I. GIỚI THIỆU VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. Dao động điều hòa là gì?

Định nghĩa: Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ (độ lệch khỏi vị trí cân bằng) của vật biến thiên theo thời gian theo quy luật của hàm sin hoặc cosin.

Biểu thức toán học: $$x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$$ hoặc $$x = A\sin(\omega t + \varphi_0)$$

Ví dụ trong thực tế:

• Con lắc lò xo: Một vật gắn vào lò xo, kéo ra rồi thả cho dao động
• Con lắc đơn: Quả cầu treo vào sợi dây, dao động với biên độ nhỏ (< 10°)
• Dây đàn guitar: Rung động sau khi được gảy
• Màng trống: Dao động khi bị đập
• Piston động cơ: Chuyển động qua lại trong xi-lanh

2. Các đại lượng đặc trưng

Giải thích chi tiết:

• Li độ (x): Khoảng cách có hướng từ vị trí hiện tại của vật đến vị trí cân bằng. Li độ có thể dương, âm hoặc bằng 0.
• Biên độ (A): Giá trị lớn nhất của li độ. Biên độ đặc trưng cho độ “mạnh” của dao động. Biên độ càng lớn, vật dao động càng xa VTCB.
• Tần số góc (ω): Đại lượng đặc trưng cho tốc độ dao động. Không phụ thuộc vào biên độ mà chỉ phụ thuộc vào tính chất của hệ dao động.
• Chu kỳ (T): Thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn phần (đi từ một vị trí rồi quay lại vị trí đó theo cùng một chiều).
• Tần số (f): Số lần dao động mà vật thực hiện được trong một giây. Tần số càng lớn, dao động càng nhanh.
• Pha dao động ($\varphi = \omega t + \varphi_0$): Xác định trạng thái dao động (vị trí và chiều chuyển động) của vật tại thời điểm $t$.
• Pha ban đầu ($\varphi_0$): Xác định trạng thái dao động của vật tại thời điểm ban đầu $t = 0$. Phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian.

II. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. Phương trình li độ

📌 Công thức cơ bản:

$$\boxed{x = A\cos(\omega t + \varphi_0)}$$

Hoặc dạng sin:

$$\boxed{x = A\sin(\omega t + \varphi_0)}$$

Trong đó:

• $x$: li độ tại thời điểm $t$ (m hoặc cm)
• $A$: biên độ dao động (m hoặc cm), luôn dương ($A > 0$)
• $\omega$: tần số góc (rad/s), luôn dương ($\omega > 0$)
• $t$: thời gian (s)
• $\varphi_0$: pha ban đầu (rad)
• $(\omega t + \varphi_0)$: pha dao động tại thời điểm $t$ (rad)

Lưu ý quan trọng:

• Hai dạng cosin và sin là tương đương, chỉ khác nhau về pha ban đầu: $\sin(\alpha) = \cos(\alpha – \frac{\pi}{2})$
• Trong bài toán, thường dùng dạng cosin
• Li độ có thể dương, âm hoặc bằng 0
• Giá trị li độ luôn thỏa mãn: $-A \leq x \leq A$

Ví dụ: Một con lắc dao động theo phương trình: $$x = 5\cos(10t + \frac{\pi}{6}) \text{ (cm)}$$

Xác định các đại lượng:

• Biên độ: $A = 5$ cm
• Tần số góc: $\omega = 10$ rad/s
• Pha ban đầu: $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}$ rad = 30°

2. Phương trình vận tốc

Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian:

$$v = \frac{dx}{dt} = x’$$

📌 Công thức:

$$\boxed{v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)}$$

Hoặc viết dưới dạng cosin:

$$v = A\omega\cos\left(\omega t + \varphi_0 + \frac{\pi}{2}\right)$$

Vận tốc cực đại:

$$\boxed{v_{max} = A\omega}$$

Đạt được khi vật qua vị trí cân bằng ($x = 0$).

Vận tốc cực tiểu:

$$v_{min} = -A\omega$$

Cũng đạt khi $x = 0$ nhưng ngược chiều.

Liên hệ giữa v và x:

$$\boxed{v^2 = \omega^2(A^2 – x^2)}$$

Từ đây suy ra: $$v = \pm\omega\sqrt{A^2 – x^2}$$

Ý nghĩa vật lý:

• Vận tốc sớm pha hơn li độ góc $\frac{\pi}{2}$ (hay 90°)
• Khi vật ở biên ($x = \pm A$), vận tốc bằng 0
• Khi vật qua VTCB ($x = 0$), vận tốc đạt cực đại

3. Phương trình gia tốc

Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian:

$$a = \frac{dv}{dt} = v’ = x”$$

📌 Công thức:

$$\boxed{a = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0)}$$

Hoặc viết theo li độ:

$$\boxed{a = -\omega^2 x}$$

Đây là phương trình vi phân đặc trưng của dao động điều hòa.

Gia tốc cực đại:

$$\boxed{a_{max} = A\omega^2}$$

Đạt được khi vật ở biên ($x = \pm A$).

Gia tốc cực tiểu:

$$a_{min} = 0$$

Đạt được khi vật ở VTCB ($x = 0$).

Ý nghĩa vật lý:

• Gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng (dấu âm trong $a = -\omega^2 x$)
• Gia tốc ngược pha với li độ (lệch pha $\pi$)
• Khi vật ở biên, gia tốc đạt cực đại (đổi chiều chuyển động)
• Khi vật ở VTCB, gia tốc bằng 0

4. Đồ thị dao động

Đồ thị li độ – thời gian:

     x
     │     A  ┌─────╲     ╱─────┐
     │         │      ╲   ╱      │
     │─────────┼───────╲─╱───────┼─────→ t
     │         │       ╱ ╲        │
     │    -A   └─────╱   ╲───────┘
     │        0    T/4   T/2  3T/4  T

Đặc điểm:

• Đồ thị có dạng hình sin (hoặc cosin)
• Chu kỳ lặp lại: sau mỗi chu kỳ T, đồ thị lặp lại
• Biên độ: khoảng cách từ trục hoành đến đỉnh (hoặc đáy)
• Đối xứng qua trục hoành

Các pha đặc biệt trong một chu kỳ:

• $t = 0$: Vật ở vị trí ban đầu (phụ thuộc $\varphi_0$)
• $t = \frac{T}{4}$: Vật đi được 1/4 chu kỳ
• $t = \frac{T}{2}$: Vật đi được nửa chu kỳ
• $t = T$: Vật hoàn thành một dao động toàn phần

III. CÔNG THỨC CHU KỲ VÀ TẦN SỐ

1. Liên hệ T, f, ω

📌 Các công thức cơ bản:

$$\boxed{\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f}$$

$$\boxed{T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{f}}$$

$$\boxed{f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}}$$

Trong đó:

• $\omega$: tần số góc (rad/s)
• $T$: chu kỳ (s)
• $f$: tần số (Hz)

Ý nghĩa:

• Chu kỳ $T$ và tần số $f$ tỉ lệ nghịch với nhau
• Tần số góc $\omega$ tỉ lệ thuận với tần số $f$
• Tần số góc $\omega$ tỉ lệ nghịch với chu kỳ $T$

Ví dụ: Nếu $f = 2$ Hz

• Chu kỳ: $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0.5$ s
• Tần số góc: $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi \approx 12.57$ rad/s

2. Công thức chu kỳ con lắc lò xo

📌 Công thức quan trọng nhất:

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}$$

Trong đó:

• $T$: chu kỳ dao động (s)
• $m$: khối lượng vật (kg)
• $k$: độ cứng lò xo (N/m)
• $\pi \approx 3.14$ (hằng số toán học)

Tần số góc của con lắc lò xo:

$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}$$

Tần số của con lắc lò xo:

$$\boxed{f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}}$$

Nhận xét quan trọng:

• Chu kỳ không phụ thuộc vào biên độ dao động
• Chu kỳ không phụ thuộc vào pha ban đầu
• Chu kỳ tỉ lệ thuận với $\sqrt{m}$ (khối lượng càng lớn, dao động càng chậm)
• Chu kỳ tỉ lệ nghịch với $\sqrt{k}$ (lò xo càng cứng, dao động càng nhanh)

Ví dụ: Con lắc có $m = 0.4$ kg, $k = 100$ N/m

• Chu kỳ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{0.4}{100}} = 2\pi\sqrt{0.004} = 2\pi \times 0.063 \approx 0.4$ s
• Tần số: $f = \frac{1}{0.4} = 2.5$ Hz
• Tần số góc: $\omega = \sqrt{\frac{100}{0.4}} = \sqrt{250} \approx 15.8$ rad/s

3. Liên hệ với độ giãn tại VTCB

Khi lò xo treo thẳng đứng:

Tại vị trí cân bằng, lò xo giãn một đoạn $\Delta l_0$ sao cho: $$k\Delta l_0 = mg$$

Từ đó suy ra: $$\frac{k}{m} = \frac{g}{\Delta l_0}$$

📌 Công thức tần số góc:

$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{g}{\Delta l_0}}}$$

📌 Công thức chu kỳ:

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}}$$

Trong đó:

• $\Delta l_0$: độ giãn của lò xo tại vị trí cân bằng (m)
• $g$: gia tốc trọng trường, thường lấy $g = 10$ m/s² hoặc $g = 9.8$ m/s²

Lợi ích: Công thức này giúp tính chu kỳ mà không cần biết $m$ và $k$ riêng lẻ, chỉ cần biết độ giãn $\Delta l_0$.

Ví dụ thực tế:

Một lò xo treo thẳng đứng, tại VTCB lò xo giãn $\Delta l_0 = 10$ cm = 0.1 m.

Lấy $g = 10$ m/s². Tính chu kỳ dao động:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.1}{10}} = 2\pi\sqrt{0.01} = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \approx 0.628 \text{ s}$$

4. Công thức chu kỳ con lắc đơn

Với biên độ nhỏ (< 10°):

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}$$

Trong đó:

• $l$: chiều dài dây treo (m)
• $g$: gia tốc trọng trường (m/s²)

Lưu ý:

• Công thức này chỉ đúng khi biên độ góc nhỏ (< 10°)
• Chu kỳ không phụ thuộc khối lượng vật
• Chu kỳ không phụ thuộc biên độ (với điều kiện biên độ nhỏ)

So sánh con lắc lò xo và con lắc đơn:

IV. CÔNG THỨC TÍNH PHA VÀ PHA BAN ĐẦU

1. Pha dao động

Định nghĩa: Pha dao động tại thời điểm $t$ là đại lượng biểu thị trạng thái dao động (vị trí và chiều chuyển động) của vật.

📌 Công thức:

$$\boxed{\varphi = \omega t + \varphi_0}$$

Trong đó:

• $\varphi$: pha dao động tại thời điểm $t$ (rad)
• $\omega$: tần số góc (rad/s)
• $t$: thời gian (s)
• $\varphi_0$: pha ban đầu (rad)

Đơn vị: radian (rad) hoặc độ (°)

Đổi đơn vị: $\pi$ rad = 180°

Ý nghĩa vật lý:

• Pha dao động hoàn toàn xác định trạng thái dao động
• Hai dao động có cùng pha tại một thời điểm thì có cùng li độ và cùng chiều chuyển động
• Pha dao động tăng tuyến tính theo thời gian với tốc độ $\omega$

2. Công thức tính pha ban đầu φ₀

Pha ban đầu là pha dao động tại thời điểm $t = 0$.

Từ điều kiện ban đầu (tại $t = 0$):

• Li độ ban đầu: $x_0 = x(0)$
• Vận tốc ban đầu: $v_0 = v(0)$

📌 Các công thức tính $\varphi_0$:

Công thức 1 (từ li độ): $$\boxed{\cos\varphi_0 = \frac{x_0}{A}}$$

Công thức 2 (từ vận tốc): $$\boxed{\sin\varphi_0 = -\frac{v_0}{A\omega}}$$

Công thức 3 (từ cả li độ và vận tốc): $$\boxed{\tan\varphi_0 = -\frac{v_0}{\omega x_0}}$$

(với điều kiện $x_0 \neq 0$)

Lưu ý quan trọng: Vì hàm tan có chu kỳ $\pi$, nên cần xác định chính xác góc phần tư của $\varphi_0$ dựa vào dấu của $x_0$ và $v_0$.

Xác định dấu φ₀ theo góc phần tư

Bảng xác định góc phần tư:

Giải thích:

• Phần tư I: Vật ở bên phải VTCB ($x_0 > 0$), đang chuyển động về VTCB ($v_0 < 0$)
• Phần tư II: Vật ở bên trái VTCB ($x_0 < 0$), đang chuyển động ra xa VTCB về phía trái ($v_0 < 0$)
• Phần tư III: Vật ở bên trái VTCB ($x_0 < 0$), đang chuyển động về VTCB ($v_0 > 0$)
• Phần tư IV: Vật ở bên phải VTCB ($x_0 > 0$), đang chuyển động ra xa VTCB về phía phải ($v_0 > 0$)

Ví dụ chi tiết:

Cho dao động với $A = 4$ cm, $\omega = 20$ rad/s. Tại $t = 0$: $x_0 = 3$ cm, $v_0 = -40$ cm/s. Tính $\varphi_0$.

Lời giải:

Bước 1: Tính $\cos\varphi_0$: $$\cos\varphi_0 = \frac{x_0}{A} = \frac{3}{4} = 0.75$$

Bước 2: Tính $\sin\varphi_0$: $$\sin\varphi_0 = -\frac{v_0}{A\omega} = -\frac{-40}{4 \times 20} = \frac{40}{80} = 0.5$$

Bước 3: Xác định góc phần tư:

• $\cos\varphi_0 = 0.75 > 0$ và $\sin\varphi_0 = 0.5 > 0$
• → $\varphi_0$ thuộc phần tư I: $0 < \varphi_0 < \frac{\pi}{2}$

Bước 4: Tính giá trị:

• $\varphi_0 = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$ rad $\approx 30°$
• Hoặc: $\varphi_0 = \arccos(0.75) \approx 0.72$ rad $\approx 41.4°$

Kiểm tra: Cả hai cách cho kết quả trong phần tư I ✓

3. Công thức độ lệch pha

Độ lệch pha giữa hai dao động cùng tần số $\omega$:

$$x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_{01})$$ $$x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_{02})$$

📌 Công thức độ lệch pha:

$$\boxed{\Delta\varphi = \varphi_2 – \varphi_1 = (\omega t + \varphi_{02}) – (\omega t + \varphi_{01}) = \varphi_{02} – \varphi_{01}}$$

Nhận xét: Độ lệch pha giữa hai dao động cùng tần số không phụ thuộc thời gian, chỉ phụ thuộc hiệu pha ban đầu.

Phân loại theo độ lệch pha:

• Cùng pha: $\Delta\varphi = 0$ hoặc $\Delta\varphi = 2k\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$)
  • Hai dao động luôn có cùng li độ và cùng chiều chuyển động
• Ngược pha: $\Delta\varphi = \pi$ hoặc $\Delta\varphi = (2k+1)\pi$
  • Hai dao động luôn có li độ đối nhau
• Vuông pha: $\Delta\varphi = \frac{\pi}{2}$ hoặc $\Delta\varphi = (2k+1)\frac{\pi}{2}$
  • Khi dao động này ở VTCB thì dao động kia ở biên

Độ lệch pha giữa các đại lượng trong cùng một dao động:

• Giữa $x$ và $v$: Vận tốc sớm pha hơn li độ góc $\frac{\pi}{2}$ $$\Delta\varphi_{v,x} = \frac{\pi}{2}$$
• Giữa $x$ và $a$: Gia tốc ngược pha với li độ $$\Delta\varphi_{a,x} = \pi$$
• Giữa $v$ và $a$: Gia tốc sớm pha hơn vận tốc góc $\frac{\pi}{2}$ $$\Delta\varphi_{a,v} = \frac{\pi}{2}$$

4. Các trường hợp đặc biệt

a) Vật xuất phát từ VTCB theo chiều dương:

• Điều kiện: $x_0 = 0$, $v_0 > 0$
• Pha ban đầu: $\varphi_0 = -\frac{\pi}{2}$
• Phương trình: $x = A\cos\left(\omega t – \frac{\pi}{2}\right) = A\sin(\omega t)$

b) Vật xuất phát từ biên dương:

• Điều kiện: $x_0 = A$, $v_0 = 0$
• Pha ban đầu: $\varphi_0 = 0$
• Phương trình: $x = A\cos(\omega t)$

c) Vật xuất phát từ VTCB theo chiều âm:

• Điều kiện: $x_0 = 0$, $v_0 < 0$
• Pha ban đầu: $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$
• Phương trình: $x = A\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = -A\sin(\omega t)$

d) Vật xuất phát từ biên âm:

• Điều kiện: $x_0 = -A$, $v_0 = 0$
• Pha ban đầu: $\varphi_0 = \pi$ hoặc $\varphi_0 = -\pi$
• Phương trình: $x = A\cos(\omega t + \pi) = -A\cos(\omega t)$

V. CÔNG THỨC TÍNH LI ĐỘ VÀ BIÊN ĐỘ

1. Tính biên độ A

Từ điều kiện ban đầu (biết $x_0$, $v_0$, $\omega$):

$$\boxed{A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}}$$

Chứng minh:

Tại $t = 0$:

• $x_0 = A\cos\varphi_0$
• $v_0 = -A\omega\sin\varphi_0$

Bình phương và cộng: $$x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2} = A^2\cos^2\varphi_0 + A^2\sin^2\varphi_0 = A^2(\cos^2\varphi_0 + \sin^2\varphi_0) = A^2$$

Từ năng lượng toàn phần:

$$\boxed{A = \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} = \sqrt{\frac{2E}{k}}}$$

Trong đó:

• $E$: năng lượng toàn phần (J)
• $E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$

Ví dụ 1: Dao động với $\omega = 20$ rad/s. Tại $t = 0$: $x_0 = 3$ cm, $v_0 = 40$ cm/s. Tính biên độ.

Lời giải: $$A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} = \sqrt{3^2 + \frac{40^2}{20^2}} = \sqrt{9 + \frac{1600}{400}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.6 \text{ cm}$$

Ví dụ 2: Con lắc có $m = 100$ g, $k = 100$ N/m, năng lượng $E = 0.05$ J. Tính biên độ.

Lời giải: $$A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.05}{100}} = \sqrt{\frac{0.1}{100}} = \sqrt{0.001} \approx 0.0316 \text{ m} = 3.16 \text{ cm}$$

2. Tính li độ x tại thời điểm t

Từ phương trình dao động:

$$\boxed{x = A\cos(\omega t + \varphi_0)}$$

Để tính $x$ tại thời điểm $t$ bất kỳ, cần biết: $A$, $\omega$, $\varphi_0$.

Ví dụ: Dao động $x = 4\cos\left(10t + \frac{\pi}{6}\right)$ cm. Tính li độ tại $t = 0.1$ s.

Lời giải: $$x(0.1) = 4\cos\left(10 \times 0.1 + \frac{\pi}{6}\right) = 4\cos\left(1 + \frac{\pi}{6}\right)$$

Tính: $1 + \frac{\pi}{6} \approx 1 + 0.524 = 1.524$ rad

$$x(0.1) = 4\cos(1.524) \approx 4 \times 0.065 \approx 0.26 \text{ cm}$$

3. Li độ cực đại và cực tiểu

Li độ cực đại: $$x_{max} = A$$

Đạt được khi $\cos(\omega t + \varphi_0) = 1$

Li độ cực tiểu: $$x_{min} = -A$$

Đạt được khi $\cos(\omega t + \varphi_0) = -1$

Khoảng biến thiên li độ: $$-A \leq x \leq A$$

4. Vị trí cân bằng đặc biệt

Con lắc lò xo treo thẳng đứng:

Vị trí tự nhiên (chưa treo vật): Lò xo chưa biến dạng, chiều dài $l_0$

Vị trí cân bằng (đã treo vật): Lò xo giãn thêm $\Delta l_0$, chiều dài $l_0 + \Delta l_0$

Tại VTCB: $k\Delta l_0 = mg$

Lưu ý quan trọng:

• Li độ $x$ được tính từ vị trí cân bằng, không phải vị trí tự nhiên
• Biên độ $A$ là độ lệch cực đại so với VTCB
• Chiều dài lò xo biến thiên từ $(l_0 + \Delta l_0 – A)$ đến $(l_0 + \Delta l_0 + A)$

VI. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Phương trình dao động

B. Chu kỳ, tần số, tần số góc

C. Biên độ và pha

D. Giá trị cực đại

E. Liên hệ giữa các đại lượng

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Chu kỳ con lắc lò xo:

“Hai pi căn m trên k”

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Cách nhớ: m (khối lượng) ở trên, k (độ cứng) ở dưới

Tần số góc:

“Căn k chia m”

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Cách nhớ: Ngược lại với chu kỳ, k ở trên m ở dưới

Biên độ từ điều kiện đầu:

“Bình phương x cộng bình phương v chia omega bình”

$$A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}$$

Cách nhớ: Dạng Pythagore, có căn bậc hai

Pha ban đầu:

“Tan phi bằng trừ v trên omega x”

$$\tan\varphi_0 = -\frac{v_0}{\omega x_0}$$

Cách nhớ: Có dấu trừ phía trước, v trên tích omega x

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm công thức chu kỳ

Sai: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{k}{m}}$$ ❌ (đảo ngược!)

Đúng: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ ✓

Cách tránh: Nhớ m lớn → T lớn (dao động chậm)

❌ SAI LẦM 2: Quên đổi đơn vị

Sai: $m = 100$ g, $k = 40$ N/m $$T = 2\pi\sqrt{\frac{100}{40}}$$ ❌ (chưa đổi g → kg)

Đúng: $m = 0.1$ kg $$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.1}{40}}$$ ✓

Cách tránh: Luôn đổi về đơn vị SI (kg, m, s) trước khi tính

❌ SAI LẦM 3: Nhầm pha ban đầu ở các góc phần tư

Sai: $x_0 > 0, v_0 < 0$ → $\varphi_0$ âm ❌

Đúng: $x_0 > 0, v_0 < 0$ → $\varphi_0$ dương (phần tư I: $0 < \varphi_0 < \frac{\pi}{2}$) ✓

Cách tránh: Vẽ vòng tròn lượng giác, xác định dấu cos và sin

❌ SAI LẦM 4: Quên dấu âm trong phương trình vận tốc

Sai: $v = A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$ ❌

Đúng: $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$ ✓

Cách tránh: Nhớ v là đạo hàm của x, có dấu âm

❌ SAI LẦM 5: Nhầm $\Delta l_0$ với $l_0$

Chú ý phân biệt:

• $l_0$: chiều dài tự nhiên của lò xo (chưa treo vật)
• $\Delta l_0$: độ giãn thêm tại VTCB (đã treo vật)
• Công thức: $T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}$ (dùng $\Delta l_0$, không phải $l_0$)

3. Kiểm tra kết quả

Kiểm tra 1: Biên độ luôn dương

$$A > 0$$

Nếu tính được $A < 0$, chắc chắn sai!

Kiểm tra 2: Li độ không vượt biên

$$|x| \leq A$$

Nếu tại thời điểm nào đó $|x| > A$, công thức sai!

Kiểm tra 3: Chu kỳ luôn dương

$$T > 0$$

Kiểm tra 4: Pha ban đầu trong khoảng chuẩn

$$-\pi < \varphi_0 \leq \pi$$

Thường chọn khoảng này để thuận tiện

Kiểm tra 5: Vận tốc cực đại tại VTCB

Khi $x = 0$ thì $|v| = v_{max} = A\omega$

Kiểm tra 6: Liên hệ năng lượng

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2 = const$$

Tổng động năng và thế năng bằng hằng số

VIII. BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Tính chu kỳ con lắc lò xo

Đề bài: Con lắc lò xo có khối lượng $m = 100$ g = 0.1 kg, độ cứng lò xo $k = 40$ N/m. Tính chu kỳ, tần số và tần số góc của dao động?

Lời giải:

Bước 1: Tính chu kỳ $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.1}{40}} = 2\pi\sqrt{0.0025} = 2\pi \times 0.05 = 0.1\pi \approx 0.314 \text{ s}$$

Bước 2: Tính tần số $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.314} \approx 3.18 \text{ Hz}$$

Bước 3: Tính tần số góc $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{40}{0.1}} = \sqrt{400} = 20 \text{ rad/s}$$

Kiểm tra: $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 3.18 \approx 20$ rad/s ✓

Bài 2: Tính biên độ và pha ban đầu

Đề bài: Vật dao động điều hòa với tần số góc $\omega = 10$ rad/s. Tại thời điểm ban đầu $t = 0$: li độ $x_0 = 3$ cm, vận tốc $v_0 = -40$ cm/s. Tính biên độ $A$ và pha ban đầu $\varphi_0$?

Lời giải:

Bước 1: Tính biên độ $$A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} = \sqrt{3^2 + \frac{(-40)^2}{10^2}} = \sqrt{9 + \frac{1600}{100}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

Bước 2: Tính $\cos\varphi_0$ và $\sin\varphi_0$ $$\cos\varphi_0 = \frac{x_0}{A} = \frac{3}{5} = 0.6$$

$$\sin\varphi_0 = -\frac{v_0}{A\omega} = -\frac{-40}{5 \times 10} = \frac{40}{50} = 0.8$$

Bước 3: Xác định góc phần tư

• $\cos\varphi_0 = 0.6 > 0$ và $\sin\varphi_0 = 0.8 > 0$
• → $\varphi_0$ thuộc phần tư I: $0 < \varphi_0 < \frac{\pi}{2}$

Bước 4: Tính giá trị $\varphi_0$ $$\varphi_0 = \arcsin(0.8) \approx 0.927 \text{ rad} \approx 53.1°$$

Hoặc: $\varphi_0 = \arccos(0.6) \approx 0.927$ rad ✓

Kết luận: $A = 5$ cm, $\varphi_0 \approx 0.927$ rad $\approx 53°$

Bài 3: Viết phương trình dao động

Đề bài: Con lắc lò xo dao động với biên độ $A = 6$ cm, tần số $f = 5$ Hz. Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động?

Lời giải:

Bước 1: Tính tần số góc $$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5 = 10\pi \text{ rad/s}$$

Bước 2: Xác định pha ban đầu

• Tại $t = 0$: $x_0 = 0$ (qua VTCB), $v_0 > 0$ (theo chiều dương)
• → Pha ban đầu: $\varphi_0 = -\frac{\pi}{2}$

Bước 3: Viết phương trình $$x = A\cos(\omega t + \varphi_0) = 6\cos\left(10\pi t – \frac{\pi}{2}\right) \text{ (cm)}$$

Hoặc viết dạng sin: $$x = 6\sin(10\pi t) \text{ (cm)}$$

(Vì $\cos(\alpha – \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)$)

Bài 4: Tính vận tốc tại thời điểm cho trước

Đề bài: Vật dao động theo phương trình $x = 4\cos\left(5t + \frac{\pi}{3}\right)$ cm. Tính vận tốc của vật tại thời điểm $t = 0$?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng

• $A = 4$ cm
• $\omega = 5$ rad/s
• $\varphi_0 = \frac{\pi}{3}$

Bước 2: Viết công thức vận tốc $$v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$$

Bước 3: Tính vận tốc tại $t = 0$ $$v(0) = -4 \times 5 \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -10\sqrt{3} \approx -17.32 \text{ cm/s}$$

Kết luận: Vận tốc tại $t = 0$ là $v_0 = -10\sqrt{3} \approx -17.32$ cm/s (chiều âm)

Bài 5: Tính độ lệch pha

Đề bài: Hai vật dao động điều hòa cùng tần số với phương trình:

• Vật 1: $x_1 = 5\cos\left(10t + \frac{\pi}{4}\right)$ cm
• Vật 2: $x_2 = 3\cos\left(10t – \frac{\pi}{6}\right)$ cm

Tính độ lệch pha giữa hai dao động?

Lời giải:

Bước 1: Xác định pha ban đầu

• Dao động 1: $\varphi_{01} = \frac{\pi}{4}$
• Dao động 2: $\varphi_{02} = -\frac{\pi}{6}$

Bước 2: Tính độ lệch pha $$\Delta\varphi = \varphi_{02} – \varphi_{01} = -\frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{4}$$

$$= -\frac{2\pi}{12} – \frac{3\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} \text{ rad}$$

Đổi ra độ: $$\Delta\varphi = -\frac{5\pi}{12} \times \frac{180°}{\pi} = -75°$$

Kết luận: Dao động 2 trễ pha hơn dao động 1 góc $\frac{5\pi}{12}$ rad (hay 75°)

Bài 6: Từ độ giãn tính chu kỳ

Đề bài: Một lò xo treo thẳng đứng, khi treo vật vào thì lò xo giãn ra $\Delta l_0 = 4$ cm tại vị trí cân bằng. Lấy $g = 10$ m/s². Tính chu kỳ dao động của con lắc?

Lời giải:

Bước 1: Đổi đơn vị $$\Delta l_0 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$$

Bước 2: Áp dụng công thức $$T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.04}{10}} = 2\pi\sqrt{0.004}$$

$$= 2\pi \times 0.0632 \approx 0.397 \text{ s} \approx 0.4 \text{ s}$$

Kết luận: Chu kỳ dao động $T \approx 0.4$ s

Lưu ý: Công thức này không cần biết khối lượng $m$ hay độ cứng $k$, chỉ cần độ giãn $\Delta l_0$!

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày hệ thống đầy đủ các công thức dao động điều hòa và con lắc lò xo:

Phương trình cơ bản:

• Li độ: $x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$
• Vận tốc: $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$
• Gia tốc: $a = -\omega^2 x$

Chu kỳ và tần số:

• Con lắc lò xo: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ hoặc $T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}$
• Tần số góc: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{g}{\Delta l_0}}$
• Liên hệ: $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$

Biên độ và pha:

• Biên độ: $A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}$
• Pha ban đầu: $\tan\varphi_0 = -\frac{v_0}{\omega x_0}$
• Độ lệch pha: $\Delta\varphi = \varphi_{02} – \varphi_{01}$

Các giá trị cực đại:

• Vận tốc cực đại: $v_{max} = A\omega$
• Gia tốc cực đại: $a_{max} = A\omega^2$

6 bài tập mẫu có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao

Lời khuyên học tập

📌 Học thuộc công thức chu kỳ $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ – đây là công thức xuất hiện nhiều nhất

📌 Nắm vững cách tính A và $\varphi_0$ từ điều kiện ban đầu – dạng bài phổ biến trong đề thi

📌 Phân biệt rõ các góc phần tư để xác định đúng dấu của $\varphi_0$

📌 Chú ý đơn vị: Luôn đổi cm → m, g → kg trước khi tính

📌 Phân biệt độ ↔ rad: $\pi$ rad = 180°

📌 Nhớ dấu âm trong $v = -A\omega\sin$ và $a = -\omega^2 x$

Cô Trần Thị Bình

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Lý – Hóa – Sinh tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Hoá Học, Bằng Thạc sĩ, Chức danh nghề nghiệp Giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Gia Định