I. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

1. Công thức cộng xác suất là gì?

Định nghĩa: Công thức cộng xác suất là công thức dùng để tính xác suất của hợp hai biến cố A và B, tức là xác suất để “A hoặc B xảy ra” (ít nhất một trong hai biến cố xảy ra).

Ký hiệu: $P(A \cup B)$ đọc là “xác suất của A hợp B” hoặc “xác suất A hoặc B”.

Ý nghĩa thực tế:

• Tính xác suất “ít nhất một trong hai sự kiện xảy ra”
• Trả lời câu hỏi dạng: “A xảy ra HOẶC B xảy ra”
• Giúp giải quyết các bài toán phức tạp bằng cách chia nhỏ thành các biến cố đơn giản hơn

Ví dụ dễ hiểu:

• Xác suất học sinh giỏi Toán HOẶC giỏi Lý
• Xác suất rút được Át HOẶC lá bích
• Xác suất ít nhất một trong hai máy hoạt động

2. Các khái niệm cần nhớ

Để hiểu rõ công thức cộng xác suất, cần nắm vững các khái niệm sau:

Giải thích chi tiết:

Hợp hai biến cố ($A \cup B$): Là biến cố xảy ra khi A xảy ra, hoặc B xảy ra, hoặc cả hai cùng xảy ra.

Giao hai biến cố ($A \cap B$): Là biến cố xảy ra khi cả A và B đều xảy ra đồng thời.

Biến cố xung khắc: Hai biến cố không thể xảy ra cùng lúc. Tập giao của chúng là tập rỗng.

Biến cố độc lập: Sự xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

3. Phân biệt Toán 11 và Toán 12

Lưu ý: Bài viết này tập trung vào chương trình Toán 11, phù hợp cho học sinh THPT.

II. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT TỔNG QUÁT

1. Công thức cộng xác suất (Định lý cộng)

📌 CÔNG THỨC TỔNG QUÁT (QUAN TRỌNG NHẤT):

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)}$$

Trong đó:

• $P(A \cup B)$: Xác suất để A hoặc B xảy ra (ít nhất một trong hai)
• $P(A)$: Xác suất để A xảy ra
• $P(B)$: Xác suất để B xảy ra
• $P(A \cap B)$: Xác suất để cả A và B cùng xảy ra

Cách đọc: “Xác suất A hợp B bằng xác suất A cộng xác suất B trừ đi xác suất A giao B”

Điều kiện áp dụng: Công thức này đúng với mọi cặp biến cố A và B bất kỳ.

2. Giải thích bằng sơ đồ Venn

Sơ đồ Venn minh họa:

        A              B
    ┌───────┐      ┌───────┐
    │       │      │       │
    │   ┌───┼──────┤───┐   │
    │   │   │ A∩B  │   │   │
    │   └───┼──────┤───┘   │
    │       │      │       │
    └───────┘      └───────┘

Giải thích tại sao phải trừ $P(A \cap B)$:

Bước 1: Khi tính $P(A)$, ta đếm toàn bộ vùng A, bao gồm cả phần giao $A \cap B$.

Bước 2: Khi tính $P(B)$, ta đếm toàn bộ vùng B, bao gồm cả phần giao $A \cap B$.

Bước 3: Khi cộng $P(A) + P(B)$, phần giao $A \cap B$ đã được đếm hai lần.

Bước 4: Để bù trừ phần đếm thừa, ta phải trừ đi một lần $P(A \cap B)$.

Kết luận: $$P(A \cup B) = \underbrace{P(A) + P(B)}{\text{đếm 2 lần A∩B}} – \underbrace{P(A \cap B)}{\text{bù trừ}}$$

3. Ví dụ minh họa cơ bản

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Tính xác suất để được số chẵn HOẶC số chia hết cho 3?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các biến cố

• Biến cố A: “Được số chẵn” = {2, 4, 6}
  • $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• Biến cố B: “Được số chia hết cho 3” = {3, 6}
  • $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Bước 2: Tìm giao của hai biến cố

• Biến cố $A \cap B$: “Số vừa chẵn vừa chia hết cho 3” = {6}
  • $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

Bước 3: Áp dụng công thức cộng $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$ $$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}$$ $$= \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Kiểm tra lại:

• $A \cup B$ = {2, 3, 4, 6} có 4 phần tử
• $P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ✓

Kết luận: Xác suất là $\frac{2}{3}$ hay khoảng 66.7%.

Ví dụ 2: Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ 52 lá. Tính xác suất rút được quân J HOẶC lá cơ?

Lời giải:

Phân tích:

• Số quân J trong bộ bài: 4 (J rô, J cơ, J bích, J chuồn)
• Số lá cơ trong bộ bài: 13 (từ A♥ đến K♥)
• Số lá vừa là J vừa là cơ: 1 (J cơ)

Tính toán:

• $P(\text{J}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
• $P(\text{Cơ}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
• $P(\text{J cơ}) = \frac{1}{52}$

Áp dụng công thức: $$P(\text{J} \cup \text{Cơ}) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}$$ $$= \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{4}{13} \approx 30.8%$.

4. Mở rộng cho 3 biến cố

Khi có 3 biến cố A, B, C, công thức cộng được mở rộng:

📌 Công thức cộng cho 3 biến cố:

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$$ $$- P(A \cap B) – P(B \cap C) – P(A \cap C)$$ $$+ P(A \cap B \cap C)$$

Nguyên lý: Đây là Nguyên lý bù trừ (Inclusion-Exclusion Principle)

Giải thích:

• Cộng xác suất từng biến cố đơn: $P(A) + P(B) + P(C)$
• Trừ đi các phần giao đôi một (vì đếm 2 lần): $-P(A \cap B) – P(B \cap C) – P(A \cap C)$
• Cộng lại phần giao cả ba (vì bị trừ 3 lần, cần cộng lại 1 lần): $+P(A \cap B \cap C)$

Ví dụ 3: Trong lớp 50 học sinh: 30 giỏi Toán, 25 giỏi Lý, 20 giỏi Hóa, 15 giỏi cả Toán và Lý, 12 giỏi cả Lý và Hóa, 10 giỏi cả Toán và Hóa, 8 giỏi cả 3 môn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh, tính xác suất học sinh đó giỏi ít nhất 1 môn?

Lời giải:

• $P(T) = \frac{30}{50}$, $P(L) = \frac{25}{50}$, $P(H) = \frac{20}{50}$
• $P(T \cap L) = \frac{15}{50}$, $P(L \cap H) = \frac{12}{50}$, $P(T \cap H) = \frac{10}{50}$
• $P(T \cap L \cap H) = \frac{8}{50}$

$$P(T \cup L \cup H) = \frac{30+25+20}{50} – \frac{15+12+10}{50} + \frac{8}{50}$$ $$= \frac{75 – 37 + 8}{50} = \frac{46}{50} = \frac{23}{25} = 0.92 = 92\%$$

III. CÔNG THỨC CỘNG CHO BIẾN CỐ XUNG KHẮC

1. Định nghĩa biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc (hay loại trừ nhau) nếu:

• Chúng không thể xảy ra đồng thời
• Tập giao của chúng là tập rỗng: $A \cap B = \emptyset$
• Xác suất giao bằng 0: $P(A \cap B) = 0$

Ví dụ về biến cố xung khắc:

• A: “Gieo xúc xắc được mặt chẵn” = {2, 4, 6}
• B: “Gieo xúc xắc được mặt lẻ” = {1, 3, 5}
• → A và B xung khắc vì không có số nào vừa chẵn vừa lẻ

Ví dụ khác:

• Rút bài: “Được quân rô” và “Được quân cơ” (xung khắc)
• Sinh viên: “Đậu” và “Trượt” (xung khắc)
• Thời tiết: “Mưa” và “Nắng” (có thể xung khắc tùy định nghĩa)

2. Công thức cộng cho biến cố xung khắc

📌 CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT – Khi A và B xung khắc:

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$

Lý do: Vì $A \cap B = \emptyset$ nên $P(A \cap B) = 0$. Công thức tổng quát trở thành: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – 0 = P(A) + P(B)$$

Ưu điểm: Công thức đơn giản hơn, không cần tính phần giao.

Điều kiện: Chỉ áp dụng khi chắc chắn A và B xung khắc.

3. Mở rộng cho n biến cố xung khắc từng đôi

Định nghĩa: Các biến cố $A_1, A_2, …, A_n$ được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào cũng xung khắc với nhau.

Công thức:

$$\boxed{P(A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n)}$$

Ứng dụng: Đây là công thức rất hữu ích khi phân tích các trường hợp loại trừ nhau.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 4: Gieo một con xúc xắc. Tính xác suất để được mặt 1, 2, 3 HOẶC 4?

Lời giải:

Phân tích:

• Biến cố A: “Được 1” → $P(A) = \frac{1}{6}$
• Biến cố B: “Được 2” → $P(B) = \frac{1}{6}$
• Biến cố C: “Được 3” → $P(C) = \frac{1}{6}$
• Biến cố D: “Được 4” → $P(D) = \frac{1}{6}$

Nhận xét: Bốn biến cố này xung khắc từng đôi (không thể cùng xảy ra).

Áp dụng công thức: $$P(A \cup B \cup C \cup D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)$$ $$= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{2}{3} \approx 66.7\%$.

Ví dụ 5: Trong hộp có 5 bi đỏ, 3 bi xanh, 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ HOẶC bi xanh?

Lời giải:

• Biến cố A: “Lấy được bi đỏ” → $P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• Biến cố B: “Lấy được bi xanh” → $P(B) = \frac{3}{10}$
• A và B xung khắc (bi không thể vừa đỏ vừa xanh)

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{4}{5} = 80\%$.

5. Ứng dụng: Biến cố đối

Định nghĩa: Biến cố đối của A, ký hiệu $\overline{A}$ (đọc là “A gạch đầu” hoặc “A bù”), là biến cố “A không xảy ra”.

Tính chất: A và $\overline{A}$ là hai biến cố xung khắc và $A \cup \overline{A} = \Omega$ (không gian mẫu).

Công thức biến cố đối:

$$\boxed{P(\overline{A}) = 1 – P(A)}$$

Chứng minh:

• Vì $A \cup \overline{A} = \Omega$ và A, $\overline{A}$ xung khắc: $$P(A \cup \overline{A}) = P(A) + P(\overline{A}) = P(\Omega) = 1$$ $$\Rightarrow P(\overline{A}) = 1 – P(A)$$

Ứng dụng: Rất hữu ích cho bài toán “ít nhất”, “không có”.

IV. LIÊN HỆ VỚI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

1. Định nghĩa biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu sự xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Định nghĩa toán học:

$$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$$

Ý nghĩa:

• Việc A xảy ra không làm thay đổi xác suất B xảy ra
• $P(B|A) = P(B)$ (xác suất B khi biết A = xác suất B bình thường)

Ví dụ về biến cố độc lập:

• Tung 2 đồng xu: Kết quả đồng xu thứ nhất không ảnh hưởng đồng xu thứ hai
• Gieo 2 xúc xắc: Kết quả con thứ nhất độc lập với con thứ hai
• Bắn 2 viên đạn vào 2 bia khác nhau: Kết quả viên thứ nhất không ảnh hưởng viên thứ hai

Ví dụ về biến cố KHÔNG độc lập:

• Rút 2 lá bài không hoàn lại: Lá thứ nhất ảnh hưởng đến lá thứ hai
• Lấy 2 bi từ hộp không hoàn lại: Bi thứ nhất ảnh hưởng bi thứ hai

2. Phân biệt xung khắc và độc lập

⚠️ LƯU Ý CỰC KỲ QUAN TRỌNG:

Xung khắc ≠ Độc lập

Hai khái niệm này hoàn toàn khác nhau:

Nhận xét quan trọng:

• Nếu A và B xung khắc (và cả hai đều có xác suất dương), chúng KHÔNG thể độc lập
• Lý do: Nếu A xảy ra thì B chắc chắn không xảy ra → A ảnh hưởng mạnh đến B

Ví dụ minh họa:

• Gieo xúc xắc: “Chẵn” và “Lẻ” là xung khắc nhưng KHÔNG độc lập
• Tung 2 xu: “Xu 1 sấp” và “Xu 2 sấp” là độc lập nhưng KHÔNG xung khắc

3. Công thức cộng cho biến cố độc lập

Khi A và B độc lập, ta có $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Thay vào công thức cộng tổng quát:

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A) \cdot P(B)}$$

Biến đổi hữu ích:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A) \cdot P(B)$$ $$= P(A) + P(B)(1 – P(A))$$ $$= P(A) + P(B) \cdot P(\overline{A})$$

Hoặc dùng biến cố đối:

$$\boxed{P(A \cup B) = 1 – P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})}$$

Chứng minh: $$P(A \cup B) = P(\overline{\overline{A} \cap \overline{B}}) = 1 – P(\overline{A} \cap \overline{B})$$ $$= 1 – P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$$ (vì $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 6: Hai xạ thủ A và B bắn vào bia, xác suất trúng đích lần lượt là 0.7 và 0.6. Hai lần bắn độc lập với nhau. Tính xác suất có ít nhất 1 người trúng đích?

Lời giải:

Phân tích:

• Biến cố A: “Xạ thủ A trúng” → $P(A) = 0.7$
• Biến cố B: “Xạ thủ B trúng” → $P(B) = 0.6$
• A và B độc lập

Cách 1: Dùng công thức cộng trực tiếp

Tính $P(A \cap B)$ (cả hai cùng trúng): $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.7 \times 0.6 = 0.42$$

Áp dụng công thức cộng: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$ $$= 0.7 + 0.6 – 0.42 = 1.3 – 0.42 = 0.88$$

Cách 2: Dùng biến cố đối (nhanh hơn)

Xác suất cả hai đều trượt: $$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$$ $$= (1 – 0.7) \times (1 – 0.6) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$$

Xác suất ít nhất 1 người trúng: $$P(A \cup B) = 1 – P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 – 0.12 = 0.88$$

Kết luận: Xác suất là 0.88 hay 88%.

Nhận xét: Cách 2 (dùng biến cố đối) thường nhanh hơn cho bài toán “ít nhất”.

V. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN (Mở rộng)

1. Công thức xác suất có điều kiện

Định nghĩa: Xác suất có điều kiện của A khi biết B đã xảy ra, ký hiệu $P(A|B)$.

Công thức:

$$\boxed{P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)}$$

Ý nghĩa: Khi biết chắc chắn B đã xảy ra, xác suất để A xảy ra là bao nhiêu?

Biến đổi: $$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$$

2. Liên hệ với công thức cộng

Từ công thức xác suất có điều kiện, ta có: $$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$$

Thay vào công thức cộng tổng quát:

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(B) \cdot P(A|B)}$$

Hoặc: $$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A) \cdot P(B|A)}$$

3. Trường hợp đặc biệt

Khi A và B độc lập:

• $P(A|B) = P(A)$ (B không ảnh hưởng đến A)
• $P(B|A) = P(B)$ (A không ảnh hưởng đến B)
• $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Công thức cộng trở về dạng đã biết: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A) \cdot P(B)$$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 7: Một hộp có 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi không hoàn lại (lấy xong không bỏ trở lại). Tính xác suất để có ít nhất 1 viên bi đỏ?

Lời giải:

Phân tích:

• Biến cố A: “Bi thứ nhất đỏ”
• Biến cố B: “Bi thứ hai đỏ”
• A và B KHÔNG độc lập (vì không hoàn lại)

Cách 1: Dùng biến cố đối (nhanh nhất)

Xác suất cả hai đều xanh:

• P(cả 2 xanh) = $\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

Xác suất ít nhất 1 đỏ: $$P(\text{ít nhất 1 đỏ}) = 1 – \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$

Cách 2: Dùng công thức cộng

• $P(A) = \frac{3}{5}$ (3 bi đỏ trong 5 bi)
• $P(B) = \frac{3}{5}$ (do tính đối xứng)
• $P(A \cap B) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

$$P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} – \frac{3}{10}$$ $$= \frac{6}{10} + \frac{6}{10} – \frac{3}{10} = \frac{9}{10}$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{9}{10} = 90\%$.

VI. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức cộng cơ bản

B. Công thức liên quan

C. Mẹo “ít nhất 1”

Công thức vàng cho bài toán “ít nhất 1”:

$$\boxed{P(\text{ít nhất 1}) = 1 – P(\text{không có cái nào})}$$

Ví dụ: Ít nhất 1 trong A, B xảy ra (khi A, B độc lập): $$P(A \cup B) = 1 – P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 – P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$$

Khi nào dùng: Bài toán có từ “ít nhất”, “có ít nhất một”, “tối thiểu một”.

VII. DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Áp dụng công thức cộng trực tiếp

Đề bài: Trong một lớp học có 40 học sinh, trong đó 25 học sinh giỏi Toán, 20 học sinh giỏi Lý, và 12 học sinh giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp, tính xác suất học sinh đó giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Lý?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các xác suất

• $P(\text{Toán}) = \frac{25}{40}$
• $P(\text{Lý}) = \frac{20}{40}$
• $P(\text{Toán} \cap \text{Lý}) = \frac{12}{40}$

Bước 2: Áp dụng công thức cộng $$P(T \cup L) = P(T) + P(L) – P(T \cap L)$$ $$= \frac{25}{40} + \frac{20}{40} – \frac{12}{40}$$ $$= \frac{33}{40} = 0.825 = 82.5\%$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{33}{40}$ hay 82.5%.

Dạng 2: Biến cố xung khắc

Đề bài: Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để được mặt 2, 3, 4 hoặc 5?

Lời giải:

Phân tích: Các biến cố “được 2”, “được 3”, “được 4”, “được 5” xung khắc từng đôi.

Áp dụng công thức: $$P = P(2) + P(3) + P(4) + P(5)$$ $$= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{2}{3} \approx 66.7\%$.

Dạng 3: Biến cố độc lập – “Ít nhất 1”

Đề bài: Hai máy móc hoạt động độc lập với nhau. Xác suất máy A bị hỏng là 0.1, máy B bị hỏng là 0.2. Tính xác suất để có ít nhất 1 máy hoạt động bình thường?

Lời giải:

Phân tích:

• P(A hỏng) = 0.1 → P(A hoạt động) = 0.9
• P(B hỏng) = 0.2 → P(B hoạt động) = 0.8

Cách giải (dùng biến cố đối):

Xác suất cả hai máy đều hỏng: $$P(\text{cả 2 hỏng}) = 0.1 \times 0.2 = 0.02$$

Xác suất ít nhất 1 máy hoạt động: $$P(\text{ít nhất 1 hoạt động}) = 1 – 0.02 = 0.98$$

Kết luận: Xác suất là 0.98 hay 98%.

Dạng 4: Kết hợp công thức cộng và nhân

Đề bài: Một xạ thủ bắn 3 viên đạn vào bia, các lần bắn độc lập với nhau. Xác suất trúng đích mỗi viên là 0.6. Tính xác suất để trúng ít nhất 1 viên?

Lời giải:

Dùng biến cố đối:

Xác suất mỗi viên trượt: $1 – 0.6 = 0.4$

Xác suất cả 3 viên đều trượt: $$P(\text{cả 3 trượt}) = 0.4^3 = 0.064$$

Xác suất trúng ít nhất 1 viên: $$P(\text{ít nhất 1 trúng}) = 1 – 0.064 = 0.936$$

Kết luận: Xác suất là 0.936 hay 93.6%.

Dạng 5: Bài toán thực tế

Đề bài: Một sinh viên thi 2 môn học. Xác suất đậu môn Toán là 0.8, xác suất đậu môn Lý là 0.7, xác suất đậu cả hai môn là 0.6. Tính xác suất để sinh viên đó:

a) Đậu ít nhất một trong hai môn? b) Trượt cả hai môn?

Lời giải:

Câu a) Đậu ít nhất 1 môn:

Áp dụng công thức cộng: $$P(T \cup L) = P(T) + P(L) – P(T \cap L)$$ $$= 0.8 + 0.7 – 0.6 = 0.9$$

Câu b) Trượt cả 2 môn:

Dùng biến cố đối của câu a): $$P(\text{trượt cả 2}) = P(\overline{T \cup L}) = 1 – P(T \cup L)$$ $$= 1 – 0.9 = 0.1$$

Kết luận:

• a) Xác suất đậu ít nhất 1 môn: 0.9 hay 90%
• b) Xác suất trượt cả 2 môn: 0.1 hay 10%

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhận biết dạng bài

Nhận biết 1: Có từ “HOẶC”

→ Dùng công thức cộng xác suất

Ví dụ: Giỏi Toán HOẶC giỏi Lý → $P(T \cup L)$

Nhận biết 2: Có từ “ÍT NHẤT 1”

→ Dùng biến cố đối

$$P(\text{ít nhất 1}) = 1 – P(\text{không có nào})$$

Ví dụ: Ít nhất 1 người trúng = 1 – P(cả hai trượt)

Nhận biết 3: “Cả hai cùng xảy ra”

→ Tính $P(A \cap B)$

Ví dụ: Cả hai đều trúng → $P(A \cap B)$

Nhận biết 4: Từ “XUNG KHẮC”

→ Dùng công thức đơn giản

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Ví dụ: Chẵn hoặc lẻ (xung khắc)

Nhận biết 5: Từ “ĐỘC LẬP”

→ Dùng công thức nhân

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Ví dụ: Tung 2 đồng xu (độc lập)

2. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Quên trừ phần giao

Sai: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ (áp dụng cho mọi trường hợp)

Đúng: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$ ✓

Lưu ý: Chỉ được bỏ qua $P(A \cap B)$ khi A, B xung khắc!

❌ Sai lầm 2: Nhầm lẫn xung khắc và độc lập

Nhớ rằng:

• Xung khắc: Không thể cùng xảy ra ($P(A \cap B) = 0$)
• Độc lập: Không ảnh hưởng lẫn nhau ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$)

Hai khái niệm này KHÁC NHAU hoàn toàn!

❌ Sai lầm 3: Quên kiểm tra điều kiện

Trước khi áp dụng công thức, hãy tự hỏi:

• A và B có xung khắc không?
• A và B có độc lập không?
• Đề bài cho đủ thông tin chưa?

3. Chiến lược giải nhanh

Bước 1: Đọc kỹ đề bài

• Xác định A là gì? B là gì?
• Đề hỏi tìm gì? P(A∪B)? P(A∩B)?

Bước 2: Kiểm tra tính chất

• A và B có xung khắc không? ($A \cap B = \emptyset$?)
• A và B có độc lập không? (Có ảnh hưởng lẫn nhau không?)

Bước 3: Chọn công thức phù hợp

• Xung khắc → $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Độc lập + “ít nhất 1” → Dùng biến cố đối
• Tổng quát → $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

Bước 4: Tính toán cẩn thận

• Thay số vào công thức
• Rút gọn kết quả
• Kiểm tra: $0 \le P \le 1$?

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về công thức cộng xác suất, một trong những công thức quan trọng nhất trong chương Xác suất lớp 11:

Công thức tổng quát (QUAN TRỌNG NHẤT): $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$

Công thức cho biến cố xung khắc: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad (A \cap B = \emptyset)$$

Công thức cho biến cố độc lập: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A) \cdot P(B)$$

Mẹo “ít nhất 1” (CỰC KỲ HỮU ÍCH): $$P(\text{ít nhất 1}) = 1 – P(\text{không có nào})$$

Công thức MẸ – Gốc của tất cả

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)}$$

Từ công thức này, suy ra tất cả các trường hợp đặc biệt:

• Nếu $A \cap B = \emptyset$ → Xung khắc
• Nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ → Độc lập

Các điểm cần nhớ

📌 Phân biệt rõ: Xung khắc ≠ Độc lập

• Xung khắc: Không thể cùng xảy ra
• Độc lập: Không ảnh hưởng lẫn nhau

📌 Với bài toán “ít nhất 1” → Dùng biến cố đối

• Cách này thường nhanh và đơn giản hơn nhiều

📌 Luôn kiểm tra điều kiện trước khi áp dụng công thức

• A, B có xung khắc không?
• A, B có độc lập không?

📌 Vẽ sơ đồ Venn khi cần

• Giúp hình dung rõ hơn các biến cố
• Tránh nhầm lẫn giữa hợp và giao

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa