0$$ $$y = kx + (y_0 – kx_0)$$

Vậy $m = y_0 – kx_0$

Cách 3: Biết hai điểm

Bước 1: Tính hệ số góc: $k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$

Bước 2: Tìm m bằng cách thế tọa độ một điểm vào $y = kx + m$

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Biết k và m): Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc $k = 2$ và tung độ gốc $m = -3$.

Lời giải:

$$\boxed{y = 2x – 3}$$

Ví dụ 2 (Biết k và một điểm): Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1, 4)$ và có hệ số góc $k = -\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức $y – y_0 = k(x – x_0)$: $$y – 4 = -\frac{1}{2}(x – 1)$$ $$y – 4 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$ $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}$$

Cách 2: Thế vào $y = kx + m$: $$4 = -\frac{1}{2}(1) + m$$ $$m = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$$

Vậy: $$\boxed{y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}}$$

Ví dụ 3 (Tính k từ hai điểm): Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(1, 2)$ và $B(3, 8)$.

Lời giải:

Bước 1: Tính hệ số góc: $$k = \frac{8 – 2}{3 – 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Bước 2: Tìm m bằng cách thế A vào $y = 3x + m$: $$2 = 3(1) + m$$ $$m = -1$$

Kết luận: $$\boxed{y = 3x – 1}$$

Ví dụ 4 (Từ phương trình tổng quát): Cho đường thẳng $3x – 2y + 6 = 0$. Tìm hệ số góc k và tung độ gốc m.

Lời giải:

Cách 1: Biến đổi về dạng $y = kx + m$: $$-2y = -3x – 6$$ $$y = \frac{3}{2}x + 3$$

Vậy $k = \frac{3}{2}$ và $m = 3$

Cách 2: Dùng công thức: $$k = -\frac{A}{B} = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}$$ $$m = -\frac{C}{B} = -\frac{6}{-2} = 3$$

Ví dụ 5 (Từ góc): Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tạo với trục Ox góc $45°$.

Lời giải:

• Hệ số góc: $k = \tan 45° = 1$
• Qua O nên $m = 0$
• Phương trình: $$\boxed{y = x}$$

6. Nhận xét

✅ Ưu điểm:

• Dạng đơn giản nhất, dễ nhớ, dễ sử dụng
• Thể hiện rõ độ dốc (k) và điểm cắt trục Oy (m)
• Dễ vẽ đồ thị
• Phổ biến nhất trong ứng dụng thực tế
• Thuận tiện cho bài toán tìm giao điểm, song song, vuông góc

❌ Nhược điểm:

• Không viết được cho đường thẳng song song hoặc trùng với Oy
• Không thể hiện trực tiếp VTPT

VII. PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐOẠN CHẮN

1. Định nghĩa và dạng chuẩn

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn có dạng:

$$\boxed{\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1}$$

Trong đó:

• $a$: hoành độ giao điểm với trục Ox (đoạn chắn trên Ox)
• $b$: tung độ giao điểm với trục Oy (đoạn chắn trên Oy)
• $a \neq 0$ và $b \neq 0$

Điều kiện áp dụng: Đường thẳng phải cắt cả hai trục tọa độ tại hai điểm khác gốc O.

Ý nghĩa:

• Giao điểm với Ox: $(a, 0)$
• Giao điểm với Oy: $(0, b)$

2. Cách lập phương trình

Cho đường thẳng:

• Cắt trục Ox tại điểm $A(a, 0)$
• Cắt trục Oy tại điểm $B(0, b)$

Phương trình đoạn chắn:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại $A(3, 0)$ và cắt trục Oy tại $B(0, -2)$.

Lời giải:

Áp dụng công thức với $a = 3$ và $b = -2$:

$$\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1$$

Hay: $$\boxed{\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 1}$$

Hoặc nhân cả hai vế với 6: $$2x – 3y = 6$$

Ví dụ 2: Cho đường thẳng $2x + 3y – 6 = 0$. Viết lại dưới dạng phương trình đoạn chắn.

Lời giải:

Bước 1: Chuyển vế: $2x + 3y = 6$

Bước 2: Chia cả hai vế cho 6: $$\frac{2x}{6} + \frac{3y}{6} = 1$$ $$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1$$

Kết luận: Dạng đoạn chắn là $\boxed{\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1}$

Vậy đường thẳng cắt Ox tại $(3, 0)$ và cắt Oy tại $(0, 2)$.

Ví dụ 3: Tìm phương trình đường thẳng biết tổng các đoạn chắn trên hai trục là 5 và tích của chúng là 6.

Lời giải:

Gọi đoạn chắn trên Ox là $a$, trên Oy là $b$.

Theo đề bài: $$\begin{cases} a + b = 5 \\ ab = 6 \end{cases}$$

$a, b$ là nghiệm của phương trình: $t^2 – 5t + 6 = 0$

Giải: $(t – 2)(t – 3) = 0$ nên $t = 2$ hoặc $t = 3$

Trường hợp 1: $a = 2, b = 3$ $$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$$

Trường hợp 2: $a = 3, b = 2$ $$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1$$

4. Nhận xét

✅ Ưu điểm:

• Dễ xác định giao điểm với hai trục tọa độ
• Hữu ích trong bài toán diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng và hai trục

❌ Nhược điểm:

• Chỉ áp dụng được cho đường thẳng cắt cả hai trục và không đi qua gốc O
• Không áp dụng được nếu đường thẳng song song hoặc đi qua một trong hai trục
• Ít được sử dụng trong thực tế

VIII. CHUYỂN ĐỔI GIỮA CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH

Bảng chuyển đổi tổng hợp

Ví dụ chuyển đổi chi tiết

Ví dụ 1: Cho đường thẳng $d: 2x – 3y + 6 = 0$. Viết phương trình tham số và phương trình hệ số góc.

Lời giải:

Chuyển sang hệ số góc: $$-3y = -2x – 6$$ $$y = \frac{2}{3}x + 2$$

Vậy $k = \frac{2}{3}$ và $m = 2$

Chuyển sang tham số:

Bước 1: Từ VTPT $(2, -3)$ → VTCP $\vec{u} = (3, 2)$

Bước 2: Tìm điểm trên d: Cho $x = 0$, suy ra $y = 2$, được điểm $M(0, 2)$

Bước 3: Phương trình tham số: $$\boxed{\begin{cases} x = 3t \\ y = 2 + 2t \end{cases}}$$

Ví dụ 2: Cho đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + 2t \ y = -3 + 5t \end{cases}$. Viết phương trình tổng quát và hệ số góc.

Lời giải:

Chuyển sang tổng quát:

Bước 1: VTCP $(2, 5)$ → VTPT $\vec{n} = (-5, 2)$

Bước 2: Qua điểm $M(1, -3)$: $$-5(x – 1) + 2(y + 3) = 0$$ $$-5x + 5 + 2y + 6 = 0$$ $$-5x + 2y + 11 = 0$$

Hoặc nhân $-1$: $$\boxed{5x – 2y – 11 = 0}$$

Chuyển sang hệ số góc:

$k = \frac{b}{a} = \frac{5}{2}$

Thế $M(1, -3)$ vào $y = \frac{5}{2}x + m$: $$-3 = \frac{5}{2}(1) + m$$ $$m = -3 – \frac{5}{2} = -\frac{11}{2}$$

Vậy: $$\boxed{y = \frac{5}{2}x – \frac{11}{2}}$$

IX. CÔNG THỨC TÍNH HỆ SỐ GÓC K – TỔNG HỢP

1. Bảng tổng hợp công thức tính k

2. Mối quan hệ giữa k và góc

3. Công thức góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

• $d_1: y = k_1x + m_1$ (hệ số góc $k_1$)
• $d_2: y = k_2x + m_2$ (hệ số góc $k_2$)

Góc giữa hai đường thẳng:

$$\boxed{\tan \theta = \left|\frac{k_1 – k_2}{1 + k_1k_2}\right|}$$

Các trường hợp đặc biệt:

4. Ví dụ tính k

Ví dụ 1: Tính hệ số góc của đường thẳng $d: 4x – 2y + 7 = 0$

Lời giải:

Áp dụng công thức $k = -\frac{A}{B}$ với $A = 4$, $B = -2$:

$$k = -\frac{4}{-2} = 2$$

Ví dụ 2: Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm $A(-1, 3)$ và $B(2, -6)$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{-6 – 3}{2 – (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$$

Ví dụ 3: Tìm k để đường thẳng $y = kx + 2$ vuông góc với đường thẳng $y = 3x – 1$

Lời giải:

Điều kiện vuông góc: $k \cdot 3 = -1$

$$k = -\frac{1}{3}$$

Ví dụ 4: Tính góc tạo bởi đường thẳng $y = \sqrt{3}x + 1$ và trục Ox

Lời giải:

Hệ số góc: $k = \sqrt{3}$

Góc: $\tan \alpha = \sqrt{3}$

Suy ra: $\alpha = 60°$

Ví dụ 5: Tìm hệ số góc của đường thẳng có VTCP $\vec{u} = (-2, 5)$

Lời giải:

$$k = \frac{b}{a} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$$

X. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng

Đã được trình bày chi tiết ở các phần trước với nhiều trường hợp:

• Biết một điểm và VTCP/VTPT
• Biết hai điểm
• Song song/vuông góc với đường thẳng cho trước
• Đi qua một điểm và có hệ số góc k

Dạng 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng

Phương pháp: Giải hệ phương trình của hai đường thẳng

Các trường hợp:

• Hệ có nghiệm duy nhất → Hai đường thẳng cắt nhau
• Hệ vô nghiệm → Hai đường thẳng song song
• Hệ vô số nghiệm → Hai đường thẳng trùng nhau

Ví dụ: Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

• $d_1: 2x – y + 3 = 0$
• $d_2: x + y – 6 = 0$

Lời giải:

Giải hệ: $$\begin{cases} 2x – y + 3 = 0 \\ x + y – 6 = 0 \end{cases}$$

Cộng hai phương trình: $$3x – 3 = 0 \Rightarrow x = 1$$

Thế vào phương trình (2): $$1 + y – 6 = 0 \Rightarrow y = 5$$

Kết luận: Giao điểm $I(1, 5)$

Dạng 3: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Công thức:

Cho điểm $M(x_0, y_0)$ và đường thẳng $d: Ax + By + C = 0$:

$\boxed{d(M, d) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}$

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm $M(1, -2)$ đến đường thẳng $d: 3x – 4y + 5 = 0$

Lời giải:

Áp dụng công thức với $A = 3$, $B = -4$, $C = 5$, $x_0 = 1$, $y_0 = -2$:

$d(M, d) = \frac{|3(1) – 4(-2) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$

$= \frac{|3 + 8 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|16|}{\sqrt{25}} = \frac{16}{5}$

Kết luận: Khoảng cách là $\frac{16}{5}$ đơn vị.

Dạng 4: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

• $d_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$
• $d_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$

Bảng xét vị trí tương đối:

Đặc biệt: Nếu viết dưới dạng hệ số góc $y = k_1x + m_1$ và $y = k_2x + m_2$:

• Song song: $k_1 = k_2$ và $m_1 \neq m_2$
• Trùng nhau: $k_1 = k_2$ và $m_1 = m_2$
• Vuông góc: $k_1 \cdot k_2 = -1$

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của:

• $d_1: 2x – 3y + 1 = 0$
• $d_2: 4x – 6y + 5 = 0$

Lời giải:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$ $\frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{5}$

Ta có: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$

Kết luận: Hai đường thẳng song song với nhau.

XI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: Nhớ VTPT và VTCP

“Đổi chỗ, đổi dấu một số”

• VTCP $(a, b)$ → VTPT $(-b, a)$ hoặc $(b, -a)$
• Đổi chỗ hai số, đổi dấu một trong hai số

Ví dụ:

• VTCP $(3, 5)$ → VTPT $(-5, 3)$ hoặc $(5, -3)$
• VTCP $(2, -4)$ → VTPT $(4, 2)$ hoặc $(-4, -2)$

Mẹo 2: Nhớ công thức hệ số góc k

“Từ tổng quát: k bằng trừ A chia B”

$k = -\frac{A}{B}$

“Từ hai điểm: k bằng delta y chia delta x”

$k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$

“Từ VTCP: k bằng tung chia hoành”

$k = \frac{b}{a}$

Mẹo 3: Điều kiện vuông góc

“k nhân k bằng âm một”

$k_1 \cdot k_2 = -1$

Ví dụ nhanh:

• $k_1 = 2$ → $k_2 = -\frac{1}{2}$
• $k_1 = 3$ → $k_2 = -\frac{1}{3}$
• $k_1 = -5$ → $k_2 = \frac{1}{5}$

Mẹo 4: Điều kiện song song

“k bằng k, m khác m”

$k_1 = k_2 \text{ và } m_1 \neq m_2$

2. Lưu ý quan trọng

⚠️ Lưu ý 1: Kiểm tra điều kiện

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi áp dụng công thức
• $B \neq 0$ khi tính $k = -\frac{A}{B}$
• $a \neq 0$ khi tính $k = \frac{b}{a}$
• $x_1 \neq x_2$ khi tính $k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$

⚠️ Lưu ý 2: Đường thẳng song song Oy

Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Oy:

• Không có hệ số góc (k không xác định)
• Chỉ viết được dưới dạng $x = c$ (hằng số)
• Không thể viết dưới dạng $y = kx + m$

⚠️ Lưu ý 3: Nhiều dạng cùng một đường thẳng

Một đường thẳng có thể có nhiều phương trình khác nhau:

• $2x – 4y + 6 = 0$
• $x – 2y + 3 = 0$ (chia cho 2)
• $-x + 2y – 3 = 0$ (nhân với -1)

Tất cả đều biểu diễn cùng một đường thẳng!

⚠️ Lưu ý 4: Rút gọn hợp lý

• Nên rút gọn hệ số để phương trình đẹp hơn
• Ưu tiên hệ số nguyên
• Ưu tiên hệ số của x dương

3. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Nhầm VTCP và VTPT

Sai: Cho VTCP $(3, 2)$ viết phương trình $3(x – x_0) + 2(y – y_0) = 0$ ❌

Đúng: Từ VTCP $(3, 2)$ → VTPT $(-2, 3)$, viết $-2(x – x_0) + 3(y – y_0) = 0$ ✓

❌ Sai lầm 2: Quên điều kiện $B \neq 0$

Sai: Cho $3x + 0y + 5 = 0$, tính $k = -\frac{3}{0}$ ❌

Đúng: Đường thẳng $x = -\frac{5}{3}$ song song Oy, không có hệ số góc ✓

❌ Sai lầm 3: Nhầm công thức vuông góc

Sai: $d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow k_1 + k_2 = 0$ ❌

Đúng: $d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow k_1 \cdot k_2 = -1$ ✓

❌ Sai lầm 4: Quên rút gọn hệ số

Không đẹp: $6x – 9y + 12 = 0$

Đẹp hơn: $2x – 3y + 4 = 0$ (chia cho 3)

❌ Sai lầm 5: Nhầm dấu khi tính k

Sai: Từ $2x + 3y – 5 = 0$, tính $k = -\frac{2}{3}$ nhưng quên dấu trừ

Đúng: $k = -\frac{A}{B} = -\frac{2}{3}$ (có dấu trừ phía trước) ✓

4. Quy trình giải bài tập chuẩn

Bước 1: Đọc kỹ đề bài

• Xác định đề cho gì? (điểm, vector, góc, phương trình…)
• Đề yêu cầu gì? (viết phương trình, tính k, tìm giao điểm…)

Bước 2: Chọn dạng phương trình phù hợp

• Nếu cho VTPT → Dùng PT tổng quát
• Nếu cho VTCP → Dùng PT tham số hoặc chính tắc
• Nếu cho k → Dùng PT hệ số góc
• Nếu cho giao với hai trục → Dùng PT đoạn chắn

Bước 3: Áp dụng công thức

• Ghi rõ công thức sử dụng
• Thay số cẩn thận
• Tính toán chính xác

Bước 4: Kiểm tra kết quả

• Thế điểm đã cho vào phương trình
• Kiểm tra điều kiện (nếu có)
• Rút gọn nếu cần

Bước 5: Trình bày kết luận

• Viết rõ đáp án cuối cùng
• Ghi đầy đủ dạng phương trình

XII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và hệ thống về phương trình đường thẳng và hệ số góc:

5 dạng phương trình đường thẳng:

1. Phương trình tổng quát: $Ax + By + C = 0$ – Dạng tổng quát nhất
2. Phương trình tham số: $\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \end{cases}$ – Thể hiện rõ phương
3. Phương trình chính tắc: $\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b}$ – Ngắn gọn
4. Phương trình hệ số góc: $y = kx + m$ – Đơn giản, phổ biến nhất
5. Phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ – Cho giao với hai trục

Công thức tính hệ số góc k:

Chuyển đổi giữa các dạng: Bảng đầy đủ và ví dụ minh họa

Các bài toán thường gặp:

• Viết phương trình đường thẳng
• Tìm giao điểm
• Tính khoảng cách
• Xét vị trí tương đối

Mẹo nhớ và lưu ý:

• 4 mẹo nhớ công thức
• 5 sai lầm thường gặp
• Quy trình giải bài tập 5 bước

Xem thêm các chủ đề liên quan

Tiếp theo nên học:

• [Phương trình đường tròn]
• [Phương trình elip]
• [Phương trình parabol và hyperbol]
• [Vector trong mặt phẳng]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa