I. KHÁI NIỆM VỀ TIẾP TUYẾN

1. Tiếp tuyến là gì?

Định nghĩa:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M(x_0; y_0)$ là đường thẳng:

• Đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ nằm trên đồ thị
• Có hệ số góc bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đó: $k = f'(x_0)$

Nói cách khác, tiếp tuyến là đường thẳng “chạm” vào đồ thị tại đúng một điểm trong một lân cận đủ nhỏ của điểm tiếp xúc.

Ý nghĩa hình học:

• Tiếp tuyến biểu diễn xu hướng biến thiên tức thời của hàm số tại điểm tiếp xúc
• Hệ số góc của tiếp tuyến = đạo hàm tại điểm đó = tốc độ thay đổi của hàm số
• Nếu $f'(x_0) > 0$: tiếp tuyến đi lên (hàm số đang tăng)
• Nếu $f'(x_0) < 0$: tiếp tuyến đi xuống (hàm số đang giảm)
• Nếu $f'(x_0) = 0$: tiếp tuyến nằm ngang (điểm cực trị hoặc điểm uốn)

Các thành phần của tiếp tuyến:

1. Điểm tiếp xúc (tiếp điểm): $M(x_0; y_0)$ thuộc đồ thị hàm số, nghĩa là $y_0 = f(x_0)$
2. Hệ số góc: $k = f'(x_0)$ – là giá trị đạo hàm tại điểm tiếp xúc
3. Phương trình: Có dạng $y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)$ hoặc $y = kx + b$

2. Phân loại bài toán tiếp tuyến

Có 3 dạng cơ bản trong bài tập về phương trình tiếp tuyến:

Dạng 1: Biết điểm tiếp xúc

• Cho trước tọa độ điểm tiếp xúc $M(x_0; y_0)$ hoặc hoành độ $x_0$
• Đây là dạng đơn giản nhất, áp dụng trực tiếp công thức

Dạng 2: Biết hệ số góc

• Cho trước hệ số góc $k$ hoặc điều kiện về phương của tiếp tuyến
• Cần giải phương trình $f'(x_0) = k$ để tìm điểm tiếp xúc

Dạng 3: Biết điểm tiếp tuyến đi qua

• Cho điểm $A(x_A; y_A)$ mà tiếp tuyến phải đi qua
• Đây là dạng khó nhất, có thể có nhiều tiếp tuyến thỏa mãn

II. CÔNG THỨC TỔNG QUÁT

1. Công thức cơ bản

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc $(C)$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(x_0; y_0)$:

$$\boxed{y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)}$$

Hoặc dạng khai triển đầy đủ:

$$\boxed{y = f'(x_0) \cdot x + [y_0 – x_0 \cdot f'(x_0)]}$$

Trong đó:

• $x_0$: hoành độ của điểm tiếp xúc
• $y_0 = f(x_0)$: tung độ của điểm tiếp xúc (phải thuộc đồ thị)
• $f'(x_0)$: đạo hàm của hàm số tại $x_0$ (hệ số góc của tiếp tuyến)

Ký hiệu thường dùng:

• Phương trình tiếp tuyến thường ký hiệu là $\Delta$ hoặc $(d)$
• Điểm tiếp xúc: $M$, $M_0$, hoặc $I$

2. Các bước viết phương trình tiếp tuyến

Quy trình chuẩn gồm 5 bước:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc $M(x_0; y_0)$

• Nếu đề cho $x_0$ → Tính $y_0 = f(x_0)$
• Nếu cho điều kiện khác → Giải để tìm $x_0$, sau đó tính $y_0$

Bước 2: Tính đạo hàm $f'(x)$

• Áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản
• Chú ý đạo hàm hàm hợp, hàm phân thức

Bước 3: Tính hệ số góc $k = f'(x_0)$

• Thay $x_0$ vào biểu thức $f'(x)$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến

• Áp dụng công thức: $y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)$

Bước 5: Rút gọn và viết dạng tổng quát

• Khai triển và thu gọn về dạng $y = ax + b$

3. Dạng đặc biệt: Phương trình tiếp tuyến ngang

Điều kiện: Tiếp tuyến song song với trục Ox (tiếp tuyến nằm ngang)

Khi đó: Hệ số góc bằng 0 $$f'(x_0) = 0$$

Phương trình tiếp tuyến: $$y = y_0$$ (đường thẳng ngang qua điểm có tung độ $y_0$)

Ý nghĩa:

• Đây là điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu)
• Hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cục bộ

Ví dụ: Tiếp tuyến của $y = x^2$ có hệ số góc bằng 0

• $f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x_0 = 0$
• $y_0 = 0^2 = 0$
• Phương trình tiếp tuyến: $y = 0$ (trục hoành)

4. Dạng đặc biệt: Phương trình tiếp tuyến đứng

Điều kiện: Tiếp tuyến song song với trục Oy (tiếp tuyến thẳng đứng)

Khi đó: Đạo hàm không xác định (vô cực) $$f'(x_0) = \pm \infty$$

Phương trình tiếp tuyến: $$x = x_0$$ (đường thẳng đứng)

Ví dụ: Hàm số $y = \sqrt[3]{x}$ tại $x = 0$

• $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
• Tại $x = 0$: $f'(0)$ không xác định
• Tiếp tuyến: $x = 0$ (trục tung)

Lưu ý: Trường hợp này ít gặp trong chương trình phổ thông.

III. DẠNG 1: VIẾT TIẾP TUYẾN BIẾT ĐIỂM TIẾP XÚC

1. Phương pháp

Đề bài cho: Điểm tiếp xúc $M(x_0; y_0)$ hoặc hoành độ tiếp điểm $x_0$

Phương pháp giải:

Áp dụng trực tiếp công thức: $$y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0)$$

Hoặc: $$y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)$$

Đặc điểm: Đây là dạng đơn giản nhất, không cần giải phương trình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Hàm đa thức):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x + 1$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.

Lời giải:

Bước 1: Tính tung độ tiếp điểm: $$y_0 = f(1) = 1^3 – 3 \cdot 1 + 1 = 1 – 3 + 1 = -1$$

Bước 2: Tính đạo hàm: $$f'(x) = 3x^2 – 3$$

Bước 3: Tính hệ số góc: $$f'(1) = 3 \cdot 1^2 – 3 = 3 – 3 = 0$$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến: $$y – (-1) = 0 \cdot (x – 1)$$ $$y + 1 = 0$$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $\boxed{y = -1}$ (tiếp tuyến nằm ngang)

Ví dụ 2 (Hàm phân thức):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$.

Lời giải:

Bước 1: Tính tung độ tiếp điểm: $$y_0 = f(2) = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2 – 1} = \frac{5}{1} = 5$$

Bước 2: Tính đạo hàm bằng công thức đạo hàm thương: $$f'(x) = \frac{(2x+1)'(x-1) – (2x+1)(x-1)’}{(x-1)^2}$$ $$= \frac{2(x-1) – (2x+1) \cdot 1}{(x-1)^2}$$ $$= \frac{2x – 2 – 2x – 1}{(x-1)^2}$$ $$= \frac{-3}{(x-1)^2}$$

Bước 3: Tính hệ số góc: $$f'(2) = \frac{-3}{(2-1)^2} = \frac{-3}{1} = -3$$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến: $$y – 5 = -3(x – 2)$$ $$y – 5 = -3x + 6$$ $$y = -3x + 11$$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $\boxed{y = -3x + 11}$

Ví dụ 3 (Hàm mũ):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = e^x$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 0$.

Lời giải:

Bước 1: Tính tung độ tiếp điểm: $$y_0 = e^0 = 1$$

Bước 2: Tính đạo hàm: $$f'(x) = e^x$$

Bước 3: Tính hệ số góc: $$f'(0) = e^0 = 1$$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến: $$y – 1 = 1 \cdot (x – 0)$$ $$y = x + 1$$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $\boxed{y = x + 1}$

Ý nghĩa: Tiếp tuyến của $e^x$ tại gốc tọa độ là đường thẳng $y = x + 1$, đây là một tính chất đặc biệt của hàm mũ.

Ví dụ 4 (Hàm lượng giác):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \sin x$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 0$.

Lời giải:

Bước 1: Tính tung độ tiếp điểm: $$y_0 = \sin 0 = 0$$

Bước 2: Tính đạo hàm: $$f'(x) = \cos x$$

Bước 3: Tính hệ số góc: $$f'(0) = \cos 0 = 1$$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến: $$y – 0 = 1 \cdot (x – 0)$$ $$y = x$$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $\boxed{y = x}$

Ý nghĩa: Tiếp tuyến của $\sin x$ tại gốc tọa độ là đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

3. Lưu ý quan trọng

⚠️ Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính toán

⚠️ Tính chính xác đạo hàm, đặc biệt với:

• Hàm hợp: $(u(v(x)))’ = u'(v) \cdot v'(x)$
• Hàm phân thức: $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$

⚠️ Rút gọn kết quả cuối cùng về dạng $y = ax + b$ để dễ nhận xét

⚠️ Kiểm tra lại bằng cách thay tọa độ điểm tiếp xúc vào phương trình tiếp tuyến

IV. DẠNG 2: VIẾT TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC

1. Phương pháp

Đề bài cho: Hệ số góc $k$ hoặc điều kiện về phương của tiếp tuyến (song song, vuông góc với đường thẳng khác)

Các bước thực hiện:

Bước 1: Xác định hệ số góc cần tìm $k$

Bước 2: Giải phương trình $f'(x_0) = k$ để tìm hoành độ tiếp điểm $x_0$

Bước 3: Với mỗi $x_0$ tìm được, tính $y_0 = f(x_0)$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến theo Dạng 1

Lưu ý: Phương trình $f'(x_0) = k$ có thể có nhiều nghiệm → có nhiều tiếp tuyến thỏa mãn.

Bảng các trường hợp đặc biệt

Công thức vuông góc: Hai đường thẳng $y = a_1x + b_1$ và $y = a_2x + b_2$ vuông góc khi: $$a_1 \cdot a_2 = -1 \Leftrightarrow a_2 = -\frac{1}{a_1}$$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Tiếp tuyến song song):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^2 – 2x + 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 2x + 3$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số góc

• Đường thẳng $y = 2x + 3$ có hệ số góc $a = 2$
• Tiếp tuyến song song nên có cùng hệ số góc: $k = 2$

Bước 2: Giải phương trình $f'(x_0) = 2$

• Tính đạo hàm: $f'(x) = 2x – 2$
• Giải: $2x_0 – 2 = 2$
• $2x_0 = 4$
• $x_0 = 2$

Bước 3: Tính tung độ tiếp điểm: $$y_0 = f(2) = 2^2 – 2 \cdot 2 + 1 = 4 – 4 + 1 = 1$$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến: $$y – 1 = 2(x – 2)$$ $$y – 1 = 2x – 4$$ $$y = 2x – 3$$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $\boxed{y = 2x – 3}$

Kiểm tra: Tiếp tuyến $y = 2x – 3$ song song với $y = 2x + 3$ (cùng hệ số góc, khác tung độ gốc) ✓

Ví dụ 2 (Tiếp tuyến vuông góc):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = -\frac{1}{3}x + 1$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số góc

• Đường thẳng đã cho có hệ số góc $a = -\frac{1}{3}$
• Tiếp tuyến vuông góc nên: $k = -\frac{1}{a} = -\frac{1}{-1/3} = 3$

Bước 2: Giải phương trình $f'(x_0) = 3$

• Tính đạo hàm: $f'(x) = 3x^2$
• Giải: $3x_0^2 = 3$
• $x_0^2 = 1$
• $x_0 = 1$ hoặc $x_0 = -1$

Bước 3: Tính tung độ và viết phương trình

Với $x_0 = 1$:

• $y_0 = 1^3 = 1$
• Phương trình: $y – 1 = 3(x – 1)$
• $y = 3x – 2$

Với $x_0 = -1$:

• $y_0 = (-1)^3 = -1$
• Phương trình: $y – (-1) = 3(x – (-1))$
• $y + 1 = 3(x + 1)$
• $y = 3x + 2$

Kết luận: Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn:

• $\boxed{y = 3x – 2}$
• $\boxed{y = 3x + 2}$

Ví dụ 3 (Tiếp tuyến nằm ngang):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$ biết tiếp tuyến song song với trục hoành.

Lời giải:

Bước 1: Xác định điều kiện

• Tiếp tuyến song song với Ox nghĩa là tiếp tuyến nằm ngang
• Hệ số góc: $k = 0$

Bước 2: Giải phương trình $f'(x_0) = 0$

• Tính đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 – 6x$
• Giải: $3x_0^2 – 6x_0 = 0$
• $3x_0(x_0 – 2) = 0$
• $x_0 = 0$ hoặc $x_0 = 2$

Bước 3: Tính tung độ và viết phương trình

Với $x_0 = 0$:

• $y_0 = 0^3 – 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$
• Phương trình: $y = 2$

Với $x_0 = 2$:

• $y_0 = 2^3 – 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 – 12 + 2 = -2$
• Phương trình: $y = -2$

Kết luận: Có 2 tiếp tuyến nằm ngang:

• $\boxed{y = 2}$
• $\boxed{y = -2}$

Ví dụ 4 (Tiếp tuyến tạo góc với Ox):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^2$ biết tiếp tuyến tạo với trục Ox góc $45°$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số góc

• Góc với Ox là $\alpha = 45°$
• Hệ số góc: $k = \tan 45° = 1$

Bước 2: Giải phương trình $f'(x_0) = 1$

• Tính đạo hàm: $f'(x) = 2x$
• Giải: $2x_0 = 1$
• $x_0 = \frac{1}{2}$

Bước 3: Tính tung độ tiếp điểm: $$y_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến: $$y – \frac{1}{4} = 1 \cdot \left(x – \frac{1}{2}\right)$$ $$y = x – \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$$ $$y = x – \frac{1}{4}$$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $\boxed{y = x – \frac{1}{4}}$

V. DẠNG 3: VIẾT TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM

1. Phương pháp

Đề bài cho: Điểm $A(x_A; y_A)$ mà tiếp tuyến phải đi qua (không nhất thiết là điểm tiếp xúc)

Phân biệt 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Điểm A nằm trên đồ thị

Kiểm tra: Thay tọa độ A vào hàm số: $y_A = f(x_A)$?

Nếu ĐÚNG → A là điểm tiếp xúc → Áp dụng Dạng 1

Trường hợp 2: Điểm A không nằm trên đồ thị (Trường hợp phức tạp)

Phương pháp:

Bước 1: Xác nhận A không thuộc đồ thị: $y_A \neq f(x_A)$

Bước 2: Gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm tiếp xúc (chưa biết) với $y_0 = f(x_0)$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại $M$: $$\Delta: y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0)$$

Bước 4: Tiếp tuyến đi qua $A(x_A; y_A)$ nên thay tọa độ A vào: $$y_A = f'(x_0)(x_A – x_0) + f(x_0)$$

Bước 5: Giải phương trình này để tìm $x_0$ (có thể có nhiều nghiệm)

Bước 6: Với mỗi $x_0$ tìm được, viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

Chú ý: Có thể có 0, 1, 2 hoặc nhiều tiếp tuyến đi qua điểm A.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Điểm nằm trên đồ thị):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^2 – 1$ đi qua điểm $A(1; 0)$.

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra A có thuộc đồ thị không: $$f(1) = 1^2 – 1 = 0 = y_A$$

→ Điểm $A(1; 0)$ nằm trên đồ thị, A chính là điểm tiếp xúc

Bước 2: Áp dụng Dạng 1 với $x_0 = 1$:

• $f'(x) = 2x$
• $f'(1) = 2$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến: $$y – 0 = 2(x – 1)$$ $$y = 2x – 2$$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $\boxed{y = 2x – 2}$

Ví dụ 2 (Điểm ngoài đồ thị – 2 tiếp tuyến):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^2$ đi qua điểm $A(0; -1)$.

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra A có thuộc đồ thị không: $$f(0) = 0^2 = 0 \neq -1 = y_A$$

→ Điểm $A(0; -1)$ không nằm trên đồ thị

Bước 2: Gọi $M(x_0; x_0^2)$ là điểm tiếp xúc

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại M:

• $f'(x) = 2x$ nên $f'(x_0) = 2x_0$
• Phương trình: $y = 2x_0(x – x_0) + x_0^2$
• Rút gọn: $y = 2x_0 \cdot x – 2x_0^2 + x_0^2 = 2x_0 \cdot x – x_0^2$

Bước 4: Tiếp tuyến đi qua $A(0; -1)$: $$-1 = 2x_0 \cdot 0 – x_0^2$$ $$-1 = -x_0^2$$ $$x_0^2 = 1$$ $$x_0 = 1 \text{ hoặc } x_0 = -1$$

Bước 5: Viết phương trình tiếp tuyến

Với $x_0 = 1$:

• $y_0 = 1$, $f'(1) = 2$
• Phương trình: $y = 2x – 1$

Với $x_0 = -1$:

• $y_0 = 1$, $f'(-1) = -2$
• Phương trình: $y = -2x – 1$

Kết luận: Có 2 tiếp tuyến đi qua A:

• $\boxed{y = 2x – 1}$
• $\boxed{y = -2x – 1}$

Ví dụ 3 (Điểm trên đồ thị nhưng có thêm tiếp tuyến khác):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x$ đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$.

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra O có thuộc đồ thị không: $$f(0) = 0^3 – 3 \cdot 0 = 0 = y_O$$

→ Gốc tọa độ nằm trên đồ thị

Bước 2: Tiếp tuyến thứ nhất với O là tiếp điểm ($x_0 = 0$):

• $f'(x) = 3x^2 – 3$
• $f'(0) = -3$
• Phương trình: $y = -3x$

Bước 3: Kiểm tra có tiếp tuyến khác đi qua O không?

Gọi $M(x_0; x_0^3 – 3x_0)$ là tiếp điểm với $x_0 \neq 0$

Phương trình tiếp tuyến tại M: $$y = (3x_0^2 – 3)(x – x_0) + x_0^3 – 3x_0$$

Khai triển: $$y = (3x_0^2 – 3)x – (3x_0^2 – 3)x_0 + x_0^3 – 3x_0$$ $$y = (3x_0^2 – 3)x – 3x_0^3 + 3x_0 + x_0^3 – 3x_0$$ $$y = (3x_0^2 – 3)x – 2x_0^3$$

Tiếp tuyến qua O(0; 0): $$0 = (3x_0^2 – 3) \cdot 0 – 2x_0^3$$ $$0 = -2x_0^3$$ $$x_0^3 = 0$$ $$x_0 = 0$$

Nhưng ta đã loại $x_0 = 0$ rồi → Không có tiếp tuyến nào khác

Kết luận: Chỉ có 1 tiếp tuyến: $\boxed{y = -3x}$

Ví dụ 4 (Hàm phân thức):

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$ đi qua điểm $A(1; 3)$.

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định và A có thuộc đồ thị không:

• Hàm số xác định khi $x \neq 1$
• Điểm $A(1; 3)$ có hoành độ $x = 1$ → không thuộc miền xác định

Bước 2: Gọi $M\left(x_0; \frac{x_0+1}{x_0-1}\right)$ là điểm tiếp xúc với $x_0 \neq 1$

Bước 3: Tính đạo hàm: $$f'(x) = \frac{(x+1)'(x-1) – (x+1)(x-1)’}{(x-1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) – (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại M: $$y = \frac{-2}{(x_0-1)^2}(x – x_0) + \frac{x_0+1}{x_0-1}$$

Bước 5: Tiếp tuyến đi qua $A(1; 3)$: $$3 = \frac{-2}{(x_0-1)^2}(1 – x_0) + \frac{x_0+1}{x_0-1}$$

$$3 = \frac{-2(1 – x_0)}{(x_0-1)^2} + \frac{x_0+1}{x_0-1}$$

$$3 = \frac{2(x_0 – 1)}{(x_0-1)^2} + \frac{x_0+1}{x_0-1}$$

$$3 = \frac{2}{x_0-1} + \frac{x_0+1}{x_0-1}$$

$$3 = \frac{2 + x_0 + 1}{x_0-1}$$

$$3 = \frac{x_0 + 3}{x_0-1}$$

$$3(x_0 – 1) = x_0 + 3$$

$$3x_0 – 3 = x_0 + 3$$

$$2x_0 = 6$$

$$x_0 = 3$$

Bước 6: Viết phương trình tiếp tuyến với $x_0 = 3$:

• $y_0 = \frac{3+1}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$
• $f'(3) = \frac{-2}{(3-1)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
• Phương trình: $y – 2 = -\frac{1}{2}(x – 3)$
• $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến là $\boxed{y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}}$

VI. BẢNG TỔNG HỢP CÔNG THỨC

Bảng 1: Công thức theo dạng bài

Bảng 2: Các trường hợp đặc biệt

Bảng 3: Công thức đạo hàm thường dùng

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Nhầm lẫn điểm tiếp xúc và điểm tiếp tuyến đi qua

Phân biệt:

• Điểm tiếp xúc: Là điểm $M(x_0; y_0)$ nằm trên đồ thị ($y_0 = f(x_0)$), là điểm mà tiếp tuyến “chạm” vào đồ thị
• Điểm tiếp tuyến đi qua: Là điểm $A(x_A; y_A)$ có thể nằm ngoài đồ thị, tiếp tuyến chỉ đi qua điểm này

Cách tránh: Luôn kiểm tra điểm có thuộc đồ thị không bằng cách thay tọa độ vào hàm số.

❌ Sai lầm 2: Tính sai đạo hàm

Các lỗi phổ biến:

• Nhầm đạo hàm hàm hợp: $(u(v))’ = u'(v) \cdot v’$ chứ không phải $u’ \cdot v’$
• Sai công thức thương: $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$
• Quên dấu âm: $(\cos x)’ = -\sin x$

Cách tránh: Học thuộc và ôn luyện thường xuyên bảng đạo hàm.

❌ Sai lầm 3: Quên điều kiện xác định

Ví dụ:

• Hàm $y = \frac{1}{x-1}$ không xác định tại $x = 1$
• Hàm $y = \ln x$ chỉ xác định khi $x > 0$

Cách tránh: Luôn ghi rõ miền xác định trước khi giải.

❌ Sai lầm 4: Không kiểm tra tất cả các nghiệm

Trong Dạng 2 và Dạng 3, phương trình có thể có nhiều nghiệm → có nhiều tiếp tuyến.

Cách tránh: Giải đầy đủ phương trình, không bỏ sót nghiệm nào.

2. Mẹo làm nhanh

Mẹo 1: Nhận dạng nhanh dạng bài (5 giây)

Đọc đề → Xác định:

• Cho điểm tiếp xúc hoặc $x_0$ → Dạng 1 (dễ nhất)
• Cho hệ số góc, song song, vuông góc → Dạng 2 (trung bình)
• Cho điểm tiếp tuyến đi qua → Dạng 3 (khó nhất)

Mẹo 2: Công thức nhanh cho Dạng 1

Thay vì viết $y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)$ rồi khai triển, dùng luôn: $$y = f'(x_0) \cdot x + [f(x_0) – x_0 \cdot f'(x_0)]$$

Ví dụ: Với $f(x) = x^2$, $x_0 = 2$:

• $f(2) = 4$, $f'(2) = 4$
• Tiếp tuyến: $y = 4x + (4 – 2 \cdot 4) = 4x – 4$

Mẹo 3: Công thức đặc biệt cho hàm bậc 2

Với $y = ax^2 + bx + c$, tiếp tuyến tại $x_0$ có dạng: $$y = (2ax_0 + b)x + (c – ax_0^2)$$

Ví dụ: $y = x^2 – 3x + 1$ tại $x_0 = 2$:

• $y = (2 \cdot 1 \cdot 2 – 3)x + (1 – 1 \cdot 4) = x – 3$

Mẹo 4: Kiểm tra nhanh kết quả

Thay tọa độ điểm tiếp xúc vào phương trình tiếp tuyến:

• Nếu đúng → Kết quả chính xác ✓
• Nếu sai → Cần kiểm tra lại

Ví dụ: Tiếp tuyến $y = 2x – 3$ tại $M(2; 1)$:

• Thay vào: $1 = 2 \cdot 2 – 3 = 1$ ✓

3. Chiến thuật làm bài

📝 Bước 1: Phân loại ngay (5 giây)

Đọc đề → Xác định Dạng 1, 2, hay 3

📝 Bước 2: Thứ tự ưu tiên

Trong bài kiểm tra/thi:

• Dạng 1 → Làm trước (dễ, nhanh)
• Dạng 2 → Làm tiếp (trung bình)
• Dạng 3 → Để sau (khó, mất thời gian)

📝 Bước 3: Phân bổ thời gian

• Dạng 1: 1-2 phút
• Dạng 2: 2-3 phút
• Dạng 3: 3-5 phút

📝 Bước 4: Kiểm tra (quan trọng!)

Luôn dành 30 giây cuối để kiểm tra:

• Thay tọa độ tiếp điểm vào tiếp tuyến
• Kiểm tra hệ số góc

4. Kiểm tra kết quả

✔️ Cách 1: Thay tọa độ tiếp điểm

Thay $(x_0; y_0)$ vào phương trình tiếp tuyến $y = ax + b$:

• Nếu $y_0 = ax_0 + b$ → Đúng ✓

✔️ Cách 2: Kiểm tra hệ số góc

Tính lại $f'(x_0)$ và so sánh với hệ số $a$ trong $y = ax + b$:

• Nếu $f'(x_0) = a$ → Đúng ✓

✔️ Cách 3: Vẽ đồ thị (nếu có thời gian)

Dùng máy tính hoặc phần mềm vẽ đồ thị để quan sát trực quan.

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày ngắn gọn và súc tích về công thức phương trình tiếp tuyến:

Công thức cơ bản: $$y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)$$

Hoặc dạng khai triển: $$y = f'(x_0) \cdot x + [f(x_0) – x_0 \cdot f'(x_0)]$$

3 dạng bài chính:

Bảng công thức tổng hợp để tra cứu nhanh

Mẹo và lưu ý để tránh sai sót phổ biến

Chiến lược làm bài hiệu quả và phân bổ thời gian hợp lý

Xem thêm các bài viết liên quan:

• [Công thức đạo hàm đầy đủ và chi tiết]
• [Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm]
• [100 bài tập phương trình tiếp tuyến có lời giải chi tiết]
• [Bí quyết làm bài thi THPT Quốc gia môn Toán]