I. GIỚI THIỆU VỀ CẤP SỐ CỘNG

1. Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa: Cấp số cộng (viết tắt: CSC) là một dãy số mà mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi.

Số không đổi đó gọi là công sai, ký hiệu: $d$

Công thức điều kiện: Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng khi và chỉ khi: $$u_{n+1} = u_n + d \quad \text{với mọi } n \geq 1$$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, …

• $u_1 = 2$
• $u_2 = 5 = 2 + 3$
• $u_3 = 8 = 5 + 3$
• $u_4 = 11 = 8 + 3$
• Công sai $d = 3$ (dãy tăng)

Ví dụ 2: Dãy số: 10, 7, 4, 1, -2, …

• $u_1 = 10$
• $u_2 = 7 = 10 + (-3)$
• $u_3 = 4 = 7 + (-3)$
• Công sai $d = -3$ (dãy giảm)

Ví dụ 3: Dãy số: 5, 5, 5, 5, 5, …

• Công sai $d = 0$ (dãy không đổi – trường hợp đặc biệt)

2. Các khái niệm cơ bản

Cách đọc:

• $u_1$: “u một” (số hạng đầu)
• $u_n$: “u n” (số hạng thứ n)
• $S_n$: “S n” (tổng n số hạng đầu)

II. CÔNG SAI – KHÁI NIỆM CỐT LÕI

1. Công sai là gì?

Định nghĩa: Công sai (ký hiệu $d$) là hiệu số giữa một số hạng bất kỳ với số hạng đứng trước nó trong cấp số cộng.

$$\boxed{d = u_{n+1} – u_n}$$

Tính chất quan trọng: Công sai không đổi với mọi cặp số hạng liên tiếp trong cấp số cộng.

Ví dụ kiểm tra: Dãy 3, 7, 11, 15, 19, …

• $d_1 = 7 – 3 = 4$
• $d_2 = 11 – 7 = 4$
• $d_3 = 15 – 11 = 4$
• $d_4 = 19 – 15 = 4$

Vì tất cả đều bằng 4 → Đây là cấp số cộng với $d = 4$ ✓

2. Công thức tính công sai

📌 Công thức 1: Từ định nghĩa (hai số hạng liên tiếp)

$$\boxed{d = u_2 – u_1 = u_3 – u_2 = u_4 – u_3 = …}$$

Khi nào dùng: Khi biết ít nhất hai số hạng liên tiếp.

Ví dụ 1: Cho dãy số 3, 7, 11, 15, … $$d = 7 – 3 = 4$$

Ví dụ 2: Cho dãy số 20, 15, 10, 5, … $$d = 15 – 20 = -5$$

📌 Công thức 2: Từ hai số hạng bất kỳ

$$\boxed{d = \frac{u_m – u_n}{m – n}}$$

Điều kiện: $m \neq n$

Khi nào dùng: Khi biết hai số hạng bất kỳ (không nhất thiết liên tiếp).

Ví dụ 3: Biết $u_3 = 10$ và $u_7 = 22$. Tính $d$?

Lời giải: $$d = \frac{u_7 – u_3}{7 – 3} = \frac{22 – 10}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

Kiểm tra: Từ $u_3 = 10$ với $d = 3$:

• $u_4 = 10 + 3 = 13$
• $u_5 = 13 + 3 = 16$
• $u_6 = 16 + 3 = 19$
• $u_7 = 19 + 3 = 22$ ✓

📌 Công thức 3: Từ số hạng đầu và số hạng thứ n

$$\boxed{d = \frac{u_n – u_1}{n – 1}}$$

Khi nào dùng: Khi biết số hạng đầu $u_1$, số hạng thứ $n$ là $u_n$, và vị trí $n$.

Ví dụ 4: Biết $u_1 = 5$ và $u_{10} = 32$. Tính $d$?

Lời giải: $$d = \frac{u_{10} – u_1}{10 – 1} = \frac{32 – 5}{9} = \frac{27}{9} = 3$$

Ý nghĩa: Từ $u_1$ đến $u_{10}$ có 9 bước nhảy (không phải 10), mỗi bước tăng $d = 3$.

3. Ý nghĩa của công sai

Dấu của công sai cho biết tính chất tăng giảm của dãy số:

Đặc điểm:

• $|d|$ lớn → Dãy tăng/giảm nhanh
• $|d|$ nhỏ → Dãy tăng/giảm chậm

4. Cách tìm công sai d – Quy trình 3 bước

Bước 1: Xác định ít nhất 2 số hạng của dãy (tốt nhất là liên tiếp)

Bước 2: Tính hiệu số: $d = u_{k+1} – u_k$ (số sau trừ số trước)

Bước 3: Kiểm tra với các cặp khác để xác nhận (nếu cần)

Lưu ý quan trọng:

• ✅ Nếu hiệu số không đổi → Đó là cấp số cộng
• ❌ Nếu hiệu số thay đổi → Không phải cấp số cộng

Ví dụ kiểm tra:

Bài 1: Dãy số 2, 5, 8, 11, … có phải CSC không?

• $5 – 2 = 3$
• $8 – 5 = 3$
• $11 – 8 = 3$
• Kết luận: Là CSC với $d = 3$ ✓

Bài 2: Dãy số 1, 2, 4, 8, … có phải CSC không?

• $2 – 1 = 1$
• $4 – 2 = 2$
• $8 – 4 = 4$
• Kết luận: Không phải CSC (hiệu số thay đổi) ✗
• (Đây là cấp số nhân với công bội $q = 2$)

III. CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

1. Công thức số hạng thứ n

📌 Công thức tổng quát của cấp số cộng:

$$\boxed{u_n = u_1 + (n-1)d}$$

Trong đó:

• $u_n$: số hạng thứ $n$ (số cần tìm)
• $u_1$: số hạng đầu tiên
• $d$: công sai
• $n$: thứ tự số hạng ($n \geq 1$, $n \in \mathbb{N}^*$)

Đây là CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT của cấp số cộng!

Cách nhớ: “Số đầu cộng (vị trí trừ 1) nhân công sai”

Giải thích:

• Từ $u_1$ đến $u_n$ có $(n-1)$ bước nhảy
• Mỗi bước tăng (hoặc giảm) một lượng $d$
• Tổng mức tăng: $(n-1) \times d$

2. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho CSC có $u_1 = 3$, $d = 5$. Tìm $u_{10}$?

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$u_{10} = u_1 + (10-1)d$$ $$= 3 + 9 \times 5$$ $$= 3 + 45$$ $$= 48$$

Kết luận: $u_{10} = 48$

Kiểm tra bằng cách liệt kê:

• $u_1 = 3$
• $u_2 = 8$
• $u_3 = 13$
• …
• $u_{10} = 48$ ✓

Bài 2: Cho cấp số cộng: 7, 11, 15, 19, … Tìm $u_{20}$?

Lời giải:

Bước 1: Xác định $u_1$ và $d$

• $u_1 = 7$
• $d = 11 – 7 = 4$

Bước 2: Áp dụng công thức $$u_{20} = u_1 + (20-1) \times d$$ $$= 7 + 19 \times 4$$ $$= 7 + 76$$ $$= 83$$

Kết luận: Số hạng thứ 20 là $u_{20} = 83$

Bài 3: Cho CSC có $u_1 = 100$, $d = -3$. Tìm $u_{15}$?

Lời giải: $$u_{15} = 100 + (15-1) \times (-3)$$ $$= 100 + 14 \times (-3)$$ $$= 100 – 42$$ $$= 58$$

Kết luận: $u_{15} = 58$

3. Các công thức liên quan

📌 A. Tìm $u_1$ khi biết $u_n$, $d$, $n$:

$$\boxed{u_1 = u_n – (n-1)d}$$

Ví dụ: Biết $u_{10} = 48$, $d = 5$, $n = 10$. Tìm $u_1$? $$u_1 = 48 – (10-1) \times 5 = 48 – 45 = 3$$

📌 B. Tìm $n$ khi biết $u_n$, $u_1$, $d$:

$$\boxed{n = \frac{u_n – u_1}{d} + 1}$$

Ví dụ: Cho CSC có $u_1 = 3$, $d = 5$, $u_n = 48$. Tìm $n$? $$n = \frac{48 – 3}{5} + 1 = \frac{45}{5} + 1 = 9 + 1 = 10$$

📌 C. Số hạng tổng quát từ $u_k$ (vị trí bất kỳ):

$$\boxed{u_n = u_k + (n-k)d}$$

Khi nào dùng: Khi biết số hạng tại vị trí $k$ thay vì $u_1$.

Ví dụ: Biết $u_5 = 20$, $d = 3$. Tìm $u_{12}$? $$u_{12} = u_5 + (12-5) \times 3 = 20 + 7 \times 3 = 20 + 21 = 41$$

4. Bài toán tìm vị trí số hạng

Dạng bài: Cho giá trị của một số hạng, tìm vị trí của nó trong dãy.

Bài 1: Số hạng nào của CSC: 5, 9, 13, … bằng 101?

Lời giải:

Bước 1: Xác định $u_1$, $d$, $u_n$

• $u_1 = 5$
• $d = 9 – 5 = 4$
• $u_n = 101$

Bước 2: Áp dụng công thức $u_n = u_1 + (n-1)d$ $$101 = 5 + (n-1) \times 4$$

Bước 3: Giải phương trình $$101 – 5 = 4(n-1)$$ $$96 = 4(n-1)$$ $$n – 1 = 24$$ $$n = 25$$

Kết luận: 101 là số hạng thứ 25 của dãy.

Kiểm tra: $u_{25} = 5 + 24 \times 4 = 5 + 96 = 101$ ✓

Bài 2: Số -23 có thuộc CSC: 100, 97, 94, … không? Nếu có, là số hạng thứ mấy?

Lời giải:

Xác định:

• $u_1 = 100$, $d = 97 – 100 = -3$
• Cần kiểm tra: $u_n = -23$

Giải: $$-23 = 100 + (n-1)(-3)$$ $$-23 – 100 = -3(n-1)$$ $$-123 = -3(n-1)$$ $$n – 1 = 41$$ $$n = 42$$

Kết luận: Có, -23 là số hạng thứ 42.

IV. CÔNG THỨC TỔNG CẤP SỐ CỘNG

1. Công thức tổng n số hạng đầu

Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng, ký hiệu $S_n$, được tính theo các công thức sau:

📌 Công thức 1: Dạng cơ bản

$$\boxed{S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}}$$

Ý nghĩa:

• Tổng = (Số số hạng) × (Trung bình cộng của số đầu và số cuối) / 2
• Hoặc: Tổng = (Số số hạng) × (Số đầu + Số cuối) / 2

Khi nào dùng: Khi biết $u_1$, $u_n$ và $n$.

Cách nhớ: “Số hạng nhân cộng đầu cuối chia đôi”

📌 Công thức 2: Dạng khai triển

$$\boxed{S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}}$$

Hoặc viết dưới dạng:

$$\boxed{S_n = nu_1 + \frac{n(n-1)d}{2}}$$

Khi nào dùng: Khi chỉ biết $u_1$, $d$ và $n$ (không biết $u_n$).

2. Ví dụ tính tổng

Ví dụ 1: Tính tổng 10 số hạng đầu của CSC: 2, 5, 8, 11, …

Phương pháp 1: Dùng công thức cơ bản

Bước 1: Tìm $u_{10}$

• $u_1 = 2$, $d = 5 – 2 = 3$
• $u_{10} = 2 + (10-1) \times 3 = 2 + 27 = 29$

Bước 2: Tính $S_{10}$ $$S_{10} = \frac{10(u_1 + u_{10})}{2} = \frac{10(2 + 29)}{2} = \frac{10 \times 31}{2} = \frac{310}{2} = 155$$

Phương pháp 2: Dùng công thức khai triển

$$S_{10} = \frac{10[2 \times 2 + (10-1) \times 3]}{2}$$ $$= \frac{10(4 + 27)}{2}$$ $$= \frac{10 \times 31}{2}$$ $$= 155$$

Kết luận: $S_{10} = 155$

Ví dụ 2: Tính tổng 20 số hạng đầu của CSC có $u_1 = -5$, $d = 2$

Lời giải:

Dùng công thức khai triển: $$S_{20} = \frac{20[2 \times (-5) + (20-1) \times 2]}{2}$$ $$= \frac{20(-10 + 38)}{2}$$ $$= \frac{20 \times 28}{2}$$ $$= \frac{560}{2}$$ $$= 280$$

Kết luận: $S_{20} = 280$

3. Chứng minh công thức tổng

Phương pháp: Viết tổng theo hai chiều (xuôi và ngược), sau đó cộng lại.

Viết tổng xuôi: $$S_n = u_1 + u_2 + u_3 + … + u_{n-1} + u_n$$

Viết tổng ngược: $$S_n = u_n + u_{n-1} + u_{n-2} + … + u_2 + u_1$$

Cộng từng vế: $$2S_n = (u_1 + u_n) + (u_2 + u_{n-1}) + (u_3 + u_{n-2}) + … + (u_{n-1} + u_2) + (u_n + u_1)$$

Nhận xét: Mỗi cặp trong ngoặc đều bằng nhau:

• $u_1 + u_n = u_2 + u_{n-1} = u_3 + u_{n-2} = …$

Vì sao? Do tính chất đối xứng của CSC.

Có $n$ cặp như vậy: $$2S_n = n(u_1 + u_n)$$

Chia cả hai vế cho 2: $$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$$

Đây chính là công thức tổng cơ bản! ✓

4. Các dạng bài tập về tổng

Dạng 1: Tính tổng khi biết $u_1$, $d$, $n$

Bài: Tính tổng 15 số hạng đầu của CSC có $u_1 = 3$, $d = 4$

Lời giải:

Dùng công thức khai triển: $$S_{15} = \frac{15[2 \times 3 + (15-1) \times 4]}{2}$$ $$= \frac{15(6 + 56)}{2}$$ $$= \frac{15 \times 62}{2}$$ $$= \frac{930}{2}$$ $$= 465$$

Kết luận: $S_{15} = 465$

Dạng 2: Tính tổng dãy số cho trước

Bài: Tính tổng: $S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99$

Lời giải:

Bước 1: Nhận dạng CSC

• $u_1 = 1$
• $d = 3 – 1 = 2$
• $u_n = 99$

Bước 2: Tìm số lượng số hạng $n$ $$99 = 1 + (n-1) \times 2$$ $$98 = 2(n-1)$$ $$n – 1 = 49$$ $$n = 50$$

Bước 3: Tính tổng $$S_{50} = \frac{50(1 + 99)}{2} = \frac{50 \times 100}{2} = \frac{5000}{2} = 2500$$

Kết luận: $S = 2500$

Dạng 3: Tổng các số tự nhiên liên tiếp

Công thức đặc biệt cho tổng số tự nhiên:

$$\boxed{1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}}$$

Chứng minh: Đây là CSC với $u_1 = 1$, $d = 1$, $u_n = n$ $$S_n = \frac{n(1 + n)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$$

Ví dụ: Tính $S = 1 + 2 + 3 + … + 100$

$$S = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050$$

Câu chuyện lịch sử: Đây là bài toán nổi tiếng mà nhà toán học Gauss giải được khi còn nhỏ!

Dạng 4: Tổng các số lẻ, số chẵn

Tổng n số lẻ đầu tiên: $$1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2$$

Ví dụ: Tổng 10 số lẻ đầu: $1 + 3 + 5 + … + 19 = 10^2 = 100$

Tổng n số chẵn đầu tiên: $$2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n+1)$$

Ví dụ: Tổng 10 số chẵn đầu: $2 + 4 + 6 + … + 20 = 10 \times 11 = 110$

V. TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ CỘNG

1. Tính chất số hạng ở giữa

Định lý: Nếu ba số hạng $u_i$, $u_k$, $u_j$ của CSC thỏa mãn $i < k < j$ và $k – i = j – k$ (cách đều) thì:

$$\boxed{u_k = \frac{u_i + u_j}{2}}$$

Nói cách khác: Số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng hai bên.

Ví dụ 1: Trong CSC, biết $u_3 = 10$ và $u_7 = 18$. Tìm $u_5$?

Lời giải:

Vì $u_5$ nằm giữa $u_3$ và $u_7$ (cách đều: $5 – 3 = 7 – 5 = 2$): $$u_5 = \frac{u_3 + u_7}{2} = \frac{10 + 18}{2} = \frac{28}{2} = 14$$

Kiểm tra:

• Từ $u_3 = 10$ đến $u_5 = 14$: tăng 4
• Từ $u_5 = 14$ đến $u_7 = 18$: tăng 4
• Công sai $d = \frac{4}{2} = 2$ ✓

Ví dụ 2: Cho CSC có $u_2 = 7$ và $u_8 = 25$. Tìm $u_5$?

Lời giải: $$u_5 = \frac{u_2 + u_8}{2} = \frac{7 + 25}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

2. Tính chất trung bình cộng (Ba số lập CSC)

Định lý: Ba số $a$, $b$, $c$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

$$\boxed{b = \frac{a + c}{2}}$$

Hoặc viết dưới dạng: $a + c = 2b$

Ý nghĩa: Số ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hai đầu.

Ví dụ 3: Kiểm tra ba số 5, 8, 11 có lập thành CSC không?

Lời giải:

• Trung bình cộng: $\frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$
• Vì $8 = 8$ ✓
• Kết luận: Ba số lập thành CSC

Ví dụ 4: Ba số $2$, $x$, $10$ lập thành CSC. Tìm $x$?

Lời giải: $$x = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Kiểm tra: Dãy 2, 6, 10 có $d = 4$ ✓

3. Tính chất tổng đối xứng

Định lý: Trong cấp số cộng có $n$ số hạng, tổng của hai số hạng cách đều đỉnh bằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối:

$$\boxed{u_1 + u_n = u_2 + u_{n-1} = u_3 + u_{n-2} = … = u_k + u_{n-k+1}}$$

Ví dụ 5: Cho CSC: 2, 5, 8, 11, 14

Kiểm tra:

• $u_1 + u_5 = 2 + 14 = 16$
• $u_2 + u_4 = 5 + 11 = 16$
• $u_3 + u_3 = 8 + 8 = 16$

Tất cả đều bằng nhau! ✓

Ứng dụng: Tính chất này được dùng để chứng minh công thức tổng.

VI. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức công sai

B. Công thức số hạng tổng quát

C. Công thức tổng

D. Công thức đặc biệt (Học thuộc)

VII. DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng và tìm công sai

Bài 1: Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? Tìm công sai.

a) 1, 4, 7, 10, 13, …
b) 2, 4, 8, 16, 32, …
c) 5, 5, 5, 5, 5, …

Lời giải:

Câu a) Dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …

• Kiểm tra: $4 – 1 = 3$, $7 – 4 = 3$, $10 – 7 = 3$
• Kết luận: Là CSC với $d = 3$ ✓

Câu b) Dãy: 2, 4, 8, 16, 32, …

• Kiểm tra: $4 – 2 = 2$, $8 – 4 = 4$, $16 – 8 = 8$
• Hiệu số thay đổi (2, 4, 8, …)
• Kết luận: Không phải CSC (Đây là cấp số nhân với $q = 2$) ✗

Câu c) Dãy: 5, 5, 5, 5, 5, …

• Kiểm tra: $5 – 5 = 0$ (tất cả đều bằng 0)
• Kết luận: Là CSC với $d = 0$ (dãy hằng số) ✓

Dạng 2: Tìm số hạng đầu và công sai

Bài 2: Cho cấp số cộng có $u_3 = 15$ và $u_8 = 35$. Tìm $u_1$ và $d$?

Lời giải:

Phương pháp: Lập hệ phương trình

Từ công thức $u_n = u_1 + (n-1)d$:

$$\begin{cases} u_3 = u_1 + 2d = 15 \quad (1) \\ u_8 = u_1 + 7d = 35 \quad (2) \end{cases}$$

Giải hệ:

Lấy $(2) – (1)$: $$(u_1 + 7d) – (u_1 + 2d) = 35 – 15$$ $$5d = 20$$ $$d = 4$$

Thay $d = 4$ vào phương trình $(1)$: $$u_1 + 2 \times 4 = 15$$ $$u_1 + 8 = 15$$ $$u_1 = 7$$

Kết luận: $u_1 = 7$, $d = 4$

Kiểm tra:

• $u_3 = 7 + 2 \times 4 = 15$ ✓
• $u_8 = 7 + 7 \times 4 = 35$ ✓

Dạng 3: Tính tổng cấp số cộng

Bài 3: Tính tổng các số lẻ từ 1 đến 199?

Lời giải:

Bước 1: Nhận dạng CSC

• Dãy: 1, 3, 5, 7, …, 199
• $u_1 = 1$, $d = 2$, $u_n = 199$

Bước 2: Tìm số lượng số hạng $$199 = 1 + (n-1) \times 2$$ $$198 = 2(n-1)$$ $$n – 1 = 99$$ $$n = 100$$

Bước 3: Tính tổng $$S_{100} = \frac{100(1 + 199)}{2} = \frac{100 \times 200}{2} = \frac{20000}{2} = 10000$$

Kết luận: Tổng các số lẻ từ 1 đến 199 là $10000$

Cách khác: Dùng công thức đặc biệt cho số lẻ: $S = n^2 = 100^2 = 10000$

Dạng 4: Ba số lập thành cấp số cộng

Bài 4: Ba số $x-1$, $x+3$, $3x-1$ lập thành cấp số cộng. Tìm $x$?

Lời giải:

Điều kiện: Số ở giữa bằng trung bình cộng hai số hai đầu: $$(x+3) = \frac{(x-1) + (3x-1)}{2}$$

Giải phương trình: $$2(x+3) = (x-1) + (3x-1)$$ $$2x + 6 = x – 1 + 3x – 1$$ $$2x + 6 = 4x – 2$$ $$6 + 2 = 4x – 2x$$ $$8 = 2x$$ $$x = 4$$

Kiểm tra: Với $x = 4$:

• Số thứ nhất: $x – 1 = 3$
• Số thứ hai: $x + 3 = 7$
• Số thứ ba: $3x – 1 = 11$

Dãy: 3, 7, 11 có $d = 4$ ✓

Kết luận: $x = 4$

Dạng 5: Tìm n thỏa mãn điều kiện về tổng

Bài 5: Cho CSC có $u_1 = 5$, $d = 3$. Tìm $n$ sao cho $S_n = 330$?

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2} = 330$$

Thay số: $$\frac{n[2 \times 5 + (n-1) \times 3]}{2} = 330$$ $$\frac{n[10 + 3n – 3]}{2} = 330$$ $$\frac{n(3n + 7)}{2} = 330$$ $$n(3n + 7) = 660$$ $$3n^2 + 7n – 660 = 0$$

Giải phương trình bậc 2:

Dùng công thức nghiệm: $$n = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 4 \times 3 \times 660}}{6}$$ $$= \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 7920}}{6}$$ $$= \frac{-7 \pm \sqrt{7969}}{6}$$ $$= \frac{-7 \pm 89.27…}{6}$$

Nghiệm dương: $$n = \frac{-7 + 89.27}{6} \approx 13.7$$

Vì n phải là số nguyên dương, ta kiểm tra $n = 13$ và $n = 14$:

Với $n = 13$: $$S_{13} = \frac{13[10 + 12 \times 3]}{2} = \frac{13 \times 46}{2} = 299 \neq 330$$

Với $n = 14$: $$S_{14} = \frac{14[10 + 13 \times 3]}{2} = \frac{14 \times 49}{2} = 343 \neq 330$$

Kết luận: Không tồn tại $n$ nguyên dương thỏa mãn $S_n = 330$ chính xác.

(Có thể đề bài cho sai hoặc cần kiểm tra lại)

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Công thức số hạng tổng quát:

Nhớ: $u_n = u_1 + (n-1)d$
Mẹo: “Số đầu cộng (vị trí trừ 1) nhân công sai”

Công thức tổng:

Nhớ: $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$
Mẹo: “Số hạng nhân cộng đầu cuối chia đôi”

Công sai:

Nhớ: $d = u_2 – u_1$
Mẹo: “Số sau trừ số trước”

Tổng số tự nhiên:

Nhớ: $1 + 2 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}$
Mẹo: “n nhân n cộng 1 chia 2”

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên trừ 1 trong công thức

SAI: $u_n = u_1 + nd$ ❌

ĐÚNG: $u_n = u_1 + (n-1)d$ ✓

Giải thích: Từ vị trí 1 đến vị trí $n$ chỉ có $(n-1)$ bước nhảy!

❌ SAI LẦM 2: Nhầm CSC với CSN (Cấp số nhân)

CSC (Cấp số cộng):

• Hiệu số không đổi: $u_{n+1} – u_n = d$
• Công thức: $u_n = u_1 + (n-1)d$
• Tổng: $S_n = \frac{n(u_1+u_n)}{2}$

CSN (Cấp số nhân):

• Tỷ số không đổi: $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$
• Công thức: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$
• Tổng: $S_n = \frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

❌ SAI LẦM 3: Quên chia 2 trong công thức tổng

SAI: $S_n = n(u_1 + u_n)$

ĐÚNG: $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$ ✓

❌ SAI LẦM 4: Tính sai số lượng số hạng

Bài toán: Có bao nhiêu số từ 1 đến 100?

SAI: $100 – 1 = 99$

ĐÚNG: $100 – 1 + 1 = 100$ ✓

Công thức: Số lượng số từ $a$ đến $b$ là: $b – a + 1$

3. Lưu ý quan trọng

Kiểm tra CSC:

• Tính hiệu các cặp số hạng liên tiếp
• Nếu tất cả đều bằng nhau → Đó là CSC
• Nếu thay đổi → Không phải CSC

Chọn công thức tổng phù hợp:

• Biết $u_1$ và $u_n$ → Dùng $S_n = \frac{n(u_1+u_n)}{2}$
• Chỉ biết $u_1$ và $d$ → Dùng $S_n = \frac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$

Luôn kiểm tra kết quả:

• Thay ngược lại để kiểm tra
• Dùng máy tính để tính vài số hạng đầu

Chú ý điều kiện:

• $n \geq 1$ và $n \in \mathbb{N}^*$
• Công sai $d$ có thể âm, dương hoặc bằng 0

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về cấp số cộng:

Định nghĩa: Dãy số có hiệu số không đổi giữa các số hạng liên tiếp

Công sai:

• $d = u_{n+1} – u_n$ (hiệu số hai số hạng liên tiếp)
• $d = \frac{u_m – u_n}{m – n}$ (từ hai số hạng bất kỳ)

Số hạng tổng quát:

• $u_n = u_1 + (n-1)d$ (Công thức quan trọng nhất)

Tổng n số hạng đầu:

• $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$ (dạng cơ bản)
• $S_n = \frac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$ (dạng khai triển)

Tính chất:

• Số hạng giữa = Trung bình cộng hai đầu
• Tổng đối xứng: $u_1 + u_n = u_2 + u_{n-1}$

Bài tập: 5 dạng bài thường gặp với lời giải chi tiết

3 CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT – HỌC THUỘC

$$\boxed{d = u_2 – u_1}$$ (Công sai)

$$\boxed{u_n = u_1 + (n-1)d}$$ (Số hạng thứ n)

$$\boxed{S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}}$$ (Tổng n số hạng)

Ghi nhớ ba công thức này là nắm được 90% kiến thức về cấp số cộng!

Lời khuyên học tập

📌 Học thuộc 3 công thức chính – Viết ra giấy và đọc to nhiều lần

📌 Phân biệt rõ CSC và CSN – CSC: hiệu số không đổi, CSN: tỷ số không đổi

📌 Luyện tập đa dạng các dạng bài – Từ cơ bản đến nâng cao

📌 Chú ý điều kiện: Hiệu số không đổi, $n \geq 1$

📌 Kiểm tra kết quả – Luôn thay ngược lại để đảm bảo chính xác

📌 Làm bài tập theo chủ đề – Mỗi dạng làm 5-10 bài để thành thạo

📌 Ghi nhớ công thức đặc biệt – Tổng số tự nhiên, số lẻ, số chẵn

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa