I. GIỚI THIỆU VỀ BÀI TOÁN ĐẾM

1. Bài toán đếm là gì?

Định nghĩa: Bài toán đếm là dạng toán nhằm xác định số cách thực hiện một hành động hoặc số cách xảy ra một sự kiện, mà không cần liệt kê chi tiết từng cách.

Ví dụ đơn giản:

• Có bao nhiêu cách chọn 1 quả táo từ 5 quả? → 5 cách
• Có bao nhiêu cách xếp 3 người thành 1 hàng? → 6 cách

Vai trò trong toán học:

• Là nền tảng của tổ hợp học (Combinatorics)
• Công cụ quan trọng trong xác suất (tính số phần tử của không gian mẫu Ω và biến cố A)
• Ứng dụng trong nhiều lĩnh vực: khoa học máy tính, mật mã học, thống kê

Lịch sử: Lý thuyết về bài toán đếm phát triển mạnh từ thế kỷ 17, gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học vĩ đại như Blaise Pascal, Pierre de Fermat, và Leonhard Euler.

2. Ba khái niệm cốt lõi

Để hiểu rõ sự khác biệt giữa ba khái niệm, ta xem xét bảng so sánh sau:

Ví dụ minh họa nhanh:

Cho 3 người: A, B, C

Hoán vị (sắp xếp cả 3 người):

• ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
• Tổng: $3! = 6$ cách

Chỉnh hợp (chọn 2 người làm chủ tịch và thư ký):

• AB (A-chủ tịch, B-thư ký), BA, AC, CA, BC, CB
• Tổng: $A_3^2 = 6$ cách
• Chú ý: AB ≠ BA (vai trò khác nhau)

Tổ hợp (chọn 2 người vào đội, không phân biệt vai trò):

• {A,B}, {A,C}, {B,C}
• Tổng: $C_3^2 = 3$ cách
• Chú ý: {A,B} = {B,A} (không phân biệt thứ tự)

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết được tổ chức theo trình tự logic từ cơ bản đến nâng cao:

1. Quy tắc cơ bản: Quy tắc cộng và quy tắc nhân – nền tảng của mọi bài toán đếm
2. Công thức hoán vị (n!): Sắp xếp toàn bộ các phần tử
3. Công thức chỉnh hợp ($A_n^k$): Chọn và sắp xếp k phần tử từ n phần tử
4. Công thức tổ hợp ($C_n^k$): Chọn k phần tử không quan tâm thứ tự
5. So sánh và phân biệt: Làm rõ sự khác biệt, tránh nhầm lẫn
6. Bài tập mẫu: Ứng dụng vào các dạng bài cụ thể

II. QUY TẮC CƠ BẢN TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

1. Quy tắc cộng (Addition Principle)

Nguyên lý: Nếu một công việc có thể thực hiện theo cách A hoặc cách B, và hai cách này không thể xảy ra đồng thời (loại trừ lẫn nhau), thì:

• Cách A có $m$ cách thực hiện
• Cách B có $n$ cách thực hiện
• Không có sự trùng lặp giữa A và B

Công thức: $$\boxed{\text{Tổng số cách} = m + n}$$

Ví dụ 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường bộ hoặc 2 con đường sông. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B?

Lời giải:

• Đi đường bộ: 3 cách
• Đi đường sông: 2 cách
• Tổng số cách = 3 + 2 = 5 cách

Mở rộng: Nếu công việc có thể thực hiện theo $k$ cách loại trừ lẫn nhau với số cách tương ứng là $n_1, n_2, …, n_k$: $$\text{Tổng số cách} = n_1 + n_2 + … + n_k$$

Ví dụ 2: Một học sinh có thể chọn 1 trong 5 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, hoặc 4 quyển sách hóa. Có bao nhiêu cách chọn 1 quyển sách?

Lời giải:

• Tổng số cách = 5 + 3 + 4 = 12 cách

2. Quy tắc nhân (Multiplication Principle)

Nguyên lý: Nếu một công việc gồm nhiều bước liên tiếp, và:

• Bước 1 có $m$ cách thực hiện
• Bước 2 có $n$ cách thực hiện (với mỗi cách ở bước 1)
• Các bước độc lập với nhau

Công thức: $$\boxed{\text{Tổng số cách} = m \times n}$$

Ví dụ 3: Tung một đồng xu 2 lần. Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

Lời giải:

• Lần 1: 2 cách (Sấp hoặc Ngửa)
• Lần 2: 2 cách (Sấp hoặc Ngửa)
• Tổng số cách = 2 × 2 = 4 cách
• Chi tiết: (S,S), (S,N), (N,S), (N,N)

Mở rộng: Nếu công việc gồm $k$ bước với số cách tương ứng là $n_1, n_2, …, n_k$: $$\text{Tổng số cách} = n_1 \times n_2 \times … \times n_k$$

Ví dụ 4: Một mật khẩu gồm 1 chữ cái (26 chữ) và 2 chữ số (0-9). Có bao nhiêu mật khẩu có thể tạo ra?

Lời giải:

• Chọn chữ cái: 26 cách
• Chọn chữ số thứ nhất: 10 cách
• Chọn chữ số thứ hai: 10 cách
• Tổng: 26 × 10 × 10 = 2,600 mật khẩu

3. Khi nào dùng quy tắc nào?

Bảng phân biệt:

Mẹo nhớ:

• HOẶC → CỘNG (+)
• VÀ → NHÂN (×)

4. Ví dụ kết hợp

Bài toán: Từ thành phố A đến thành phố C, có thể đi qua thành phố B hoặc đi thẳng.

• Từ A đến B: 3 con đường
• Từ B đến C: 4 con đường
• Đường thẳng từ A đến C: 2 con đường

Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?

Lời giải:

Cách 1: Đi qua B

• A → B: 3 cách
• B → C: 4 cách
• Quy tắc nhân: 3 × 4 = 12 cách

Cách 2: Đi thẳng

• A → C: 2 cách

Tổng số cách:

• Quy tắc cộng: 12 + 2 = 14 cách

Giải thích: Vì đi qua B hoặc đi thẳng là hai phương án loại trừ nhau nên ta cộng lại.

III. CÔNG THỨC HOÁN VỊ

1. Định nghĩa hoán vị

Hoán vị (Permutation) là một cách sắp xếp tất cả n phần tử phân biệt theo một thứ tự nhất định.

Ký hiệu: $P_n$ hoặc $n!$ (đọc là “n giai thừa” hoặc “n factorial”)

Đặc điểm:

• Sử dụng hết n phần tử
• Có phân biệt thứ tự
• Mỗi hoán vị là một cách sắp xếp khác nhau

2. Công thức hoán vị

$$\boxed{P_n = n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times 2 \times 1}$$

Quy ước đặc biệt:

• $0! = 1$ (quy ước toán học)
• $1! = 1$

Ví dụ tính toán:

• $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
• $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• $6! = 720$
• $7! = 5,040$
• $10! = 3,628,800$

3. Giải thích công thức

Tại sao công thức là n!?

Khi sắp xếp n phần tử vào n vị trí:

• Vị trí 1: Có n cách chọn (từ n phần tử)
• Vị trí 2: Có (n-1) cách chọn (đã dùng 1 phần tử ở vị trí 1)
• Vị trí 3: Có (n-2) cách chọn (đã dùng 2 phần tử)
• …
• Vị trí n: Có 1 cách chọn (phần tử cuối cùng)

Áp dụng quy tắc nhân: $$n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times 1 = n!$$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi thành một hàng ngang?

Lời giải:

• Cần sắp xếp tất cả 5 người → Hoán vị
• Số cách = $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ cách

Ví dụ 2: Có 7 quyển sách khác nhau. Có bao nhiêu cách xếp chúng lên một kệ sách?

Lời giải:

• Sắp xếp 7 quyển sách → Hoán vị 7 phần tử
• Số cách = $7! = 5,040$ cách

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái trong từ “CODE”?

Lời giải:

• 4 chữ cái khác nhau
• Số cách = $4! = 24$ cách

5. Hoán vị có lặp

Định nghĩa: Khi có một số phần tử giống nhau (lặp lại), số cách sắp xếp sẽ ít hơn.

Công thức: Nếu có n phần tử, trong đó:

• $k_1$ phần tử loại 1 giống nhau
• $k_2$ phần tử loại 2 giống nhau
• …
• $k_m$ phần tử loại m giống nhau

$$\boxed{P_n^{k_1, k_2, …, k_m} = \frac{n!}{k_1! \times k_2! \times … \times k_m!}}$$

Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái trong từ “MISSISSIPPI”?

Phân tích:

• Tổng số chữ cái: 11
• M: 1 lần
• I: 4 lần
• S: 4 lần
• P: 2 lần

Lời giải: $$P = \frac{11!}{1! \times 4! \times 4! \times 2!} = \frac{39,916,800}{1 \times 24 \times 24 \times 2} = \frac{39,916,800}{1,152} = 34,650$$

Giải thích: Chia cho $k_i!$ vì các phần tử giống nhau hoán đổi vị trí cho nhau không tạo ra cách mới.

6. Hoán vị vòng tròn

Định nghĩa: Sắp xếp n phần tử theo vòng tròn (như ngồi quanh bàn tròn).

Công thức: $$\boxed{P_{\text{vòng tròn}} = (n-1)!}$$

Giải thích:

• Do tính chất đối xứng của vòng tròn, ta cố định 1 phần tử (để phá vỡ tính đối xứng)
• Sắp xếp (n-1) phần tử còn lại: $(n-1)!$

Ví dụ 5: Có 6 người ngồi quanh một bàn tròn. Có bao nhiêu cách sắp xếp?

Lời giải:

• Hoán vị vòng tròn
• Số cách = $(6-1)! = 5! = 120$ cách

So sánh:

• Nếu ngồi hàng ngang: $6! = 720$ cách
• Nếu ngồi vòng tròn: $(6-1)! = 120$ cách (ít hơn 6 lần)

IV. CÔNG THỨC CHỈNH HỢP

1. Định nghĩa chỉnh hợp

Chỉnh hợp (Arrangement) là một cách chọn k phần tử từ n phần tử phân biệt ($k \leq n$) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định.

Ký hiệu: $A_n^k$ hoặc $P(n,k)$ hoặc $_nP_k$

Đọc: “Chỉnh hợp chập k của n”

Điều kiện: $0 \leq k \leq n$

Đặc điểm:

• Chọn k phần tử từ n phần tử (k < n)
• Có phân biệt thứ tự
• Mỗi chỉnh hợp là một dãy sắp xếp khác nhau

2. Công thức chỉnh hợp

$$\boxed{A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times (n-k+1)}$$

Lưu ý: Phần thứ hai có đúng k thừa số

Ví dụ tính toán:

• $A_5^2 = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$
• Hoặc: $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$
• $A_7^3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$

3. Giải thích công thức

Tại sao công thức này?

Khi chọn và sắp xếp k phần tử từ n phần tử:

• Vị trí 1: n cách chọn
• Vị trí 2: (n-1) cách chọn
• Vị trí 3: (n-2) cách chọn
• …
• Vị trí k: $(n-k+1)$ cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân: $$n \times (n-1) \times … \times (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$$

4. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp 1: Khi k = n $$A_n^n = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n! = P_n$$

→ Chỉnh hợp chập n chính là hoán vị

Trường hợp 2: Khi k = 1 $$A_n^1 = n$$

Chỉ chọn 1 phần tử từ n phần tử → n cách

Trường hợp 3: Khi k = 0 $$A_n^0 = 1$$

Quy ước: không chọn phần tử nào → 1 cách (không làm gì)

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Từ 10 học sinh, cần chọn 3 học sinh làm lớp trưởng, lớp phó học tập, và lớp phó văn thể. Có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

• Chọn 3 người từ 10 người
• Ba vị trí khác nhau (có phân biệt thứ tự)
• Công thức chỉnh hợp: $$A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720 \text{ cách}$$

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5}?

Lời giải:

Lưu ý: Số tự nhiên không bắt đầu bằng 0!

Cách 1: Trừ đi trường hợp bắt đầu bằng 0

• Tổng số có 4 chữ số khác nhau: $A_6^4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$
• Số bắt đầu bằng 0: $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$
• Kết quả: 360 – 60 = 300 số

Cách 2: Quy tắc nhân

• Chữ số đầu tiên: 5 cách (1, 2, 3, 4, 5)
• Chữ số thứ hai: 5 cách (cả 0, trừ chữ số đầu)
• Chữ số thứ ba: 4 cách (trừ 2 chữ số đã chọn)
• Chữ số thứ tư: 3 cách (trừ 3 chữ số đã chọn)
• Tổng: 5 × 5 × 4 × 3 = 300 số

Ví dụ 3: Từ 12 vận động viên, chọn 4 người chạy tiếp sức (4 chặng khác nhau). Có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

• Chọn 4 từ 12, có phân biệt vị trí (chặng 1, 2, 3, 4)
• $A_{12}^4 = 12 \times 11 \times 10 \times 9 = 11,880$ cách

6. Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa: Chọn k phần tử từ n phần tử, trong đó mỗi phần tử có thể được chọn nhiều lần.

Công thức: $$\boxed{\overline{A}_n^k = n^k}$$

Ví dụ 4: Một mật khẩu gồm 4 chữ số từ 0 đến 9 (các chữ số có thể lặp lại). Có bao nhiêu mật khẩu?

Lời giải:

• Mỗi vị trí: 10 cách chọn (0-9)
• 4 vị trí: $\overline{A}_{10}^4 = 10^4 = 10,000$ mật khẩu

V. CÔNG THỨC TỔ HỢP

1. Định nghĩa tổ hợp

Tổ hợp (Combination) là một cách chọn k phần tử từ n phần tử phân biệt ($k \leq n$) mà không quan tâm đến thứ tự.

Ký hiệu: $C_n^k$ hoặc $\binom{n}{k}$ hoặc $_nC_k$

Đọc: “Tổ hợp chập k của n” hoặc “n chọn k”

Điều kiện: $0 \leq k \leq n$

Đặc điểm:

• Chọn k phần tử từ n phần tử
• Không phân biệt thứ tự
• Mỗi tổ hợp là một tập hợp (không có thứ tự)

2. Công thức tổ hợp

$$\boxed{C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}}$$

Giải thích:

• Tổ hợp = Chỉnh hợp chia cho k! (loại bỏ thứ tự trong k phần tử đã chọn)

Ví dụ tính toán: $$C_5^2 = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$$

Hoặc: $$C_5^2 = \frac{A_5^2}{2!} = \frac{20}{2} = 10$$

3. Giải thích công thức

Tại sao chia cho k!?

Khi chọn k phần tử:

• Chỉnh hợp $A_n^k$: Đếm cả thứ tự
• Nhưng trong tổ hợp, thứ tự không quan trọng
• Mỗi tổ hợp (tập hợp k phần tử) có $k!$ cách sắp xếp
• Do đó: $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$

Ví dụ minh họa: Chọn 2 phần tử từ {A, B, C}

Chỉnh hợp: AB, BA, AC, CA, BC, CB → 6 cách ($A_3^2 = 6$)

Tổ hợp: {A,B}, {A,C}, {B,C} → 3 cách ($C_3^2 = 3$)

Nhận xét: Mỗi tổ hợp (như {A,B}) tương ứng với 2 chỉnh hợp (AB và BA)

Vậy: $C_3^2 = \frac{A_3^2}{2!} = \frac{6}{2} = 3$ ✓

4. Tính chất của tổ hợp

Tính chất 1: Đối xứng $$\boxed{C_n^k = C_n^{n-k}}$$

Giải thích: Chọn k phần tử = Loại bỏ (n-k) phần tử

Ví dụ: $C_5^2 = C_5^3 = 10$

Tính chất 2: Công thức Pascal $$\boxed{C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k}$$

Giải thích: Xét 1 phần tử cụ thể:

• Chọn nó: $C_{n-1}^{k-1}$ (chọn k-1 từ n-1 còn lại)
• Không chọn: $C_{n-1}^k$ (chọn k từ n-1)

Ứng dụng: Xây dựng Tam giác Pascal

Tính chất 3: Các trường hợp đặc biệt

• $C_n^0 = 1$ (không chọn phần tử nào)
• $C_n^1 = n$ (chọn 1 phần tử)
• $C_n^n = 1$ (chọn tất cả)
• $C_n^{n-1} = n$ (loại bỏ 1 phần tử)

Tính chất 4: Tổng các tổ hợp $$\boxed{C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n = 2^n}$$

Giải thích: Mỗi phần tử có 2 lựa chọn (chọn hoặc không) → $2^n$ tập con

Tính chất 5: Nhị thức Newton $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$$

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Từ 10 học sinh, chọn 3 học sinh vào đội tuyển toán. Có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

• Chọn 3 từ 10
• Không phân biệt vai trò (cả 3 đều là thành viên đội tuyển)
• Công thức tổ hợp: $$C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120 \text{ cách}$$

Ví dụ 2: Một lớp có 15 nam và 10 nữ. Chọn một ban cán sự gồm 5 học sinh sao cho có đúng 2 nữ. Có bao nhiêu cách?

Lời giải:

Bước 1: Chọn 2 nữ từ 10 nữ $$C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$$

Bước 2: Chọn 3 nam từ 15 nam $$C_{15}^3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{6} = 455$$

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân $$C_{10}^2 \times C_{15}^3 = 45 \times 455 = 20,475 \text{ cách}$$

Ví dụ 3 (Cẩn thận!): Có bao nhiêu cách chia 10 người thành 2 nhóm, mỗi nhóm 5 người?

Phân tích:

SAI: $C_{10}^5 = 252$ cách ❌

Tại sao sai? Vì khi chọn 5 người vào nhóm 1, thì 5 người còn lại tự động vào nhóm 2. Nhưng công thức $C_{10}^5$ đếm cả trường hợp {A,B,C,D,E} nhóm 1 và {F,G,H,I,J} nhóm 2 KHÁC với {F,G,H,I,J} nhóm 1 và {A,B,C,D,E} nhóm 2. Thực tế hai cách này giống nhau!

ĐÚNG: $$\frac{C_{10}^5}{2!} = \frac{252}{2} = 126 \text{ cách}$$ ✓

Giải thích: Chia cho 2! vì hai nhóm không phân biệt (đối xứng).

Ví dụ 4: Có bao nhiêu đường chéo của một đa giác n cạnh?

Lời giải:

Bước 1: Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kỳ $$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$$

Bước 2: Trừ đi các cạnh (không phải đường chéo) $$\text{Số đường chéo} = C_n^2 – n = \frac{n(n-1)}{2} – n = \frac{n(n-3)}{2}$$

Ví dụ cụ thể: Đa giác 10 cạnh $$\frac{10 \times 7}{2} = 35 \text{ đường chéo}$$

6. Tổ hợp lặp

Định nghĩa: Chọn k phần tử từ n loại phần tử, trong đó mỗi loại có thể được chọn nhiều lần.

Công thức: $$\boxed{C_{\text{lặp}}(n,k) = C_{n+k-1}^k}$$

Ví dụ 5: Có 3 loại trái cây. Muốn mua 5 quả (có thể mua nhiều quả cùng loại). Có bao nhiêu cách?

Lời giải: $$C_{\text{lặp}}(3,5) = C_{3+5-1}^5 = C_7^5 = C_7^2 = 21 \text{ cách}$$

VI. SO SÁNH VÀ PHÂN BIỆT

1. Bảng so sánh tổng quát

2. Mối quan hệ giữa các công thức

Quan hệ 1: Tổ hợp và Chỉnh hợp $$\boxed{C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}}$$

→ Tổ hợp = Chỉnh hợp loại bỏ thứ tự (chia cho k!)

Quan hệ 2: Chỉnh hợp và Hoán vị $$\boxed{A_n^n = P_n = n!}$$

→ Chỉnh hợp chập n (chọn hết) = Hoán vị

Quan hệ 3: Chỉnh hợp qua Tổ hợp $$\boxed{A_n^k = C_n^k \times k!}$$

→ Chỉnh hợp = Tổ hợp × Hoán vị k phần tử đã chọn

Sơ đồ quan hệ:

        Hoán vị (n!)
           ↓ (chọn k < n)
    Chỉnh hợp (Aₙᵏ)
           ↓ (÷ k! - loại bỏ thứ tự)
      Tổ hợp (Cₙᵏ)

3. Cách nhận biết dạng bài

Câu hỏi then chốt: “Có phân biệt thứ tự không?”

4. Ví dụ so sánh cùng bối cảnh

Bối cảnh: Có 5 học sinh: A, B, C, D, E

Câu hỏi 1: Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành 1 hàng ngang?

• Sắp xếp tất cả → Hoán vị
• $P_5 = 5! = 120$ cách

Câu hỏi 2: Chọn 3 học sinh làm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn thể. Có bao nhiêu cách?

• Chọn 3 từ 5, có phân biệt vai trò → Chỉnh hợp
• $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ cách

Câu hỏi 3: Chọn 3 học sinh vào đội tuyển toán. Có bao nhiêu cách?

• Chọn 3 từ 5, không phân biệt vai trò → Tổ hợp
• $C_5^3 = 10$ cách

Tóm tắt:

• Cùng chọn 3 từ 5 học sinh
• Nhưng kết quả khác nhau: 60 cách (chỉnh hợp) vs 10 cách (tổ hợp)
• Lý do: Có phân biệt thứ tự hay không

5. Cây quyết định

BÀI TOÁN ĐẾM
    │
    ├─ Dùng hết n phần tử?
    │   └─ ✅ Có → HOÁN VỊ (n!)
    │
    └─ Chọn k phần tử (k < n)?
        │
        ├─ Có phân biệt thứ tự?
        │   └─ ✅ Có → CHỈNH HỢP (Aₙᵏ)
        │
        └─ Không phân biệt thứ tự?
            └─ ❌ Không → TỔ HỢP (Cₙᵏ)

6. Bài tập tổng hợp

Bài toán: Từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5}, hãy trả lời:

a) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau?

• Dùng hết 5 chữ số, có thứ tự → Hoán vị
• Đáp án: $5! = 120$ số

b) Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau?

• Chọn 3 từ 5, có thứ tự → Chỉnh hợp
• Đáp án: $A_5^3 = 60$ số

c) Có bao nhiêu cách chọn 3 chữ số (không quan tâm thứ tự)?

• Chọn 3 từ 5, không thứ tự → Tổ hợp
• Đáp án: $C_5^3 = 10$ cách

VII. BÀI TẬP MẪU THEO TỪNG DẠNG

Dạng 1: Hoán vị

Bài tập 1: Có 8 cuốn sách khác nhau. Có bao nhiêu cách xếp chúng lên một kệ sách?

Lời giải:

• Sắp xếp tất cả 8 cuốn sách → Hoán vị
• Số cách = $8! = 40,320$ cách

Bài tập 2: Có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi quanh một bàn tròn?

Lời giải:

• Hoán vị vòng tròn
• Số cách = $(6-1)! = 5! = 120$ cách

Bài tập 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái trong từ “VIETNAM”? (7 chữ cái khác nhau)

Lời giải:

• $7! = 5,040$ cách

Bài tập 4: Có bao nhiêu cách xếp 4 nam và 3 nữ thành hàng sao cho các nữ đứng cạnh nhau?

Lời giải:

Bước 1: Coi 3 nữ như 1 nhóm

• Số “phần tử”: 4 nam + 1 nhóm = 5 phần tử
• Xếp 5 phần tử: $5! = 120$ cách

Bước 2: Xếp 3 nữ trong nhóm

• $3! = 6$ cách

Kết quả: $120 \times 6 = 720$ cách

Dạng 2: Chỉnh hợp

Bài tập 5: Từ 12 vận động viên, chọn 4 người chạy tiếp sức (4 chặng khác nhau). Có bao nhiêu cách?

Lời giải:

• Chọn 4 từ 12, có phân biệt thứ tự (chặng 1, 2, 3, 4)
• $A_{12}^4 = 12 \times 11 \times 10 \times 9 = 11,880$ cách

Bài tập 6: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải:

• Chữ số đầu: 9 cách (1-9, không thể là 0)
• 4 chữ số còn lại: $A_9^4 = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3,024$
• Tổng: $9 \times 3,024 = 27,216$ số

Bài tập 7: Mật khẩu gồm 4 chữ cái khác nhau từ 26 chữ cái. Có bao nhiêu mật khẩu?

Lời giải:

• $A_{26}^4 = 26 \times 25 \times 24 \times 23 = 358,800$ mật khẩu

Bài tập 8: Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau lập từ {0, 1, 2, 3, 4, 5}?

Lời giải:

Trường hợp 1: Số tận cùng là 0

• Chọn 3 chữ số còn lại từ {1,2,3,4,5}: $A_5^3 = 60$

Trường hợp 2: Số tận cùng là 2 hoặc 4

• Chọn chữ số cuối: 2 cách (2 hoặc 4)
• Chữ số đầu: 4 cách (trừ 0 và chữ số cuối)
• 2 chữ số giữa: $A_4^2 = 12$
• Tổng: $2 \times 4 \times 12 = 96$

Kết quả: $60 + 96 = 156$ số

Dạng 3: Tổ hợp

Bài tập 9: Từ 20 học sinh, chọn 5 học sinh đi thi đấu. Có bao nhiêu cách?

Lời giải:

• Chọn 5 từ 20, không phân biệt thứ tự
• $C_{20}^5 = \frac{20!}{5! \times 15!} = 15,504$ cách

Bài tập 10: Một hộp có 8 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ra 5 bi. Có bao nhiêu cách lấy được 3 đỏ và 2 xanh?

Lời giải:

• Chọn 3 bi đỏ từ 8: $C_8^3 = 56$
• Chọn 2 bi xanh từ 6: $C_6^2 = 15$
• Quy tắc nhân: $56 \times 15 = 840$ cách

Bài tập 11: Có bao nhiêu đường chéo của đa giác lồi 12 cạnh?

Lời giải:

• Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh: $C_{12}^2 = 66$
• Trừ 12 cạnh: $66 – 12 = 54$ đường chéo

Bài tập 12: Từ một hộp có 10 quả cầu đánh số từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên 3 quả. Có bao nhiêu cách lấy được 3 quả có tổng chẵn?

Phân tích:

• Số lẻ: {1,3,5,7,9} – 5 số
• Số chẵn: {2,4,6,8,10} – 5 số
• Tổng chẵn khi: (3 chẵn) hoặc (2 lẻ + 1 chẵn)

Lời giải:

Trường hợp 1: 3 số chẵn

• $C_5^3 = 10$

Trường hợp 2: 2 số lẻ, 1 số chẵn

• $C_5^2 \times C_5^1 = 10 \times 5 = 50$

Tổng: $10 + 50 = 60$ cách

Dạng 4: Kết hợp các loại

Bài tập 13: Xếp 3 nam và 3 nữ thành hàng sao cho nam và nữ đứng xen kẽ. Có bao nhiêu cách?

Lời giải:

Cách 1: Nam ở vị trí 1, 3, 5 (N-Nữ-N-Nữ-N-Nữ)

• Xếp 3 nam: $3! = 6$
• Xếp 3 nữ: $3! = 6$
• Tổng: $6 \times 6 = 36$ cách

Cách 2: Nữ ở vị trí 1, 3, 5 (Nữ-N-Nữ-N-Nữ-N)

• Tương tự: $36$ cách

Tổng cộng: $36 + 36 = 72$ cách

Bài tập 14: Từ 5 nam và 4 nữ, chọn một ban 5 người sao cho có ít nhất 2 nữ. Có bao nhiêu cách?

Lời giải:

Cách 1: Tính trực tiếp (liệt kê trường hợp)

TH1: 2 nữ, 3 nam

• $C_4^2 \times C_5^3 = 6 \times 10 = 60$

TH2: 3 nữ, 2 nam

• $C_4^3 \times C_5^2 = 4 \times 10 = 40$

TH3: 4 nữ, 1 nam

• $C_4^4 \times C_5^1 = 1 \times 5 = 5$

Tổng: $60 + 40 + 5 = 105$ cách

Cách 2: Biến cố đối

• Tổng cách chọn 5 người: $C_9^5 = 126$
• Trường hợp 0 nữ: $C_5^5 = 1$
• Trường hợp 1 nữ: $C_4^1 \times C_5^4 = 20$
• Ít nhất 2 nữ: $126 – 1 – 20 = 105$ cách ✓

Bài tập 15: Có bao nhiêu cách chia 12 người thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người?

Lời giải – Cẩn thận!

SAI: $C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4 = 495 \times 70 \times 1 = 34,650$ ❌

Tại sao sai? Đếm lặp 3! lần (vì 3 nhóm không phân biệt)

ĐÚNG: $$\frac{C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4}{3!} = \frac{34,650}{6} = 5,775 \text{ cách}$$ ✓

VIII. CÔNG THỨC TÍNH NHANH VÀ MẸO

1. Công thức tính nhanh

Hoán vị: $$n! = n \times (n-1)!$$

Máy tính Casio:

• Nhập n → SHIFT → x! → =

Ví dụ: Tính $7!$

• Nhập 7 → SHIFT → x! → = 5040

Chỉnh hợp: $$A_n^k = n \times (n-1) \times … \times (n-k+1) \text{ (k thừa số)}$$

Máy tính Casio:

• n → SHIFT → ÷ → k → = (phím nPr)

Ví dụ: Tính $A_8^3$

• 8 → SHIFT → ÷ → 3 → = 336

Tổ hợp: $$C_n^k = C_n^{n-k}$$ (chọn cái nào ít thừa số hơn)

Máy tính Casio:

• n → SHIFT → × → k → = (phím nCr)

Ví dụ: Tính $C_{10}^7$

• Dùng $C_{10}^3$ (vì $C_{10}^7 = C_{10}^3$)
• 10 → SHIFT → × → 3 → = 120

2. Mẹo nhận biết nhanh

Bảng từ khóa:

Câu hỏi quyết định:

• “Có bao nhiêu cách sắp xếp…?” → Hoán vị
• “Có bao nhiêu số…?” → Chỉnh hợp
• “Có bao nhiêu cách chọn…?” → Tổ hợp (thường)

Test nhanh:

• Nếu đổi vị trí hai phần tử mà khác nhau → Chỉnh hợp
• Nếu đổi vị trí hai phần tử mà giống nhau → Tổ hợp

3. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm lẫn Chỉnh hợp và Tổ hợp

Ví dụ: Chọn 3 người từ 10 người làm ban lãnh đạo (chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký)

Sai: $C_{10}^3 = 120$ ❌ Đúng: $A_{10}^3 = 720$ ✓ (vì có phân biệt vai trò)

❌ SAI LẦM 2: Quên trường hợp đặc biệt

Ví dụ: Số tự nhiên 4 chữ số từ {0,1,2,3,4,5}

Sai: $A_6^4$ ❌ (vì số không thể bắt đầu bằng 0) Đúng: Xét riêng chữ số đầu ✓

❌ SAI LẦM 3: Đếm 2 lần khi chia nhóm

Ví dụ: Chia 10 người thành 2 nhóm 5 người

Sai: $C_{10}^5 = 252$ ❌ Đúng: $\frac{C_{10}^5}{2!} = 126$ ✓ (chia cho 2! vì 2 nhóm không phân biệt)

❌ SAI LẦM 4: Nhầm lẫn k! và (n-k)!

Ví dụ: Tính $A_7^3$

Sai: $\frac{7!}{3!}$ ❌ Đúng: $\frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!}$ ✓

4. Kiểm tra kết quả

Kiểm tra logic:

• $A_n^k > C_n^k$ (chỉnh hợp luôn lớn hơn tổ hợp)
• $P_n > A_n^k > C_n^k$ (với $k < n$)

Kiểm tra giá trị đặc biệt:

• $C_n^0 = 1$, $C_n^1 = n$, $C_n^n = 1$
• $A_n^1 = n$, $A_n^n = n!$

Kiểm tra tính chất:

• $C_n^k = C_n^{n-k}$
• $A_n^k = C_n^k \times k!$

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết ba công thức đếm cốt lõi trong toán tổ hợp:

Ba công thức cốt lõi:

1. Hoán vị: $P_n = n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times 2 \times 1$

• Sắp xếp tất cả n phần tử
• Có thứ tự
• Ứng dụng: Xếp hàng, sắp xếp thứ tự

2. Chỉnh hợp: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times … \times (n-k+1)$

• Chọn k từ n phần tử
• Có thứ tự
• Ứng dụng: Chọn chức vụ, tạo mật khẩu, lập số

3. Tổ hợp: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

• Chọn k từ n phần tử
• Không thứ tự
• Ứng dụng: Chọn đội, chia nhóm, xác suất

Mối quan hệ giữa các công thức:

$C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$

$A_n^n = P_n = n!$

$A_n^k = C_n^k \times k!$

Sơ đồ tóm tắt:

Hoán vị (n!)
    ↓ k < n
Chỉnh hợp (Aₙᵏ)
    ↓ ÷ k!
Tổ hợp (Cₙᵏ)

Bảng công thức tổng hợp

Quy tắc vàng nhận biết

Câu hỏi quyết định: “Có phân biệt thứ tự không?”

                    BÀI TOÁN ĐẾM
                         │
        ┌────────────────┴────────────────┐
        │                                 │
    Dùng hết n?                    Chọn k < n?
        │                                 │
      ✅ Có                        ┌──────┴──────┐
        │                          │             │
    HOÁN VỊ (n!)              Có thứ tự?    Không thứ tự?
                                  │             │
                                ✅ Có          ❌ Không
                                  │             │
                          CHỈNH HỢP (Aₙᵏ)  TỔ HỢP (Cₙᵏ)

Các chủ đề liên quan:

Cơ bản:

• Quy tắc cộng và quy tắc nhân
• Nguyên lý Dirichlet (Nguyên lý chuồng bồ câu)
• Tam giác Pascal và tính chất

Nâng cao:

• Nhị thức Newton và khai triển
• Phương trình và bất phương trình tổ hợp
• Số Catalan và ứng dụng
• Hàm sinh (Generating Functions)
• Nguyên lý bù trừ (Inclusion-Exclusion)

Ứng dụng:

• Xác suất cổ điển
• Bài toán đếm nâng cao
• Lý thuyết đồ thị
• Tổ hợp trong lập trình

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa