I. GIỚI THIỆU VỀ CON LẮC LÒ XO

1. Con lắc lò xo là gì?

Định nghĩa: Con lắc lò xo là một hệ dao động cơ học gồm một lò xo có độ cứng xác định gắn với một vật nặng, có khả năng dao động qua lại quanh vị trí cân bằng.

Cấu tạo:

Con lắc lò xo gồm hai phần chính:

• Lò xo:
  • Độ cứng $k$ (N/m) – đặc trưng cho tính đàn hồi
  • Chiều dài tự nhiên $l_0$ (m)
  • Có khối lượng không đáng kể (bỏ qua)
  • Tuân theo định luật Hooke
• Vật nặng:
  • Khối lượng $m$ (kg)
  • Gắn vào đầu lò xo
  • Có thể dao động theo phương ngang hoặc thẳng đứng

Các đại lượng đặc trưng:

• $k$: Độ cứng lò xo (N/m)
• $m$: Khối lượng vật nặng (kg)
• $x$: Li độ – khoảng cách từ vị trí cân bằng (m)
• $A$: Biên độ dao động – li độ cực đại (m)
• $\Delta l$: Độ biến dạng của lò xo (m)

2. Phân biệt nội dung lớp 11 và lớp 12

Con lắc lò xo được học ở hai giai đoạn với mục đích khác nhau:

Mối liên hệ: Kiến thức lớp 11 về lực đàn hồi và độ cứng là nền tảng để hiểu dao động điều hòa của con lắc lò xo ở lớp 12.

II. CÔNG THỨC ĐỘ CỨNG LÒ XO (LỚP 11)

1. Định luật Hooke

Phát biểu: Trong giới hạn đàn hồi, độ lớn lực đàn hồi của lò xo tỉ lệ thuận với độ biến dạng của nó.

Công thức lực đàn hồi:

$$\boxed{F_{đh} = -k\Delta l}$$

Hoặc viết dưới dạng độ lớn:

$$|F_{đh}| = k|\Delta l|$$

Trong đó:

• $F_{đh}$: Lực đàn hồi (N) – lực mà lò xo tác dụng lên vật
• $k$: Độ cứng của lò xo (N/m) – hằng số đàn hồi
• $\Delta l$: Độ biến dạng của lò xo (m)
  • $\Delta l > 0$: Lò xo bị giãn
  • $\Delta l < 0$: Lò xo bị nén
• Dấu trừ (-): Lực đàn hồi luôn ngược chiều với độ biến dạng

Giải thích:

• Khi lò xo bị kéo giãn → Lực đàn hồi hướng vào, chống lại sự giãn
• Khi lò xo bị nén → Lực đàn hồi hướng ra, chống lại sự nén

2. Công thức tính độ cứng

Từ định luật Hooke, ta có:

$$\boxed{k = \frac{|F_{đh}|}{|\Delta l|}}$$

Đơn vị: N/m (Newton trên mét)

Ý nghĩa của $k$:

• $k$ lớn: Lò xo cứng (khó biến dạng)
• $k$ nhỏ: Lò xo mềm (dễ biến dạng)

Ví dụ 1: Tính độ cứng lò xo treo thẳng đứng

Treo một vật có khối lượng $m = 100$ g = 0.1 kg vào lò xo, lò xo giãn ra $\Delta l = 2$ cm = 0.02 m. Lấy $g = 10$ m/s². Tính độ cứng của lò xo.

Lời giải:

Phân tích: Tại vị trí cân bằng, trọng lực cân bằng với lực đàn hồi: $$F_{đh} = P$$ $$k\Delta l = mg$$

Tính độ cứng: $$k = \frac{mg}{\Delta l} = \frac{0.1 \times 10}{0.02} = \frac{1}{0.02} = 50 \text{ N/m}$$

Kết luận: Độ cứng của lò xo là 50 N/m.

3. Độ cứng của hệ lò xo ghép

a) Ghép nối tiếp

Định nghĩa: Hai lò xo mắc nối tiếp đầu này nối đầu kia.

Công thức:

$$\boxed{\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}}$$

Với $n$ lò xo mắc nối tiếp: $$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + … + \frac{1}{k_n}$$

Trường hợp đặc biệt – Hai lò xo giống nhau ($k_1 = k_2 = k_0$): $$k = \frac{k_0}{2}$$

Nhận xét: Ghép nối tiếp làm độ cứng giảm (lò xo dài hơn, mềm hơn).

b) Ghép song song

Định nghĩa: Hai lò xo mắc song song, cùng chịu lực.

Công thức:

$$\boxed{k = k_1 + k_2}$$

Với $n$ lò xo mắc song song: $$k = k_1 + k_2 + … + k_n$$

Trường hợp đặc biệt – Hai lò xo giống nhau ($k_1 = k_2 = k_0$): $$k = 2k_0$$

Nhận xét: Ghép song song làm độ cứng tăng (khó biến dạng hơn).

c) Cắt lò xo

Nguyên tắc: Lò xo ngắn hơn → cứng hơn

Lò xo ban đầu có độ cứng $k_0$, chiều dài $l_0$. Cắt thành nhiều phần:

Cắt thành $n$ phần bằng nhau:

$$\boxed{k = nk_0}$$

Cắt thành phần có chiều dài $l$:

$$k = \frac{l_0}{l} \times k_0$$

Giải thích: Độ cứng tỉ lệ nghịch với chiều dài.

Ví dụ 2: Cắt lò xo

Một lò xo có độ cứng $k_0 = 100$ N/m. Cắt lò xo thành 4 phần bằng nhau. Tính độ cứng của mỗi phần.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$k = nk_0 = 4 \times 100 = 400 \text{ N/m}$$

Kết luận: Mỗi phần có độ cứng 400 N/m (cứng hơn lò xo ban đầu 4 lần).

4. Năng lượng đàn hồi (Lớp 11)

Thế năng đàn hồi: Là năng lượng tích lũy trong lò xo khi bị biến dạng.

$$\boxed{W_t = \frac{1}{2}k(\Delta l)^2}$$

Trong đó:

• $W_t$: Thế năng đàn hồi (J)
• $k$: Độ cứng lò xo (N/m)
• $\Delta l$: Độ biến dạng (m)

Chú ý: Thế năng luôn dương (vì có bình phương).

Công của lực đàn hồi:

Khi lò xo thay đổi độ biến dạng từ $\Delta l_1$ sang $\Delta l_2$:

$$\boxed{A = -\frac{1}{2}k[(\Delta l_2)^2 – (\Delta l_1)^2]}$$

Hoặc:

$$A = W_{t1} – W_{t2} = -\Delta W_t$$

Dấu trừ: Lực đàn hồi là lực cản, sinh công âm.

III. CÔNG THỨC CHU KỲ VÀ TẦN SỐ (LỚP 12)

1. Công thức chu kỳ (QUAN TRỌNG NHẤT)

Công thức cơ bản:

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}$$

Trong đó:

• $T$: Chu kỳ dao động (s) – thời gian thực hiện một dao động toàn phần
• $m$: Khối lượng vật (kg)
• $k$: Độ cứng lò xo (N/m)
• $\pi \approx 3.14$ hoặc $\frac{22}{7}$

Đặc điểm quan trọng:

• Chu kỳ CÓ phụ thuộc khối lượng $m$ (khác con lắc đơn)
• Chu kỳ CÓ phụ thuộc độ cứng $k$
• Chu kỳ KHÔNG phụ thuộc biên độ $A$

Ví dụ 3: Tính chu kỳ cơ bản

Con lắc lò xo có $m = 0.4$ kg, $k = 100$ N/m. Tính chu kỳ dao động.

Lời giải:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.4}{100}}$$

$$= 2\pi\sqrt{0.004} = 2\pi \times 0.0632$$

$$\approx 0.4 \text{ s}$$

Kết luận: Chu kỳ dao động là 0.4 giây.

2. Công thức tần số góc

Công thức:

$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{2\pi}{T}}$$

Đơn vị: rad/s (radian trên giây)

Ý nghĩa: Tần số góc biểu thị tốc độ biến thiên pha dao động.

Mối liên hệ:

• $\omega = \frac{2\pi}{T}$ (từ định nghĩa chu kỳ)
• $\omega = 2\pi f$ (liên hệ với tần số)

3. Công thức tần số

Công thức:

$$\boxed{f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}}$$

Đơn vị: Hz (Hertz) – số dao động trên giây

Ví dụ: Nếu $T = 0.4$ s thì: $$f = \frac{1}{0.4} = 2.5 \text{ Hz}$$

(Con lắc thực hiện 2.5 dao động trong 1 giây)

4. Công thức đặc biệt cho lò xo treo thẳng đứng

Tại vị trí cân bằng, lò xo giãn một đoạn $\Delta l_0$:

Cân bằng lực: $$k\Delta l_0 = mg$$

Suy ra: $$\Delta l_0 = \frac{mg}{k}$$

Do đó:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{mg}{m\Delta l_0}} = \sqrt{\frac{g}{\Delta l_0}}$$

Chu kỳ con lắc lò xo treo thẳng đứng:

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}}$$

Đây là công thức rất tiện lợi khi đề bài cho độ giãn $\Delta l_0$ thay vì cho $m$ và $k$!

Ví dụ 4: Sử dụng công thức độ giãn

Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Tại vị trí cân bằng, lò xo giãn 4 cm. Lấy $g = 10$ m/s². Tính chu kỳ dao động.

Lời giải:

Đổi: $\Delta l_0 = 4$ cm = 0.04 m

Áp dụng công thức: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.04}{10}}$$

$$= 2\pi\sqrt{0.004} = 2\pi \times 0.0632 \approx 0.4 \text{ s}$$

Kết luận: Chu kỳ là 0.4 giây (rất nhanh không cần biết $m$ và $k$!).

5. Đặc điểm của chu kỳ con lắc lò xo

Chu kỳ PHỤ THUỘC:

Khối lượng $m$:

• $m$ tăng → $T$ tăng (dao động chậm hơn)
• $T \sim \sqrt{m}$ (tỉ lệ với căn bậc hai của $m$)

Độ cứng $k$:

• $k$ tăng → $T$ giảm (dao động nhanh hơn)
• $T \sim \frac{1}{\sqrt{k}}$ (tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của $k$)

Chu kỳ KHÔNG PHỤ THUỘC:

❌ Biên độ $A$:

• Dao động với biên độ lớn hay nhỏ đều có cùng chu kỳ
• Đây là đặc điểm của dao động điều hòa

❌ Pha ban đầu $\varphi$:

• Không ảnh hưởng đến chu kỳ

❌ Cách kích thích dao động:

• Kéo ra hay đẩy vào không làm thay đổi chu kỳ

IV. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG (LỚP 12)

1. Phương trình li độ

Công thức:

$$\boxed{x = A\cos(\omega t + \varphi)}$$

Trong đó:

• $x$: Li độ tại thời điểm $t$ (m) – độ lệch khỏi vị trí cân bằng
• $A$: Biên độ dao động (m) – li độ cực đại
• $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$: Tần số góc (rad/s)
• $t$: Thời gian (s)
• $\varphi$: Pha ban đầu (rad) – phụ thuộc cách chọn gốc thời gian

Chú ý:

• $-A \le x \le A$
• Tại VTCB: $x = 0$
• Tại biên: $x = \pm A$

2. Vận tốc

Vận tốc tức thời:

$$\boxed{v = x’ = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)}$$

Hoặc:

$$v = \omega\sqrt{A^2 – x^2}$$

Vận tốc cực đại (tại vị trí cân bằng $x = 0$):

$$\boxed{v_{max} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}}}$$

Vận tốc tại vị trí có li độ $x$:

$$v = \pm\omega\sqrt{A^2 – x^2} = \pm\sqrt{\frac{k}{m}(A^2 – x^2)}$$

Dấu:

• (+) khi vật chuyển động theo chiều dương
• (-) khi vật chuyển động ngược chiều dương

Đặc điểm:

• Tại VTCB ($x = 0$): $v = v_{max}$
• Tại biên ($x = \pm A$): $v = 0$

3. Gia tốc

Gia tốc tức thời:

$$\boxed{a = x” = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x}$$

Hoặc:

$$a = -\frac{k}{m}x$$

Gia tốc cực đại (tại vị trí biên $x = \pm A$):

$$\boxed{a_{max} = A\omega^2 = A\frac{k}{m}}$$

Đặc điểm:

• Gia tốc luôn ngược chiều với li độ
• Gia tốc hướng về vị trí cân bằng
• Tại VTCB ($x = 0$): $a = 0$
• Tại biên ($x = \pm A$): $|a| = a_{max}$

4. Lực hồi phục (Lực kéo về)

Định nghĩa: Lực hồi phục là lực kéo vật về vị trí cân bằng.

Công thức:

$$\boxed{F = ma = -m\omega^2 x = -kx}$$

Lực hồi phục cực đại (tại biên):

$$\boxed{F_{max} = kA}$$

Chú ý phân biệt:

• Lực hồi phục (lực kéo về): $F = -kx$ (x tính từ VTCB)
• Lực đàn hồi: $F_{đh} = k|\Delta l|$ (với lò xo treo đứng, $\Delta l$ là độ biến dạng so với chiều dài tự nhiên)

Với lò xo thẳng đứng:

• Lực kéo về: $F = -kx$ (đơn giản)
• Lực đàn hồi: $F_{đh} = k|\Delta l_0 + x|$ (phức tạp hơn)

V. NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG (LỚP 12)

1. Động năng

Công thức:

$$\boxed{W_đ = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 – x^2) = \frac{1}{2}k(A^2 – x^2)}$$

Động năng cực đại (tại vị trí cân bằng, $x = 0$, $v = v_{max}$):

$$W_{đ,max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

Động năng cực tiểu (tại biên, $x = \pm A$, $v = 0$):

$$W_{đ,min} = 0$$

2. Thế năng

Công thức:

$$\boxed{W_t = \frac{1}{2}kx^2}$$

Chú ý: Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng.

Thế năng cực đại (tại vị trí biên, $x = \pm A$):

$$W_{t,max} = \frac{1}{2}kA^2$$

Thế năng cực tiểu (tại vị trí cân bằng, $x = 0$):

$$W_{t,min} = 0$$

3. Cơ năng

Định nghĩa: Cơ năng là tổng động năng và thế năng.

Công thức:

$$\boxed{W = W_đ + W_t = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = const}$$

Đặc điểm quan trọng:

• Cơ năng được bảo toàn trong dao động điều hòa (không có ma sát)
• Cơ năng chỉ phụ thuộc $k$ và $A$
• Cơ năng KHÔNG phụ thuộc thời gian, khối lượng, vị trí

Từ định luật bảo toàn cơ năng:

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

Suy ra:

$$v = \omega\sqrt{A^2 – x^2}$$

Ví dụ 5: Tính cơ năng

Con lắc lò xo có $k = 200$ N/m, dao động với biên độ $A = 0.1$ m. Tính cơ năng của hệ.

Lời giải:

$$W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.1)^2$$

$$= 100 \times 0.01 = 1 \text{ J}$$

Kết luận: Cơ năng của con lắc là 1 J.

4. Sự chuyển hóa năng lượng và đồ thị

Quá trình chuyển hóa:

• Tại vị trí cân bằng ($x = 0$):
  • $W_đ = W$ (cực đại)
  • $W_t = 0$
  • Toàn bộ cơ năng là động năng
• Tại vị trí biên ($x = \pm A$):
  • $W_đ = 0$
  • $W_t = W$ (cực đại)
  • Toàn bộ cơ năng là thế năng
• Tại vị trí trung gian:
  • $W_đ$ và $W_t$ đều khác 0
  • $W_đ + W_t = W = const$

Chu kỳ biến thiên năng lượng:

Nếu chu kỳ dao động là $T$ thì:

• Chu kỳ biến thiên của $W_đ$ và $W_t$: $\frac{T}{2}$
• Tần số biến thiên: $2f$

Giải thích: Trong một chu kỳ dao động, vật đi qua VTCB 2 lần → động năng đạt cực đại 2 lần.

VI. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT

1. Lò xo nằm ngang

Đặc điểm:

• Trọng lực vuông góc với phương dao động → không ảnh hưởng
• Vị trí cân bằng: Lò xo không biến dạng ($\Delta l_0 = 0$)

Lực kéo về: $$F = -kx$$

(x là li độ tính từ vị trí lò xo không biến dạng)

Chu kỳ: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Chiều dài lò xo:

• Tại VTCB: $l_{cb} = l_0$
• Tại vị trí $x$: $l = l_0 + x$

2. Lò xo treo thẳng đứng

Đặc điểm:

• Trọng lực cùng phương với phương dao động
• Vị trí cân bằng: Lò xo giãn $\Delta l_0 = \frac{mg}{k}$

Lực kéo về: $$F = -kx$$

(x là li độ tính từ vị trí cân bằng, không phải từ vị trí lò xo tự nhiên)

Chu kỳ: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}$$

Lực đàn hồi tại vị trí có li độ $x$:

$$F_{đh} = k|\Delta l_0 + x|$$

Chú ý phân biệt:

• Lực kéo về: Luôn hướng về VTCB, $F = -kx$
• Lực đàn hồi: Lực của lò xo, $F_{đh} = k|\Delta l_0 + x|$

3. Lò xo trên mặt phẳng nghiêng góc $\alpha$

Đặc điểm:

• Thành phần trọng lực dọc theo mặt phẳng: $mg\sin\alpha$
• Vị trí cân bằng: Lò xo giãn $\Delta l_0 = \frac{mg\sin\alpha}{k}$

Chu kỳ:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g\sin\alpha}}$$

Lưu ý: Chu kỳ không phụ thuộc góc nghiêng (vẫn là $2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$).

4. Chiều dài lò xo trong quá trình dao động

Lò xo nằm ngang:

• Chiều dài tự nhiên: $l_0$
• Tại VTCB: $l_{cb} = l_0$
• Tại vị trí có li độ $x$: $l = l_0 + x$
• Chiều dài nhỏ nhất: $l_{min} = l_0 – A$
• Chiều dài lớn nhất: $l_{max} = l_0 + A$

Lò xo treo thẳng đứng:

• Chiều dài tự nhiên: $l_0$
• Tại VTCB: $l_{cb} = l_0 + \Delta l_0$
• Tại vị trí có li độ $x$: $l = l_{cb} + x = l_0 + \Delta l_0 + x$
• Chiều dài nhỏ nhất: $l_{min} = l_{cb} – A = l_0 + \Delta l_0 – A$
• Chiều dài lớn nhất: $l_{max} = l_{cb} + A = l_0 + \Delta l_0 + A$

Ví dụ 6: Tính chiều dài lò xo

Lò xo có chiều dài tự nhiên $l_0 = 20$ cm, treo thẳng đứng. Treo vật vào, lò xo giãn 4 cm. Vật dao động với biên độ $A = 3$ cm. Tính chiều dài nhỏ nhất và lớn nhất của lò xo.

Lời giải:

• Chiều dài tại VTCB: $$l_{cb} = l_0 + \Delta l_0 = 20 + 4 = 24 \text{ cm}$$
• Chiều dài nhỏ nhất: $$l_{min} = l_{cb} – A = 24 – 3 = 21 \text{ cm}$$
• Chiều dài lớn nhất: $$l_{max} = l_{cb} + A = 24 + 3 = 27 \text{ cm}$$

Kết luận: $l_{min} = 21$ cm, $l_{max} = 27$ cm.

VII. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT

A. Độ cứng lò xo (Lớp 11)

B. Chu kỳ và tần số (Lớp 12)

C. Phương trình dao động (Lớp 12)

D. Năng lượng (Lớp 12)

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Chu kỳ không phụ thuộc khối lượng

Sai: Con lắc lò xo giống con lắc đơn, chu kỳ không phụ thuộc $m$ ❌

Đúng: Chu kỳ CÓ phụ thuộc khối lượng: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ ✅

Giải thích: Đây là điểm khác biệt cơ bản giữa con lắc lò xo và con lắc đơn.

❌ SAI LẦM 2: Nhầm lẫn lực đàn hồi và lực kéo về (với lò xo treo đứng)

Sai: Lực đàn hồi bằng lực kéo về: $F_{đh} = F_{kéo về} = kx$ ❌

Đúng:

• Lực kéo về: $F = -kx$ (x từ VTCB) ✅
• Lực đàn hồi: $F_{đh} = k|\Delta l_0 + x|$ (từ vị trí tự nhiên) ✅

❌ SAI LẦM 3: $\Delta l_0$ là chiều dài lò xo

Sai: $\Delta l_0$ là chiều dài của lò xo tại VTCB ❌

Đúng: $\Delta l_0$ là độ giãn của lò xo tại VTCB ✅

❌ SAI LẦM 4: Cắt lò xo làm độ cứng giảm

Sai: Cắt lò xo thành 2 phần → mỗi phần có $k = \frac{k_0}{2}$ ❌

Đúng: Cắt lò xo thành 2 phần → mỗi phần có $k = 2k_0$ (tăng gấp đôi) ✅

❌ SAI LẦM 5: Cơ năng phụ thuộc khối lượng

Sai: $W = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$ nên $W$ phụ thuộc $m$ ❌

Đúng: $W = \frac{1}{2}kA^2$ chỉ phụ thuộc $k$ và $A$ ✅

Giải thích: Mặc dù có $m$ trong công thức nhưng $m\omega^2 = k$ nên kết quả không phụ thuộc $m$.

2. Mẹo nhớ công thức

MẸO 1: Chu kỳ con lắc lò xo

“2 pi căn m trên k”

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Ghi nhớ: $m$ ở tử, $k$ ở mẫu.

MẸO 2: Công thức nhanh cho lò xo treo đứng

“2 pi căn delta l 0 trên g”

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}$$

Khi nào dùng: Khi đề cho độ giãn $\Delta l_0$ thay vì cho $m$ và $k$.

MẸO 3: Cơ năng – “k A bình”

“Một nửa k A bình phương”

$$W = \frac{1}{2}kA^2$$

Ghi nhớ: Chỉ phụ thuộc độ cứng và biên độ.

MẸO 4: Năng lượng tại các vị trí

• Tại VTCB: Toàn động năng ($W_đ = W$, $W_t = 0$)
• Tại biên: Toàn thế năng ($W_t = W$, $W_đ = 0$)
• Vị trí giữa: Cả hai đều có

MẸO 5: Ghép lò xo

• Nối tiếp: “Cộng nghịch đảo” → $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ → $k$ giảm
• Song song: “Cộng trực tiếp” → $k = k_1 + k_2$ → $k$ tăng

3. So sánh con lắc lò xo và con lắc đơn

Điểm giống nhau:

• Đều là dao động điều hòa
• Chu kỳ không phụ thuộc biên độ
• Cơ năng bảo toàn

IX. BÀI TẬP MẪU

Bài tập 1: Tính độ cứng (Lớp 11)

Đề bài: Treo một vật có khối lượng $m = 200$ g vào lò xo, lò xo giãn ra 5 cm. Lấy $g = 10$ m/s². Tính độ cứng của lò xo.

Lời giải:

Đổi đơn vị: $m = 0.2$ kg, $\Delta l = 0.05$ m

Tại vị trí cân bằng: $$k\Delta l = mg$$

$$k = \frac{mg}{\Delta l} = \frac{0.2 \times 10}{0.05} = \frac{2}{0.05} = 40 \text{ N/m}$$

Kết luận: Độ cứng lò xo là 40 N/m.

Bài tập 2: Tính chu kỳ (Lớp 12)

Đề bài: Con lắc lò xo có độ cứng $k = 100$ N/m, khối lượng vật $m = 0.4$ kg. Tính chu kỳ dao động.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.4}{100}}$$

$$= 2\pi\sqrt{0.004} = 2\pi \times 0.0632$$

$$\approx 0.397 \text{ s} \approx 0.4 \text{ s}$$

Kết luận: Chu kỳ dao động là 0.4 giây.

Bài tập 3: Tính vận tốc cực đại

Đề bài: Con lắc lò xo có $k = 100$ N/m, $m = 0.1$ kg, dao động với biên độ $A = 0.05$ m. Tính vận tốc cực đại.

Lời giải:

Bước 1: Tính tần số góc: $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0.1}} = \sqrt{1000} \approx 31.62 \text{ rad/s}$$

Bước 2: Tính vận tốc cực đại: $$v_{max} = A\omega = 0.05 \times 31.62 = 1.581 \text{ m/s}$$

Kết luận: Vận tốc cực đại là khoảng 1.58 m/s.

Bài tập 4: Tính cơ năng

Đề bài: Con lắc lò xo có độ cứng $k = 200$ N/m, dao động với biên độ $A = 0.1$ m. Tính cơ năng của con lắc.

Lời giải:

Áp dụng công thức cơ năng: $$W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.1)^2$$

$$= 100 \times 0.01 = 1 \text{ J}$$

Kết luận: Cơ năng của con lắc là 1 J.

Bài tập 5: Ghép lò xo nối tiếp

Đề bài: Hai lò xo có độ cứng $k_1 = 100$ N/m và $k_2 = 150$ N/m được ghép nối tiếp. Tính độ cứng của hệ.

Lời giải:

Áp dụng công thức ghép nối tiếp: $$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{1}{100} + \frac{1}{150}$$

$$= \frac{3 + 2}{300} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$$

$$k = 60 \text{ N/m}$$

Kết luận: Độ cứng của hệ là 60 N/m (nhỏ hơn cả hai lò xo).

Bài tập 6: Chiều dài lò xo

Đề bài: Lò xo có chiều dài tự nhiên $l_0 = 20$ cm, treo thẳng đứng. Khi treo vật vào, lò xo giãn 4 cm. Vật dao động với biên độ $A = 3$ cm. Tính: a) Chiều dài nhỏ nhất của lò xo b) Chiều dài lớn nhất của lò xo

Lời giải:

Bước 1: Chiều dài tại VTCB: $$l_{cb} = l_0 + \Delta l_0 = 20 + 4 = 24 \text{ cm}$$

Câu a) Chiều dài nhỏ nhất: $$l_{min} = l_{cb} – A = 24 – 3 = 21 \text{ cm}$$

Câu b) Chiều dài lớn nhất: $$l_{max} = l_{cb} + A = 24 + 3 = 27 \text{ cm}$$

Kết luận: $l_{min} = 21$ cm, $l_{max} = 27$ cm.

X. ỨNG DỤNG THỰC TẾ

1. Hệ thống giảm xóc ô tô

Nguyên lý: Lò xo và giảm chấn hấp thụ năng lượng va chạm từ mặt đường.

Thiết kế:

• Độ cứng $k$ được tính toán để chu kỳ dao động phù hợp với tốc độ xe
• Công thức: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
• $m$ lớn (xe nặng) cần $k$ lớn để $T$ không quá lớn

Lợi ích:

• Giảm xóc, tăng sự thoải mái
• Bảo vệ khung xe
• Cải thiện độ bám đường

2. Cân lò xo

Nguyên lý: Đo khối lượng dựa vào độ giãn của lò xo.

Công thức: $$k\Delta l = mg$$ $$m = \frac{k\Delta l}{g}$$

Cách hoạt động:

• Treo vật lên cân
• Đo độ giãn $\Delta l$
• Tính khối lượng qua kim chỉ đã được hiệu chuẩn

Ứng dụng: Cân treo trong siêu thị, chợ, phòng thí nghiệm.

3. Đồng hồ cơ

Nguyên lý: Sử dụng dao động của lò xo xoắn (balance spring).

Đặc điểm:

• Chu kỳ dao động ổn định: $T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{k}}$ (với $I$ là mô men quán tính)
• Không phụ thuộc biên độ (dao động nhỏ)
• Tạo nhịp đều đặn cho đồng hồ

Ứng dụng: Đồng hồ đeo tay cơ, đồng hồ để bàn cổ điển.

4. Giường đàn hồi (trampoline)

Nguyên lý: Nhiều lò xo ghép song song tạo độ đàn hồi lớn.

Tính toán:

• Ghép $n$ lò xo giống nhau: $k_{tổng} = nk_0$
• Độ cứng lớn → chịu được trọng lượng người
• Năng lượng đàn hồi lớn → nhảy cao

An toàn: Thiết kế $k$ và $A$ phù hợp để tránh chấn thương.

5. Thiết bị thể thao

Lò xo tập thể hình:

• Điều chỉnh độ cứng để tạo lực kháng phù hợp
• Người tập kéo giãn lò xo, cơ bắp phát triển

Bàn nhún:

• Lò xo hấp thụ lực va chạm khi nhảy
• Giảm chấn thương cho khớp

Dây kéo đàn hồi:

• Sử dụng tính đàn hồi để tập luyện

XI. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và hệ thống về con lắc lò xo từ lớp 11 đến lớp 12:

Lớp 11 – Nền tảng: ✅ Định luật Hooke: $F = k\Delta l$ ✅ Độ cứng lò xo: $k = \frac{F}{\Delta l}$ ✅ Ghép lò xo: nối tiếp, song song, cắt lò xo ✅ Thế năng đàn hồi: $W_t = \frac{1}{2}k(\Delta l)^2$

Lớp 12 – Dao động: ✅ Chu kỳ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ hoặc $T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}$ ✅ Phương trình dao động: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ ✅ Vận tốc, gia tốc, lực ✅ Năng lượng: $W = \frac{1}{2}kA^2$ (bảo toàn)

Công thức CẦN NHỚ NHẤT

1. Chu kỳ (Quan trọng nhất):

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}}$$

Đặc điểm:

• Phụ thuộc $m$ và $k$
• Không phụ thuộc biên độ $A$

2. Cơ năng:

$$\boxed{W = \frac{1}{2}kA^2}$$

Đặc điểm: Bảo toàn, chỉ phụ thuộc $k$ và $A$

3. Vận tốc cực đại:

$$\boxed{v_{max} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}}}$$

Vị trí: Tại vị trí cân bằng

4. Lực hồi phục cực đại:

$$\boxed{F_{max} = kA}$$

Vị trí: Tại vị trí biên

Lời khuyên học tập

Phân biệt rõ lớp 11 và lớp 12 – Lớp 11 học độ cứng, lớp 12 học dao động

Với lò xo treo đứng – Dùng công thức $T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}$ nhanh hơn khi biết độ giãn

Phân biệt lực đàn hồi và lực kéo về – Hai khái niệm khác nhau, đặc biệt với lò xo thẳng đứng

Chu kỳ CÓ phụ thuộc khối lượng – Khác với con lắc đơn!

Cơ năng chỉ phụ thuộc $k$ và $A$ – Không phụ thuộc $m$, $t$, $x$

Ghép lò xo – Nối tiếp: nghịch đảo, Song song: cộng trực tiếp

Cắt lò xo – Lò xo ngắn hơn → cứng hơn ($k$ tăng)

Năng lượng biến thiên – Chu kỳ $\frac{T}{2}$, tần số $2f$

Cô Trần Thị Bình

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Lý – Hóa – Sinh tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Hoá Học, Bằng Thạc sĩ, Chức danh nghề nghiệp Giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Gia Định