I. GIAI THỪA LÀ GÌ?

1. Định nghĩa giai thừa

Giai thừa của n (ký hiệu: n!) là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến n:

$$\boxed{n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times 2 \times 1}$$

Ví dụ đơn giản:

• $3!$ (đọc là “3 giai thừa”): $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$
• $5!$ (đọc là “5 giai thừa”): $$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
• $1!$ = 1 (chỉ có một số duy nhất)
• $0!$ = 1 (quy ước đặc biệt, rất quan trọng!)

Lưu ý quan trọng:

• Giai thừa chỉ định nghĩa cho số nguyên không âm (0, 1, 2, 3,…)
• Không tồn tại giai thừa của số âm: $(-3)!$ không có nghĩa
• Không tồn tại giai thừa của số thập phân: $(2.5)!$ không có nghĩa (trong định nghĩa cơ bản)

2. Nguồn gốc và ý nghĩa

Nguồn gốc tên gọi:

• Từ “factorial” trong tiếng Anh, có nghĩa là “liên quan đến nhân tử”
• Khái niệm giai thừa đã được sử dụng từ thế kỷ 12 bởi các nhà toán học Ấn Độ
• Christian Kramp (nhà toán học Pháp) là người đầu tiên sử dụng ký hiệu “!” vào năm 1808
• Ký hiệu “!” xuất phát từ chữ “factorial” và dần trở thành chuẩn quốc tế

Ý nghĩa tổ hợp học:

Giai thừa có ý nghĩa trực quan trong bài toán đếm:

$n!$ là số cách sắp xếp (hoán vị) n phần tử phân biệt thành một hàng.

Ví dụ thực tế:

Có 3 người A, B, C cần xếp thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp?

Các cách xếp:

1. ABC
2. ACB
3. BAC
4. BCA
5. CAB
6. CBA

Tổng cộng: 6 cách = $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ ✓

Giải thích:

• Vị trí đầu tiên: 3 lựa chọn
• Vị trí thứ hai: 2 lựa chọn (còn lại)
• Vị trí thứ ba: 1 lựa chọn (duy nhất)
• Tổng: $3 \times 2 \times 1 = 6$ cách

II. CÔNG THỨC TÍNH GIAI THỪA

1. Công thức định nghĩa

Dạng toán học chính thức:

$$\boxed{n! = \begin{cases} 1 & \text{nếu } n = 0 \\ n \times (n-1)! & \text{nếu } n \geq 1 \end{cases}}$$

Hoặc viết dưới dạng tích:

$$n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times … \times (n-1) \times n$$

$$n! = \prod_{k=1}^{n} k$$

Quy ước quan trọng:

• $0! = 1$ – Đây là quy ước toán học cơ bản
  • Tại sao $0! = 1$? Để các công thức tổ hợp nhất quán
  • Ví dụ: $C_n^0 = \frac{n!}{0! \cdot n!} = 1$ (có 1 cách chọn 0 phần tử)
• $1! = 1$ – Chỉ có một số duy nhất là 1
• $n! = 0$ không bao giờ xảy ra với $n \geq 0$

Các ví dụ tính toán:

$$2! = 2 \times 1 = 2$$

$$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

$$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$

2. Công thức đệ quy

Công thức:

$$\boxed{n! = n \times (n-1)!}$$

Ý nghĩa: Giai thừa của n bằng n nhân với giai thừa của (n-1).

Ứng dụng:

• Rất thuận tiện cho lập trình máy tính
• Dễ dàng tính từng bước một
• Cơ sở cho thuật toán đệ quy

Ví dụ tính $5!$ theo phương pháp đệ quy:

$$5! = 5 \times 4!$$

Cần tính $4!$: $$4! = 4 \times 3! = 4 \times 6 = 24$$

Quay lại: $$5! = 5 \times 24 = 120$$

Chuỗi đệ quy đầy đủ: $$5! = 5 \times 4!$$ $$= 5 \times (4 \times 3!)$$ $$= 5 \times (4 \times (3 \times 2!))$$ $$= 5 \times (4 \times (3 \times (2 \times 1!)))$$ $$= 5 \times (4 \times (3 \times (2 \times 1)))$$ $$= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

3. Công thức Stirling (xấp xỉ giai thừa lớn)

Khi n rất lớn, tính chính xác $n!$ trở nên khó khăn. Công thức Stirling cho phép ước lượng:

$$\boxed{n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}$$

Trong đó:

• $e \approx 2.71828…$ là số Euler
• $\pi \approx 3.14159…$ là số pi

Độ chính xác:

• Với $n > 10$: Sai số < 1%
• Với $n > 20$: Sai số < 0.1%
• Với $n \to \infty$: Tỷ lệ $\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(n/e)^n} \to 1$

Ví dụ: Ước lượng $10!$

Tính chính xác: $$10! = 3,628,800$$

Dùng Stirling: $$10! \approx \sqrt{2\pi \times 10} \left(\frac{10}{e}\right)^{10}$$ $$\approx \sqrt{62.832} \times (3.679)^{10}$$ $$\approx 7.926 \times 454,044$$ $$\approx 3,598,696$$

Sai số: $\frac{3,628,800 – 3,598,696}{3,628,800} \approx 0.83%$ ✓

Khi nào dùng công thức Stirling?

• Khi n rất lớn (> 20) và không cần độ chính xác tuyệt đối
• Trong lý thuyết xác suất và thống kê
• Phân tích độ phức tạp thuật toán
• So sánh tương đối giữa các giai thừa

4. Công thức liên quan đến giai thừa

a) Tích hai giai thừa:

$$(n!)^2 \neq (2n)!$$

Chú ý: Đây là sai lầm phổ biến!

Ví dụ:

• $(3!)^2 = 6^2 = 36$
• $(2 \times 3)! = 6! = 720$
• Rõ ràng $36 \neq 720$

b) Thương hai giai thừa:

$$\frac{n!}{k!} = n \times (n-1) \times … \times (k+1) \quad (n \geq k)$$

Ví dụ: $$\frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

Không cần tính: $10! = 3,628,800$ và $7! = 5,040$ rồi chia!

c) Công thức tổ hợp (Combination):

$$\boxed{C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}$$

Ý nghĩa: Số cách chọn k phần tử từ n phần tử (không phân biệt thứ tự).

Ví dụ: Từ 5 học sinh, chọn 2 người làm trực nhật: $$C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ cách}$$

d) Công thức chỉnh hợp (Arrangement):

$$\boxed{A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}}$$

Ý nghĩa: Số cách chọn k phần tử từ n phần tử (có phân biệt thứ tự).

Ví dụ: Từ 5 học sinh, chọn 2 người làm lớp trưởng và lớp phó: $$A_5^2 = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20 \text{ cách}$$

Mối quan hệ: $$A_n^k = k! \cdot C_n^k$$

5. Bảng giá trị giai thừa

Nhận xét quan trọng:

⚠️ Giai thừa tăng CỰC KỲ NHANH!

• $10!$ đã là hơn 3 triệu
• $20!$ đã là hơn 2 tỷ tỷ
• $70!$ đã vượt quá khả năng lưu trữ của máy tính 64-bit thông thường

Mẹo ghi nhớ:

• Học thuộc từ $0!$ đến $10!$ để tính nhanh
• Với $n > 10$, dùng máy tính hoặc Stirling

III. TÍNH CHẤT CỦA GIAI THỪA

Tính chất 1: Công thức đệ quy

$$\boxed{n! = n \times (n-1)!}$$

Ví dụ áp dụng:

Tính $7!$ khi biết $6! = 720$: $$7! = 7 \times 6! = 7 \times 720 = 5,040$$

Ứng dụng: Tính nhanh khi đã biết giá trị giai thừa nhỏ hơn.

Tính chất 2: Rút gọn phân số

$$\boxed{\frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times … \times (n-k+1)}$$

Chứng minh: $$\frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \times (n-1) \times … \times (n-k+1) \times (n-k)!}{(n-k)!}$$

Rút gọn $(n-k)!$ ở tử và mẫu: $$= n \times (n-1) \times … \times (n-k+1)$$

Ví dụ 1: $$\frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

Ví dụ 2: $$\frac{100!}{98!} = 100 \times 99 = 9,900$$

Lợi ích: Tránh phải tính những số rất lớn, tiết kiệm thời gian.

Tính chất 3: Giai thừa tăng rất nhanh

So sánh tốc độ tăng:

Kết luận: $n!$ tăng nhanh hơn cả hàm mũ $2^n$!

Ứng dụng trong tin học:

• Thuật toán có độ phức tạp $O(n!)$ được coi là rất chậm
• Ví dụ: Bài toán người du lịch (TSP) có $n!$ cách đi
• Với $n = 20$ thành phố: $20! \approx 2.4 \times 10^{18}$ cách (không thể thử hết!)

Dùng logarit để so sánh: $$\ln(n!) = \ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + … + \ln n = \sum_{k=1}^{n} \ln k$$

Tính chất 4: Liên quan đến tổ hợp

$$\boxed{C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}}$$

Tính chất đối xứng: $$C_n^k = C_n^{n-k}$$

Chứng minh: $$C_n^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)!k!} = C_n^k$$

Ý nghĩa: Chọn k phần tử để lấy = Chọn (n-k) phần tử để bỏ

Ví dụ: $$C_5^2 = C_5^3 = \frac{5!}{2!3!} = 10$$

Ứng dụng: Khi tính $C_n^k$, chọn giá trị nhỏ hơn giữa k và (n-k) để tính nhanh hơn.

Tính chất 5: Số chữ số của n!

Công thức tính số chữ số:

Số chữ số của $n!$ là: $$\boxed{\lfloor \log_{10}(n!) \rfloor + 1}$$

Trong đó $\lfloor x \rfloor$ là phần nguyên của x.

Ví dụ: $10!$ có bao nhiêu chữ số?

Cách 1: Tính trực tiếp $$10! = 3,628,800$$ Đếm: 7 chữ số

Cách 2: Dùng công thức $$\log_{10}(10!) = \log_{10}(3,628,800) \approx 6.560$$ $$\lfloor 6.560 \rfloor + 1 = 6 + 1 = 7 \text{ chữ số}$$ ✓

Ví dụ nâng cao: $100!$ có bao nhiêu chữ số?

Dùng công thức Stirling: $$\log_{10}(n!) \approx \log_{10}\left(\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$$

Với $n = 100$: $$\log_{10}(100!) \approx 157.97$$

Số chữ số: $\lfloor 157.97 \rfloor + 1 = 158$ chữ số!

Tính chất 6: Số chữ số 0 tận cùng

Công thức tính số chữ số 0 tận cùng của $n!$:

$$\boxed{\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{625} \right\rfloor + …}$$

Giải thích: Số 0 tận cùng xuất hiện khi có cặp (2, 5). Vì số 2 xuất hiện nhiều hơn số 5, nên ta chỉ cần đếm số ước 5.

Ví dụ 1: $10!$ có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng?

$$\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor = 2$$

$10! = 3,628,800$ có 2 chữ số 0 tận cùng ✓

Ví dụ 2: $25!$ có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng?

$$\left\lfloor \frac{25}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{25}{25} \right\rfloor = 5 + 1 = 6$$

$25!$ có 6 chữ số 0 tận cùng

Ví dụ 3: $100!$ có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng?

$$\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor$$ $$= 20 + 4 + 0 = 24$$

$100!$ có 24 chữ số 0 tận cùng

IV. CÁCH TÍNH GIAI THỪA

Cách 1: Tính trực tiếp (Nhân lần lượt)

Phương pháp: Nhân tất cả các số từ 1 đến n.

Ví dụ: Tính $6!$

$$6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6$$

Tính từng bước:

• $1 \times 2 = 2$
• $2 \times 3 = 6$
• $6 \times 4 = 24$
• $24 \times 5 = 120$
• $120 \times 6 = 720$

Kết quả: $6! = 720$

Ưu điểm:

• Đơn giản, dễ hiểu
• Không cần công cụ gì

Nhược điểm:

• Mất thời gian với n lớn
• Dễ sai sót khi tính tay
• Số quá lớn khó tính ($10!$ trở lên)

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Máy tính Casio (fx-570, fx-580):

Các bước:

1. Nhập số n
2. Nhấn phím SHIFT
3. Nhấn phím × (dấu nhân)
4. Kết quả hiện trên màn hình

Ví dụ: Tính $8!$

• Nhập: 8
• Nhấn: SHIFT + ×
• Kết quả: 40320

Máy tính Vinacal (570ES PLUS, 570MS):

Tương tự máy Casio:

• Nhập số
• SHIFT + × (hoặc SHIFT + nút có ký hiệu n!)

Máy tính khoa học trên điện thoại:

Hầu hết đều có chức năng giai thừa, thường ở dạng “n!” hoặc “x!”.

Lưu ý:

• Máy tính có giới hạn, thường tính được đến $69!$ (do giới hạn số thực dấu phẩy động)
• Với $n > 69$, cần dùng phần mềm chuyên dụng

Cách 3: Dùng công thức rút gọn

Khi tính phân số dạng $\frac{n!}{k!}$ hoặc $\frac{n!}{k!(n-k)!}$, không nên tính riêng từng giai thừa mà nên rút gọn trước.

Công thức: $$\frac{n!}{k!} = (k+1) \times (k+2) \times … \times n$$

Ví dụ 1: Tính $\frac{10!}{7!}$

Cách chậm (không nên):

• Tính $10! = 3,628,800$
• Tính $7! = 5,040$
• Chia: $\frac{3,628,800}{5,040} = 720$

Cách nhanh (nên dùng): $$\frac{10!}{7!} = 8 \times 9 \times 10 = 720$$

Ví dụ 2: Tính $C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!7!}$

Cách nhanh: $$C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$$

Lợi ích:

• Tính nhanh hơn nhiều
• Tránh số quá lớn
• Giảm sai sót

Cách 4: Dùng công thức Stirling (Ước lượng)

Khi n rất lớn (> 20) và không cần độ chính xác tuyệt đối:

$$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Ví dụ: Ước lượng $50!$

$$50! \approx \sqrt{2\pi \times 50} \left(\frac{50}{e}\right)^{50}$$

$$\approx \sqrt{314.16} \times (18.39)^{50}$$

$$\approx 17.72 \times 3.04 \times 10^{62}$$

$$\approx 3.04 \times 10^{64}$$

Giá trị chính xác: $50! \approx 3.04 \times 10^{64}$ (rất gần!)

Khi nào dùng:

• Phân tích độ phức tạp thuật toán
• So sánh tương đối
• Tính toán lý thuyết

Cách 5: Lập trình máy tính

Python – Dùng thư viện math:

import math

# Cách 1: Dùng hàm có sẵn
result = math.factorial(10)
print(result)  # Kết quả: 3628800

# Cách 2: Viết hàm đệ quy
def factorial(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    return n * factorial(n - 1)

print(factorial(10))  # Kết quả: 3628800

# Cách 3: Dùng vòng lặp
def factorial_loop(n):
    result = 1
    for i in range(1, n + 1):
        result *= i
    return result

print(factorial_loop(10))  # Kết quả: 3628800

C/C++:

#include <iostream>
using namespace std;

long long factorial(int n) {
    if (n == 0 || n == 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}

int main() {
    cout << factorial(10) << endl;  // Kết quả: 3628800
    return 0;
}

JavaScript:

function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}

console.log(factorial(10));  // Kết quả: 3628800

Lưu ý khi lập trình:

• Với n lớn, cần dùng kiểu dữ liệu lớn (BigInteger, long long)
• Đệ quy có thể gây tràn stack với n quá lớn
• Vòng lặp thường an toàn và nhanh hơn đệ quy

V. ỨNG DỤNG CỦA GIAI THỪA

1. Bài toán sắp xếp (Hoán vị)

Nguyên lý: n phần tử phân biệt có $n!$ cách sắp xếp thành một hàng.

Ví dụ 1: Xếp hàng

Có 5 người cần xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Lời giải:

Số cách xếp = $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ cách

Giải thích:

• Vị trí 1: 5 lựa chọn
• Vị trí 2: 4 lựa chọn (còn lại)
• Vị trí 3: 3 lựa chọn
• Vị trí 4: 2 lựa chọn
• Vị trí 5: 1 lựa chọn
• Tổng: $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Ví dụ 2: Sắp xếp chữ cái

Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái trong từ “TOÁN”?

Lời giải:

Từ “TOÁN” có 4 chữ cái phân biệt.

Số cách sắp xếp = $4! = 24$ cách

Một số cách sắp xếp: TOÁN, TОÁN, TÃON, TNÀO, OÁNT, NÀOT,…

Ví dụ 3: Sắp xếp có điều kiện

Có 6 người trong đó có 2 người phải đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách xếp?

Lời giải:

Bước 1: Coi 2 người phải đứng cạnh nhau là 1 nhóm

Số phần tử: $6 – 2 + 1 = 5$ nhóm

Số cách xếp 5 nhóm: $5! = 120$ cách

Bước 2: Trong nhóm 2 người có thể đổi chỗ cho nhau

Số cách: $2! = 2$ cách

Kết quả: $5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ cách

2. Tổ hợp – Chọn k từ n phần tử (không phân biệt thứ tự)

Công thức: $$\boxed{C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}$$

Ví dụ 3: Chọn đội tuyển

Từ 10 học sinh, cần chọn 3 người vào đội tuyển Toán. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120 \text{ cách}$$

Giải thích: Không phân biệt thứ tự, chỉ quan tâm ai được chọn.

Ví dụ 4: Chọn quà

Có 7 món quà khác nhau, bạn được chọn 2 món. Có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

$$C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21 \text{ cách}$$

3. Chỉnh hợp – Sắp xếp k từ n phần tử (có phân biệt thứ tự)

Công thức: $$\boxed{A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}}$$

Ví dụ 5: Giải thưởng có thứ hạng

Có 8 vận động viên tham gia cuộc thi. Cần chọn 3 người về nhất, nhì, ba. Có bao nhiêu cách?

Lời giải:

$$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336 \text{ cách}$$

Giải thích:

• Người thứ nhất: 8 lựa chọn
• Người thứ hai: 7 lựa chọn
• Người thứ ba: 6 lựa chọn
• Tổng: $8 \times 7 \times 6 = 336$

4. Chuỗi Taylor và khai triển hàm

Công thức tổng quát chuỗi Taylor:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$

Ví dụ 6: Khai triển $e^x$

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + …$$

Tính $e^1$ (số e): $$e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + …$$ $$\approx 1 + 1 + 0.5 + 0.167 + 0.042 + 0.008 + …$$ $$\approx 2.718$$

Ví dụ 7: Khai triển $\sin x$

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + …$$

5. Xác suất – Phân phối Poisson

Công thức phân phối Poisson:

$$\boxed{P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}}$$

Trong đó:

• $\lambda$ là số sự kiện trung bình
• $k$ là số sự kiện quan sát
• $e \approx 2.718$

Ví dụ 8: Số cuộc gọi

Trung bình mỗi giờ một tổng đài nhận được 3 cuộc gọi. Xác suất trong 1 giờ tiếp theo có đúng 5 cuộc gọi là bao nhiêu?

Lời giải:

Cho $\lambda = 3$, $k = 5$:

$$P(X = 5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} = \frac{243 \times 0.0498}{120} = \frac{12.10}{120} \approx 0.101$$

Kết quả: Xác suất khoảng 10.1%

6. Lý thuyết số – Định lý Wilson

Định lý Wilson:

Nếu p là số nguyên tố, thì: $$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$$

Ví dụ 9: Kiểm tra với p = 5

Kiểm tra $(5-1)! \equiv -1 \pmod{5}$:

$$4! = 24 = 25 – 1 = 5 \times 5 – 1$$

$$24 \equiv -1 \pmod{5}$$ ✓

Ứng dụng: Kiểm tra tính nguyên tố (nhưng không hiệu quả cho số lớn).

VI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo tính nhanh

Mẹo 1: Rút gọn trước khi tính

Khi gặp phân số có giai thừa, luôn rút gọn trước.

Ví dụ: $$\frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90$$

Không cần tính $10! = 3,628,800$ và $8! = 40,320$!

Mẹo 2: Nhận biết và triệt ước chung

$$C_6^2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$$

Triệt $4!$ ở tử và mẫu ngay từ đầu.

Mẹo 3: Dùng tính chất đối xứng

$$C_n^k = C_n^{n-k}$$

Ví dụ: Tính $C_{100}^{98}$

Thay vì tính $\frac{100!}{98!2!}$ (số rất lớn), ta tính:

$$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4,950$$

Mẹo 4: Học thuộc bảng từ $0!$ đến $10!$

Ghi nhớ các giá trị thường dùng:

2. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Nghĩ $0! = 0$

Sai: $0! = 0$
Đúng: $0! = 1$ (quy ước toán học)

Lý do: Để công thức tổ hợp nhất quán: $C_n^0 = \frac{n!}{0! \cdot n!} = 1$

❌ Sai lầm 2: $(n!)^2 = (2n)!$

Sai: $(3!)^2 = (2 \times 3)! = 6!$
Đúng: $(3!)^2 = 36$ nhưng $6! = 720$

Rõ ràng $36 \neq 720$!

❌ Sai lầm 3: $n! = n \times n!$

Sai: $5! = 5 \times 5!$
Đúng: $5! = 5 \times 4!$

Công thức đệ quy: $n! = n \times (n-1)!$

❌ Sai lầm 4: Quên rút gọn khi tính

Sai: Tính $\frac{100!}{98!}$ bằng cách tính $100!$ rồi chia cho $98!$

Đúng: Rút gọn trước: $\frac{100!}{98!} = 100 \times 99 = 9,900$

❌ Sai lầm 5: Nhầm tổ hợp và chỉnh hợp

Tổ hợp (không phân biệt thứ tự): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Chỉnh hợp (có phân biệt thứ tự): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Nhớ: $A_n^k = k! \times C_n^k$

3. Lưu ý khi sử dụng

⚠️ Giai thừa tăng cực nhanh → Dễ tràn số trên máy tính thông thường

⚠️ Chỉ định nghĩa cho số nguyên không âm: $n \geq 0$

⚠️ Không có giai thừa của số âm: $(-3)!$ không tồn tại

⚠️ Không có giai thừa của số thập phân (trong định nghĩa cơ bản): $(2.5)!$ không tồn tại

⚠️ Máy tính có giới hạn: Thường chỉ tính được đến $69!$

⚠️ Khi n > 20: Cân nhắc dùng công thức Stirling hoặc logarit

VII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ về giai thừa – một khái niệm cơ bản nhưng cực kỳ quan trọng trong toán học:

Định nghĩa cơ bản: $$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times 2 \times 1$$

Quy ước đặc biệt:

• $0! = 1$ (rất quan trọng!)
• $1! = 1$

Công thức đệ quy: $$n! = n \times (n-1)!$$

Công thức Stirling (xấp xỉ với n lớn): $$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

6 tính chất quan trọng:

• Đệ quy
• Rút gọn phân số
• Tăng cực nhanh
• Liên quan tổ hợp
• Số chữ số
• Số 0 tận cùng

5 cách tính:

• Trực tiếp
• Máy tính
• Rút gọn
• Stirling
• Lập trình

6 ứng dụng chính:

• Hoán vị (sắp xếp)
• Tổ hợp (chọn không phân biệt thứ tự)
• Chỉnh hợp (chọn có phân biệt thứ tự)
• Chuỗi Taylor
• Xác suất (Poisson)
• Lý thuyết số (Wilson)

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa