I. GIỚI THIỆU VỀ MŨ VÀ LOGARIT

1. Hàm số mũ và logarit là gì?

Hàm số mũ:

Định nghĩa: Hàm số mũ có dạng tổng quát: $$y = a^x$$

Trong đó:

• $a > 0$ và $a \neq 1$ (cơ số)
• $x \in \mathbb{R}$ (biến số)
• Đặc điểm: Biến số $x$ nằm ở vị trí số mũ

Ví dụ các hàm số mũ:

• $y = 2^x$ (cơ số 2)
• $y = 10^x$ (cơ số 10)
• $y = e^x$ (cơ số e ≈ 2.718, gọi là hàm mũ tự nhiên)
• $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ (cơ số phân số)

Hàm số logarit:

Định nghĩa: Hàm số logarit có dạng tổng quát: $$y = \log_a x$$

Trong đó:

• $a > 0$ và $a \neq 1$ (cơ số logarit)
• $x > 0$ (biến số)
• Đặc điểm: Biến số $x$ nằm trong logarit

Ví dụ các hàm số logarit:

• $y = \log_2 x$ (logarit cơ số 2)
• $y = \log_{10} x$ (logarit thập phân, viết tắt $\lg x$)
• $y = \ln x$ (logarit tự nhiên, cơ số e)
• $y = \log_5 x$ (logarit cơ số 5)

2. Mối quan hệ cơ bản

Logarit là phép toán NGHỊCH ĐẢO của lũy thừa.

Đây là mối quan hệ quan trọng nhất giữa mũ và logarit:

$$\boxed{a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b}$$

Điều kiện: $a > 0, a \neq 1, b > 0$

Ý nghĩa:

• Nếu biết $a^x = b$, ta có thể tìm $x$ bằng cách dùng logarit: $x = \log_a b$
• Ngược lại, nếu biết $x = \log_a b$, ta có thể viết lại: $a^x = b$

Ví dụ minh họa:

II. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỐI LIÊN HỆ CƠ BẢN

1. Định nghĩa logarit

Cho $a > 0, a \neq 1$ và $b > 0$:

$$\boxed{\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b}$$

Đọc: “Logarit cơ số a của b bằng x”

Ý nghĩa: $\log_a b$ là số mũ mà ta cần nâng cơ số $a$ lên để được $b$.

Nói cách khác: $\log_a b$ trả lời câu hỏi “$a$ mũ mấy thì bằng $b$?”

Ví dụ minh họa chi tiết:

Ví dụ 1:

• Câu hỏi: $2$ mũ mấy thì bằng $8$?
• Trả lời: $2^3 = 8$, vậy số mũ là $3$
• Viết dưới dạng logarit: $\log_2 8 = 3$

Ví dụ 2:

• Câu hỏi: $10$ mũ mấy thì bằng $1000$?
• Trả lời: $10^3 = 1000$, vậy số mũ là $3$
• Viết dưới dạng logarit: $\log_{10} 1000 = 3$

Ví dụ 3:

• Câu hỏi: $5$ mũ mấy thì bằng $25$?
• Trả lời: $5^2 = 25$, vậy số mũ là $2$
• Viết dưới dạng logarit: $\log_5 25 = 2$

Ví dụ 4 (số mũ âm):

• Câu hỏi: $3$ mũ mấy thì bằng $\frac{1}{9}$?
• Trả lời: $3^{-2} = \frac{1}{9}$, vậy số mũ là $-2$
• Viết dưới dạng logarit: $\log_3 \frac{1}{9} = -2$

Ví dụ 5 (số mũ phân số):

• Câu hỏi: $4$ mũ mấy thì bằng $2$?
• Trả lời: $4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$, vậy số mũ là $\frac{1}{2}$
• Viết dưới dạng logarit: $\log_4 2 = \frac{1}{2}$

2. Công thức chuyển đổi cơ bản

Đây là hai công thức quan trọng nhất, thể hiện mối quan hệ nghịch đảo giữa mũ và logarit:

📌 Công thức nghịch đảo (QUAN TRỌNG NHẤT):

Công thức 1: $$\boxed{a^{\log_a b} = b}$$

Điều kiện: $a > 0, a \neq 1, b > 0$

Giải thích: Khi nâng cơ số $a$ lên logarit cơ số $a$ của $b$, ta được chính $b$.

Ví dụ:

• $2^{\log_2 5} = 5$ (nâng 2 lên log cơ số 2 của 5, được 5)
• $10^{\log_{10} 7} = 7$
• $e^{\ln 3} = 3$ (vì $\ln = \log_e$)
• $5^{\log_5 100} = 100$

Công thức 2: $$\boxed{\log_a (a^x) = x}$$

Điều kiện: $a > 0, a \neq 1, x \in \mathbb{R}$

Giải thích: Logarit cơ số $a$ của $a$ mũ $x$ chính là $x$.

Ví dụ:

• $\log_2 (2^5) = 5$
• $\log_3 (3^4) = 4$
• $\ln (e^2) = 2$ (vì $\ln = \log_e$)
• $\log_{10} (10^{-3}) = -3$

Mối liên hệ giữa hai công thức: Hai công thức này là hai mặt của cùng một mối quan hệ nghịch đảo.

3. Các trường hợp đặc biệt

Những công thức sau đây rất quan trọng và thường xuyên được sử dụng:

Chứng minh một số công thức:

Công thức: $\log_a 1 = 0$

• Đặt $\log_a 1 = x$
• Chuyển sang dạng mũ: $a^x = 1$
• Mà $a^0 = 1$, nên $x = 0$
• Vậy $\log_a 1 = 0$ ✓

Công thức: $\log_a a = 1$

• Đặt $\log_a a = x$
• Chuyển sang dạng mũ: $a^x = a$
• Mà $a^1 = a$, nên $x = 1$
• Vậy $\log_a a = 1$ ✓

Ví dụ tính toán:

Ví dụ 1: Tính $\log_3 1 + \log_5 5 + \log_2 2^3$

• $= 0 + 1 + 3 = 4$

Ví dụ 2: Tính $7^{\log_7 4} + \log_{10} 10$

• $= 4 + 1 = 5$

4. Điều kiện xác định

Cho biểu thức $\log_a b$:

Để biểu thức có nghĩa, cần thỏa mãn:

• Cơ số: $a > 0$ và $a \neq 1$
• Biểu thức logarit: $b > 0$

Giải thích:

• $a > 0$: Cơ số phải dương (không thể nâng số âm lên lũy thừa thực bất kỳ)
• $a \neq 1$: Vì $1^x = 1$ với mọi $x$, không xác định được logarit
• $b > 0$: Vì $a^x > 0$ với mọi $x$, nên chỉ tính logarit của số dương

Ví dụ:

• $\log_2 (-3)$: Không xác định (vì $-3 < 0$)
• $\log_{-2} 5$: Không xác định (vì cơ số $-2 < 0$)
• $\log_1 4$: Không xác định (vì cơ số $= 1$)
• $\log_3 7$: Xác định (thỏa mãn tất cả điều kiện)

Cho biểu thức $a^x$:

• Cơ số: $a > 0$ (thường yêu cầu $a \neq 1$ trong hàm số mũ)
• Số mũ: $x \in \mathbb{R}$ (có thể là bất kỳ số thực nào)

Lưu ý: Với $a^x$, cơ số phải dương nhưng số mũ có thể âm, dương, phân số, vô tỉ.

III. CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỔI MŨ – LOGARIT

1. Chuyển từ dạng mũ sang logarit

📌 Công thức chuyển đổi:

$$\boxed{a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b}$$

Điều kiện: $a > 0, a \neq 1, b > 0$

Cách nhớ: “Số mũ = Logarit của kết quả”

Quy tắc chuyển đổi:

1. Nhận diện: Cơ số $a$, số mũ $x$, kết quả $b$
2. Viết: Số mũ $x$ = $\log$ (cơ số $a$) của (kết quả $b$)

Ví dụ chuyển đổi từ mũ sang logarit:

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Giải phương trình $2^x = 16$

Lời giải:

Bước 1: Nhận diện – Đây là phương trình mũ

• Cơ số: $a = 2$
• Số mũ: $x$ (cần tìm)
• Kết quả: $b = 16$

Bước 2: Chuyển sang dạng logarit $$x = \log_2 16$$

Bước 3: Tính giá trị

• Nhận xét: $16 = 2^4$
• Nên: $x = \log_2 2^4 = 4$

Kết luận: $x = 4$

Bài 2: Giải phương trình $3^{x+1} = 81$

Lời giải:

Bước 1: Chuyển sang dạng logarit $$x + 1 = \log_3 81$$

Bước 2: Tính $\log_3 81$

• Nhận xét: $81 = 3^4$
• Nên: $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$

Bước 3: Giải phương trình $$x + 1 = 4$$ $$x = 3$$

Kết luận: $x = 3$

Bài 3: Giải phương trình $5^{2x-3} = 125$

Lời giải:

Bước 1: Chuyển sang logarit $$2x – 3 = \log_5 125$$

Bước 2: Tính logarit

• $125 = 5^3$
• $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$

Bước 3: Giải $$2x – 3 = 3$$ $$2x = 6$$ $$x = 3$$

Kết luận: $x = 3$

2. Chuyển từ dạng logarit sang mũ

📌 Công thức chuyển đổi:

$$\boxed{\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b}$$

Cách nhớ: “Nâng cơ số lên số logarit = Biểu thức trong logarit”

Quy tắc chuyển đổi:

1. Nhận diện: Cơ số $a$, kết quả $x$, biểu thức $b$
2. Viết: $a$ mũ (kết quả $x$) = (biểu thức $b$)

Ví dụ chuyển đổi từ logarit sang mũ:

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Giải phương trình $\log_3 x = 4$

Lời giải:

Bước 1: Chuyển sang dạng mũ $$3^4 = x$$

Bước 2: Tính giá trị $$x = 81$$

Kiểm tra: $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$ ✓

Kết luận: $x = 81$

Bài 2: Giải phương trình $\log_2 (x-1) = 3$

Lời giải:

Bước 1: Điều kiện xác định $$x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1$$

Bước 2: Chuyển sang dạng mũ $$2^3 = x – 1$$

Bước 3: Tính $$8 = x – 1$$ $$x = 9$$

Bước 4: Kiểm tra điều kiện

• $x = 9 > 1$ ✓ (thỏa mãn)

Kết luận: $x = 9$

Bài 3: Giải phương trình $\log_5 (2x+3) = 2$

Lời giải:

Điều kiện: $2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2}$

Chuyển sang mũ: $$5^2 = 2x + 3$$ $$25 = 2x + 3$$ $$2x = 22$$ $$x = 11$$

Kiểm tra: $x = 11 > -\frac{3}{2}$ ✓

Kết luận: $x = 11$

3. Công thức đổi cơ số logarit

📌 Công thức đổi cơ số tổng quát:

$$\boxed{\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}}$$

Điều kiện: $a, b, c > 0; a, c \neq 1$

Ý nghĩa: Có thể chuyển logarit từ cơ số $a$ sang cơ số $c$ bất kỳ (thường là 10 hoặc e).

Đặc biệt, với cơ số 10 hoặc e:

$$\log_a b = \frac{\lg b}{\lg a} = \frac{\ln b}{\ln a}$$

Trong đó:

• $\lg = \log_{10}$ (logarit thập phân)
• $\ln = \log_e$ (logarit tự nhiên)

Ví dụ:

• $\log_2 8 = \frac{\ln 8}{\ln 2} = \frac{\ln 2^3}{\ln 2} = \frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$
• $\log_5 100 = \frac{\lg 100}{\lg 5} = \frac{2}{\lg 5}$

📌 Hệ quả 1: Công thức nghịch đảo

$$\boxed{\log_a b = \frac{1}{\log_b a}}$$

Chứng minh: Áp dụng công thức đổi cơ số với $c = b$: $$\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a}$$

Ví dụ:

• $\log_3 5 = \frac{1}{\log_5 3}$
• $\log_2 7 = \frac{1}{\log_7 2}$

📌 Hệ quả 2: Công thức dây chuyền

$$\boxed{\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c}$$

Chứng minh: $$\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\log c}{\log a} = \log_a c$$

Ví dụ:

• $\log_2 4 \cdot \log_4 16 = \log_2 16$
• Tính: $2 \cdot 2 = 4$ và $\log_2 16 = 4$ ✓

📌 Hệ quả 3: Logarit với lũy thừa ở cơ số

$$\boxed{\log_{a^n} b = \frac{1}{n}\log_a b}$$

Ví dụ:

• $\log_4 8 = \log_{2^2} 8 = \frac{1}{2}\log_2 8 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$

IV. CÁC CÔNG THỨC TÍNH TOÁN

1. Công thức logarit của tích, thương, lũy thừa

📌 A. Logarit của tích:

$$\boxed{\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y}$$

Điều kiện: $a, x, y > 0; a \neq 1$

Ý nghĩa: Logarit của tích = Tổng các logarit

Ví dụ 1: $$\log_2 (8 \times 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$$

Kiểm tra: $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$ ✓

Ví dụ 2: $$\log_3 (9 \times 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5$$

Mở rộng: $$\log_a (xyz) = \log_a x + \log_a y + \log_a z$$

📌 B. Logarit của thương:

$$\boxed{\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y}$$

Điều kiện: $a, x, y > 0; a \neq 1$

Ý nghĩa: Logarit của thương = Hiệu các logarit

Ví dụ 1: $$\log_{10} \frac{1000}{10} = \log_{10} 1000 – \log_{10} 10 = 3 – 1 = 2$$

Kiểm tra: $\log_{10} 100 = 2$ ✓

Ví dụ 2: $$\log_2 \frac{32}{4} = \log_2 32 – \log_2 4 = 5 – 2 = 3$$

📌 C. Logarit của lũy thừa:

$$\boxed{\log_a x^n = n\log_a x}$$

Điều kiện: $a, x > 0; a \neq 1; n \in \mathbb{R}$

Ý nghĩa: Logarit của lũy thừa = Số mũ nhân logarit

Ví dụ 1: $$\log_2 8^3 = 3\log_2 8 = 3 \times 3 = 9$$

Kiểm tra: $\log_2 512 = \log_2 2^9 = 9$ ✓

Ví dụ 2: $$\log_5 25^2 = 2\log_5 25 = 2 \times 2 = 4$$

Ví dụ 3 (số mũ âm): $$\log_3 9^{-2} = -2\log_3 9 = -2 \times 2 = -4$$

📌 D. Logarit của căn:

$$\boxed{\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}\log_a x}$$

Điều kiện: $a, x > 0; a \neq 1; n \in \mathbb{N}^*$

Giải thích: Vì $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$

Ví dụ 1: $$\log_3 \sqrt{9} = \log_3 9^{1/2} = \frac{1}{2}\log_3 9 = \frac{1}{2} \times 2 = 1$$

Kiểm tra: $\log_3 3 = 1$ ✓

Ví dụ 2: $$\log_2 \sqrt[3]{8} = \frac{1}{3}\log_2 8 = \frac{1}{3} \times 3 = 1$$

2. Công thức lũy thừa

📌 A. Tích lũy thừa cùng cơ số:

$$\boxed{a^x \cdot a^y = a^{x+y}}$$

Ví dụ: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

📌 B. Thương lũy thừa cùng cơ số:

$$\boxed{\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}}$$

Ví dụ: $\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27$

📌 C. Lũy thừa của lũy thừa:

$$\boxed{(a^x)^y = a^{xy}}$$

Ví dụ: $(2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} = 4096$

📌 D. Lũy thừa của tích:

$$\boxed{(ab)^x = a^x \cdot b^x}$$

Ví dụ: $(2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

📌 E. Lũy thừa của thương:

$$\boxed{\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}}$$

Ví dụ: $\left(\frac{10}{2}\right)^2 = \frac{10^2}{2^2} = \frac{100}{4} = 25$

V. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức chuyển đổi cơ bản

B. Công thức giá trị đặc biệt

C. Công thức đổi cơ số

D. Công thức tính toán logarit

E. Công thức lũy thừa

VI. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

1. Dạng 1: Giải phương trình mũ $a^x = b$

Phương pháp: Chuyển sang dạng logarit

$$a^x = b \Rightarrow x = \log_a b$$

Bài tập:

Bài 1: Giải $2^x = 32$

Lời giải:

Cách 1: Chuyển sang logarit $$x = \log_2 32$$

Vì $32 = 2^5$ nên: $$x = \log_2 2^5 = 5$$

Cách 2: Biến đổi cùng cơ số $$2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5$$

Kết luận: $x = 5$

Bài 2: Giải $5^{2x-1} = 125$

Lời giải:

Bước 1: Chuyển sang logarit $$2x – 1 = \log_5 125$$

Bước 2: Tính logarit (vì $125 = 5^3$) $$2x – 1 = \log_5 5^3 = 3$$

Bước 3: Giải phương trình $$2x = 4$$ $$x = 2$$

Kết luận: $x = 2$

Bài 3: Giải $3^x = 10$ (không có dạng đơn giản)

Lời giải:

Bước 1: Chuyển sang logarit $$x = \log_3 10$$

Bước 2: Dùng máy tính (đổi cơ số) $$x = \frac{\ln 10}{\ln 3} = \frac{2.303}{1.099} \approx 2.096$$

Kết luận: $x = \log_3 10 \approx 2.096$

2. Dạng 2: Giải phương trình logarit $\log_a x = b$

Phương pháp: Chuyển sang dạng mũ

$$\log_a x = b \Rightarrow x = a^b$$

Lưu ý: Luôn kiểm tra điều kiện $x > 0$

Bài tập:

Bài 1: Giải $\log_3 x = 4$

Lời giải:

Chuyển sang mũ: $$x = 3^4 = 81$$

Kiểm tra: $x = 81 > 0$ ✓

Kết luận: $x = 81$

Bài 2: Giải $\log_2 (x+3) = 5$

Lời giải:

Điều kiện: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$

Chuyển sang mũ: $$x + 3 = 2^5 = 32$$ $$x = 29$$

Kiểm tra: $x = 29 > -3$ ✓

Kết luận: $x = 29$

Bài 3: Giải $\ln x = 2$

Lời giải:

Chuyển sang mũ (nhớ $\ln = \log_e$): $$x = e^2 \approx 7.389$$

Kiểm tra: $x > 0$ ✓

Kết luận: $x = e^2 \approx 7.389$

3. Dạng 3: Phương trình $a^{f(x)} = a^{g(x)}$

Phương pháp: So sánh số mũ (khi cơ số giống nhau)

$$a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)$$

Điều kiện: $a > 0, a \neq 1$

Bài tập 1: Giải $2^{x+1} = 2^{3x-5}$

Lời giải:

So sánh số mũ: $$x + 1 = 3x – 5$$ $$6 = 2x$$ $$x = 3$$

Kết luận: $x = 3$

Bài tập 2: Giải $3^{x^2} = 3^{2x+3}$

Lời giải:

So sánh số mũ: $$x^2 = 2x + 3$$ $$x^2 – 2x – 3 = 0$$ $$(x-3)(x+1) = 0$$ $$x = 3 \text{ hoặc } x = -1$$

Kết luận: $x \in {-1; 3}$

4. Dạng 4: Phương trình $\log_a f(x) = \log_a g(x)$

Phương pháp: So sánh biểu thức (chú ý điều kiện)

$$\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x) > 0$$

Lưu ý: Phải kiểm tra điều kiện $f(x) > 0$ và $g(x) > 0$

Bài tập 1: Giải $\log_2 (x-1) = \log_2 (2x-5)$

Lời giải:

Điều kiện:

• $x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
• $2x – 5 > 0 \Rightarrow x > \frac{5}{2}$

Kết hợp: $x > \frac{5}{2}$

Phương trình: $$x – 1 = 2x – 5$$ $$4 = x$$

Kiểm tra: $x = 4 > \frac{5}{2}$ ✓

Kết luận: $x = 4$

Bài tập 2: Giải $\log_3 (x^2-1) = \log_3 (3x-3)$

Lời giải:

Điều kiện:

• $x^2 – 1 > 0 \Rightarrow x < -1$ hoặc $x > 1$
• $3x – 3 > 0 \Rightarrow x > 1$

Kết hợp: $x > 1$

Phương trình: $$x^2 – 1 = 3x – 3$$ $$x^2 – 3x + 2 = 0$$ $$(x-1)(x-2) = 0$$ $$x = 1 \text{ hoặc } x = 2$$

Kiểm tra điều kiện:

• $x = 1$: không thỏa ($x > 1$) ✗
• $x = 2$: thỏa ($2 > 1$) ✓

Kết luận: $x = 2$

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo chuyển đổi nhanh

Từ mũ sang logarit:

• Nhìn thấy $a^x = b$ → viết ngay $x = \log_a b$
• Quy tắc: Số mũ = logarit của kết quả

Từ logarit sang mũ:

• Nhìn thấy $\log_a x = b$ → viết ngay $a^b = x$
• Quy tắc: Nâng cơ số lên giá trị logarit

Nhận dạng nhanh:

• Số mũ ở trên (ví dụ: $2^x$) → Hàm mũ
• Biến ở trong logarit (ví dụ: $\log_2 x$) → Hàm logarit

Kiểm tra nhanh:

• $a^{\log_a b} = b$ (luôn đúng)
• $\log_a (a^x) = x$ (luôn đúng)

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm công thức logarit tích

SAI: $\log_a (x+y) = \log_a x + \log_a y$ ❌

ĐÚNG: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ ✓

Giải thích: Logarit của TÍCH mới bằng tổng, không phải logarit của tổng!

❌ SAI LẦM 2: Nhầm công thức logarit lũy thừa

SAI: $\log_a x^2 = (\log_a x)^2$ ❌

ĐÚNG: $\log_a x^2 = 2\log_a x$ ✓

Giải thích: Số mũ đưa ra trước, không phải bình phương logarit!

❌ SAI LẦM 3: Nhầm công thức mũ

SAI: $a^{x+y} = a^x + a^y$ ❌

ĐÚNG: $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ ✓

Giải thích: Tích lũy thừa cùng cơ số, cộng số mũ (không phải cộng kết quả)!

❌ SAI LẦM 4: Quên điều kiện

SAI: Giải $\log_2 x = 3$ → $x = 8$ (không kiểm tra)

ĐÚNG: Giải $\log_2 x = 3$ → $x = 8$ và kiểm tra $x = 8 > 0$ ✓

Giải thích: Luôn kiểm tra điều kiện $x > 0$ khi giải phương trình logarit!

❌ SAI LẦM 5: Nhầm đổi cơ số

SAI: $\log_a b = \frac{\log_a c}{\log_b c}$ ❌

ĐÚNG: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ ✓

Cách nhớ: Tử số và mẫu số đều đổi sang cùng cơ số $c$!

3. Lưu ý quan trọng

Luôn kiểm tra điều kiện:

Cho logarit $\log_a b$:

• Cơ số: $a > 0, a \neq 1$
• Biểu thức: $b > 0$

Cho lũy thừa $a^x$:

• Cơ số: $a > 0$
• Số mũ: $x \in \mathbb{R}$ (bất kỳ)

Khi đổi cơ số, dùng máy tính:

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} \text{ hoặc } \frac{\lg b}{\lg a}$$

Lưu ý: Máy tính chỉ có phím $\ln$ (log tự nhiên) và $\log$ (log cơ số 10)

Phân biệt rõ:

• $\log_a (x + y) \neq \log_a x + \log_a y$ (không có công thức này!)
• $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ ✓ (đúng)
• $(a^x)^y = a^{xy}$ ✓ (nhân số mũ)
• $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ ✓ (cộng số mũ)

VIII. BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Tính giá trị biểu thức

Câu a) Tính $\log_4 64$

Lời giải:

• Nhận xét: $64 = 4^3$
• $\log_4 64 = \log_4 4^3 = 3$

Đáp số: $3$

Câu b) Tính $2^{\log_2 7}$

Lời giải:

• Áp dụng công thức nghịch đảo: $a^{\log_a b} = b$
• $2^{\log_2 7} = 7$

Đáp số: $7$

Câu c) Tính $\log_3 27 + \log_2 16$

Lời giải:

• $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$
• $\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$
• Tổng: $3 + 4 = 7$

Đáp số: $7$

Câu d) Tính $\log_5 1 + \log_7 7 + 3^{\log_3 2}$

Lời giải:

• $\log_5 1 = 0$
• $\log_7 7 = 1$
• $3^{\log_3 2} = 2$
• Tổng: $0 + 1 + 2 = 3$

Đáp số: $3$

Bài 2: Chuyển đổi dạng

Câu a) Chuyển $5^x = 30$ sang dạng logarit

Lời giải: $$x = \log_5 30$$

Câu b) Chuyển $\log_7 x = 2$ sang dạng mũ

Lời giải: $$x = 7^2 = 49$$

Câu c) Chuyển $2^{3x-1} = 50$ sang dạng logarit

Lời giải: $$3x – 1 = \log_2 50$$ $$x = \frac{\log_2 50 + 1}{3}$$

Bài 3: Giải phương trình

Câu a) Giải $3^{x+2} = 27$

Lời giải:

Cách 1: Dùng logarit $$x + 2 = \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$ $$x = 1$$

Cách 2: Cùng cơ số $$3^{x+2} = 3^3$$ $$x + 2 = 3$$ $$x = 1$$

Đáp số: $x = 1$

Câu b) Giải $\log_2 (3x-1) = 4$

Lời giải:

Điều kiện: $3x – 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3}$

Chuyển sang mũ: $$3x – 1 = 2^4 = 16$$ $$3x = 17$$ $$x = \frac{17}{3}$$

Kiểm tra: $\frac{17}{3} > \frac{1}{3}$ ✓

Đáp số: $x = \frac{17}{3}$

Câu c) Giải $2^{x+1} = 2^{4-x}$

Lời giải:

So sánh số mũ: $$x + 1 = 4 – x$$ $$2x = 3$$ $$x = \frac{3}{2}$$

Đáp số: $x = \frac{3}{2}$

Câu d) Giải $\log_3 (x-2) = \log_3 (2x-7)$

Lời giải:

Điều kiện:

• $x – 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
• $2x – 7 > 0 \Rightarrow x > \frac{7}{2}$

Kết hợp: $x > \frac{7}{2}$

So sánh biểu thức: $$x – 2 = 2x – 7$$ $$5 = x$$

Kiểm tra: $x = 5 > \frac{7}{2}$ ✓

Đáp số: $x = 5$

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về mối liên hệ giữa mũ và logarit:

Công thức nghịch đảo – QUAN TRỌNG NHẤT: $$a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b$$

Hằng đẳng thức cơ bản:

• $a^{\log_a b} = b$ (nâng cơ số lên logarit)
• $\log_a (a^x) = x$ (logarit của lũy thừa cùng cơ số)

Chuyển đổi giữa hai dạng:

• Từ mũ sang logarit: Số mũ = logarit của kết quả
• Từ logarit sang mũ: Nâng cơ số lên giá trị logarit

Công thức tính toán:

• Logarit tích, thương, lũy thừa, căn
• Lũy thừa: tích, thương, lũy thừa của lũy thừa

Giải phương trình:

• Phương trình mũ: Chuyển sang logarit
• Phương trình logarit: Chuyển sang mũ
• So sánh số mũ, so sánh biểu thức

Bài tập tổng hợp: 12 bài tập có lời giải chi tiết

Công thức QUAN TRỌNG NHẤT cần nhớ

$$\boxed{a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b}$$

Ghi nhớ: Logarit là phép toán NGHỊCH ĐẢO của lũy thừa!

Hiểu được mối quan hệ này là nắm được chìa khóa để giải mọi bài toán về mũ và logarit.

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa