I. GIỚI THIỆU VỀ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Giá trị lượng giác là gì?

Định nghĩa: Giá trị lượng giác của một góc là các tỉ số giữa các cạnh trong tam giác vuông (đối với góc nhọn) hoặc tọa độ của điểm tương ứng trên đường tròn lượng giác (đối với góc bất kỳ).

Sáu giá trị lượng giác cơ bản:

1. sin α (sinus) – đọc là “sin alpha” hay “si-nu-xơ alpha”
2. cos α (cosinus) – đọc là “cos alpha” hay “cô-sin alpha”
3. tan α (tangens) – đọc là “tang alpha” hay “tang-ent alpha”
4. cot α (cotangens) – đọc là “cotang alpha” hay “cô-tang-ent alpha”
5. sec α (secans) – đọc là “sec alpha” (ít dùng)
6. csc α (cosecans) – đọc là “cosec alpha” (ít dùng)

Lưu ý: Trong chương trình phổ thông, chủ yếu sử dụng 4 giá trị đầu: sin, cos, tan, cot.

2. Phân biệt theo lớp học

Kiến thức về giá trị lượng giác được giảng dạy qua nhiều cấp học với độ sâu tăng dần:

II. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Trong tam giác vuông (Lớp 9)

Cho tam giác vuông ABC, góc vuông tại A, góc nhọn α tại B:

        C
        |\
  cạnh  |  \ cạnh huyền (c)
  đối   |   \
   (a)  |α   \
        |_____\
        A  b   B
           cạnh kề

Định nghĩa các tỉ số lượng giác:

$$\boxed{\sin \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{a}{c}}$$

$$\boxed{\cos \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{b}{c}}$$

$$\boxed{\tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}$$

$$\boxed{\cot \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{b}{a} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha}}$$

Cách nhớ: “Đối huyền, Kề huyền, Đối kề, Kề đối”

Ví dụ 1: Tam giác vuông có cạnh đối = 3, cạnh kề = 4, cạnh huyền = 5 (bộ số Pitago)

Tính các tỉ số lượng giác:

• $\sin \alpha = \frac{3}{5} = 0.6$
• $\cos \alpha = \frac{4}{5} = 0.8$
• $\tan \alpha = \frac{3}{4} = 0.75$
• $\cot \alpha = \frac{4}{3} \approx 1.33$

Kiểm tra: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 0.36 + 0.64 = 1$ ✓

2. Trên đường tròn lượng giác (Lớp 10-11)

Đường tròn đơn vị (bán kính R = 1):

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 1. Một góc α xác định điểm M trên đường tròn có tọa độ M(x; y).

        y
        |
        |  M(x,y)
        | /
        |/α
   ─────O─────── x
        |
        |

Định nghĩa dựa trên tọa độ:

$$\boxed{\sin \alpha = y \quad \text{(tung độ của điểm M)}}$$

$$\boxed{\cos \alpha = x \quad \text{(hoành độ của điểm M)}}$$

$$\boxed{\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad (x \neq 0)}$$

$$\boxed{\cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad (y \neq 0)}$$

Miền giá trị:

• $-1 \leq \sin \alpha \leq 1$ (vì M nằm trên đường tròn bán kính 1)
• $-1 \leq \cos \alpha \leq 1$ (vì M nằm trên đường tròn bán kính 1)
• $\tan \alpha \in \mathbb{R}$ (mọi số thực, trừ khi $\alpha = 90° + k \cdot 180°$)
• $\cot \alpha \in \mathbb{R}$ (mọi số thực, trừ khi $\alpha = k \cdot 180°$)

Lưu ý về điều kiện xác định:

• $\tan \alpha$ không xác định khi $\cos \alpha = 0$ (tức $\alpha = 90° + k \cdot 180°$)
• $\cot \alpha$ không xác định khi $\sin \alpha = 0$ (tức $\alpha = k \cdot 180°$)

III. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

1. Bảng giá trị từ 0° đến 90° (Lớp 10)

Đây là bảng quan trọng nhất, cần học thuộc lòng:

Các giá trị quan trọng cần nhớ:

• Sin tăng dần từ 0 đến 1
• Cos giảm dần từ 1 về 0
• Tan tăng dần từ 0 đến ∞
• Cot giảm dần từ ∞ về 0

2. Mẹo nhớ bảng giá trị lượng giác

Quy tắc “0-1-2-3-4” cho sin:

Công thức tổng quát: $$\sin \alpha = \sqrt{\frac{n}{4}}$$

Trong đó $n$ tăng từ 0 đến 4:

$$\sin 0° = \sqrt{\frac{0}{4}} = \sqrt{0} = 0$$

$$\sin 30° = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$

$$\sin 45° = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\sin 60° = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sin 90° = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$$

Cách nhớ: 0, 1, 2, 3, 4 → căn bậc hai, chia 2

Cos ngược lại với sin (cung phụ):

$$\cos \alpha = \sin(90° – \alpha)$$

Ví dụ áp dụng:

• $\cos 0° = \sin 90° = 1$
• $\cos 30° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 45° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 60° = \sin 30° = \frac{1}{2}$
• $\cos 90° = \sin 0° = 0$

Quy tắc: Giá trị cos đọc ngược lại giá trị sin!

Tan và cot từ sin, cos:

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

$$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha}$$

Ví dụ:

• $\tan 30° = \frac{\sin 30°}{\cos 30°} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
• $\cot 30° = \frac{1}{\tan 30°} = \sqrt{3}$

3. Bảng mở rộng đến 180° (Lớp 10)

Quy tắc tính giá trị góc tù (90° < α < 180°):

• $\sin(180° – \alpha) = \sin \alpha$ (sin không đổi)
• $\cos(180° – \alpha) = -\cos \alpha$ (cos đổi dấu)
• $\tan(180° – \alpha) = -\tan \alpha$ (tan đổi dấu)

Ví dụ:

• $\sin 120° = \sin(180° – 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 120° = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$
• $\tan 135° = \tan(180° – 45°) = -\tan 45° = -1$

IV. HỆ THỨC CƠ BẢN

1. Công thức Pythagore lượng giác

📌 Công thức cơ bản và quan trọng nhất:

$$\boxed{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}$$

Chứng minh: Từ định lý Pythagore trong tam giác vuông hoặc từ phương trình đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.

Các hệ quả:

$$\sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha$$

$$\cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha$$

$$\sin \alpha = \pm\sqrt{1 – \cos^2 \alpha}$$

$$\cos \alpha = \pm\sqrt{1 – \sin^2 \alpha}$$

Lưu ý: Dấu $\pm$ phụ thuộc vào góc phần tư của α.

Ví dụ 2: Cho $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với $0° < \alpha < 90°$. Tính $\cos \alpha$?

Lời giải: $$\cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Vì $0° < \alpha < 90°$ (góc phần tư I) nên $\cos \alpha > 0$: $$\cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

2. Công thức với tan

📌 Công thức liên hệ tan và cos:

$$\boxed{1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}}$$

Chứng minh: $$1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

Hệ quả: $$\tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} – 1 = \frac{1 – \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}$$

3. Công thức với cot

📌 Công thức liên hệ cot và sin:

$$\boxed{1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}}$$

Chứng minh: Tương tự như công thức với tan.

Hệ quả: $$\cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} – 1$$

$$\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \cot^2 \alpha}$$

4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

📌 Các công thức liên hệ cơ bản:

$$\boxed{\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad (\cos \alpha \neq 0)}$$

$$\boxed{\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha} \quad (\sin \alpha \neq 0)}$$

$$\boxed{\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1}$$

Ví dụ 3: Cho $\tan \alpha = 2$. Tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ khi $0° < \alpha < 90°$.

Lời giải:

Từ $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5}$$

Vì góc nhọn nên $\cos \alpha > 0$: $$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Từ $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: $$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Kiểm tra: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$ ✓

V. CÔNG THỨC CUNG LIÊN QUAN

1. Cung đối nhau: α và -α

Công thức:

$$\boxed{\sin(-\alpha) = -\sin \alpha}$$

$$\boxed{\cos(-\alpha) = \cos \alpha}$$

$$\boxed{\tan(-\alpha) = -\tan \alpha}$$

$$\boxed{\cot(-\alpha) = -\cot \alpha}$$

Ghi nhớ: “Cos không đổi, còn lại đổi dấu”

Giải thích: Do tính đối xứng qua trục Ox trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ:

• $\sin(-30°) = -\sin 30° = -\frac{1}{2}$
• $\cos(-60°) = \cos 60° = \frac{1}{2}$
• $\tan(-45°) = -\tan 45° = -1$

2. Cung bù nhau: α và (180° – α)

Công thức:

$$\boxed{\sin(180° – \alpha) = \sin \alpha}$$

$$\boxed{\cos(180° – \alpha) = -\cos \alpha}$$

$$\boxed{\tan(180° – \alpha) = -\tan \alpha}$$

$$\boxed{\cot(180° – \alpha) = -\cot \alpha}$$

Ghi nhớ: “Sin không đổi (giữ nguyên), còn lại đổi dấu”

Giải thích: Do tính đối xứng qua trục Oy trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ ứng dụng:

• $\sin 150° = \sin(180° – 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$
• $\cos 120° = \cos(180° – 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$
• $\tan 135° = \tan(180° – 45°) = -\tan 45° = -1$

Ứng dụng: Tính giá trị lượng giác của góc tù (90° < α < 180°) bằng cách đưa về góc nhọn.

3. Cung phụ nhau: α và (90° – α)

Công thức:

$$\boxed{\sin(90° – \alpha) = \cos \alpha}$$

$$\boxed{\cos(90° – \alpha) = \sin \alpha}$$

$$\boxed{\tan(90° – \alpha) = \cot \alpha}$$

$$\boxed{\cot(90° – \alpha) = \tan \alpha}$$

Ghi nhớ: “Sin ↔ Cos, Tan ↔ Cot” (đổi tên hàm cho nhau)

Giải thích: Hai góc phụ nhau có tổng bằng 90°.

Ví dụ minh họa:

• $\sin 30° = \cos(90° – 30°) = \cos 60° = \frac{1}{2}$ (sai, phải là $\sin 30° = \frac{1}{2}$)
• $\sin 60° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓
• $\tan 30° = \cot 60° = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ✓
• $\tan 60° = \cot 30° = \sqrt{3}$ ✓

Ứng dụng: Đây là cơ sở để nhớ bảng giá trị lượng giác (cos ngược với sin).

4. Cung hơn kém 90°: α và (α + 90°)

Công thức:

$$\boxed{\sin(\alpha + 90°) = \cos \alpha}$$

$$\boxed{\cos(\alpha + 90°) = -\sin \alpha}$$

$$\boxed{\tan(\alpha + 90°) = -\cot \alpha}$$

$$\boxed{\cot(\alpha + 90°) = -\tan \alpha}$$

Ghi nhớ: “Đổi tên hàm (sin ↔ cos, tan ↔ cot), cos và cot đổi dấu”

5. Cung hơn kém 180°: α và (α + 180°)

Công thức:

$$\boxed{\sin(\alpha + 180°) = -\sin \alpha}$$

$$\boxed{\cos(\alpha + 180°) = -\cos \alpha}$$

$$\boxed{\tan(\alpha + 180°) = \tan \alpha}$$

$$\boxed{\cot(\alpha + 180°) = \cot \alpha}$$

Ghi nhớ: “Tan, Cot không đổi (giữ nguyên); Sin, Cos đổi dấu”

Giải thích: Quay thêm 180° trên đường tròn lượng giác đưa điểm M về vị trí đối xứng qua gốc O.

6. Bảng tổng hợp cung liên quan

Quy tắc tổng quát:

• Góc $\pm 90°$: Đổi tên hàm (sin ↔ cos, tan ↔ cot)
• Góc $\pm 180°$, $\pm 360°$: Giữ nguyên tên hàm
• Dấu: Xác định theo quy tắc góc phần tư

VI. DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Quy tắc dấu theo góc phần tư

Trên đường tròn lượng giác, mặt phẳng được chia thành 4 góc phần tư:

       Góc phần tư II    |    Góc phần tư I
         (90° - 180°)    |     (0° - 90°)
    sin (+), cos (-)     |   sin (+), cos (+)
    tan (-), cot (-)     |   tan (+), cot (+)
    ─────────────────────┼─────────────────────
    sin (-), cos (-)     |   sin (-), cos (+)
    tan (+), cot (+)     |   tan (-), cot (-)
       Góc phần tư III   |   Góc phần tư IV
        (180° - 270°)    |    (270° - 360°)

2. Quy tắc “ASTC” hoặc “All Sin Tan Cos”

Cách nhớ dấu dương của các giá trị lượng giác:

• Góc phần tư I (0° → 90°): ALL dương (tất cả đều dương)
• Góc phần tư II (90° → 180°): chỉ Sin dương, còn lại âm
• Góc phần tư III (180° → 270°): chỉ Tan (và cot) dương, còn lại âm
• Góc phần tư IV (270° → 360°): chỉ Cos dương, còn lại âm

Khẩu quyết: “All Sin Tan Cos” (đọc ngược chiều kim đồng hồ)

3. Bảng dấu cụ thể

Ví dụ 4: Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:

a) $\sin 200°$ → Góc phần tư III → dấu âm (-)
b) $\cos 300°$ → Góc phần tư IV → dấu dương (+)
c) $\tan 150°$ → Góc phần tư II → dấu âm (-)
d) $\cot 250°$ → Góc phần tư III → dấu dương (+)

VII. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Hệ thức cơ bản

B. Cung liên quan (3 công thức quan trọng nhất)

C. Giá trị đặc biệt (bắt buộc phải thuộc)

VIII. BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác khi biết một giá trị

Bài 1: Cho $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ với $90° < \alpha < 180°$ (góc phần tư II). Tính $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$?

Lời giải:

Bước 1: Tính $\cos \alpha$

Từ công thức Pythagore: $$\cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 – \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Vì $90° < \alpha < 180°$ (góc phần tư II) → $\cos \alpha < 0$: $$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$$

Bước 2: Tính $\tan \alpha$ $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$$

Bước 3: Tính $\cot \alpha$ $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{12}{5}$$

Kết luận:

• $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$
• $\tan \alpha = -\frac{5}{12}$
• $\cot \alpha = -\frac{12}{5}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức lượng giác

Bài 2: Rút gọn biểu thức: $A = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha$

Lời giải:

Áp dụng công thức Pythagore $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$$A = 1 + \tan^2 \alpha$$

Áp dụng công thức $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$:

$$A = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

Kết luận: $A = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Dạng 3: Tính giá trị góc đặc biệt

Bài 3: Tính các giá trị sau: a) $\sin 135°$
b) $\cos 150°$
c) $\tan 120°$

Lời giải:

Câu a) $\sin 135°$

Sử dụng công thức cung bù: $$\sin 135° = \sin(180° – 45°) = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Câu b) $\cos 150°$

Sử dụng công thức cung bù: $$\cos 150° = \cos(180° – 30°) = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Câu c) $\tan 120°$

Sử dụng công thức cung bù: $$\tan 120° = \tan(180° – 60°) = -\tan 60° = -\sqrt{3}$$

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Bài 4: Chứng minh đẳng thức: $\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Lời giải:

Biến đổi vế trái (VT): $$VT = \tan \alpha + \cot \alpha$$ $$= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$ $$= \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$$

Áp dụng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$= \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = VP$$

Kết luận: Đẳng thức được chứng minh.

Dạng 5: Tìm góc thỏa mãn điều kiện

Bài 5: Tìm các góc $\alpha$ trong khoảng $[0°; 360°)$ thỏa mãn $\sin \alpha = \frac{1}{2}$?

Lời giải:

Ta biết $\sin 30° = \frac{1}{2}$.

Trong khoảng $[0°; 360°)$, sin dương ở góc phần tư I và II:

• Góc phần tư I: $\alpha_1 = 30°$
• Góc phần tư II: $\alpha_2 = 180° – 30° = 150°$

Kết luận: $\alpha \in {30°; 150°}$

IX. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Pythagore lượng giác:

“Sin bình cộng Cos bình bằng một”

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Cung phụ:

“Sin đổi Cos, Tan đổi Cot”

$$\sin(90° – \alpha) = \cos \alpha$$ $$\tan(90° – \alpha) = \cot \alpha$$

Cung bù:

“Sin giữ nguyên, còn lại đổi dấu”

$$\sin(180° – \alpha) = \sin \alpha$$ $$\cos(180° – \alpha) = -\cos \alpha$$

Cung đối:

“Cos giữ nguyên, còn lại đổi dấu”

$$\cos(-\alpha) = \cos \alpha$$ $$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$$

Dấu theo góc phần tư:

“All Sin Tan Cos” (đọc ngược chiều kim đồng hồ)

• I: All (tất cả dương)
• II: Sin dương
• III: Tan dương
• IV: Cos dương

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm $\sin^2 \alpha$ với $\sin \alpha^2$

Đúng: $\sin^2 \alpha = (\sin \alpha)^2$ ✓

Sai: $\sin^2 \alpha \neq \sin(\alpha^2)$ ❌

❌ SAI LẦM 2: Quên dấu khi tính cos từ sin

Khi tính $\cos \alpha$ từ $\sin \alpha$, phải xét dấu theo góc phần tư!

Ví dụ: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với $90° < \alpha < 180°$

• $\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$
• $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ (âm vì góc phần tư II) ✓
• Không phải $\cos \alpha = \frac{4}{5}$

❌ SAI LẦM 3: Nhầm lẫn cung phụ và cung bù

• Cung phụ ($90° – \alpha$): Đổi tên hàm
• Cung bù ($180° – \alpha$): Giữ sin, đổi dấu cos/tan

❌ SAI LẦM 4: Quên điều kiện xác định

• $\tan \alpha$ không xác định khi $\cos \alpha = 0$ ($\alpha = 90° + k180°$)
• $\cot \alpha$ không xác định khi $\sin \alpha = 0$ ($\alpha = k180°$)

3. Kiểm tra nhanh

Kiểm tra 1: Miền giá trị

• $|\sin \alpha| \leq 1$ và $|\cos \alpha| \leq 1$ luôn đúng
• Nếu $|\sin \alpha| > 1$ → SAI!

Kiểm tra 2: Giá trị đặc biệt dễ nhớ

• $\sin 30° = \cos 60° = \frac{1}{2}$ (dễ nhớ nhất)
• $\sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (tam giác vuông cân)
• $\tan 45° = \cot 45° = 1$

Kiểm tra 3: Quan hệ sin và cos

• $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ luôn đúng
• Dùng để kiểm tra kết quả

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã hệ thống hóa đầy đủ công thức giá trị lượng giác từ lớp 9 đến lớp 11:

Lớp 9: Định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông (góc nhọn)

Lớp 10:

• Bảng giá trị đặc biệt (0° → 180°)
• Hệ thức cơ bản (Pythagore lượng giác)
• Cung liên quan (phụ, bù, đối)

Lớp 11:

• Góc lượng giác bất kỳ
• Quy tắc dấu theo góc phần tư
• Đường tròn lượng giác

3 Công thức CỐT LÕI phải nhớ

1. Công thức Pythagore lượng giác:

$$\boxed{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}$$

2. Công thức cung phụ:

$$\boxed{\sin(90° – \alpha) = \cos \alpha}$$

3. Công thức cung bù:

$$\boxed{\sin(180° – \alpha) = \sin \alpha}$$

Bảng giá trị đặc biệt BẮT BUỘC thuộc

Ba góc vàng: 30°, 45°, 60°

• $\sin 30° = \frac{1}{2}$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 45° = 1$
• $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$, $\tan 60° = \sqrt{3}$

Mẹo nhớ: Dùng quy tắc “0-1-2-3-4” cho sin, cos ngược lại

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa