I. GIỚI THIỆU

1. Công thức cộng và nhân lượng giác là gì?

Công thức cộng lượng giác là các công thức cho phép tính giá trị của các hàm lượng giác (sin, cos, tan) của tổng hoặc hiệu hai góc dựa vào giá trị lượng giác của từng góc riêng biệt.

Dạng tổng quát:

• $\sin(a \pm b)$ = biểu thức chứa sin, cos của a và b
• $\cos(a \pm b)$ = biểu thức chứa sin, cos của a và b
• $\tan(a \pm b)$ = biểu thức chứa tan của a và b

Công thức nhân lượng giác là các công thức đặc biệt dùng để tính giá trị lượng giác của góc bội (2a, 3a, 4a…) dựa vào giá trị lượng giác của góc ban đầu.

Các dạng phổ biến:

• Công thức nhân đôi: sin 2a, cos 2a, tan 2a
• Công thức nhân ba: sin 3a, cos 3a, tan 3a

Vai trò: Đây là công cụ quan trọng để biến đổi và đơn giản hóa các biểu thức lượng giác phức tạp thành các dạng đơn giản hơn.

2. Mối liên hệ giữa các công thức

CÔNG THỨC CỘNG (a ± b)
        ↓
   Cho a = b
        ↓
CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI (2a)
        ↓
   Áp dụng tiếp
        ↓
CÔNG THỨC NHÂN BA (3a)
        ↓
   Biến đổi
        ↓
CÔNG THỨC HẠ BẬC

Giải thích:

• Công thức cộng là gốc, từ đó suy ra mọi công thức khác
• Công thức nhân đôi thu được khi đặt $a = b$ trong công thức cộng
• Công thức nhân ba thu được bằng cách áp dụng công thức cộng cho $3a = 2a + a$
• Công thức hạ bậc biến đổi từ công thức nhân đôi

II. CÔNG THỨC CỘNG LƯỢNG GIÁC

1. Công thức cộng cho sin

📌 A. Công thức cơ bản

$$\boxed{\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b}$$

$$\boxed{\sin(a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b}$$

Cách đọc:

• “Sin của tổng bằng sin a cos b cộng cos a sin b”
• “Sin của hiệu bằng sin a cos b trừ cos a sin b”

Mẹo nhớ:

“Sin Cos – Cos Sin, dấu giống nhau”

• Tích sin với cos, rồi cộng tích cos với sin
• Dấu trong kết quả giống với dấu trong ngoặc (+ hoặc -)

Đặc điểm:

• Hai số hạng đều là tích của sin với cos
• Dấu của kết quả trùng với dấu của (a ± b)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính $\sin 75°$ bằng công thức cộng

Phân tích: $75° = 45° + 30°$ (hai góc đặc biệt)

Lời giải: $$\sin 75° = \sin(45° + 30°)$$

Áp dụng công thức cộng: $$= \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$$

Thay giá trị: $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$

$$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$$

$$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Đáp án: $\sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ví dụ 2: Tính $\sin 15°$ bằng công thức cộng

Phân tích: $15° = 45° – 30°$

Lời giải: $$\sin 15° = \sin(45° – 30°)$$

Áp dụng công thức hiệu: $$= \sin 45° \cos 30° – \cos 45° \sin 30°$$

Thay giá trị: $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$

$$= \frac{\sqrt{6}}{4} – \frac{\sqrt{2}}{4}$$

$$= \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$$

Đáp án: $\sin 15° = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$

So sánh: Chỉ khác nhau ở dấu giữa $\sqrt{6}$ và $\sqrt{2}$

2. Công thức cộng cho cos

📌 A. Công thức cơ bản

$$\boxed{\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b}$$

$$\boxed{\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b}$$

Cách đọc:

• “Cos của tổng bằng cos a cos b trừ sin a sin b”
• “Cos của hiệu bằng cos a cos b cộng sin a sin b”

Mẹo nhớ:

“Cos Cos – Sin Sin, dấu ngược lại”

• Tích cos với cos, trừ đi tích sin với sin
• Dấu trong kết quả ngược với dấu trong ngoặc

Đặc điểm:

• Số hạng đầu: tích hai cos
• Số hạng sau: tích hai sin (có dấu trừ hoặc cộng)
• Dấu ngược với công thức sin

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Tính $\cos 105°$ bằng công thức cộng

Phân tích: $105° = 60° + 45°$

Lời giải: $$\cos 105° = \cos(60° + 45°)$$

Áp dụng công thức: $$= \cos 60° \cos 45° – \sin 60° \sin 45°$$

Thay giá trị: $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{4} – \frac{\sqrt{6}}{4}$$

$$= \frac{\sqrt{2} – \sqrt{6}}{4}$$

Đáp án: $\cos 105° = \frac{\sqrt{2} – \sqrt{6}}{4}$

Ví dụ 4: Tính $\cos 15°$ bằng công thức cộng

Phân tích: $15° = 45° – 30°$

Lời giải: $$\cos 15° = \cos(45° – 30°)$$

Áp dụng công thức hiệu: $$= \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30°$$

Thay giá trị: $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$

$$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$$

$$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Đáp án: $\cos 15° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Nhận xét: $\cos 15° = \sin 75°$ (vì $15° + 75° = 90°$)

3. Công thức cộng cho tan

📌 A. Công thức cơ bản

$$\boxed{\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}}$$

$$\boxed{\tan(a – b) = \frac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a \tan b}}$$

Điều kiện:

• $a, b, a \pm b \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$)
• Tức là các góc phải xác định giá trị tan

Mẹo nhớ:

“Tử số: cộng/trừ tan”
“Mẫu số: 1 trừ/cộng tích (dấu ngược lại)”

Cấu trúc:

• Tử số: Cộng hoặc trừ hai tan (giữ nguyên dấu)
• Mẫu số: 1 trừ hoặc cộng tích hai tan (đổi dấu)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 5: Cho $\tan a = 2$ và $\tan b = 3$. Tính $\tan(a + b)$?

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}$$

Thay số: $$= \frac{2 + 3}{1 – 2 \cdot 3}$$

$$= \frac{5}{1 – 6}$$

$$= \frac{5}{-5} = -1$$

Đáp án: $\tan(a + b) = -1$

Ý nghĩa: $a + b = 135°$ hoặc $a + b = -45° + 180°k$

Ví dụ 6: Tính $\tan 75°$ bằng công thức cộng

Phân tích: $75° = 45° + 30°$

Lời giải: $$\tan 75° = \tan(45° + 30°)$$

$$= \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 – \tan 45° \tan 30°}$$

$$= \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 – 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}$$

$$= \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 – \frac{\sqrt{3}}{3}}$$

Nhân cả tử và mẫu với 3: $$= \frac{3 + \sqrt{3}}{3 – \sqrt{3}}$$

Nhân với liên hợp: $$= \frac{(3 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 – \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 – 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$$

Đáp án: $\tan 75° = 2 + \sqrt{3}$

4. Bảng tóm tắt công thức cộng

Quy luật dấu:

• Sin: Dấu giống nhau (+ với +, – với -)
• Cos: Dấu ngược lại (+ với -, – với +)
• Tan: Mẫu số dấu ngược lại với tử số

III. CHỨNG MINH CÔNG THỨC CỘNG

1. Chứng minh công thức cos(a – b)

Đây là công thức cơ bản nhất, từ đó có thể suy ra các công thức khác.

Phương pháp: Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ đơn vị trên đường tròn lượng giác.

Bước 1: Xét hai vectơ đơn vị

Trên đường tròn lượng giác, xét hai vectơ đơn vị:

• $\vec{u}$ tạo với trục Ox góc $a$: $\vec{u} = (\cos a; \sin a)$
• $\vec{v}$ tạo với trục Ox góc $b$: $\vec{v} = (\cos b; \sin b)$

Bước 2: Tích vô hướng theo công thức tọa độ

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b$$

Bước 3: Tích vô hướng theo góc giữa hai vectơ

Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là $(a – b)$, và $|\vec{u}| = |\vec{v}| = 1$:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(a – b) = \cos(a – b)$$

Bước 4: Kết luận

Từ hai cách tính tích vô hướng: $$\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \quad \text{(đpcm)}$$

2. Suy ra các công thức khác

A. Công thức cos(a + b)

Từ công thức $\cos(a – b)$, thay $b$ bằng $-b$:

$$\cos(a + b) = \cos[a – (-b)]$$ $$= \cos a \cos(-b) + \sin a \sin(-b)$$

Sử dụng tính chất:

• $\cos(-b) = \cos b$
• $\sin(-b) = -\sin b$

Ta có: $$\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$$

B. Công thức sin(a + b)

Sử dụng công thức phụ: $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right)$

$$\sin(a + b) = \cos\left[\frac{\pi}{2} – (a + b)\right]$$

$$= \cos\left[\left(\frac{\pi}{2} – a\right) – b\right]$$

Áp dụng công thức $\cos(x – y)$: $$= \cos\left(\frac{\pi}{2} – a\right) \cos b + \sin\left(\frac{\pi}{2} – a\right) \sin b$$

$$= \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

C. Công thức sin(a – b)

Từ $\sin(a + b)$, thay $b$ bằng $-b$:

$$\sin(a – b) = \sin[a + (-b)]$$ $$= \sin a \cos(-b) + \cos a \sin(-b)$$ $$= \sin a \cos b – \cos a \sin b$$

D. Công thức tan(a ± b)

Từ định nghĩa: $$\tan(a + b) = \frac{\sin(a + b)}{\cos(a + b)}$$

$$= \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b – \sin a \sin b}$$

Chia cả tử và mẫu cho $\cos a \cos b$:

$$= \frac{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin b}{\cos b}}{1 – \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\sin b}{\cos b}}$$

$$= \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}$$

Tương tự cho $\tan(a – b)$.

IV. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

1. Công thức nhân đôi cho sin

📌 Công thức cơ bản

$$\boxed{\sin 2a = 2\sin a \cos a}$$

Chứng minh: Từ công thức cộng, đặt $b = a$:

$$\sin(a + a) = \sin a \cos a + \cos a \sin a = 2\sin a \cos a$$

Cách nhớ: “Hai sin cos”

Ví dụ minh họa

Ví dụ 7: Cho $\sin a = \frac{3}{5}$ với $0 < a < \frac{\pi}{2}$. Tính $\sin 2a$?

Lời giải:

Bước 1: Tính $\cos a$

Vì $0 < a < \frac{\pi}{2}$ nên $\cos a > 0$: $$\cos a = \sqrt{1 – \sin^2 a} = \sqrt{1 – \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Bước 2: Áp dụng công thức $$\sin 2a = 2\sin a \cos a = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$

Đáp án: $\sin 2a = \frac{24}{25}$

2. Công thức nhân đôi cho cos

📌 Ba dạng công thức cos 2a

Dạng 1 (Cơ bản): $$\boxed{\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a}$$

Dạng 2 (Theo cos): $$\boxed{\cos 2a = 2\cos^2 a – 1}$$

Dạng 3 (Theo sin): $$\boxed{\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a}$$

Chứng minh:

Dạng 1: Từ công thức cộng với $b = a$: $$\cos(a + a) = \cos a \cos a – \sin a \sin a = \cos^2 a – \sin^2 a$$

Dạng 2: Sử dụng $\sin^2 a = 1 – \cos^2 a$: $$\cos 2a = \cos^2 a – (1 – \cos^2 a) = 2\cos^2 a – 1$$

Dạng 3: Sử dụng $\cos^2 a = 1 – \sin^2 a$: $$\cos 2a = (1 – \sin^2 a) – \sin^2 a = 1 – 2\sin^2 a$$

Khi nào dùng dạng nào?

• Dạng 1: Khi đề cho cả sin và cos
• Dạng 2: Khi đề cho cos hoặc cần hạ bậc $\cos^2$
• Dạng 3: Khi đề cho sin hoặc cần hạ bậc $\sin^2$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 8: Cho $\cos a = \frac{1}{3}$. Tính $\cos 2a$?

Lời giải:

Cách 1: Dùng dạng 2 $$\cos 2a = 2\cos^2 a – 1 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 – 1 = 2 \cdot \frac{1}{9} – 1 = \frac{2}{9} – 1 = -\frac{7}{9}$$

Cách 2: Dùng dạng 3

Tính $\sin^2 a$: $$\sin^2 a = 1 – \cos^2 a = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

$$\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a = 1 – 2 \cdot \frac{8}{9} = 1 – \frac{16}{9} = -\frac{7}{9}$$

Đáp án: $\cos 2a = -\frac{7}{9}$

3. Công thức nhân đôi cho tan

📌 Công thức cơ bản

$$\boxed{\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}}$$

Điều kiện:

• $\tan a$ xác định: $a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
• $\tan^2 a \neq 1$, tức $\tan a \neq \pm 1$

Chứng minh: Từ công thức cộng với $b = a$: $$\tan(a + a) = \frac{\tan a + \tan a}{1 – \tan a \cdot \tan a} = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}$$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 9: Cho $\tan a = 3$. Tính $\tan 2a$?

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a} = \frac{2 \cdot 3}{1 – 3^2} = \frac{6}{1 – 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$$

Đáp án: $\tan 2a = -\frac{3}{4}$

4. Bảng công thức nhân đôi

V. CÔNG THỨC NHÂN BA

1. Công thức nhân ba cho sin và cos

📌 Công thức cơ bản

$$\boxed{\sin 3a = 3\sin a – 4\sin^3 a}$$

$$\boxed{\cos 3a = 4\cos^3 a – 3\cos a}$$

Mẹo nhớ:

• Sin 3a: “3 sin trừ 4 sin lũy thừa 3”
• Cos 3a: “4 cos lũy thừa 3 trừ 3 cos”

Chứng minh công thức sin 3a

Phân tích: $\sin 3a = \sin(2a + a)$

Bước 1: Áp dụng công thức cộng $$\sin 3a = \sin 2a \cos a + \cos 2a \sin a$$

Bước 2: Thay công thức nhân đôi $$= (2\sin a \cos a) \cos a + (1 – 2\sin^2 a) \sin a$$

$$= 2\sin a \cos^2 a + \sin a – 2\sin^3 a$$

Bước 3: Thay $\cos^2 a = 1 – \sin^2 a$ $$= 2\sin a(1 – \sin^2 a) + \sin a – 2\sin^3 a$$

$$= 2\sin a – 2\sin^3 a + \sin a – 2\sin^3 a$$

$$= 3\sin a – 4\sin^3 a \quad \text{(đpcm)}$$

Chứng minh công thức cos 3a

Phân tích: $\cos 3a = \cos(2a + a)$

Bước 1: Áp dụng công thức cộng $$\cos 3a = \cos 2a \cos a – \sin 2a \sin a$$

Bước 2: Thay công thức nhân đôi $$= (2\cos^2 a – 1) \cos a – (2\sin a \cos a) \sin a$$

$$= 2\cos^3 a – \cos a – 2\sin^2 a \cos a$$

Bước 3: Thay $\sin^2 a = 1 – \cos^2 a$ $$= 2\cos^3 a – \cos a – 2(1 – \cos^2 a) \cos a$$

$$= 2\cos^3 a – \cos a – 2\cos a + 2\cos^3 a$$

$$= 4\cos^3 a – 3\cos a \quad \text{(đpcm)}$$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 10: Tính $\sin 3a$ biết $\sin a = \frac{1}{2}$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$\sin 3a = 3\sin a – 4\sin^3 a$$

$$= 3 \cdot \frac{1}{2} – 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$$

$$= \frac{3}{2} – 4 \cdot \frac{1}{8}$$

$$= \frac{3}{2} – \frac{1}{2} = 1$$

Kiểm tra: Nếu $\sin a = \frac{1}{2}$ thì $a = 30°$, do đó $3a = 90°$ và $\sin 90° = 1$ ✓

2. Công thức nhân ba cho tan

📌 Công thức cơ bản

$$\boxed{\tan 3a = \frac{3\tan a – \tan^3 a}{1 – 3\tan^2 a}}$$

Điều kiện: $\tan a$ xác định và $1 – 3\tan^2 a \neq 0$

Chứng minh: Sử dụng $\tan 3a = \tan(2a + a)$ và áp dụng công thức cộng tan.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 11: Cho $\tan a = 1$. Tính $\tan 3a$?

Lời giải:

$$\tan 3a = \frac{3\tan a – \tan^3 a}{1 – 3\tan^2 a}$$

$$= \frac{3 \cdot 1 – 1^3}{1 – 3 \cdot 1^2}$$

$$= \frac{3 – 1}{1 – 3}$$

$$= \frac{2}{-2} = -1$$

Kiểm tra: Nếu $\tan a = 1$ thì $a = 45°$, do đó $3a = 135°$ và $\tan 135° = -1$ ✓

VI. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức cộng

B. Công thức nhân đôi

C. Công thức nhân ba

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức cộng

Mẹo 1: Sin cộng

“Sin Cos – Cos Sin, dấu giống nhau”

• $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ (dấu +)
• $\sin(a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b$ (dấu -)

Cách nhớ:

• Tích sin với cos, rồi cộng/trừ tích cos với sin
• Dấu trong kết quả giống với dấu trong ngoặc

Mẹo 2: Cos cộng

“Cos Cos – Sin Sin, dấu ngược lại”

• $\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$ (dấu -)
• $\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ (dấu +)

Cách nhớ:

• Tích cos với cos, trừ/cộng tích sin với sin
• Dấu trong kết quả ngược với dấu trong ngoặc

Mẹo 3: Tan cộng

“Tử: cộng/trừ tan; Mẫu: 1 trừ/cộng tích (ngược lại)”

• $\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}$ (tử +, mẫu -)
• $\tan(a – b) = \frac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a \tan b}$ (tử -, mẫu +)

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm dấu công thức

SAI:

• $\sin(a+b) = \sin a + \sin b$
• $\cos(a+b) = \cos a + \cos b$

ĐÚNG:

• $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ ✓
• $\cos(a+b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$ ✓

Lưu ý: KHÔNG thể tách gộp sin, cos của tổng/hiệu!

❌ SAI LẦM 2: Quên điều kiện của tan

Lỗi: Áp dụng công thức tan mà không kiểm tra điều kiện.

ĐÚNG:

• Tan không xác định tại $\frac{\pi}{2} + k\pi$
• Mẫu số $1 – \tan^2 a \neq 0$ khi tính $\tan 2a$
• Mẫu số $1 – 3\tan^2 a \neq 0$ khi tính $\tan 3a$

❌ SAI LẦM 3: Nhầm công thức cos 2a

Lưu ý: Cos 2a có 3 dạng, cần chọn dạng phù hợp:

• Dạng 1: $\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$ (khi biết cả sin và cos)
• Dạng 2: $\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$ (khi chỉ biết cos hoặc cần hạ bậc $\cos^2$)
• Dạng 3: $\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$ (khi chỉ biết sin hoặc cần hạ bậc $\sin^2$)

❌ SAI LẦM 4: Quên dấu khi tính cos, sin

Lỗi: Không chú ý đến góc phần tư để xác định dấu.

ĐÚNG:

• Góc phần tư I ($0° \to 90°$): sin > 0, cos > 0
• Góc phần tư II ($90° \to 180°$): sin > 0, cos < 0
• Góc phần tư III ($180° \to 270°$): sin < 0, cos < 0
• Góc phần tư IV ($270° \to 360°$): sin < 0, cos > 0

3. Khi nào dùng công thức nào?

Tính góc đặc biệt (15°, 75°, 105°…)

→ Dùng công thức cộng

• $15° = 45° – 30°$
• $75° = 45° + 30°$
• $105° = 60° + 45°$

Rút gọn biểu thức có 2a, 3a

→ Dùng công thức nhân đôi/nhân ba

• Thấy $\sin 2x, \cos 2x$ → công thức nhân đôi
• Thấy $\sin 3x, \cos 3x$ → công thức nhân ba

Chứng minh đẳng thức

→ Biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản

• Sử dụng cả công thức cộng và nhân
• Áp dụng các hằng đẳng thức cơ bản

Hạ bậc lũy thừa

→ Dùng công thức nhân đôi dạng biến đổi

• Từ $\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$ suy ra: $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$
• Từ $\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$ suy ra: $\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$

VIII. BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác

Bài tập 1: Tính $\cos 15°$ không dùng máy tính.

Lời giải:

Phân tích: $15° = 45° – 30°$

Áp dụng công thức hiệu: $$\cos 15° = \cos(45° – 30°)$$ $$= \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30°$$

Thay giá trị: $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$

$$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Đáp án: $\cos 15° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 2: Rút gọn $A = \sin(x + 30°) + \sin(x – 30°)$

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng: $$A = (\sin x \cos 30° + \cos x \sin 30°) + (\sin x \cos 30° – \cos x \sin 30°)$$

$$= \sin x \cos 30° + \cos x \sin 30° + \sin x \cos 30° – \cos x \sin 30°$$

$$= 2\sin x \cos 30°$$

Thay $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$= 2\sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin x$$

Đáp án: $A = \sqrt{3}\sin x$

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài tập 3: Chứng minh $\sin 2x = \frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}$

Lời giải:

Phương pháp: Biến đổi vế phải

VP: $$\frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}$$

Nhân cả tử và mẫu với $\cos^2 x$: $$= \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = \frac{2\sin x \cos x}{1}$$

$$= 2\sin x \cos x = \sin 2x = VT$$

Kết luận: Đẳng thức được chứng minh.

Dạng 4: Tính giá trị khi biết điều kiện

Bài tập 4: Cho $\sin a = \frac{4}{5}$ với $\frac{\pi}{2} < a < \pi$. Tính $\cos 2a$?

Lời giải:

Bước 1: Xác định góc

Vì $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ (góc phần tư II) nên:

• $\sin a > 0$ ✓
• $\cos a < 0$

Bước 2: Tính $\cos a$

$$\cos a = -\sqrt{1 – \sin^2 a} = -\sqrt{1 – \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$

(Dấu âm vì $a$ ở góc phần tư II)

Bước 3: Tính $\cos 2a$

Dùng công thức: $\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$

$$\cos 2a = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^2 – 1$$

$$= 2 \cdot \frac{9}{25} – 1$$

$$= \frac{18}{25} – 1 = -\frac{7}{25}$$

Đáp án: $\cos 2a = -\frac{7}{25}$

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày hệ thống đầy đủ công thức cộng và nhân lượng giác:

Công thức cộng lượng giác:

• $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
• $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$
• $\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$

Công thức nhân đôi:

• $\sin 2a = 2\sin a \cos a$
• $\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$ (3 dạng)
• $\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}$

Công thức nhân ba:

• $\sin 3a = 3\sin a – 4\sin^3 a$
• $\cos 3a = 4\cos^3 a – 3\cos a$
• $\tan 3a = \frac{3\tan a – \tan^3 a}{1 – 3\tan^2 a}$

Chứng minh: Từ tích vô hướng vectơ và các biến đổi

4 dạng bài tập: Tính giá trị, rút gọn, chứng minh, tính theo điều kiện

Mẹo nhớ tổng hợp

📌 Sin: “Sin Cos – Cos Sin, dấu giống nhau”

📌 Cos: “Cos Cos – Sin Sin, dấu ngược lại”

📌 Tan: “Tử giống, mẫu ngược”

📌 Nhân đôi sin: “Hai sin cos”

📌 Nhân ba sin: “Ba sin trừ bốn sin ba”

📌 Nhân ba cos: “Bốn cos ba trừ ba cos”

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa