I. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG THỨC TAYLOR

1. Công thức Taylor là gì?

Định nghĩa ngắn gọn:

Công thức Taylor là một trong những công cụ mạnh mẽ nhất trong giải tích toán học, cho phép chúng ta xấp xỉ một hàm số phức tạp bằng một đa thức đơn giản hơn. Được phát triển bởi nhà toán học người Anh Brook Taylor (1685-1731), công thức này đã trở thành nền tảng không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực của toán học và ứng dụng thực tế.

Ý tưởng cốt lõi:

Thay vì phải tính trực tiếp các giá trị phức tạp như $e^x$, $\sin x$, $\ln(1+x)$ – những hàm số không dễ dàng tính toán bằng tay, công thức Taylor cho phép chúng ta biểu diễn chúng dưới dạng tổng vô hạn các lũy thừa đơn giản:

$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \ldots$$

Đây chính là sức mạnh của công thức Taylor – biến những hàm số “khó” thành những phép tính “dễ” với độ chính xác có thể kiểm soát được.

2. Tại sao cần học công thức Taylor?

Trong toán học:

Công thức Taylor đóng vai trò then chốt trong nhiều bài toán toán học:

• Tính gần đúng giá trị hàm số: Khi không có máy tính, làm sao tính $e^{0.1}$ hay $\sin 0.5$? Taylor giúp ta làm điều đó với độ chính xác mong muốn.
• Tính giới hạn dạng vô định: Các giới hạn dạng $\frac{0}{0}$ hay $\frac{\infty}{\infty}$ trở nên đơn giản hơn nhiều khi sử dụng khai triển Taylor.
• Giải phương trình vi phân: Nhiều phương trình vi phân phức tạp có thể giải gần đúng bằng chuỗi Taylor.
• Nghiên cứu tính chất hàm số: Khai triển Taylor giúp hiểu rõ hành vi của hàm số quanh một điểm.

Trong thực tế:

Ứng dụng của công thức Taylor vượt xa phạm vi lý thuyết:

• Vật lý: Xấp xỉ trong cơ học cổ điển, cơ học lượng tử, quang học. Ví dụ: công thức xấp xỉ cho dao động điều hòa.
• Kỹ thuật: Mô phỏng tín hiệu số, thiết kế bộ lọc, hệ thống điều khiển tự động.
• Tin học: Mọi máy tính đều sử dụng khai triển Taylor để tính các hàm lượng giác, mũ, logarit. Đây là cách duy nhất máy tính có thể tính được những hàm này!
• Kinh tế: Mô hình dự báo kinh tế, phân tích độ nhạy của các biến số.

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết này sẽ đưa bạn từ những khái niệm cơ bản đến ứng dụng thực tế:

• Công thức Taylor tổng quát – Hiểu bản chất và cấu trúc
• Công thức Maclaurin – Trường hợp đặc biệt quan trọng nhất
• Bảng khai triển các hàm thường gặp – 7 công thức cần nhớ thuộc
• Ứng dụng thực tế – 5 dạng bài tập phổ biến với lời giải chi tiết
• Lưu ý và mẹo – Tránh sai lầm, làm bài nhanh và chính xác

II. CÔNG THỨC TAYLOR TỔNG QUÁT

1. Công thức Taylor tại điểm $x_0$

Cho hàm số $f(x)$ khả vi vô hạn (tức là có đạo hàm mọi cấp) tại điểm $x_0$, ta có:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x – x_0)^n$$

Viết dạng khai triển đầy đủ:

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f”'(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \frac{f^{(4)}(x_0)}{4!}(x-x_0)^4 + \ldots$$

Giải thích các thành phần:

• $f^{(n)}(x_0)$: Đạo hàm cấp n của hàm số f tại điểm $x_0$
  • $f^{(0)}(x_0) = f(x_0)$ (chính hàm số)
  • $f^{(1)}(x_0) = f'(x_0)$ (đạo hàm cấp 1)
  • $f^{(2)}(x_0) = f”(x_0)$ (đạo hàm cấp 2)
• $n!$: Giai thừa của n, giúp “kiểm soát” độ lớn của các số hạng
  • $0! = 1$, $1! = 1$, $2! = 2$, $3! = 6$, $4! = 24$, …
• $(x – x_0)$: Khoảng cách từ x đến điểm khai triển $x_0$
  • Càng gần $x_0$ (tức $|x – x_0|$ nhỏ), xấp xỉ càng chính xác
  • Càng xa $x_0$, cần nhiều số hạng hơn để đạt độ chính xác

Ý nghĩa trực quan:

Công thức Taylor cho ta biết: Nếu biết giá trị của hàm số và tất cả các đạo hàm tại một điểm $x_0$, ta có thể “tái tạo” lại toàn bộ hàm số ở mọi điểm lân cận!

2. Đa thức Taylor cấp n (xấp xỉ hữu hạn)

Trong thực tế, chúng ta không thể tính vô hạn số hạng. Do đó, ta thường sử dụng đa thức Taylor cấp n:

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x – x_0)^k$$

Viết rõ:

$$P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

Ý nghĩa:

• $P_0(x) = f(x_0)$: Xấp xỉ bậc 0 (hằng số)
• $P_1(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$: Xấp xỉ tuyến tính (tiếp tuyến)
• $P_2(x)$: Xấp xỉ bậc hai (parabol)
• $P_3(x)$: Xấp xỉ bậc ba

Càng lấy nhiều số hạng (n lớn), xấp xỉ càng chính xác. Thông thường, với các bài toán thực tế, chỉ cần 3-5 số hạng đầu tiên là đủ.

3. Công thức dư (sai số)

Khi dừng lại ở số hạng thứ n, sai số giữa hàm thực và đa thức xấp xỉ được gọi là số dư Lagrange:

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x – x_0)^{n+1}$$

trong đó $\xi$ là một số nào đó nằm giữa $x$ và $x_0$ (không biết chính xác, nhưng biết nó tồn tại).

Ý nghĩa thực tế:

Công thức này cho phép ta ước lượng sai số khi xấp xỉ:

$$|f(x) – P_n(x)| = |R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x – x_0|^{n+1}$$

với $M = \max |f^{(n+1)}(t)|$ trên đoạn từ $x_0$ đến $x$.

Ví dụ đơn giản:

Nếu bạn muốn tính $e^{0.1}$ với sai số nhỏ hơn 0.001, công thức dư sẽ cho biết cần bao nhiêu số hạng trong khai triển.

4. Điều kiện áp dụng

Để công thức Taylor có hiệu lực, cần thỏa mãn các điều kiện:

✅ Hàm số phải khả vi vô hạn tại $x_0$

• Tức là tồn tại mọi đạo hàm $f'(x_0), f”(x_0), f”'(x_0), \ldots$

✅ Chuỗi phải hội tụ

• Không phải mọi chuỗi Taylor đều hội tụ đến đúng hàm số
• Mỗi hàm có “bán kính hội tụ” riêng

✅ Giá trị $|x – x_0|$ không quá lớn

• Càng gần $x_0$, hội tụ càng nhanh
• Ra khỏi miền hội tụ, chuỗi có thể phân kỳ hoàn toàn

Lưu ý quan trọng:

Không phải mọi hàm trơn đều có khai triển Taylor hữu dụng! Ví dụ: hàm $f(x) = e^{-1/x^2}$ (với $x \neq 0$) có mọi đạo hàm tại $x = 0$ đều bằng 0, nhưng hàm số không bằng 0. Khai triển Taylor tại $x = 0$ cho $f(x) \equiv 0$, hoàn toàn sai!

III. CÔNG THỨC MACLAURIN (TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT)

1. Định nghĩa

Công thức Maclaurin là trường hợp đặc biệt quan trọng nhất của công thức Taylor, khi ta khai triển tại điểm $x_0 = 0$:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Viết dạng khai triển đầy đủ:

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f”(0)}{2!}x^2 + \frac{f”'(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \ldots$$

Tại sao lại quan trọng?

Công thức Maclaurin được đặt theo tên nhà toán học Scotland Colin Maclaurin (1698-1746), mặc dù Taylor phát hiện trước. Lý do công thức này quan trọng:

Ưu điểm:

1. Đơn giản hơn nhiều: Không cần tính $(x – x_0)^n$, chỉ cần $x^n$
2. Dễ tính toán: Chỉ cần tính đạo hàm tại điểm x = 0 (thường rất đơn giản)
3. Ứng dụng rộng rãi: Hầu hết các hàm cơ bản đều khai triển tốt quanh x = 0
4. Chuẩn hóa: Tất cả các sách toán đều liệt kê công thức Maclaurin của các hàm phổ biến

2. Khi nào dùng Maclaurin?

✅ Khi cần xấp xỉ hàm số quanh điểm x = 0

Ví dụ: Tính $e^{0.1}$, $\sin 0.2$, $\ln 1.05$

✅ Khi tính giá trị gần đúng cho x nhỏ

Nhiều bài toán vật lý và kỹ thuật có biến số “nhỏ” (độ lệch nhỏ, dao động nhỏ, nhiễu nhỏ)

✅ Khi tính giới hạn có x → 0

Đây là ứng dụng kinh điển nhất: thay hàm số bằng khai triển Maclaurin để tính giới hạn

Ví dụ minh họa:

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x}$

Cách thông thường: Dùng quy tắc L’Hospital

Cách dùng Maclaurin: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots$

$$\frac{e^x – 1}{x} = \frac{x + \frac{x^2}{2} + \ldots}{x} = 1 + \frac{x}{2} + \ldots \to 1$$

3. Mối quan hệ Taylor – Maclaurin

Quan hệ: Maclaurin là Taylor với $x_0 = 0$

Chuyển đổi: Muốn khai triển $f(x)$ quanh $x_0 \neq 0$ bằng công thức Maclaurin?

Đặt $t = x – x_0$, khai triển $g(t) = f(t + x_0)$ theo Maclaurin:

$$f(x) = g(x – x_0) = g(0) + g'(0)(x-x_0) + \frac{g”(0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots$$

Ví dụ: Khai triển $\sin x$ quanh $x_0 = \frac{\pi}{2}$

Đặt $t = x – \frac{\pi}{2}$, ta có $\sin x = \sin(t + \frac{\pi}{2}) = \cos t$

Khai triển $\cos t$ theo Maclaurin:

$$\cos t = 1 – \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} – \ldots$$

$$\sin x = 1 – \frac{(x-\frac{\pi}{2})^2}{2} + \frac{(x-\frac{\pi}{2})^4}{24} – \ldots$$

IV. BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM THƯỜNG GẶP

1. Hàm mũ

Hàm $e^x$ (Hàm mũ cơ số e)

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

Đặc điểm:

• Tất cả các hệ số đều dương
• Có đầy đủ các bậc: 0, 1, 2, 3, 4, …
• Mẫu số là giai thừa: $n!$

Miền hội tụ: $x \in \mathbb{R}$ (hội tụ với mọi x)

Tốc độ hội tụ: Rất nhanh nhờ mẫu số là giai thừa tăng rất nhanh

Ví dụ cụ thể:

$$e^1 = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \ldots \approx 2.71828$$

Chỉ cần 6 số hạng đầu đã cho kết quả chính xác 4 chữ số thập phân!

Hàm $a^x$ (Hàm mũ cơ số a bất kỳ)

$$a^x = e^{x\ln a} = 1 + x\ln a + \frac{(x\ln a)^2}{2!} + \frac{(x\ln a)^3}{3!} + \ldots$$

Cách áp dụng: Chuyển về $e^x$ bằng công thức $a^x = e^{x \ln a}$, sau đó thay $t = x\ln a$

Ví dụ quan trọng:

Hàm $2^x$:

$$2^x = 1 + x\ln 2 + \frac{x^2(\ln 2)^2}{2} + \frac{x^3(\ln 2)^3}{6} + \ldots$$

Với $\ln 2 \approx 0.693$:

$$2^x \approx 1 + 0.693x + 0.240x^2 + 0.055x^3 + \ldots$$

2. Hàm lượng giác

Hàm $\sin x$

$$\sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} – \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

Đặc điểm nổi bật:

• Chỉ có số hạng bậc lẻ: 1, 3, 5, 7, 9, …
• Dấu xen kẽ: +, -, +, -, +, …
• Bắt đầu bằng dấu dương (+)
• Không có số hạng tự do (hệ số $x^0$ bằng 0)

Miền hội tụ: $x \in \mathbb{R}$ (hội tụ với mọi x)

Ghi nhớ: “Sin là Lẻ” – chỉ có số mũ lẻ

Ví dụ cụ thể:

$$\sin 1 = 1 – \frac{1}{6} + \frac{1}{120} – \frac{1}{5040} + \ldots \approx 0.8414709848$$

Hàm $\cos x$

$$\cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} – \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$

Đặc điểm nổi bật:

• Chỉ có số hạng bậc chẵn: 0, 2, 4, 6, 8, …
• Dấu xen kẽ: +, -, +, -, +, …
• Bắt đầu bằng số hạng +1
• Có số hạng tự do bằng 1 (vì $\cos 0 = 1$)

Miền hội tụ: $x \in \mathbb{R}$ (hội tụ với mọi x)

Ghi nhớ: “Cos là Chẵn” – chỉ có số mũ chẵn

Mối liên hệ thú vị: $\cos x$ là đạo hàm của $\sin x$, và điều này thể hiện rõ trong khai triển:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \frac{d}{dx}\left(x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \ldots\right) = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} – \ldots = \cos x$$

Hàm $\tan x$

$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \ldots$$

Đặc điểm:

• Chỉ có số hạng bậc lẻ (như $\sin x$)
• Hệ số phức tạp hơn nhiều (không có quy luật đơn giản)
• Ít được sử dụng vì độ phức tạp cao

Miền hội tụ: $|x| < \frac{\pi}{2}$

Lưu ý: Bán kính hội tụ nhỏ, chỉ dùng khi x gần 0

3. Hàm logarit

Hàm $\ln(1 + x)$

$$\ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} – \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$$

Đặc điểm quan trọng:

• Dấu xen kẽ: +, -, +, -, …
• Mẫu số là n (KHÔNG phải n!) – đây là điểm khác biệt lớn
• Tổng bắt đầu từ n = 1 (không có số hạng n = 0)
• Có đầy đủ các bậc: 1, 2, 3, 4, …

Miền hội tụ: $-1 < x \leq 1$

Lưu ý cực kỳ quan trọng:

• ✅ Với $x = 1$: $\ln 2 = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \ldots$ (hội tụ)
• ❌ Với $x = 2$: Chuỗi phân kỳ (vượt quá miền hội tụ)
• ❌ Với $x = -1$: Không xác định (vì $\ln 0$ không tồn tại)

Hàm $\ln(1 – x)$

$$\ln(1 – x) = -x – \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} – \ldots = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$$

Đặc điểm:

• Tất cả các số hạng đều âm
• Giống $\ln(1+x)$ nhưng đổi dấu trừ thành cộng trong biểu thức

Miền hội tụ: $-1 \leq x < 1$

Công thức liên quan hữu ích:

$$\ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x) – \ln(1-x) = 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \ldots\right)$$

Đặc điểm: Chỉ có số hạng bậc lẻ, tất cả đều dương

Ứng dụng: Tính logarit tự nhiên nhanh hơn

Ví dụ: Tính $\ln 2$

Chọn $x = \frac{1}{3}$, ta có $\frac{1+1/3}{1-1/3} = \frac{4/3}{2/3} = 2$

$$\ln 2 = 2\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3^3} + \frac{1}{5 \cdot 3^5} + \ldots\right)$$

Chuỗi này hội tụ rất nhanh!

4. Hàm lũy thừa và căn

Hàm $(1 + x)^{\alpha}$ (Công thức nhị thức Newton tổng quát)

$$(1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \ldots$$

$$= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n$$

với hệ số tổng quát hóa:

$$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$$

Miền hội tụ: $|x| < 1$

Lưu ý: Khi $\alpha$ không phải số nguyên dương, chuỗi là vô hạn

Các trường hợp đặc biệt quan trọng:

1. Hàm căn bậc hai: $\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}$

$$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} – \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} – \frac{5x^4}{128} + \ldots$$

Ứng dụng: Tính căn bậc hai gần đúng

Ví dụ: $\sqrt{1.1} \approx 1 + \frac{0.1}{2} – \frac{0.01}{8} = 1.05 – 0.00125 = 1.04875$

2. Hàm nghịch đảo: $\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$$\frac{1}{1+x} = 1 – x + x^2 – x^3 + x^4 – x^5 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$$

Ghi nhớ: Đây chính là công thức chuỗi hình học!

Miền hội tụ: $|x| < 1$

Ứng dụng: Nền tảng cho nhiều chuỗi khác

3. Chuỗi hình học thuận: $\frac{1}{1-x}$

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$$

Đặc điểm: Tất cả hệ số đều bằng 1

Miền hội tụ: $|x| < 1$

Công thức tổng hữu hạn: $1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}$

4. Căn nghịch đảo: $\frac{1}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{-1/2}$

$$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 – \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} – \frac{5x^3}{16} + \frac{35x^4}{128} – \ldots$$

Ứng dụng: Tính gần đúng các biểu thức có dạng $\frac{1}{\sqrt{a}}$ với a gần 1

5. Hàm lượng giác ngược

Hàm $\arctan x$

$$\arctan x = x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} – \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} – \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$$

Đặc điểm:

• Chỉ có số hạng bậc lẻ
• Dấu xen kẽ
• Mẫu số là số lẻ đơn giản (không có giai thừa!)

Miền hội tụ: $|x| \leq 1$

Ứng dụng kinh điển: Tính số $\pi$

Với $x = 1$: $\arctan 1 = \frac{\pi}{4} = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \ldots$

Đây là công thức Leibniz tính $\pi$ (tuy hội tụ chậm)

Hàm $\arcsin x$

$$\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \frac{5x^7}{112} + \frac{35x^9}{1152} + \ldots$$

$$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$$

Đặc điểm:

• Chỉ có số hạng bậc lẻ
• Tất cả hệ số đều dương
• Hệ số phức tạp

Miền hội tụ: $|x| < 1$

Lưu ý: Ít được sử dụng vì hệ số phức tạp

6. Bảng tổng hợp nhanh

Mẹo ghi nhớ:

• Hàm có giai thừa: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$
• Hàm không có giai thừa: $\ln(1+x)$, $\arctan x$
• Hàm chỉ có bậc lẻ: $\sin x$, $\arctan x$
• Hàm chỉ có bậc chẵn: $\cos x$

V. ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TAYLOR

Dạng 1: Tính gần đúng giá trị hàm số

Phương pháp:

1. Chọn khai triển Taylor/Maclaurin phù hợp
2. Lấy n số hạng đầu tiên
3. Thay giá trị x vào
4. Ước lượng sai số (nếu yêu cầu)

Ví dụ 1: Tính gần đúng $e^{0.1}$ với sai số nhỏ hơn 0.001

Lời giải:

Sử dụng khai triển: $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots$$

Với $x = 0.1$:

Số hạng 1: $P_0 = 1$

Số hạng 2: $P_1 = 1 + 0.1 = 1.1$

Số hạng 3: $P_2 = 1.1 + \frac{(0.1)^2}{2} = 1.1 + \frac{0.01}{2} = 1.1 + 0.005 = 1.105$

Số hạng 4: $P_3 = 1.105 + \frac{(0.1)^3}{6} = 1.105 + \frac{0.001}{6} \approx 1.105 + 0.000167 = 1.105167$

Ước lượng sai số:

Sai số khi dừng ở $P_3$:

$$|R_3| \leq \frac{e^{0.1}}{4!} \cdot (0.1)^4 < \frac{e^{0.1}}{24} \cdot 0.0001 < \frac{1.11}{24} \cdot 0.0001 < 0.000005 < 0.001$$ ✓

Kết luận: $e^{0.1} \approx 1.105$ với sai số < 0.001

Giá trị thực: $e^{0.1} = 1.10517091…$

Ví dụ 2: Tính $\sin 0.5$ với 3 chữ số thập phân chính xác

Lời giải:

$$\sin x = x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \frac{x^7}{5040} + \ldots$$

Với $x = 0.5$:

$$\sin 0.5 = 0.5 – \frac{(0.5)^3}{6} + \frac{(0.5)^5}{120} – \ldots$$

$$= 0.5 – \frac{0.125}{6} + \frac{0.03125}{120} – \ldots$$

$$= 0.5 – 0.020833… + 0.000260… – \ldots$$

$$\approx 0.479$$

Giá trị thực: $\sin 0.5 = 0.479425538…$

Với chỉ 3 số hạng, ta đã đạt độ chính xác 3 chữ số thập phân!

Ví dụ 3: Tính $\ln 1.2$ với 4 chữ số thập phân

Lời giải:

Ta có $1.2 = 1 + 0.2$, sử dụng:

$$\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + \ldots$$

Với $x = 0.2$:

$$\ln 1.2 = 0.2 – \frac{(0.2)^2}{2} + \frac{(0.2)^3}{3} – \frac{(0.2)^4}{4} + \ldots$$

$$= 0.2 – \frac{0.04}{2} + \frac{0.008}{3} – \frac{0.0016}{4} + \ldots$$

$$= 0.2 – 0.02 + 0.002667 – 0.0004 + \ldots$$

$$\approx 0.1823$$

Giá trị thực: $\ln 1.2 = 0.182321556…$

Dạng 2: Tính giới hạn

Phương pháp:

1. Thay mỗi hàm số bằng khai triển Taylor
2. Rút gọn biểu thức
3. Cho x → 0 (hoặc điểm giới hạn)
4. Tính giá trị giới hạn

Ví dụ 4: Tính $\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2}$

Lời giải:

Khai triển $e^x$: $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \ldots$$

Do đó: $$e^x – 1 – x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \ldots$$

$$\frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \ldots}{x^2}$$

$$= \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{24} + \ldots$$

Khi $x \to 0$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

Ví dụ 5: Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x – x}{x^3}$

Lời giải:

$$\sin x = x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \ldots$$

$$\sin x – x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \ldots$$

$$\frac{\sin x – x}{x^3} = -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} – \ldots$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x – x}{x^3} = -\frac{1}{6}$$

Ví dụ 6: Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) – x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$

Lời giải:

$$\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + \ldots$$

$$\ln(1+x) – x + \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + \ldots$$

$$\frac{\ln(1+x) – x + \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{3} – \frac{x}{4} + \ldots$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) – x + \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{3}$$

Dạng 3: Giải phương trình gần đúng

Ví dụ 7: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình $e^x = x + 2$ gần $x = 0$

Lời giải:

Khai triển: $$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$$

Phương trình trở thành: $$1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \approx x + 2$$

$$\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \approx 1$$

$$x^2 + \frac{x^3}{3} \approx 2$$

Với x nhỏ, bỏ qua $\frac{x^3}{3}$: $$x^2 \approx 2$$ $$x \approx \sqrt{2} \approx 1.41$$

Lưu ý: Đây là xấp xỉ ban đầu, có thể tinh chỉnh bằng phương pháp Newton-Raphson

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 8: Chứng minh: $e^x > 1 + x$ với mọi $x > 0$

Chứng minh:

Khai triển Taylor: $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots$$

Với $x > 0$, tất cả các số hạng $\frac{x^n}{n!}$ (với $n \geq 2$) đều dương:

$$e^x = 1 + x + \underbrace{\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots}_{> 0 \text{ khi } x > 0} > 1 + x$$

Kết luận: $e^x > 1 + x$ với mọi $x > 0$ ✓

Ví dụ 9: Chứng minh: $\sin x < x$ với mọi $x > 0$

Chứng minh:

$$\sin x = x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \frac{x^7}{5040} + \ldots$$

Nhóm các số hạng: $$\sin x = x – \left(\frac{x^3}{6} – \frac{x^5}{120} + \frac{x^7}{5040} – \ldots\right)$$

Với $x > 0$ (và đủ nhỏ), chuỗi trong ngoặc dương (do số hạng đầu tiên chiếm ưu thế):

$$\sin x = x – (\text{số dương}) < x$$

Kết luận: $\sin x < x$ với $x > 0$ nhỏ ✓

Dạng 5: Tính tích phân gần đúng

Ví dụ 10: Tính $\int_0^{0.5} e^{-x^2} dx$ với sai số < 0.001

Lời giải:

Hàm $e^{-x^2}$ không có nguyên hàm sơ cấp, nhưng có thể khai triển:

$$e^{-x^2} = e^{-(x^2)} = 1 – x^2 + \frac{x^4}{2} – \frac{x^6}{6} + \ldots$$

(Thay $t = -x^2$ vào khai triển $e^t$)

$$\int_0^{0.5} e^{-x^2} dx \approx \int_0^{0.5} \left(1 – x^2 + \frac{x^4}{2} – \frac{x^6}{6}\right) dx$$

$$= \left[x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} – \frac{x^7}{42}\right]_0^{0.5}$$

$$= 0.5 – \frac{0.125}{3} + \frac{0.03125}{10} – \frac{0.0078125}{42}$$

$$= 0.5 – 0.041667 + 0.003125 – 0.000186$$

$$\approx 0.461$$

Giá trị chính xác hơn: 0.46132…

Ví dụ 11: Tính $\int_0^{1} \frac{\sin x}{x} dx$ với 3 số hạng

Lời giải:

$$\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x}\left(x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \ldots\right) = 1 – \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} – \ldots$$

$$\int_0^{1} \frac{\sin x}{x} dx \approx \int_0^{1} \left(1 – \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120}\right) dx$$

$$= \left[x – \frac{x^3}{18} + \frac{x^5}{600}\right]_0^{1}$$

$$= 1 – \frac{1}{18} + \frac{1}{600}$$

$$= 1 – 0.05556 + 0.00167$$

$$\approx 0.946$$

VI. LƯU Ý VÀ MẸO KHI SỬ DỤNG

1. Lưu ý về miền hội tụ

⚠️ Nguyên tắc vàng: Luôn kiểm tra miền hội tụ trước khi áp dụng

Tại sao quan trọng?

Không phải mọi chuỗi Taylor đều hội tụ với mọi giá trị x. Sử dụng ngoài miền hội tụ sẽ cho kết quả hoàn toàn sai.

Ví dụ sai lầm điển hình:

Tính $\ln 3$ bằng công thức $\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \ldots$

$$\ln 3 = \ln(1 + 2) = 2 – \frac{4}{2} + \frac{8}{3} – \frac{16}{4} + \ldots = 2 – 2 + 2.667 – 4 + \ldots$$

Chuỗi này phân kỳ vì $x = 2 > 1$ (ngoài miền hội tụ $-1 < x \leq 1$)!

Cách đúng:

$$\ln 3 = \ln(1.5 \times 2) = \ln 1.5 + \ln 2$$

Hoặc dùng công thức: $\ln 3 = \ln\frac{1+0.5}{1-0.5} = 2\left(0.5 + \frac{0.5^3}{3} + \ldots\right)$

Quy tắc thực hành:

• ✅ $|x|$ càng nhỏ, hội tụ càng nhanh
• ✅ Kiểm tra bảng miền hội tụ trước khi tính
• ✅ Với $|x|$ lớn, cần rất nhiều số hạng (hoặc không hội tụ)

2. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1 – Quy luật dấu:

Dấu toàn dương (+):

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$
• $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$
• $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} – \frac{x^2}{8} + \ldots$ (dấu xen kẽ nhưng bắt đầu bằng +)

Dấu xen kẽ (+, -, +, -):

• $\sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \ldots$ (bắt đầu +)
• $\cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \ldots$ (bắt đầu +)
• $\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \ldots$ (bắt đầu +)
• $\arctan x = x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} – \ldots$ (bắt đầu +)
• $\frac{1}{1+x} = 1 – x + x^2 – x^3 + \ldots$ (bắt đầu +)

Dấu toàn âm (-):

• $\ln(1-x) = -x – \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{3} – \ldots$

Mẹo 2 – Quy luật bậc:

Chỉ có bậc lẻ (1, 3, 5, 7, …):

• $\sin x$ – “Sin là Lẻ“
• $\arctan x$
• $\ln\frac{1+x}{1-x}$

Chỉ có bậc chẵn (0, 2, 4, 6, …):

• $\cos x$ – “Cos là Chẵn“

Có đầy đủ các bậc:

• $e^x$
• $\ln(1+x)$
• $(1+x)^{\alpha}$

Mẹo 3 – Quy luật mẫu số:

Mẫu là giai thừa ($n!$):

• $e^x$: $\frac{x^n}{n!}$
• $\sin x$: $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x$: $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Mẫu là n (không có giai thừa):

• $\ln(1+x)$: $\frac{x^n}{n}$
• $\arctan x$: $\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

Mẫu phức tạp hơn:

• $(1+x)^{\alpha}$: Hệ số nhị thức tổng quát

Mẹo 4 – Liên hệ giữa các hàm:

Đạo hàm:

• $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ → Khai triển $\cos x$ = Đạo hàm từng số hạng của $\sin x$
• $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ → Khai triển $e^x$ đạo hàm bằng chính nó
• $\frac{d}{dx}(\ln(1+x)) = \frac{1}{1+x}$ → Đạo hàm $\ln(1+x)$ cho chuỗi hình học

Tích phân:

• $\int \frac{1}{1+x} dx = \ln(1+x) + C$
• $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$

3. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Dùng công thức ngoài miền hội tụ

Ví dụ sai: Tính $\ln 5$ bằng $\ln(1+x)$ với $x = 4$

$$\ln 5 = 4 – \frac{16}{2} + \frac{64}{3} – \ldots$$ → Phân kỳ!

Cách đúng: Dùng $\ln 5 = \ln 2 + \ln 2.5$ hoặc công thức khác

❌ Sai lầm 2: Nhầm dấu trong khai triển

Ví dụ sai: $\sin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \ldots$ (sai dấu!)

Đúng: $\sin x = x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \ldots$

Cách nhớ: Vẽ đồ thị $\sin x$ → Dưới đường thẳng $y = x$ khi $x > 0$ → Phải có dấu trừ

❌ Sai lầm 3: Quên giai thừa ở mẫu

Ví dụ sai: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots$ (nhầm với $\ln(1+x)$!)

Đúng: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$

Cách nhớ: $e^x$ có giai thừa, $\ln(1+x)$ không có

❌ Sai lầm 4: Lấy quá ít số hạng

Ví dụ: Tính $e^2$ bằng $1 + 2 = 3$ → Sai quá xa! (đáp án đúng: $e^2 \approx 7.389$)

Nguyên tắc:

• Với x nhỏ ($|x| < 0.5$): 3-4 số hạng thường đủ
• Với x trung bình: Cần 5-7 số hạng
• Với x lớn: Cần rất nhiều số hạng (hoặc không nên dùng)

Luôn ước lượng sai số!

❌ Sai lầm 5: Nhầm chỉ số bắt đầu

Ví dụ sai: $\ln(1+x) = 1 + x – \frac{x^2}{2} + \ldots$ (sai số hạng đầu!)

Đúng: $\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \ldots$ (bắt đầu từ $x^1$, không có số hạng $x^0$)

5. Bảng tra cứu nhanh

Khi nào dùng công thức nào?

VII. KẾT LUẬN

Qua bài viết chi tiết này, chúng ta đã cùng nhau khám phá toàn diện về Công thức Taylor – một trong những công cụ mạnh mẽ và đẹp đẽ nhất của giải tích toán học:

Công thức Taylor tổng quát:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

Công thức này cho phép biểu diễn bất kỳ hàm số trơn nào thành tổng vô hạn các đa thức đơn giản.

Công thức Maclaurin:

Trường hợp đặc biệt khi $x_0 = 0$:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

Đây là công thức được sử dụng nhiều nhất trong thực tế do tính đơn giản và tiện dụng.

Bảng khai triển 9 hàm cơ bản:

1. $e^x$: $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$ (hội tụ mọi x)
2. $\sin x$: $x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \ldots$ (chỉ bậc lẻ)
3. $\cos x$: $1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \ldots$ (chỉ bậc chẵn)
4. $\ln(1+x)$: $x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \ldots$ (hội tụ khi $-1 < x \leq 1$)
5. $(1+x)^{\alpha}$: $1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \ldots$
6. $\frac{1}{1-x}$: $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$ (chuỗi hình học)
7. $\frac{1}{1+x}$: $1 – x + x^2 – x^3 + \ldots$
8. $\arctan x$: $x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} – \ldots$
9. $\sqrt{1+x}$: $1 + \frac{x}{2} – \frac{x^2}{8} + \ldots$

Học thuộc 5-7 công thức đầu tiên là cơ sở để giải mọi bài tập!

5 dạng ứng dụng thực tế:

1. Tính gần đúng giá trị hàm số – Khi không có máy tính hoặc cần hiểu bản chất
2. Tính giới hạn dạng vô định – Công cụ mạnh hơn cả L’Hospital
3. Giải phương trình gần đúng – Xấp xỉ ban đầu cho các phương pháp số
4. Chứng minh bất đẳng thức – Dựa vào dấu các số hạng
5. Tính tích phân gần đúng – Khi không có nguyên hàm sơ cấp

Lưu ý và mẹo quan trọng:

• Luôn kiểm tra miền hội tụ trước khi áp dụng
• Nhớ quy luật dấu và quy luật bậc để không nhầm lẫn
• Phân biệt hàm có giai thừa ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$) và không có giai thừa ($\ln(1+x)$, $\arctan x$)
• Ước lượng sai số khi tính gần đúng để đảm bảo độ chính xác

Lời khuyên để thành thạo công thức Taylor

Học thuộc 5-7 công thức cơ bản nhất

Ưu tiên học thuộc theo thứ tự:

1. $e^x$ (quan trọng nhất!)
2. $\sin x$ và $\cos x$ (cặp đôi lượng giác)
3. $\ln(1+x)$ (logarit cơ bản)
4. $\frac{1}{1-x}$ và $\frac{1}{1+x}$ (chuỗi hình học)
5. $(1+x)^{\alpha}$ (tổng quát nhị thức Newton)

Chú ý đặc biệt đến miền hội tụ

Đây là lỗi phổ biến nhất! Viết ra bảng nhỏ:

• $e^x$, $\sin x$, $\cos x$: hội tụ mọi nơi → An toàn nhất
• $\ln(1+x)$: chỉ khi $-1 < x \leq 1$
• $(1+x)^{\alpha}$, $\frac{1}{1 \pm x}$, $\arctan x$: thường $|x| < 1$

Luyện tập tính giới hạn bằng Taylor thường xuyên

Đây là ứng dụng phổ biến nhất trong thi cử:

• Bắt đầu với giới hạn đơn giản: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
• Tiến tới phức tạp hơn: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x – \frac{x^2}{2}}{x^3}$
• Làm ít nhất 20-30 bài để thuần thục

Luôn kiểm tra sai số khi tính gần đúng

Sử dụng công thức dư: $|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x|^{n+1}$

Ước lượng trước khi tính để biết cần bao nhiêu số hạng.

Hiểu ý nghĩa hình học

• Khai triển Taylor bậc 1: Tiếp tuyến của hàm số
• Khai triển bậc 2: Parabol xấp xỉ
• Bậc cao hơn: Xấp xỉ càng sát đồ thị hàm số

Liên hệ với đạo hàm

Công thức Taylor là “mở rộng” của khái niệm đạo hàm:

• Đạo hàm cho biết “tốc độ thay đổi tức thời”
• Taylor cho biết “toàn bộ hành vi của hàm số”

Thực hành viết code tính chuỗi Taylor

Viết chương trình đơn giản (Python, MATLAB, …) để:

• Tính $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ bằng chuỗi Taylor
• So sánh với hàm có sẵn trong thư viện
• Hiểu cách máy tính thực sự hoạt động!

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa