I. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG THỨC HERON

1. Công thức Heron là gì?

Định nghĩa: Công thức Heron (hay Công thức Hê-rông) là công thức dùng để tính diện tích tam giác khi biết độ dài cả ba cạnh, mà không cần biết chiều cao hay góc.

Tên gọi:

• Tiếng Anh: Heron’s formula
• Tiếng Việt: Công thức Hê-rông hoặc Công thức Heron

Người phát hiện: Heron of Alexandria (Heron thành Alexandria), nhà toán học và kỹ sư người Hy Lạp sống vào thế kỷ I sau Công nguyên. Ông nổi tiếng với nhiều công trình về toán học, cơ học và quang học.

Thời điểm: Công thức được ghi lại trong tác phẩm “Metrica” của Heron, mặc dù có bằng chứng cho thấy công thức này có thể đã được biết đến trước đó bởi Archimedes.

2. Ý nghĩa của công thức

Ưu điểm vượt trội:

• Chỉ cần biết 3 cạnh: Không cần đo chiều cao, góc hay vẽ hình phức tạp
• Đơn giản hơn công thức $S = \frac{1}{2}ah$: Khi không dễ dàng xác định chiều cao
• Tính toán chính xác: Cho kết quả chính xác với mọi loại tam giác (nhọn, vuông, tù)
• Phổ quát: Áp dụng được cho mọi tam giác trong mặt phẳng

Ứng dụng thực tế:

• Đo đạc địa chính: Tính diện tích mảnh đất hình tam giác khi chỉ đo được ba cạnh
• Thiết kế kiến trúc: Tính diện tích các bề mặt tam giác trong công trình
• Hình học: Giải các bài toán không có đủ thông tin về góc hoặc chiều cao
• Kỹ thuật: Tính diện tích mặt cắt, bề mặt trong thiết kế cơ khí
• Trắc địa: Đo đạc địa hình, lập bản đồ

3. Công thức Heron học lớp mấy?

Công thức Heron xuất hiện ở nhiều lớp với mức độ khác nhau:

Chương trình chính: Hình học lớp 10 – Chương “Hệ thức lượng trong tam giác” – Phần tính diện tích tam giác.

Trong đề thi: Xuất hiện thường xuyên trong đề thi học kỳ, thi THPT Quốc gia (câu hỏi về diện tích tam giác).

II. CÔNG THỨC HERON CƠ BẢN

1. Công thức Heron

Cho tam giác ABC có ba cạnh với độ dài: $a$, $b$, $c$

Diện tích tam giác được tính theo công thức Heron:

$$\boxed{S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$

Trong đó:

$$\boxed{p = \frac{a + b + c}{2}}$$

$p$ được gọi là nửa chu vi của tam giác (tiếng Anh: semi-perimeter)

2. Giải thích các ký hiệu

Câu hỏi thường gặp:

Q: p trong công thức Heron là gì?

A: $p$ là nửa chu vi của tam giác, được tính bằng công thức: $$p = \frac{a + b + c}{2}$$

Nó bằng một nửa tổng độ dài ba cạnh của tam giác. Ký hiệu $p$ xuất phát từ từ “perimeter” (chu vi) trong tiếng Anh.

3. Các bước tính diện tích bằng công thức Heron

Quy trình chuẩn gồm 4 bước:

Bước 1: Xác định độ dài ba cạnh

Ghi rõ giá trị của $a$, $b$, $c$ từ đề bài hoặc đo đạc.

Bước 2: Tính nửa chu vi $p$

$$p = \frac{a + b + c}{2}$$

Bước 3: Tính các hiệu

• $p – a$ (nửa chu vi trừ cạnh $a$)
• $p – b$ (nửa chu vi trừ cạnh $b$)
• $p – c$ (nửa chu vi trừ cạnh $c$)

Bước 4: Áp dụng công thức Heron

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Nhân bốn giá trị lại với nhau, rồi lấy căn bậc hai.

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Bài toán: Cho tam giác ABC có ba cạnh $a = 5$ cm, $b = 6$ cm, $c = 7$ cm. Tính diện tích tam giác.

Lời giải:

Bước 1: Xác định độ dài ba cạnh

• $a = 5$ cm
• $b = 6$ cm
• $c = 7$ cm

Bước 2: Tính nửa chu vi $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm}$$

Bước 3: Tính các hiệu

• $p – a = 9 – 5 = 4$ cm
• $p – b = 9 – 6 = 3$ cm
• $p – c = 9 – 7 = 2$ cm

Bước 4: Áp dụng công thức Heron $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$S = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2}$$

$$S = \sqrt{216}$$

Rút gọn căn: $$S = \sqrt{36 \times 6} = \sqrt{36} \times \sqrt{6} = 6\sqrt{6} \text{ cm}^2$$

Giá trị gần đúng: $$S \approx 6 \times 2.449 = 14.7 \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích tam giác là $S = 6\sqrt{6}$ cm² hoặc xấp xỉ $14.7$ cm².

III. CHỨNG MINH CÔNG THỨC HERON

1. Điều kiện tiên quyết

Để hiểu và chứng minh công thức Heron, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Kiến thức cần có:

• Định lý cosin: $$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$
• Công thức diện tích tam giác: $$S = \frac{1}{2}bc\sin A$$
• Đẳng thức lượng giác cơ bản: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$
• Hằng đẳng thức đại số: Hiệu hai bình phương, khai triển bình phương

Chương trình học:

• Định lý cosin: Lớp 9 hoặc Lớp 10 (tùy chương trình)
• Công thức diện tích: Lớp 10 (Hệ thức lượng trong tam giác)
• Lượng giác: Lớp 9, 10

2. Chứng minh công thức Heron (Dành cho lớp 9-10)

Phương pháp: Sử dụng định lý cosin và công thức diện tích tam giác.

Bước 1: Xuất phát từ công thức diện tích

Diện tích tam giác ABC: $$S = \frac{1}{2}bc\sin A$$

Bình phương hai vế: $$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2\sin^2 A$$

Bước 2: Biểu diễn $\cos A$ từ định lý cosin

Từ định lý cosin: $$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$

Suy ra: $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$

Bước 3: Tính $\sin^2 A$

Sử dụng đẳng thức lượng giác: $$\sin^2 A = 1 – \cos^2 A$$

Thay biểu thức $\cos A$: $$\sin^2 A = 1 – \left(\frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}\right)^2$$

Quy đồng mẫu số: $$\sin^2 A = \frac{4b^2c^2 – (b^2 + c^2 – a^2)^2}{4b^2c^2}$$

Bước 4: Phân tích tử số

Sử dụng hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)$:

$$4b^2c^2 – (b^2 + c^2 – a^2)^2 = [2bc – (b^2 + c^2 – a^2)][2bc + (b^2 + c^2 – a^2)]$$

Rút gọn: $$= [a^2 – (b-c)^2][(b+c)^2 – a^2]$$

Tiếp tục phân tích: $$= (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)$$

Bước 5: Thay vào công thức $S^2$

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \times \frac{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}{4b^2c^2}$$

$$S^2 = \frac{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}{16}$$

Bước 6: Đặt $p = \frac{a+b+c}{2}$ (nửa chu vi)

Khi đó ta có:

• $2p = a + b + c$
• $p – a = \frac{a+b+c}{2} – a = \frac{b+c-a}{2}$
• $p – b = \frac{a+b+c}{2} – b = \frac{a+c-b}{2}$
• $p – c = \frac{a+b+c}{2} – c = \frac{a+b-c}{2}$

Do đó:

• $b + c – a = 2(p-a)$
• $a + c – b = 2(p-b)$
• $a + b – c = 2(p-c)$
• $a + b + c = 2p$

Bước 7: Thay vào biểu thức $S^2$

$$S^2 = \frac{2(p-a) \times 2(p-b) \times 2(p-c) \times 2p}{16}$$

$$S^2 = \frac{16 \times p(p-a)(p-b)(p-c)}{16}$$

$$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$$

Bước 8: Kết luận

Lấy căn bậc hai hai vế: $$\boxed{S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$

Đây chính là công thức Heron! ✓

IV. CÔNG THỨC HERON MỞ RỘNG

1. Công thức tính đường cao bằng Heron

Mối liên hệ giữa diện tích và đường cao:

Diện tích tam giác cũng được tính bằng: $$S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao}$$

Với đường cao $h_a$ hạ từ đỉnh A xuống cạnh $a$ (BC): $$S = \frac{1}{2} \times a \times h_a$$

Suy ra đường cao: $$\boxed{h_a = \frac{2S}{a}}$$

Kết hợp với công thức Heron: $$\boxed{h_a = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}}$$

Tương tự: $$h_b = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}$$

$$h_c = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$$

Ví dụ: Với tam giác có $a=5$, $b=6$, $c=7$ (ví dụ trước), ta có $S = 6\sqrt{6}$ cm².

Tính đường cao $h_a$: $$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 6\sqrt{6}}{5} = \frac{12\sqrt{6}}{5} \approx 5.88 \text{ cm}$$

2. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp

Định nghĩa: Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ là bán kính của đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác từ bên trong.

Công thức liên hệ:

Diện tích tam giác bằng chu vi nhân bán kính nội tiếp chia đôi: $$S = \frac{1}{2} \times P \times r = \frac{1}{2} \times 2p \times r = pr$$

Suy ra: $$\boxed{r = \frac{S}{p}}$$

Kết hợp với công thức Heron: $$\boxed{r = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}}$$

Hoặc: $$r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$

Ví dụ: Với tam giác có $p = 9$ cm, $S = 6\sqrt{6}$ cm².

Tính bán kính nội tiếp: $$r = \frac{S}{p} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1.63 \text{ cm}$$

3. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Định nghĩa: Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ là bán kính của đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác.

Công thức liên hệ:

Từ định lý sin và diện tích tam giác: $$S = \frac{abc}{4R}$$

Suy ra: $$\boxed{R = \frac{abc}{4S}}$$

Kết hợp với công thức Heron: $$\boxed{R = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$$

Ví dụ: Với tam giác có $a=5$, $b=6$, $c=7$, $S = 6\sqrt{6}$ cm².

Tính bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}}$$

Rút gọn: $$R = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \approx 3.57 \text{ cm}$$

4. Công thức Heron cho tứ giác nội tiếp (Công thức Brahmagupta)

Mở rộng cho tứ giác:

Đối với tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, có bốn cạnh $a$, $b$, $c$, $d$:

$$\boxed{S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$$

Trong đó nửa chu vi: $$p = \frac{a + b + c + d}{2}$$

Lưu ý quan trọng:

• ⚠️ Chỉ áp dụng cho tứ giác nội tiếp (bốn đỉnh nằm trên một đường tròn)
• Không áp dụng cho tứ giác bất kỳ
• Công thức này do nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta phát hiện vào thế kỷ 7

Khi tứ giác thoái hóa thành tam giác: Nếu $d = 0$, công thức Brahmagupta trở thành công thức Heron.

V. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức cơ bản

B. Công thức mở rộng

C. So sánh các công thức diện tích tam giác

Kết luận: Công thức Heron là lựa chọn tốt nhất khi chỉ biết độ dài ba cạnh!

VI. BÀI TẬP MẪU THEO LỚP

Dạng 1: Tính diện tích (Lớp 8, 10)

Bài 1: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 13 cm, 14 cm, 15 cm. Tính diện tích tam giác.

Lời giải:

Bước 1: Xác định ba cạnh

• $a = 13$ cm
• $b = 14$ cm
• $c = 15$ cm

Bước 2: Tính nửa chu vi $$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ cm}$$

Bước 3: Tính các hiệu

• $p – a = 21 – 13 = 8$ cm
• $p – b = 21 – 14 = 7$ cm
• $p – c = 21 – 15 = 6$ cm

Bước 4: Áp dụng công thức Heron $$S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$$

$$S = \sqrt{7056} = 84 \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích tam giác là 84 cm².

Bài 2: Chứng minh rằng tam giác đều cạnh $a$ có diện tích $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ bằng công thức Heron.

Lời giải:

Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau: $a = b = c$

Bước 1: Tính nửa chu vi $$p = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3a}{2}$$

Bước 2: Tính các hiệu $$p – a = \frac{3a}{2} – a = \frac{a}{2}$$

Do ba cạnh bằng nhau nên: $$p – a = p – b = p – c = \frac{a}{2}$$

Bước 3: Áp dụng công thức Heron $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$S = \sqrt{\frac{3a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}}$$

$$S = \sqrt{\frac{3a \times a^3}{16}} = \sqrt{\frac{3a^4}{16}}$$

$$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Kết luận: Đúng với công thức diện tích tam giác đều! ✓

Dạng 2: Tính đường cao (Lớp 10)

Bài 3: Tam giác có ba cạnh $a=8$ cm, $b=9$ cm, $c=10$ cm. Tính đường cao $h_a$.

Lời giải:

Bước 1: Tính nửa chu vi $$p = \frac{8 + 9 + 10}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \text{ cm}$$

Bước 2: Tính các hiệu

• $p – a = 13.5 – 8 = 5.5$ cm
• $p – b = 13.5 – 9 = 4.5$ cm
• $p – c = 13.5 – 10 = 3.5$ cm

Bước 3: Tính diện tích $$S = \sqrt{13.5 \times 5.5 \times 4.5 \times 3.5}$$

$$S = \sqrt{931.6875} \approx 30.52 \text{ cm}^2$$

Bước 4: Tính đường cao $$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 30.52}{8} = \frac{61.04}{8} \approx 7.63 \text{ cm}$$

Kết luận: Đường cao $h_a \approx 7.63$ cm.

Dạng 3: Tính bán kính (Lớp 10)

Bài 4: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a=3$ cm, $b=4$ cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp bằng công thức Heron.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh huyền $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

(Đây là bộ số Pythagore 3-4-5)

Bước 2: Tính nửa chu vi $$p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$$

Bước 3: Tính diện tích bằng Heron

• $p – a = 6 – 3 = 3$ cm
• $p – b = 6 – 4 = 2$ cm
• $p – c = 6 – 5 = 1$ cm

$$S = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}^2$$

Kiểm tra: Với tam giác vuông: $S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ cm² ✓

Bước 4: Tính bán kính nội tiếp $$r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1 \text{ cm}$$

Kết luận: Bán kính đường tròn nội tiếp là 1 cm.

Dạng 4: Chứng minh (Lớp 9)

Bài 5: Tam giác vuông cân có cạnh huyền $a$. Chứng minh rằng công thức Heron cho diện tích $S = \frac{a^2}{4}$.

Lời giải:

Tam giác vuông cân có:

• Cạnh huyền: $a$
• Hai cạnh góc vuông bằng nhau: $b = c = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bước 1: Tính nửa chu vi $$p = \frac{a + \frac{a\sqrt{2}}{2} + \frac{a\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{a + a\sqrt{2}}{2} = \frac{a(1+\sqrt{2})}{2}$$

Bước 2: Tính các hiệu $$p – a = \frac{a(1+\sqrt{2})}{2} – a = \frac{a(\sqrt{2}-1)}{2}$$

$$p – b = p – c = \frac{a(1+\sqrt{2})}{2} – \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{2}$$

Bước 3: Áp dụng Heron $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$= \sqrt{\frac{a(1+\sqrt{2})}{2} \times \frac{a(\sqrt{2}-1)}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}}$$

$$= \sqrt{\frac{a^2(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1) \times a^2}{16}}$$

Chú ý: $(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1) = \sqrt{2} – 1 + 2 – \sqrt{2} = 1$

$$S = \sqrt{\frac{a^4}{16}} = \frac{a^2}{4}$$

Kết luận: Đúng! Công thức Heron cho kết quả chính xác. ✓

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: Nhớ hai bước chính

Bước 1: Tính nửa chu vi $$p = \frac{a+b+c}{2}$$

Bước 2: Áp dụng công thức $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Cách nhớ: “Nửa chu vi nhân ba hiệu, rồi lấy căn”

Mẹo 2: Nhớ “p trừ từng cạnh”

Trong công thức Heron, ta phải tính:

• $p$ trừ cạnh $a$
• $p$ trừ cạnh $b$
• $p$ trừ cạnh $c$

Khẩu quyết: “p trừ a, p trừ b, p trừ c, nhân lại rồi căn”

Mẹo 3: Kiểm tra nhanh với các tam giác đặc biệt

Tam giác đều cạnh $a$: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Tam giác vuông (cạnh góc vuông $a$, $b$): $$S = \frac{1}{2}ab$$

Dùng Heron để tính, sau đó so sánh kết quả để kiểm tra.

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên chia 2 khi tính $p$

Sai: $p = a + b + c$

Đúng: $p = \frac{a+b+c}{2}$ ✓

Giải thích: $p$ là NỬA chu vi, không phải toàn bộ chu vi!

❌ SAI LẦM 2: Tính sai các hiệu

Sai: Nhầm lẫn $p – a$ thành $a – p$

Đúng: Luôn là $p – a$, $p – b$, $p – c$ ✓

Mẹo: Nửa chu vi $p$ luôn lớn hơn mỗi cạnh (do $p > a$, $p > b$, $p > c$)

❌ SAI LẦM 3: Quên căn bậc hai ở công thức cuối

Sai: $S = p(p-a)(p-b)(p-c)$

Đúng: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ✓

Lưu ý: Phải có dấu căn bậc hai!

❌ SAI LẦM 4: Nhầm đơn vị

Sai:

• Cạnh tính bằng cm
• Diện tích ghi là cm (thiếu bình phương)

Đúng:

• Cạnh: cm, m, km
• Diện tích: cm², m², km² ✓

Quy tắc: Diện tích luôn có đơn vị bình phương!

3. Khi nào nên dùng công thức Heron?

✅ NÊN DÙNG HERON KHI:

• Chỉ biết ba cạnh, không biết chiều cao
• Không biết góc trong tam giác
• Không dễ tính chiều cao (tam giác tù, các cạnh phức tạp)
• Bài toán yêu cầu tính diện tích từ ba cạnh

❌ KHÔNG NÊN DÙNG HERON KHI:

• Biết chiều cao: Dùng $S = \frac{1}{2}ah$ (đơn giản hơn nhiều!)
• Tam giác vuông: Dùng $S = \frac{1}{2}ab$ (nhanh hơn)
• Biết góc xen giữa: Dùng $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ (hiệu quả hơn)
• Tam giác đều: Dùng $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (công thức riêng)

Nguyên tắc: Chọn công thức đơn giản nhất phù hợp với dữ kiện đề bài!

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về công thức Heron:

Công thức cơ bản: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

với nửa chu vi: $$p = \frac{a+b+c}{2}$$

Chứng minh: Từ định lý cosin và công thức diện tích tam giác (dành cho lớp 9-10)

Công thức mở rộng:

• Tính đường cao: $h_a = \frac{2S}{a}$
• Tính bán kính nội tiếp: $r = \frac{S}{p}$
• Tính bán kính ngoại tiếp: $R = \frac{abc}{4S}$
• Công thức Brahmagupta cho tứ giác nội tiếp

Phân theo lớp:

• Lớp 8: Làm quen, áp dụng cơ bản
• Lớp 9: Chứng minh và hiểu sâu
• Lớp 10: Ứng dụng linh hoạt, kết hợp

Bài tập mẫu: 5 dạng bài từ cơ bản đến nâng cao có lời giải chi tiết

Ưu điểm của công thức Heron

Tại sao công thức Heron quan trọng?

Chỉ cần biết ba cạnh – không cần chiều cao, góc hay vẽ hình

Không cần tính toán phức tạp – không cần lượng giác hay định lý cosin

Áp dụng cho mọi tam giác – nhọn, vuông, tù đều được

Cho kết quả chính xác – diện tích chính xác dù tam giác có dạng bất kỳ

Dễ kiểm tra – có thể kiểm chứng bằng các công thức khác

Lời khuyên cuối cùng

📌 Học thuộc hai bước: Tính $p$, rồi tính $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

📌 Nhớ kỹ: $p$ là NỬA chu vi (chia 2, không phải toàn bộ chu vi!)

📌 Hiểu chứng minh (lớp 9) để nhớ lâu và vững chắc hơn

📌 Luyện tập nhiều: Từ tam giác đơn giản đến phức tạp

📌 So sánh công thức: Biết khi nào dùng Heron, khi nào dùng công thức khác

📌 Kiểm tra kết quả: Dùng các công thức khác để kiểm chứng

📌 Chú ý đơn vị: Diện tích luôn có đơn vị bình phương (cm², m²)

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa