I. GIỚI THIỆU VỀ XÁC SUẤT

1. Xác suất là gì?

Định nghĩa: Xác suất là một con số dùng để đo lường mức độ có thể xảy ra của một sự kiện. Xác suất giúp chúng ta định lượng hóa sự không chắc chắn và đưa ra dự đoán có cơ sở khoa học.

Giá trị của xác suất:

• Xác suất luôn là một số từ 0 đến 1 (hoặc từ 0% đến 100%)
• Xác suất = 0: Sự kiện không thể xảy ra
• Xác suất = 1: Sự kiện chắc chắn xảy ra
• Xác suất = 0.5: Sự kiện có khả năng xảy ra bằng không xảy ra

Nguồn gốc lịch sử: Xác suất xuất hiện từ thế kỷ 17, khởi nguồn từ các bài toán về trò chơi may rủi. Các nhà toán học như Blaise Pascal, Pierre de Fermat, và sau này là Jakob Bernoulli đã đặt nền móng cho lý thuyết xác suất hiện đại.

Vai trò trong toán học:

• Là nền tảng của thống kê toán học
• Kết nối với nhiều lĩnh vực: giải tích, đại số, tổ hợp
• Ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học

2. Các khái niệm cơ bản

Phép thử ngẫu nhiên

Định nghĩa: Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hoặc quan sát mà kết quả không thể biết trước một cách chắc chắn.

Ví dụ:

• Tung một đồng xu
• Gieo một con xúc xắc
• Rút một lá bài từ bộ bài
• Đo chiều cao của một người được chọn ngẫu nhiên

Không gian mẫu (Ω)

Định nghĩa: Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên.

Ký hiệu: $\Omega$ (omega)

Ví dụ:

• Tung đồng xu: $\Omega = {S, N}$ (Sấp, Ngửa)
• Gieo xúc xắc: $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$
• Giới tính em bé: $\Omega = {\text{Nam}, \text{Nữ}}$

Biến cố (A, B, C,…)

Định nghĩa: Biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu, bao gồm các kết quả thuận lợi cho một sự kiện nào đó.

Ký hiệu: Thường dùng chữ cái in hoa A, B, C,…

Ví dụ:

• A: “Tung được mặt chẵn” = {2, 4, 6}
• B: “Tung được số nguyên tố” = {2, 3, 5}
• C: “Tung được số lớn hơn 4” = {5, 6}

Biến cố sơ cấp

Định nghĩa: Biến cố sơ cấp là biến cố chỉ gồm một kết quả duy nhất trong không gian mẫu.

Ví dụ:

• “Tung được mặt 3” = {3} là biến cố sơ cấp
• “Tung được mặt chẵn” = {2, 4, 6} không phải biến cố sơ cấp

Ví dụ minh họa tổng hợp

Ví dụ 1: Tung đồng xu

• Phép thử: Tung một đồng xu
• Không gian mẫu: $\Omega = {S, N}$
• Xác suất mỗi mặt: $P(S) = P(N) = \frac{1}{2} = 0.5 = 50%$

Ví dụ 2: Gieo xúc xắc

• Phép thử: Gieo một con xúc xắc 6 mặt
• Không gian mẫu: $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$
• Xác suất mỗi mặt: $P(i) = \frac{1}{6}$ với $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết được tổ chức theo hệ thống từ cơ bản đến nâng cao:

Phần II-III: Công thức xác suất cơ bản và các phép toán với biến cố

Phần IV-V: Công thức cộng và nhân xác suất

Phần VI-VIII: Xác suất có điều kiện, xác suất toàn phần, công thức Bayes

Phần IX: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Phần X: Phân chia rõ ràng theo chương trình lớp 11

Phần XI-XII: Mẹo giải bài tập và bài tập mẫu có lời giải

Phần XIII-XIV: Ứng dụng thực tế và kết luận

II. CÔNG THỨC XÁC SUẤT CƠ BẢN

1. Định nghĩa cổ điển về xác suất

Công thức xác suất cổ điển (Laplace)

Công thức:

$$\boxed{P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi cho A}}{\text{Tổng số kết quả có thể xảy ra}}}$$

Trong đó:

• $P(A)$: Xác suất của biến cố A
• $n(A)$: Số phần tử của biến cố A (số kết quả thuận lợi)
• $n(\Omega)$: Số phần tử của không gian mẫu (tổng số kết quả)

Điều kiện áp dụng

Công thức này chỉ áp dụng khi:

1. Không gian mẫu hữu hạn (có số phần tử xác định)
2. Các kết quả đồng khả năng (xác suất bằng nhau)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính xác suất tung được mặt 6 khi gieo một xúc xắc cân đối

Lời giải:

• Không gian mẫu: $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ → $n(\Omega) = 6$
• Biến cố A: “Tung được mặt 6” = {6} → $n(A) = 1$
• Xác suất: $P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.167 = 16.7%$

Ví dụ 2: Tính xác suất rút được quân Át từ bộ bài 52 lá

Lời giải:

• Không gian mẫu: 52 lá bài → $n(\Omega) = 52$
• Biến cố A: “Rút được Át” = {Át bích, Át cơ, Át rô, Át chuồn} → $n(A) = 4$
• Xác suất: $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0.077 = 7.7%$

Ví dụ 3: Tính xác suất chọn được số chẵn khi chọn ngẫu nhiên một số từ 1 đến 10

Lời giải:

• $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$ → $n(\Omega) = 10$
• A = {2, 4, 6, 8, 10} → $n(A) = 5$
• $P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0.5 = 50%$

2. Định nghĩa thống kê về xác suất

Công thức xác suất thống kê (tần suất)

Công thức:

$$\boxed{P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{m}{n}}$$

Trong đó:

• $n$: Số lần thực hiện phép thử
• $m$: Số lần biến cố A xảy ra
• $\frac{m}{n}$: Tần suất xuất hiện của A

Khi nào áp dụng?

Định nghĩa thống kê được sử dụng khi:

• Không thể tính xác suất lý thuyết
• Các kết quả không đồng khả năng
• Cần dựa vào thí nghiệm thực tế

Ví dụ minh họa

Ví dụ: Một công ty sản xuất đồng xu không cân đối. Tung đồng xu này 1000 lần, mặt sấp xuất hiện 487 lần.

Lời giải:

• Số lần thử: $n = 1000$
• Số lần mặt sấp: $m = 487$
• Xác suất ước lượng: $P(S) \approx \frac{487}{1000} = 0.487 = 48.7%$

Nhận xét: Đồng xu không cân đối vì xác suất khác 0.5

3. Các tính chất cơ bản của xác suất

Bảng tính chất

Giải thích chi tiết

Tính chất 1: Không âm $$0 \leq P(A) \leq 1$$ Xác suất không bao giờ âm và không bao giờ lớn hơn 1. Nếu tính toán ra kết quả ngoài khoảng [0, 1] thì chắc chắn đã sai.

Tính chất 2: Biến cố chắc chắn $$P(\Omega) = 1$$ Xác suất để một kết quả nào đó trong không gian mẫu xảy ra là 100%.

Tính chất 3: Biến cố không thể $$P(\emptyset) = 0$$ Biến cố rỗng (không có kết quả nào) có xác suất bằng 0.

Tính chất 4: Biến cố đối $$P(\overline{A}) = 1 – P(A)$$ Biến cố đối $\overline{A}$ (hay $A^c$) là biến cố “A không xảy ra”. Tổng xác suất của A và đối A luôn bằng 1.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Xác suất tung được mặt 6 là $\frac{1}{6}$. Tính xác suất không tung được mặt 6?

Lời giải:

• $P(A) = \frac{1}{6}$ (tung được 6)
• $P(\overline{A}) = 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.833 = 83.3%$ (không tung được 6)

4. Công thức tính số phần tử không gian mẫu

Để tính xác suất bằng công thức cổ điển, ta cần đếm số phần tử. Các công thức tổ hợp sau rất quan trọng:

Bảng công thức đếm

Giải thích chi tiết

Quy tắc nhân: Nếu công việc gồm k bước, bước 1 có $n_1$ cách, bước 2 có $n_2$ cách,… thì tổng số cách thực hiện là: $$n_1 \times n_2 \times … \times n_k$$

Hoán vị: Số cách sắp xếp n phần tử theo thứ tự: $$P_n = n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times 2 \times 1$$

Chỉnh hợp: Số cách chọn k phần tử từ n phần tử và sắp xếp chúng theo thứ tự: $$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times … \times (n-k+1)$$

Tổ hợp: Số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm thứ tự: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người ngồi thành hàng ngang?

Lời giải:

• Dùng hoán vị: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ cách

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh?

Lời giải:

• Dùng tổ hợp (không quan tâm thứ tự): $$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$$

Ví dụ 3: Từ 10 học sinh, chọn 3 người làm lớp trưởng, lớp phó, thư ký. Có bao nhiêu cách?

Lời giải:

• Dùng chỉnh hợp (có thứ tự): $$A_{10}^3 = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

III. CÁC PHÉP TOÁN VỚI BIẾN CỐ

1. Hợp của hai biến cố (A ∪ B)

Định nghĩa: Hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu $A \cup B$, là biến cố “A xảy ra hoặc B xảy ra” (ít nhất một trong hai xảy ra).

Ký hiệu khác: $A + B$

Tập hợp: $A \cup B = {x \in \Omega : x \in A \text{ hoặc } x \in B}$

Ví dụ:

• Gieo xúc xắc
• A: “Tung được mặt chẵn” = {2, 4, 6}
• B: “Tung được số nguyên tố” = {2, 3, 5}
• $A \cup B$ = {2, 3, 4, 5, 6} (tung được chẵn hoặc nguyên tố)

2. Giao của hai biến cố (A ∩ B)

Định nghĩa: Giao của hai biến cố A và B, ký hiệu $A \cap B$, là biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”.

Ký hiệu khác: $AB$, $A \cdot B$

Tập hợp: $A \cap B = {x \in \Omega : x \in A \text{ và } x \in B}$

Ví dụ: (Tiếp ví dụ trên)

• $A \cap B$ = {2} (vừa chẵn vừa nguyên tố)

3. Hiệu của hai biến cố (A \ B)

Định nghĩa: Hiệu của hai biến cố A và B, ký hiệu $A \backslash B$, là biến cố “A xảy ra nhưng B không xảy ra”.

Ký hiệu khác: $A – B$

Công thức: $A \backslash B = A \cap \overline{B}$

Ví dụ:

• $A \backslash B$ = {4, 6} (chẵn nhưng không nguyên tố)

4. Biến cố đối (phần bù)

Định nghĩa: Biến cố đối của A, ký hiệu $\overline{A}$, là biến cố “A không xảy ra”.

Ký hiệu khác: $A^c$, $\neg A$

Công thức: $\overrightarrow{A} = \Omega \backslash A$

Tính chất quan trọng: $$\boxed{P(\overline{A}) = 1 – P(A)}$$

Ví dụ:

• A = {2, 4, 6}
• $\overline{A}$ = {1, 3, 5} (số lẻ)

5. Biến cố xung khắc

Định nghĩa: Hai biến cố A và B gọi là xung khắc (hay loại trừ nhau) nếu chúng không thể cùng xảy ra, tức là: $$A \cap B = \emptyset$$

Ý nghĩa: A và B không có kết quả chung.

Ví dụ:

• A: “Tung được số chẵn” = {2, 4, 6}
• B: “Tung được số lẻ” = {1, 3, 5}
• $A \cap B = \emptyset$ → A và B xung khắc

Tính chất: Nếu A và B xung khắc: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

6. Biến cố độc lập

Định nghĩa: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu việc A xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất B xảy ra, và ngược lại.

Điều kiện toán học: $$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$$

Hoặc tương đương: $$P(A|B) = P(A) \quad \text{và} \quad P(B|A) = P(B)$$

Ví dụ:

• Tung 2 đồng xu: Kết quả đồng xu 1 không ảnh hưởng đến đồng xu 2
• Kết quả hai lần tung là độc lập

Lưu ý quan trọng:

Xung khắc ≠ Độc lập

• Xung khắc: Không thể cùng xảy ra ($A \cap B = \emptyset$)
• Độc lập: Không ảnh hưởng lẫn nhau ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$)

Hai khái niệm này hoàn toàn khác nhau!

IV. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

1. Công thức cộng tổng quát

Công thức:

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)}$$

Giải thích:

• Khi cộng $P(A)$ và $P(B)$, ta đếm phần giao $A \cap B$ hai lần
• Phải trừ đi $P(A \cap B)$ một lần để bù trừ

Sơ đồ Venn:

      ┌─────────────┐
      │      A      │
      │   ┌─────────┼─────────┐
      │   │  A∩B    │    B    │
      └───┼─────────┘         │
          └───────────────────┘

Phần $A \cap B$ nằm trong cả A và B, nên khi cộng $P(A) + P(B)$ ta đếm nó 2 lần.

Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ: Gieo một con xúc xắc. Tính xác suất tung được số chẵn hoặc số chia hết cho 3?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các biến cố

• A = “Số chẵn” = {2, 4, 6} → $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• B = “Chia hết cho 3” = {3, 6} → $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Bước 2: Tìm giao

• $A \cap B$ = {6} → $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

Bước 3: Áp dụng công thức cộng $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$ $$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}$$ $$= \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Kiểm tra: $A \cup B$ = {2, 3, 4, 6} có 4 phần tử, xác suất = $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ✓

2. Công thức cộng cho biến cố xung khắc

Nếu A và B xung khắc ($A \cap B = \emptyset$), công thức đơn giản hơn:

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$

Giải thích: Vì $A \cap B = \emptyset$ nên $P(A \cap B) = 0$, không cần trừ.

Mở rộng cho n biến cố xung khắc từng đôi:

$$P(A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n)$$

Ví dụ

Ví dụ: Gieo xúc xắc. Tính xác suất tung được 1, 2, hoặc 3?

Lời giải:

• A = {1}, B = {2}, C = {3}
• Ba biến cố xung khắc từng đôi
• $P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

3. Công thức cộng cho 3 biến cố

Công thức tổng quát cho 3 biến cố:

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$$ $$- P(A \cap B) – P(B \cap C) – P(A \cap C)$$ $$+ P(A \cap B \cap C)$$

Đây là nguyên lý bù trừ (Inclusion-Exclusion Principle)

Giải thích:

1. Cộng tất cả xác suất đơn
2. Trừ đi các giao hai
3. Cộng lại giao ba (vì đã bị trừ 3 lần ở bước 2)

4. Ứng dụng công thức cộng

Bài toán: Trong một lớp 100 học sinh:

• 60 học sinh giỏi Toán
• 50 học sinh giỏi Lý
• 30 học sinh giỏi cả Toán và Lý

Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất học sinh đó giỏi ít nhất một môn?

Lời giải:

Bước 1: Gọi biến cố

• A: “Giỏi Toán” → $P(A) = \frac{60}{100} = 0.6$
• B: “Giỏi Lý” → $P(B) = \frac{50}{100} = 0.5$
• $A \cap B$: “Giỏi cả hai” → $P(A \cap B) = \frac{30}{100} = 0.3$

Bước 2: Áp dụng công thức cộng $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$ $$= 0.6 + 0.5 – 0.3 = 0.8$$

Kết luận: Xác suất học sinh giỏi ít nhất một môn là 0.8 = 80%

V. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

1. Công thức nhân cho biến cố độc lập

Nếu A và B độc lập:

$$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$$

Mở rộng cho n biến cố độc lập:

$$P(A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot … \cdot P(A_n)$$

Ví dụ

Ví dụ 1: Tung đồng xu 2 lần. Tính xác suất cả 2 lần đều ra mặt sấp?

Lời giải:

• Hai lần tung độc lập
• $P(S_1) = \frac{1}{2}$, $P(S_2) = \frac{1}{2}$
• $P(S_1 \cap S_2) = P(S_1) \cdot P(S_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$

Ví dụ 2: Xác suất học sinh A giải được bài là 0.6, học sinh B là 0.7. Tính xác suất cả hai đều giải được?

Lời giải:

• Hai sự kiện độc lập
• $P(A \cap B) = 0.6 \times 0.7 = 0.42 = 42%$

2. Công thức nhân tổng quát

Công thức nhân xác suất (khi không độc lập):

$$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)}$$

Trong đó $P(B|A)$ là xác suất có điều kiện của B khi biết A đã xảy ra.

Ví dụ

Ví dụ: Hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy ra 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất cả 2 bi đều đỏ?

Lời giải:

Bước 1: Xác suất bi thứ nhất đỏ

• $P(R_1) = \frac{3}{5}$

Bước 2: Xác suất bi thứ hai đỏ khi bi thứ nhất đã đỏ

• Còn lại 2 bi đỏ trong tổng 4 bi
• $P(R_2|R_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Bước 3: Áp dụng công thức nhân $$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} = 0.3$$

3. So sánh độc lập và không độc lập

4. Ứng dụng công thức nhân

Bài toán 1: Bắn bia

Đề bài: Bắn 3 viên đạn vào bia, xác suất trúng mỗi viên là 0.8. Tính xác suất cả 3 viên đều trúng?

Lời giải:

• Các lần bắn độc lập nhau
• $P(\text{cả 3 trúng}) = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.512 = 51.2%$

Bài toán 2: Ít nhất một viên trúng

Đề bài: (Tiếp bài toán trên) Tính xác suất ít nhất một viên trúng?

Lời giải:

Cách 1: Dùng biến cố đối (Nhanh hơn)

• Biến cố đối: “Cả 3 viên đều trượt”
• $P(\text{cả 3 trượt}) = 0.2 \times 0.2 \times 0.2 = 0.008$
• $P(\text{ít nhất 1 trúng}) = 1 – 0.008 = 0.992 = 99.2%$

Cách 2: Tính trực tiếp (Phức tạp hơn)

• P(đúng 1 trúng) + P(đúng 2 trúng) + P(cả 3 trúng)
• (Cách này dài hơn, nên dùng biến cố đối)

VI. CÔNG THỨC XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Định nghĩa: Xác suất có điều kiện của A khi biết B đã xảy ra, ký hiệu $P(A|B)$, là xác suất để A xảy ra trong điều kiện B đã xảy ra.

Công thức:

$$\boxed{P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)}$$

Đọc là: “Xác suất của A với điều kiện B” hoặc “Xác suất của A biết B”

Ý nghĩa:

• Thu hẹp không gian mẫu từ $\Omega$ xuống còn B
• Xét xác suất A trong không gian mẫu mới này

2. Tính chất của xác suất có điều kiện

Các tính chất:

1. $0 \leq P(A|B) \leq 1$
2. $P(\Omega|B) = 1$
3. $P(\emptyset|B) = 0$
4. Nếu A và B độc lập: $P(A|B) = P(A)$

Giải thích tính chất 4: Nếu A độc lập với B, việc biết B xảy ra không làm thay đổi xác suất của A.

3. Công thức suy ra

Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, ta có:

$$\boxed{P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)}$$

Đây chính là công thức nhân tổng quát đã học ở phần trước.

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Gieo 2 xúc xắc

Đề bài: Gieo 2 con xúc xắc. Biết tổng hai mặt ≥ 10. Tính xác suất tổng = 11?

Lời giải:

Bước 1: Xác định không gian mẫu ban đầu

• $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$

Bước 2: Xác định biến cố B (điều kiện)

• B: “Tổng ≥ 10”
• B = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)}
• $n(B) = 6$

Bước 3: Xác định biến cố A

• A: “Tổng = 11”
• A = {(5,6), (6,5)}
• $n(A) = 2$

Bước 4: Tìm giao $A \cap B$

• $A \cap B$ = A = {(5,6), (6,5)} (vì A ⊂ B)
• $n(A \cap B) = 2$

Bước 5: Tính xác suất có điều kiện $$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Hoặc dùng công thức: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{2/36}{6/36} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ví dụ 2: Độc lập

Đề bài: Xác suất học sinh A đậu là 0.8, học sinh B đậu là 0.7. Biết A đã đậu, tính xác suất B cũng đậu nếu hai sự kiện độc lập?

Lời giải:

• Vì A và B độc lập
• $P(B|A) = P(B) = 0.7$
• Việc A đậu hay không không ảnh hưởng đến B

5. Ứng dụng thực tế

Trong y tế: $$P(\text{Bệnh}|\text{Test}+)$$ Xác suất thực sự bị bệnh khi kết quả xét nghiệm dương tính

Trong kinh doanh: $$P(\text{Mua hàng}|\text{Nhấp quảng cáo})$$ Tỷ lệ chuyển đổi (conversion rate)

Trong giáo dục: $$P(\text{Đậu ĐH}|\text{Học chuyên})$$ Xác suất đậu đại học của học sinh lớp chuyên

VII. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN

1. Hệ đầy đủ các biến cố

Định nghĩa: Các biến cố $B_1, B_2, …, B_n$ tạo thành hệ đầy đủ nếu thỏa mãn hai điều kiện:

1. Xung khắc từng đôi: $B_i \cap B_j = \emptyset$ với mọi $i \neq j$
2. Hợp đầy đủ: $B_1 \cup B_2 \cup … \cup B_n = \Omega$

Ý nghĩa: Các biến cố $B_i$ phân hoạch không gian mẫu thành các phần không giao nhau.

Ví dụ:

• Chia học sinh thành 3 nhóm: Giỏi, Khá, Trung bình
• Chia sản phẩm theo máy sản xuất: Máy 1, Máy 2, Máy 3

2. Công thức xác suất toàn phần

Giả sử $B_1, B_2, …, B_n$ là hệ đầy đủ các biến cố, A là biến cố bất kỳ:

$$\boxed{P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)}$$

$$= P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2) + … + P(B_n) \cdot P(A|B_n)$$

Ý nghĩa: Phân tích xác suất của A qua các “con đường” (scenarios) khác nhau thông qua hệ đầy đủ.

3. Sơ đồ cây minh họa

              ┌─ B₁ (p₁) ──→ A|B₁
              │
        A ────┼─ B₂ (p₂) ──→ A|B₂
              │
              └─ B₃ (p₃) ──→ A|B₃

P(A) = P(B₁)·P(A|B₁) + P(B₂)·P(A|B₂) + P(B₃)·P(A|B₃)

Cách đọc: A có thể xảy ra qua 3 “con đường”: qua B₁, qua B₂, hoặc qua B₃.

4. Ví dụ minh họa

Bài toán: Một nhà máy có 3 máy sản xuất với thông tin sau:

Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ nhà máy. Tính xác suất sản phẩm bị lỗi?

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ đầy đủ

• $B_1$: “Sản phẩm từ máy 1” → $P(B_1) = 0.3$
• $B_2$: “Sản phẩm từ máy 2” → $P(B_2) = 0.45$
• $B_3$: “Sản phẩm từ máy 3” → $P(B_3) = 0.25$

Bước 2: Xác định xác suất có điều kiện

• A: “Sản phẩm bị lỗi”
• $P(A|B_1) = 0.02$
• $P(A|B_2) = 0.03$
• $P(A|B_3) = 0.04$

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần $$P(A) = P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2) + P(B_3) \cdot P(A|B_3)$$ $$= 0.3 \times 0.02 + 0.45 \times 0.03 + 0.25 \times 0.04$$ $$= 0.006 + 0.0135 + 0.01$$ $$= 0.0295$$

Kết luận: Xác suất sản phẩm bị lỗi là 0.0295 = 2.95%

5. Ứng dụng công thức xác suất toàn phần

• Phân tích rủi ro: Tính xác suất tổng thể khi có nhiều kịch bản
• Dự báo: Kết hợp dự đoán từ nhiều nguồn
• Phân tầng: Tính xác suất chung từ các nhóm con
• Ra quyết định: Đánh giá kết quả qua nhiều yếu tố

VIII. CÔNG THỨC BAYES

1. Công thức Bayes (xác suất hậu nghiệm)

Công thức Bayes:

$$\boxed{P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)} = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}}$$

Các thành phần:

• $P(B_i)$: Xác suất tiên nghiệm (prior probability) – xác suất ban đầu của $B_i$
• $P(A|B_i)$: Likelihood – khả năng quan sát A khi $B_i$ xảy ra
• $P(B_i|A)$: Xác suất hậu nghiệm (posterior probability) – xác suất cập nhật của $B_i$ sau khi biết A
• $P(A)$: Evidence – xác suất biên của A

Ý nghĩa: Công thức Bayes cho phép “đảo ngược” xác suất có điều kiện, từ $P(A|B)$ suy ra $P(B|A)$.

2. Dạng đơn giản của Bayes

Với 2 biến cố:

$$\boxed{P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)}}$$

Hoặc:

$$P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B})}$$

3. Ví dụ cổ điển

Bài toán: (Tiếp theo ví dụ máy sản xuất ở phần VII)

Một sản phẩm bị lỗi được phát hiện. Tính xác suất sản phẩm đó từ máy 1?

Lời giải:

Cần tính: $P(B_1|A)$ – xác suất sản phẩm từ máy 1 khi biết nó bị lỗi

Áp dụng công thức Bayes: $$P(B_1|A) = \frac{P(B_1) \cdot P(A|B_1)}{P(A)}$$

Từ phần trước, ta đã có:

• $P(B_1) = 0.3$
• $P(A|B_1) = 0.02$
• $P(A) = 0.0295$

$$P(B_1|A) = \frac{0.3 \times 0.02}{0.0295} = \frac{0.006}{0.0295} \approx 0.203 = 20.3%$$

Giải thích kết quả:

• Ban đầu, máy 1 sản xuất 30% sản phẩm
• Nhưng khi phát hiện sản phẩm lỗi, chỉ có 20.3% khả năng từ máy 1
• Lý do: Tỷ lệ lỗi của máy 1 (2%) thấp hơn trung bình (2.95%)

4. Ứng dụng thực tế của Bayes

Trong y tế: Chẩn đoán bệnh

Công thức: $$P(\text{Bệnh}|\text{Test}+) = \frac{P(\text{Test}+|\text{Bệnh}) \cdot P(\text{Bệnh})}{P(\text{Test}+)}$$

Trong Machine Learning

• Naive Bayes Classifier
• Lọc spam email
• Phân loại văn bản

Trong pháp luật

• Đánh giá chứng cứ
• Xác suất có tội dựa trên bằng chứng

Trong kinh tế

• Cập nhật dự báo dựa trên dữ liệu mới
• Phân tích rủi ro đầu tư

5. Ví dụ y tế chi tiết

Bài toán: Một bệnh hiếm gặp có tỷ lệ mắc 0.1% trong dân số. Test phát hiện bệnh có:

• Độ nhạy (Sensitivity): 99% (test dương tính khi có bệnh)
• Độ đặc hiệu (Specificity): 95% (test âm tính khi không bệnh)

Một người test dương tính. Xác suất người đó thực sự bị bệnh?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các xác suất

• $P(B) = 0.001$ (có bệnh – Prior)
• $P(\overline{B}) = 0.999$ (không bệnh)
• $P(+|B) = 0.99$ (test + khi có bệnh – Sensitivity)
• $P(-|\overline{B}) = 0.95$ (test – khi không bệnh – Specificity)
• $P(+|\overline{B}) = 1 – 0.95 = 0.05$ (test + khi không bệnh – False Positive)

Bước 2: Áp dụng công thức Bayes $$P(B|+) = \frac{P(B) \cdot P(+|B)}{P(B) \cdot P(+|B) + P(\overline{B}) \cdot P(+|\overline{B})}$$

$$= \frac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.05}$$

$$= \frac{0.00099}{0.00099 + 0.04995} = \frac{0.00099}{0.05094} \approx 0.0194 = 1.94%$$

Kết luận: Mặc dù test dương tính với độ chính xác cao, xác suất thực sự bị bệnh chỉ khoảng 1.94%!

Giải thích paradox:

• Bệnh quá hiếm (0.1%)
• Số người khỏe mạnh test dương tính nhầm (5% của 99.9%) lớn hơn nhiều so với số người bệnh test đúng (99% của 0.1%)
• Đây là ví dụ điển hình cho thấy tầm quan trọng của xác suất tiên nghiệm

IX. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1. Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên (ký hiệu X, Y, Z,…) là một hàm số gán mỗi kết quả trong không gian mẫu một giá trị số thực.

$$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$$

Ví dụ:

• Tung 2 đồng xu, $X$ = số mặt sấp → $X \in {0, 1, 2}$
• Bắn bia, $X$ = số điểm đạt được → $X \in {0, 1, 2, …, 10}$
• Đo chiều cao, $X$ = chiều cao (cm) → $X \in \mathbb{R}^+$

Phân loại:

• Biến ngẫu nhiên rời rạc: Nhận hữu hạn hoặc đếm được các giá trị
• Biến ngẫu nhiên liên tục: Nhận vô số giá trị trong một khoảng

2. Bảng phân phối xác suất

Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc X:

Điều kiện:

1. $0 \leq p_i \leq 1$ với mọi $i$
2. $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$ (tổng xác suất = 1)

Ví dụ: Tung 2 đồng xu, $X$ = số mặt sấp

Kiểm tra: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$ ✓

3. Kỳ vọng (giá trị trung bình)

Định nghĩa: Kỳ vọng (hay giá trị kỳ vọng, kỳ vọng toán học) của biến ngẫu nhiên X là trung bình có trọng số của các giá trị X theo xác suất.

Công thức:

$$\boxed{E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + … + x_np_n}$$

Ký hiệu khác: $\mu = E(X)$

Ý nghĩa: Giá trị trung bình mà X nhận được nếu thực hiện phép thử vô số lần.

Tính chất của kỳ vọng

1. $E(c) = c$ (hằng số)
2. $E(aX + b) = aE(X) + b$
3. $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
4. Nếu X, Y độc lập: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

Ví dụ

Với bảng phân phối tung 2 đồng xu ở trên:

$$E(X) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4}$$ $$= 0 + 0.5 + 0.5 = 1$$

Giải thích: Trung bình sẽ có 1 mặt sấp khi tung 2 đồng xu.

4. Phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai (Variance)

Định nghĩa: Phương sai đo mức độ phân tán của X quanh giá trị kỳ vọng.

Công thức:

$$\boxed{Var(X) = E[(X – E(X))^2] = E(X^2) – [E(X)]^2}$$

$$= \sum_{i=1}^{n} (x_i – E(X))^2 \cdot p_i$$

Ký hiệu khác: $\sigma^2 = Var(X)$

Công thức tính nhanh: $$Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2$$

Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

$$\boxed{\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}}$$

Ý nghĩa: Đo độ “rải rác” của dữ liệu. Độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán.

Tính chất của phương sai

1. $Var(c) = 0$ (hằng số không có độ biến động)
2. $Var(aX + b) = a^2Var(X)$
3. Nếu X, Y độc lập: $Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$

Ví dụ tính toán

Tính $Var(X)$ với $X$ = số mặt sấp khi tung 2 đồng xu:

Bước 1: Tính $E(X^2)$ $E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{4} + 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{4}$ $= 0 + 0.5 + 1 = 1.5$

Bước 2: Tính $Var(X)$ $Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 = 1.5 – 1^2 = 0.5$

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn $\sigma(X) = \sqrt{0.5} \approx 0.707$

5. Phân phối nhị thức (Binomial Distribution)

Điều kiện áp dụng:

1. Thực hiện $n$ phép thử độc lập
2. Mỗi phép thử chỉ có 2 kết quả: thành công (xác suất $p$) hoặc thất bại (xác suất $1-p$)
3. Xác suất thành công $p$ không đổi qua các lần thử
4. $X$ = số lần thành công trong $n$ phép thử

Công thức:

$\boxed{P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}}$

Ký hiệu: $X \sim B(n, p)$ (X tuân theo phân phối nhị thức với tham số $n$ và $p$)

Kỳ vọng và phương sai:

• $E(X) = np$
• $Var(X) = np(1-p)$

Ví dụ

Bài toán: Bắn 5 phát súng vào bia, mỗi phát trúng với xác suất 0.7. Tính xác suất trúng đúng 3 phát?

Lời giải:

• $n = 5$ (số lần thử)
• $p = 0.7$ (xác suất thành công mỗi lần)
• $k = 3$ (số lần thành công mong muốn)

$P(X = 3) = C_5^3 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^2$ $= 10 \times 0.343 \times 0.09$ $= 0.3087 \approx 30.87%$

Kỳ vọng: $E(X) = 5 \times 0.7 = 3.5$ phát trúng

Phương sai: $Var(X) = 5 \times 0.7 \times 0.3 = 1.05$

6. Phân phối siêu bội (Hypergeometric Distribution)

Điều kiện áp dụng:

1. Tổng thể có $N$ phần tử, trong đó $M$ phần tử “thành công”
2. Chọn $n$ phần tử không hoàn lại
3. $X$ = số phần tử “thành công” được chọn

Công thức:

$\boxed{P(X = k) = \frac{C_M^k \cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}}$

Khi nào dùng: Rút bài, lấy bi không hoàn lại, chọn mẫu không thay thế

Ví dụ

Bài toán: Hộp có 10 bi gồm 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 5 bi. Tính xác suất lấy được đúng 3 bi đỏ?

Lời giải:

• $N = 10$ (tổng số bi)
• $M = 6$ (số bi đỏ)
• $n = 5$ (số bi lấy ra)
• $k = 3$ (số bi đỏ mong muốn)

$P(X = 3) = \frac{C_6^3 \cdot C_4^2}{C_{10}^5}$

Tính từng phần:

• $C_6^3 = \frac{6!}{3!3!} = 20$
• $C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$
• $C_{10}^5 = \frac{10!}{5!5!} = 252$

$P(X = 3) = \frac{20 \times 6}{252} = \frac{120}{252} = \frac{10}{21} \approx 0.476 = 47.6%$

X. PHÂN CHIA THEO CHƯƠNG TRÌNH HỌC

A. CÔNG THỨC XÁC SUẤT LỚP 11

Chương trình lớp 11 tập trung vào các kiến thức cơ bản:

1. Các khái niệm cơ bản

• Phép thử ngẫu nhiên
• Không gian mẫu $\Omega$
• Biến cố: sơ cấp, hợp, giao, đối, xung khắc

2. Định nghĩa xác suất

Công thức cổ điển: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$

Điều kiện: Các kết quả đồng khả năng

3. Tính chất của xác suất

• $0 \leq P(A) \leq 1$
• $P(\Omega) = 1$
• $P(\emptyset) = 0$
• $P(\overline{A}) = 1 – P(A)$

4. Công thức cộng xác suất

Tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

Trường hợp xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

5. Công thức nhân xác suất cơ bản

Biến cố độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

6. Công thức tổ hợp

• Hoán vị: $P_n = n!$
• Chỉnh hợp: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
• Tổ hợp: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Bảng công thức trọng tâm lớp 11

B. CÔNG THỨC XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (Nâng cao/Đại học)

Chương trình nâng cao mở rộng thêm:

1. Xác suất có điều kiện

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

2. Công thức nhân tổng quát

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$

3. Công thức xác suất toàn phần

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$

Điều kiện: ${B_i}$ là hệ đầy đủ

4. Công thức Bayes

$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}$

5. Biến ngẫu nhiên

• Bảng phân phối xác suất
• Kỳ vọng: $E(X) = \sum x_i p_i$
• Phương sai: $Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2$
• Độ lệch chuẩn: $\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$

6. Các phân phối xác suất

Phân phối nhị thức: $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

Phân phối Poisson: $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Phân phối chuẩn (Gaussian): $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

7. Thống kê mô tả

• Số trung bình mẫu: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$
• Trung vị, mode
• Phương sai mẫu: $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i – \bar{x})^2$
• Khoảng tin cậy

So sánh Lớp 11 vs Nâng cao

XI. MẸO VÀ KỸ THUẬT GIẢI BÀI TẬP XÁC SUẤT

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên trừ phần giao

Sai: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ (quên trừ $P(A \cap B)$)

Đúng: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

Chỉ đúng khi: A và B xung khắc ($A \cap B = \emptyset$)

❌ SAI LẦM 2: Nhầm độc lập với xung khắc

Sai: Nghĩ rằng nếu A và B xung khắc thì độc lập

Đúng:

• Xung khắc: $A \cap B = \emptyset$ → Không thể cùng xảy ra
• Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ → Không ảnh hưởng lẫn nhau

Lưu ý: Xung khắc và độc lập là hai khái niệm KHÁC NHAU!

❌ SAI LẦM 3: Nhầm lẫn xác suất có điều kiện

Sai: $P(A|B) = P(B|A)$

Đúng:

• $P(A|B) \neq P(B|A)$ (trừ trường hợp đặc biệt)
• Phải dùng công thức Bayes để chuyển đổi

❌ SAI LẦM 4: Tính sai biến cố đối

Sai: $P(\overline{A}) = 1 + P(A)$ (nhầm dấu)

Đúng: $P(\overline{A}) = 1 – P(A)$

❌ SAI LẦM 5: Dùng sai công thức nhân

Sai: Luôn dùng $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ cho mọi trường hợp

Đúng:

• Khi độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
• Khi không độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

2. Chiến lược giải bài xác suất

Bước 1: Đọc kỹ đề bài

• Phép thử là gì?
• Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
• Biến cố cần tính là gì?
• Có từ khóa đặc biệt không? (“ít nhất”, “nhiều nhất”, “đúng”, “không quá”…)

Bước 2: Vẽ sơ đồ (nếu cần)

• Sơ đồ Venn: Cho bài toán hợp, giao
• Sơ đồ cây: Cho phép thử nhiều bước
• Bảng hai chiều: Cho hai yếu tố độc lập

Bước 3: Chọn công thức phù hợp

• Dùng định nghĩa cổ điển?
• Cần công thức cộng hay nhân?
• Có điều kiện không?
• Có biến ngẫu nhiên không?

Bước 4: Tính toán cẩn thận

• Đếm chính xác số phần tử
• Sử dụng tổ hợp đúng cách
• Chú ý đơn vị, dấu

Bước 5: Kiểm tra kết quả

• $0 \leq P \leq 1$?
• Kết quả có hợp lý không?
• Thử với trường hợp đơn giản

3. Khi nào dùng công thức nào?

Bảng tra cứu nhanh

4. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1: “Ít nhất” dùng biến cố đối

Bài toán: P(ít nhất 1) = ?

Công thức: $P(\text{ít nhất 1}) = 1 – P(\text{không có nào})$

Lý do: Thường tính P(không có nào) dễ hơn nhiều!

Ví dụ: Bắn 3 phát, xác suất trúng mỗi phát 0.8. Tính P(ít nhất 1 trúng)?

• P(cả 3 trượt) = $0.2^3 = 0.008$
• P(ít nhất 1 trúng) = $1 – 0.008 = 0.992$

Mẹo 2: “Nhiều nhất k”

$P(\text{nhiều nhất } k) = P(0) + P(1) + … + P(k)$

Hoặc: $P(\text{nhiều nhất } k) = 1 – P(\text{ít nhất } k+1)$

Mẹo 3: Kiểm tra độc lập

Cách kiểm tra: Xem $P(A|B) = P(A)$?

• Nếu đúng → Độc lập
• Nếu sai → Không độc lập

Dấu hiệu không độc lập:

• “Không hoàn lại”
• “Sau khi…”
• Một sự kiện ảnh hưởng đến sự kiện khác

Mẹo 4: Vẽ sơ đồ cây

Rất hữu ích cho:

• Bài toán nhiều bước
• Xác suất có điều kiện
• Xác suất toàn phần

Cách dùng:

• Nhân xác suất dọc theo nhánh
• Cộng xác suất các nhánh cuối cùng

Mẹo 5: Dùng bảng hai chiều

Tốt cho bài toán có 2 tiêu chí:

5. Kiểm tra kết quả

✅ Checklist:

• [ ] Xác suất nằm trong [0, 1]?
• [ ] Tổng các xác suất trong bảng phân phối = 1?
• [ ] $P(A) + P(\overline{A}) = 1$?
• [ ] Nếu $A \subset B$ thì $P(A) \leq P(B)$?
• [ ] Kết quả có ý nghĩa thực tế?

XII. BÀI TẬP MẪU VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Xác suất cổ điển

Ví dụ 1: Gieo 2 con xúc xắc. Tính xác suất tổng hai mặt bằng 7?

Lời giải:

Bước 1: Xác định không gian mẫu

• $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$

Bước 2: Liệt kê biến cố A

• A = “Tổng = 7”
• A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
• $n(A) = 6$

Bước 3: Tính xác suất $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16.67%$

Ví dụ 2: Rút 2 lá bài từ bộ 52 lá. Tính xác suất cả 2 đều là quân bích?

Lời giải:

Bước 1: Số cách chọn 2 lá từ 52 lá $n(\Omega) = C_{52}^2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$

Bước 2: Số cách chọn 2 quân bích từ 13 quân bích $n(A) = C_{13}^2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$

Bước 3: Xác suất $P(A) = \frac{78}{1326} = \frac{1}{17} \approx 5.88%$

Dạng 2: Công thức cộng

Ví dụ 3: Gieo xúc xắc. Tính xác suất được số chẵn hoặc số chia hết cho 3?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các biến cố

• A = “Số chẵn” = {2, 4, 6} → $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• B = “Chia hết cho 3” = {3, 6} → $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Bước 2: Tìm giao

• $A \cap B$ = {6} → $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

Bước 3: Công thức cộng $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 – 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Dạng 3: Công thức nhân – độc lập

Ví dụ 4: Hai học sinh giải bài toán độc lập. Xác suất A giải được là 0.6, B là 0.7. Tính: a) Xác suất cả hai đều giải được b) Xác suất ít nhất một người giải được

Lời giải:

Câu a) Cả hai đều giải được

• Hai sự kiện độc lập $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.6 \times 0.7 = 0.42 = 42%$

Câu b) Ít nhất một người giải được

Cách 1: Dùng biến cố đối

• P(không ai giải được) = $(1-0.6) \times (1-0.7) = 0.4 \times 0.3 = 0.12$
• P(ít nhất 1) = $1 – 0.12 = 0.88 = 88%$

Cách 2: Tính trực tiếp

• P(chỉ A) + P(chỉ B) + P(cả hai)
• = $0.6 \times 0.3 + 0.4 \times 0.7 + 0.6 \times 0.7$
• = $0.18 + 0.28 + 0.42 = 0.88$

Dạng 4: Xác suất có điều kiện

Ví dụ 5: Hộp có 5 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất bi thứ 2 là đỏ biết bi thứ nhất là đỏ?

Lời giải:

Sau khi lấy 1 bi đỏ:

• Còn lại: 4 bi đỏ, 3 bi xanh
• Tổng: 7 bi

$P(R_2|R_1) = \frac{4}{7} \approx 57.14%$

Ví dụ 6: Gieo 2 xúc xắc. Biết tổng ≥ 10, tính xác suất tổng = 11?

Lời giải:

Bước 1: Biến cố điều kiện

• B = “Tổng ≥ 10” = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)}
• $n(B) = 6$

Bước 2: Biến cố cần tính

• A = “Tổng = 11” = {(5,6), (6,5)}
• $n(A) = 2$

Bước 3: Giao

• $A \cap B = A$ = {(5,6), (6,5)}
• $n(A \cap B) = 2$

Bước 4: Xác suất có điều kiện $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33.33%$

Dạng 5: Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng

Ví dụ 7: Tung 3 đồng xu. Gọi X là số mặt sấp xuất hiện. a) Lập bảng phân phối xác suất b) Tính $E(X)$ và $Var(X)$

Lời giải:

Câu a) Bảng phân phối

$X \in {0, 1, 2, 3}$

• $P(X=0) = C_3^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$
• $P(X=1) = C_3^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
• $P(X=2) = C_3^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
• $P(X=3) = C_3^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$

Câu b) Kỳ vọng và phương sai

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8}$ $= 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$

$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{8} + 1^2 \cdot \frac{3}{8} + 2^2 \cdot \frac{3}{8} + 3^2 \cdot \frac{1}{8}$ $= 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$

$Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 = 3 – (1.5)^2 = 3 – 2.25 = 0.75$

Dạng 6: Phân phối nhị thức

Ví dụ 8: Bắn 10 phát, xác suất trúng mỗi phát là 0.7. Tính: a) Xác suất trúng đúng 7 phát b) Xác suất trúng ít nhất 8 phát

Lời giải:

$X \sim B(10, 0.7)$

Câu a) Trúng đúng 7 phát $P(X = 7) = C_{10}^7 \cdot (0.7)^7 \cdot (0.3)^3$ $= 120 \times 0.0823543 \times 0.027$ $\approx 0.2668 = 26.68%$

Câu b) Trúng ít nhất 8 phát $P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$ $= C_{10}^8(0.7)^8(0.3)^2 + C_{10}^9(0.7)^9(0.3)^1 + C_{10}^{10}(0.7)^{10}(0.3)^0$ $\approx 0.2335 + 0.1211 + 0.0282 = 0.3828 = 38.28%$

XIV. KẾT LUẬN

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ các công thức xác suất từ cơ bản đến nâng cao:

Xác suất cơ bản:

• Định nghĩa cổ điển: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
• Tính chất: $0 \leq P(A) \leq 1$, $P(\overline{A}) = 1 – P(A)$

Phép toán biến cố:

• Hợp (∪), giao (∩), hiệu (), đối
• Xung khắc vs độc lập

Công thức cộng:

• Tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
• Xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Công thức nhân:

• Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
• Tổng quát: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Xác suất có điều kiện:

• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Xác suất toàn phần:

• $P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A|B_i)$

Công thức Bayes:

• $P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}$

Biến ngẫu nhiên:

• Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn
• Phân phối nhị thức, siêu bội

Phân chia rõ ràng: Lớp 11 và chương trình nâng cao

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa