I. GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKOWSKI

1. Bất đẳng thức Bunhiakowski là gì?

Định nghĩa ngắn gọn:

Bất đẳng thức Bunhiakowski (hay Cauchy-Schwarz) là một trong những bất đẳng thức cơ bản và quan trọng nhất trong toán học. Đây là công cụ không thể thiếu trong giải toán, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị.

Dạng cơ bản với 2 số:

$$\boxed{(a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)} (chuẩn sát nhất)$$

Hoặc: $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$

Dạng tổng quát với n số:

$$\boxed{\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)}$$

Viết đầy đủ:

$$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + … + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2)$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: Hai dãy số $(a_i)$ và $(b_i)$ tỉ lệ với nhau, tức là: $$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = … = \frac{a_n}{b_n}$$

(hoặc một trong hai dãy toàn số 0)

2. Tên gọi và lịch sử

Bất đẳng thức này mang tên của ba nhà toán học vĩ đại:

• Augustin-Louis Cauchy (Pháp, 1821) – Người đầu tiên phát biểu bất đẳng thức này cho dãy số hữu hạn
• Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (Nga, 1859) – Mở rộng và chứng minh cho trường hợp tích phân
• Hermann Amandus Schwarz (Đức, 1888) – Tổng quát hóa và ứng dụng rộng rãi

Các tên gọi phổ biến:

• Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (phổ biến nhất trên thế giới)
• Bất đẳng thức Bunhiakowski (phổ biến ở Việt Nam và Nga)
• Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz (tên đầy đủ)
• Công thức Bunhia (viết tắt thông dụng ở Việt Nam)

II. CÁC DẠNG CÔNG THỨC BUNHIAKOWSKI

1. Dạng đại số (với dãy số hữu hạn)

Dạng chuẩn (dạng bình phương):

$$\boxed{\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)}$$

Viết đầy đủ:

$$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + … + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2)$$

Điều kiện dấu bằng:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hằng số $k$ sao cho: $$a_i = k b_i \text{ với mọi } i = 1, 2, …, n$$

Hay nói cách khác: $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = … = \frac{a_n}{b_n}$

Trường hợp đặc biệt với 2 số:

$$(a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$$

Trường hợp với 3 số:

$$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2)$$

2. Dạng tích phân (Bunhiakowski-Schwarz)

Với hàm liên tục trên đoạn $[a, b]$:

$$\boxed{\left(\int_a^b f(x)g(x) , dx\right)^2 \leq \left(\int_a^b f^2(x) , dx\right)\left(\int_a^b g^2(x) , dx\right)}$$

Điều kiện dấu bằng:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hằng số $k$ sao cho: $$f(x) = k g(x) \text{ với mọi } x \in [a, b]$$

Ý nghĩa: Đây là dạng tổng quát của Bunhiakowski cho trường hợp liên tục (tích phân thay vì tổng rời rạc).

3. Dạng vector (Hình học)

Với hai vector $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong không gian:

$$\boxed{|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$

Hoặc dạng bình phương:

$$\boxed{(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 \leq |\vec{u}|^2 \cdot |\vec{v}|^2}$$

Ý nghĩa hình học:

Công thức tích vô hướng: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$

Vì $|\cos\theta| \leq 1$ với mọi góc $\theta$, nên: $$|\vec{u} \cdot \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}||\cos\theta| \leq |\vec{u}||\vec{v}|$$

Điều kiện dấu bằng:

Dấu “=” xảy ra khi $|\cos\theta| = 1$, tức $\theta = 0°$ hoặc $\theta = 180°$.

Nói cách khác: Hai vector cùng phương (cùng hướng hoặc ngược hướng).

Viết theo tọa độ:

Nếu $\vec{u} = (u_1, u_2, …, u_n)$ và $\vec{v} = (v_1, v_2, …, v_n)$:

$$(u_1 v_1 + u_2 v_2 + … + u_n v_n)^2 \leq (u_1^2 + u_2^2 + … + u_n^2)(v_1^2 + v_2^2 + … + v_n^2)$$

4. Dạng ma trận

Với ma trận nửa xác định dương $A$ (positive semidefinite matrix):

$$|\langle x, Ay \rangle|^2 \leq \langle x, Ax \rangle \cdot \langle y, Ay \rangle$$

Đây là dạng tổng quát nhất của Bunhiakowski trong không gian tích vô hướng.

5. Các dạng biến thể thường gặp

Biến thể 1 – Chia hai vế cho tích:

$$\boxed{\frac{(a_1 b_1 + a_2 b_2 + … + a_n b_n)^2}{(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2)} \leq 1}$$

Biến thể 2 – Dạng khai căn:

$$\boxed{\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}}$$

Đây là dạng thuận tiện khi làm việc với căn bậc hai.

Biến thể 3 – Dạng đặc biệt với 3 số:

$$(ab + bc + ca)^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + a^2) = (a^2 + b^2 + c^2)^2$$

Do đó: $ab + bc + ca \leq a^2 + b^2 + c^2$

Biến thể 4 – Dạng phân số (Engel):

$$\boxed{\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + … + \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + … + a_n)^2}{b_1 + b_2 + … + b_n}}$$

(với $b_i > 0$ với mọi $i$)

Đây là hệ quả quan trọng của Bunhiakowski, rất hữu ích trong nhiều bài toán.

Chứng minh: Áp dụng Bunhiakowski cho hai dãy $\left(\frac{a_i}{\sqrt{b_i}}\right)$ và $(\sqrt{b_i})$:

$$\left(\sum \frac{a_i}{\sqrt{b_i}} \cdot \sqrt{b_i}\right)^2 \leq \left(\sum \frac{a_i^2}{b_i}\right)\left(\sum b_i\right)$$

$$(\sum a_i)^2 \leq \left(\sum \frac{a_i^2}{b_i}\right)(\sum b_i)$$

Biến thể 5 – Bất đẳng thức tích-tổng:

$$(a_1 + a_2 + … + a_n)\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + … + \frac{1}{a_n}\right) \geq n^2$$

(với $a_i > 0$ với mọi $i$)

Chứng minh: Áp dụng dạng Engel với $a_i = 1$ và $b_i = a_i$.

III. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKOWSKI

Phương pháp 1: Dùng tam thức bậc hai

Đây là phương pháp chứng minh cổ điển và dễ hiểu nhất.

Ý tưởng: Xét một tam thức bậc hai luôn không âm, từ đó suy ra điều kiện cho delta.

Chứng minh:

Xét hàm số theo biến $t$:

$$f(t) = \sum_{i=1}^{n} (a_i t – b_i)^2$$

Bước 1: Nhận xét rằng $f(t) \geq 0$ với mọi $t \in \mathbb{R}$ (vì là tổng các bình phương).

Bước 2: Khai triển $f(t)$:

$$f(t) = \sum_{i=1}^{n} (a_i^2 t^2 – 2a_i b_i t + b_i^2)$$

$$= t^2 \sum_{i=1}^{n} a_i^2 – 2t \sum_{i=1}^{n} a_i b_i + \sum_{i=1}^{n} b_i^2$$

Đặt $A = \sum a_i^2$, $B = \sum a_i b_i$, $C = \sum b_i^2$, ta có:

$$f(t) = At^2 – 2Bt + C$$

Bước 3: Vì $f(t) \geq 0$ với mọi $t$, tam thức bậc hai này phải có:

$$\Delta’ = B^2 – AC \leq 0$$

Bước 4: Từ đó suy ra:

$$\left(\sum a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$$

Điều kiện dấu bằng:

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \Delta’ = 0 \Leftrightarrow$ tồn tại $t_0$ sao cho $f(t_0) = 0$

$\Leftrightarrow a_i t_0 – b_i = 0$ với mọi $i$

$\Leftrightarrow a_i = \frac{b_i}{t_0}$ với mọi $i$ (nếu $t_0 \neq 0$)

$\Leftrightarrow$ Hai dãy $(a_i)$ và $(b_i)$ tỉ lệ với nhau ✓

Phương pháp 2: Dùng vector và tích vô hướng

Đây là cách chứng minh hình học, trực quan và đẹp mắt.

Chứng minh:

Xét hai vector trong không gian $n$ chiều:

• $\vec{u} = (a_1, a_2, …, a_n)$
• $\vec{v} = (b_1, b_2, …, b_n)$

Bước 1: Tích vô hướng của hai vector:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + … + a_n b_n = \sum a_i b_i$$

Bước 2: Công thức tích vô hướng:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$$

trong đó $\theta$ là góc giữa hai vector.

Bước 3: Vì $|\cos\theta| \leq 1$ với mọi $\theta$, nên:

$$|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$$

$$\left|\sum a_i b_i\right| \leq \sqrt{\sum a_i^2} \cdot \sqrt{\sum b_i^2}$$

Bước 4: Bình phương hai vế:

$$\left(\sum a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$$ ✓

Điều kiện dấu bằng:

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow |\cos\theta| = 1 \Leftrightarrow \theta = 0°$ hoặc $180°$

$\Leftrightarrow$ Hai vector cùng phương

$\Leftrightarrow \vec{u} = k\vec{v}$ với $k \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow a_i = kb_i$ với mọi $i$ ✓

Phương pháp 3: Biến đổi trực tiếp

Đây là cách chứng minh bằng khai triển đại số thuần túy.

Chứng minh:

Ta cần chứng minh:

$$\left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{j=1}^{n} b_j^2\right) – \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \geq 0$$

Khai triển vế trái:

$$VT = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i^2 b_j^2 – \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i b_i a_j b_j$$

$$= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (a_i^2 b_j^2 – a_i b_i a_j b_j)$$

$$= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (a_i^2 b_j^2 – 2a_i b_j a_j b_i + a_j^2 b_i^2)$$

(Nhân đôi rồi chia 2, và sử dụng tính đối xứng)

$$= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (a_i b_j – a_j b_i)^2$$

$$= \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_i b_j – a_j b_i)^2 \geq 0$$ ✓

Kết luận: Vì tổng các bình phương luôn không âm, bất đẳng thức được chứng minh.

Điều kiện dấu bằng:

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a_i b_j – a_j b_i = 0$ với mọi $i, j$

$\Leftrightarrow a_i b_j = a_j b_i$ với mọi $i, j$

$\Leftrightarrow \frac{a_i}{b_i} = \frac{a_j}{b_j}$ với mọi $i, j$ (nếu $b_i, b_j \neq 0$)

$\Leftrightarrow$ Hai dãy tỉ lệ ✓

IV. ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức cơ bản

Ví dụ 1: Cho $a, b, c$ là các số thực. Chứng minh:

$$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$$

Lời giải:

Cách 1: Dùng Bunhiakowski trực tiếp

Áp dụng BĐT Bunhiakowski:

$$(ab + bc + ca)^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + a^2)$$

$$(ab + bc + ca)^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)^2$$

Lấy căn bậc hai (cả hai vế không âm):

$$|ab + bc + ca| \leq a^2 + b^2 + c^2$$

Do đó: $ab + bc + ca \leq a^2 + b^2 + c^2$ ✓

Dấu bằng: Xảy ra khi $a = b = c$

Ví dụ 2: Cho $x, y, z > 0$. Chứng minh:

$$\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{z} + \frac{z^2}{x} \geq x + y + z$$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiakowski dạng Engel:

$$\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{z} + \frac{z^2}{x} \geq \frac{(x + y + z)^2}{y + z + x} = \frac{(x + y + z)^2}{x + y + z} = x + y + z$$ ✓

Dấu bằng: Xảy ra khi $\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}$, tức là $x = y = z$

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Ví dụ 3: Cho $x^2 + y^2 = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P = 3x + 4y$

Lời giải:

Áp dụng Bunhiakowski với hai dãy $(3, 4)$ và $(x, y)$:

$$(3x + 4y)^2 \leq (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2)$$

$$(3x + 4y)^2 \leq (9 + 16) \cdot 1 = 25$$

$$|3x + 4y| \leq 5$$

$$-5 \leq 3x + 4y \leq 5$$

Giá trị lớn nhất: $P_{max} = 5$

Điều kiện: Dấu “=” xảy ra khi:

$$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \text{ và } x^2 + y^2 = 1$$

Đặt $x = 3t$, $y = 4t$, thay vào điều kiện:

$$9t^2 + 16t^2 = 1 \Rightarrow 25t^2 = 1 \Rightarrow t = \pm\frac{1}{5}$$

Với $t = \frac{1}{5}$: $x = \frac{3}{5}, y = \frac{4}{5}$

Kết luận: $P_{max} = 5$ đạt tại $\left(\frac{3}{5}; \frac{4}{5}\right)$

Ví dụ 4: Cho $a + b + c = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S = a^2 + b^2 + c^2$

Lời giải:

Áp dụng Bunhiakowski với hai dãy $(a, b, c)$ và $(1, 1, 1)$:

$$(a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2)$$

$$(a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)$$

$$9 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)$$

$$a^2 + b^2 + c^2 \geq 3$$

Giá trị nhỏ nhất: $S_{min} = 3$

Điều kiện: Dấu “=” xảy ra khi:

$$\frac{a}{1} = \frac{b}{1} = \frac{c}{1}$$

$$\Rightarrow a = b = c$$

Kết hợp với $a + b + c = 3$: $a = b = c = 1$

Kết luận: $S_{min} = 3$ đạt tại $a = b = c = 1$

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức phức tạp

Ví dụ 5: Cho $a, b, c > 0$ và $a + b + c = 3$. Chứng minh:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3$$

Lời giải:

Áp dụng Bunhiakowski với hai dãy $\left(\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{b}}, \frac{1}{\sqrt{c}}\right)$ và $(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})$:

$$\left(\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{b}} \cdot \sqrt{b} + \frac{1}{\sqrt{c}} \cdot \sqrt{c}\right)^2$$ $$\leq \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)(a + b + c)$$

$$(1 + 1 + 1)^2 \leq \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)(a + b + c)$$

$$9 \leq \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \cdot 3$$

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3$$ ✓

Dấu bằng: Xảy ra khi $a = b = c = 1$

Ví dụ 6: Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh:

$$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq a + b + c$$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiakowski dạng Engel với hai dãy $(a, b, c)$ và $(b, c, a)$:

$$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{(a + b + c)^2}{b + c + a} = \frac{(a + b + c)^2}{a + b + c} = a + b + c$$ ✓

Dấu bằng: Xảy ra khi $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$, tức $a = b = c$

Dạng 4: Kết hợp với AM-GM

Ví dụ 7: Cho $a, b, c > 0$ và $abc = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$P = \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}$$

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng Bunhiakowski dạng Engel:

$$P = \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{(a + b + c)^2}{b + c + a} = a + b + c$$

Bước 2: Áp dụng AM-GM:

$$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3\sqrt[3]{1} = 3$$

Bước 3: Kết hợp:

$$P \geq a + b + c \geq 3$$

Giá trị nhỏ nhất: $P_{min} = 3$

Điều kiện: Dấu “=” xảy ra khi:

• Từ Bunhiakowski: $a = b = c$
• Từ AM-GM: $a = b = c$
• Từ $abc = 1$: $a = b = c = 1$

Kết luận: $P_{min} = 3$ đạt tại $a = b = c = 1$

Dạng 5: Bài toán hình học

Ví dụ 8: Cho tam giác $ABC$ với các cạnh $a, b, c$ và diện tích $S$. Chứng minh:

$$a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3} \cdot S$$

Gợi ý lời giải:

Sử dụng Bunhiakowski kết hợp với công thức Heron và các bất đẳng thức hình học cơ bản. Đây là bài toán nâng cao, yêu cầu kỹ thuật biến đổi khéo léo.

V. KỸ THUẬT NHẬN DẠNG VÀ ÁP DỤNG

1. Dấu hiệu nhận biết bài toán dùng Bunhiakowski

Khi gặp các dấu hiệu sau, hãy nghĩ ngay đến Bunhiakowski:

✅ Có tổng tích: Biểu thức dạng $\sum a_i b_i$ hoặc $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + …)$

✅ Có tổng bình phương: Xuất hiện $\sum a_i^2$ và $\sum b_i^2$

✅ Điều kiện ràng buộc: Cho trước điều kiện dạng $x^2 + y^2 = k$ hoặc $a + b + c = k$

✅ Tìm cực trị: Bài toán tìm GTLN/GTNN của biểu thức dạng tuyến tính $ax + by + cz$

✅ Chứng minh BĐT: Bất đẳng thức có cấu trúc đối xứng, đồng bậc

✅ Biểu thức phân số: Dạng $\sum \frac{a_i^2}{b_i}$ → nghĩ đến dạng Engel

2. Các bước áp dụng Bunhiakowski

Bước 1: Nhận dạng dạng bài

• Xác định xem bài toán có cấu trúc phù hợp với Bunhiakowski không?
• Có tổng tích và tổng bình phương không?

Bước 2: Xác định hai dãy số

• Chọn dãy $(a_i)$ và $(b_i)$ sao cho phù hợp
• Đây là bước quan trọng nhất, quyết định thành công

Bước 3: Viết BĐT Bunhiakowski

• Áp dụng công thức chuẩn cho hai dãy đã chọn
• Chú ý chiều của bất đẳng thức

Bước 4: Biến đổi

• Biến đổi để đưa về dạng cần chứng minh
• Có thể cần thêm các bước biến đổi đại số

Bước 5: Xét dấu bằng

• Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra
• Kiểm tra tính hợp lệ của điều kiện

3. Mẹo chọn dãy số $(a_i)$ và $(b_i)$

Đây là phần khó nhất khi áp dụng Bunhiakowski. Dưới đây là một số mẹo:

Mẹo 1: Nếu có $\sum \frac{x_i^2}{y_i}$, chọn:

• $a_i = \frac{x_i}{\sqrt{y_i}}$
• $b_i = \sqrt{y_i}$

Mẹo 2: Nếu cần chứng minh $(px + qy)^2 \leq k(x^2 + y^2)$, chọn:

• $a_1 = p, a_2 = q$
• $b_1 = x, b_2 = y$

Mẹo 3: Với điều kiện $x^2 + y^2 = 1$, tìm GTLN của $ax + by$:

• Chọn dãy $(a, b)$ và $(x, y)$
• Kết quả: $(ax + by)^2 \leq (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = a^2 + b^2$

Mẹo 4: Khi thấy tổng có dạng $\sum c_i x_i$:

• Thử chọn $a_i = c_i$ và $b_i = x_i$
• Hoặc $a_i = \sqrt{c_i}$ và $b_i = \sqrt{c_i} x_i$

Mẹo 5: Với biểu thức đối xứng:

• Thử chọn một dãy là $(1, 1, 1, …)$
• Dãy kia là các biến $(a, b, c, …)$

4. Các biến thể cần nhớ

Biến thể 1 – Engel (quan trọng nhất):

$$\boxed{\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + … + \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + … + a_n)^2}{b_1 + b_2 + … + b_n}}$$

Khi nào dùng: Khi gặp tổng các phân số có tử là bình phương.

Biến thể 2 – Tích-tổng:

$$(a_1 + a_2 + … + a_n)\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + … + \frac{1}{a_n}\right) \geq n^2$$

Khi nào dùng: Khi có tích của tổng và tổng các nghịch đảo.

Biến thể 3 – Với căn:

$$\sum a_i b_i \leq \sqrt{\sum a_i^2} \cdot \sqrt{\sum b_i^2}$$

Khi nào dùng: Khi làm việc với căn bậc hai, tránh bình phương.

VI. LƯU Ý VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP

1. Lưu ý quan trọng

⚠️ Điều kiện dấu bằng:

Luôn nhớ kiểm tra điều kiện để dấu “=” xảy ra. Đây là phần quan trọng trong bài toán tìm cực trị.

Điều kiện: $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = … = \frac{a_n}{b_n}$

⚠️ Chiều bất đẳng thức:

Chú ý xem cần chứng minh $\leq$ hay $\geq$. Đôi khi cần áp dụng ngược hoặc kết hợp thêm.

⚠️ Phạm vi áp dụng:

Bunhiakowski đúng với số thực, và có thể mở rộng cho số phức (lấy môđun).

⚠️ Điều kiện $b_i > 0$:

Khi dùng dạng Engel, phải đảm bảo các mẫu số $b_i > 0$.

2. Sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Quên kiểm tra dấu bằng

Nhiều học sinh chứng minh xong BĐT nhưng quên tìm điều kiện dấu “=” khi bài toán yêu cầu tìm GTLN/GTNN.

Cách khắc phục: Luôn viết thêm: “Dấu ‘=’ xảy ra khi…” và giải điều kiện tỉ lệ.

❌ Sai lầm 2: Chọn sai dãy số

Chọn $(a_i), (b_i)$ không phù hợp khiến không thu được kết quả mong muốn.

Cách khắc phục: Thử nhiều cách chọn khác nhau. Thường bắt đầu với các lựa chọn đơn giản.

❌ Sai lầm 3: Nhầm chiều bất đẳng thức

Nhầm lẫn giữa chứng minh $A \leq B$ và $A \geq B$, đặc biệt với dạng Engel.

Cách khắc phục: Luôn viết rõ chiều BĐT từ đầu, kiểm tra lại sau mỗi bước.

❌ Sai lầm 4: Không kiểm tra điều kiện

Quên kiểm tra $b_i > 0$ khi dùng dạng phân số, hoặc các điều kiện khác.

Cách khắc phục: Đọc kỹ đề bài, ghi chú các điều kiện ban đầu.

❌ Sai lầm 5: Biến đổi sai

Biến đổi đại số sai trong quá trình áp dụng.

Cách khắc phục: Viết chi tiết từng bước, kiểm tra lại phép tính.

3. Mẹo làm bài nhanh

Nhận dạng nhanh:

Thấy “tổng tích + tổng bình phương” → nghĩ ngay Bunhiakowski

Thử dãy đơn giản trước:

Bắt đầu với các dãy $(1, 1, 1…)$, $(a, b, c)$, $(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})$

Kết hợp với BĐT khác:

Bunhiakowski + AM-GM rất mạnh trong bài toán tìm cực trị

Luyện tập nhiều:

Làm 50-100 bài để nhận dạng nhanh và thành thạo kỹ thuật chọn dãy

Học các dạng biến thể:

Nhớ thuộc dạng Engel và các biến thể thường gặp

VII. KẾT LUẬN

Bất đẳng thức Bunhiakowski là một công cụ không thể thiếu trong giải toán:

Công thức cơ bản: $$\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)$$

Điều kiện dấu bằng:

Dấu “=” xảy ra khi hai dãy tỉ lệ: $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = … = \frac{a_n}{b_n}$

5 dạng quan trọng:

• Dạng đại số (dãy số hữu hạn)
• Dạng tích phân (hàm liên tục)
• Dạng vector (hình học)
• Dạng ma trận (đại số tuyến tính)
• Các biến thể (Engel, tích-tổng…)

3 cách chứng minh:

• Tam thức bậc hai (cổ điển)
• Vector và tích vô hướng (hình học)
• Biến đổi trực tiếp (đại số)

5 dạng bài tập chính:

• Chứng minh bất đẳng thức cơ bản
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
• Chứng minh BĐT phức tạp
• Kết hợp với AM-GM
• Bài toán hình học

Xem thêm các BĐT liên quan:

• Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy về trung bình cộng-nhân)
• Bất đẳng thức Cauchy (dạng khác)
• Bất đẳng thức Chebyshev
• Bất đẳng thức Jensen
• Bất đẳng thức Holder

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa