I. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG THỨC BERNOULLI

1. Công thức Bernoulli là gì?

Định nghĩa: Công thức Bernoulli là công thức toán học dùng để tính xác suất trong một dãy các phép thử Bernoulli, trong đó mỗi phép thử chỉ có hai kết quả có thể: thành công hoặc thất bại.

Tên gọi: Công thức được đặt theo tên nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli (1654-1705), một trong những người tiên phong trong lý thuyết xác suất. Ông đã phát triển công thức này trong tác phẩm “Ars Conjectandi” xuất bản năm 1713.

Liên quan: Công thức Bernoulli là nền tảng của phân phối nhị thức (Binomial Distribution), một trong những phân phối xác suất quan trọng nhất trong thống kê.

2. Khi nào dùng công thức Bernoulli?

Công thức Bernoulli được áp dụng khi bài toán thỏa mãn ba điều kiện sau:

Điều kiện 1: Có n phép thử độc lập

• Các phép thử không ảnh hưởng lẫn nhau
• Kết quả của phép thử này không làm thay đổi xác suất của phép thử tiếp theo

Điều kiện 2: Mỗi phép thử chỉ có 2 kết quả

• Thành công (Success): Kết quả mà ta quan tâm
• Thất bại (Failure): Kết quả còn lại

Điều kiện 3: Xác suất thành công p không đổi

• Xác suất thành công $p$ giống nhau ở mọi lần thử
• Xác suất thất bại $q = 1 – p$ cũng không đổi

Ví dụ thực tế áp dụng công thức Bernoulli:

Ví dụ 1: Tung đồng xu

• Tung đồng xu 10 lần
• Mỗi lần: Sấp (thành công) hoặc Ngửa (thất bại)
• Xác suất sấp: $p = 0.5$ (không đổi)
• Các lần tung độc lập nhau ✓

Ví dụ 2: Bắn súng

• Bắn 5 viên đạn vào bia
• Mỗi viên: Trúng (thành công) hoặc Trượt (thất bại)
• Xác suất trúng: $p = 0.7$ (giả sử)
• Các lần bắn độc lập ✓

Ví dụ 3: Kiểm tra chất lượng

• Kiểm tra 20 sản phẩm (có hoàn lại)
• Mỗi sản phẩm: Đạt (thành công) hoặc Lỗi (thất bại)
• Xác suất đạt: $p = 0.95$
• Các lần kiểm tra độc lập ✓

Ví dụ 4: Điều trị y tế

• Chữa bệnh cho 15 bệnh nhân
• Mỗi ca: Khỏi (thành công) hoặc Không khỏi (thất bại)
• Xác suất khỏi: $p = 0.8$
• Các ca độc lập ✓

II. PHÉP THỬ BERNOULLI VÀ DÃY PHÉP THỬ

1. Phép thử Bernoulli (Bernoulli Trial)

Định nghĩa: Phép thử Bernoulli là một phép thử ngẫu nhiên chỉ có hai kết quả có thể xảy ra:

• Thành công (Success) – ký hiệu S: Có xác suất $p$
• Thất bại (Failure) – ký hiệu F: Có xác suất $q = 1 – p$

Các ký hiệu quan trọng:

Tính chất quan trọng: $$p + q = 1 \quad \text{hoặc} \quad q = 1 – p$$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tung đồng xu

• S = “Mặt sấp” với $p = 0.5$
• F = “Mặt ngửa” với $q = 0.5$
• Kiểm tra: $p + q = 0.5 + 0.5 = 1$ ✓

Ví dụ 2: Bắn bia

• S = “Trúng đích” với $p = 0.7$
• F = “Trượt đích” với $q = 0.3$
• Kiểm tra: $p + q = 0.7 + 0.3 = 1$ ✓

Ví dụ 3: Kiểm tra sản phẩm

• S = “Sản phẩm đạt chuẩn” với $p = 0.95$
• F = “Sản phẩm lỗi” với $q = 0.05$
• Kiểm tra: $p + q = 0.95 + 0.05 = 1$ ✓

2. Dãy phép thử Bernoulli (Bernoulli Process)

Định nghĩa: Dãy phép thử Bernoulli là một chuỗi các phép thử Bernoulli thỏa mãn các điều kiện sau:

Điều kiện 1: Các phép thử độc lập

• Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến phép thử khác
• Thực hiện có hoàn lại hoặc từ nguồn vô hạn

Điều kiện 2: Xác suất p không đổi

• Xác suất thành công $p$ giống nhau ở mọi lần thử
• Xác suất thất bại $q = 1-p$ cũng không đổi

Điều kiện 3: Chỉ quan tâm số lần thành công

• Không quan tâm thứ tự các lần thành công
• Chỉ đếm tổng số lần thành công

Ký hiệu:

• $n$: Số phép thử trong dãy
• $X$: Biến ngẫu nhiên đếm số lần thành công
• $X$ có thể nhận các giá trị: $0, 1, 2, …, n$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tung đồng xu 10 lần

• $n = 10$ (số lần tung)
• $X$ = số lần ra mặt sấp
• $X$ có thể là: 0, 1, 2, …, 10
• $p = 0.5$ (xác suất sấp mỗi lần)

Ví dụ 2: Bắn 5 viên đạn

• $n = 5$ (số viên đạn)
• $X$ = số viên trúng bia
• $X$ có thể là: 0, 1, 2, 3, 4, 5
• $p = 0.7$ (xác suất trúng mỗi viên)

3. Điều kiện áp dụng công thức Bernoulli

✅ Áp dụng được khi:

1. Các phép thử độc lập nhau

• Kết quả lần này không ảnh hưởng lần sau
• Ví dụ: Tung đồng xu nhiều lần

2. Xác suất p không đổi qua các lần thử

• Mỗi lần có cùng xác suất thành công
• Ví dụ: Bắn súng với độ chính xác ổn định

3. Chỉ có đúng 2 kết quả mỗi lần

• Không có trường hợp thứ ba
• Ví dụ: Trúng/Trượt, Đúng/Sai, Đạt/Lỗi

❌ KHÔNG áp dụng khi:

1. Rút bài không hoàn lại

• Xác suất thay đổi sau mỗi lần rút
• Ví dụ: Rút 5 lá bài từ bộ 52 lá
• → Dùng phân phối siêu bội thay thế

2. Xác suất thay đổi theo lần thử

• Xác suất không ổn định
• Ví dụ: Xác suất bắn trúng giảm dần do mệt mỏi
• → Không dùng Bernoulli

3. Có nhiều hơn 2 kết quả

• Mỗi lần có 3+ khả năng
• Ví dụ: Gieo xúc xắc (6 mặt)
• → Dùng phân phối đa thức thay thế

Bảng so sánh:

III. CÔNG THỨC BERNOULLI CƠ BẢN

1. Công thức Bernoulli (Phân phối nhị thức)

Công thức tính xác suất có đúng k lần thành công trong n phép thử:

$$\boxed{P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}}$$

Các thành phần của công thức:

Công thức tổ hợp: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Ký hiệu phân phối: $X \sim B(n, p)$

Đọc là: “X tuân theo phân phối nhị thức với tham số n và p”

2. Giải thích công thức

Công thức Bernoulli có 3 phần, mỗi phần có ý nghĩa riêng:

Phần 1: $C_n^k$ – Số cách sắp xếp

Câu hỏi: Tại sao có $C_n^k$?

Trả lời: $C_n^k$ là số cách chọn k vị trí “thành công” từ n vị trí.

Ví dụ: Với $n=3, k=2$:

• Có $C_3^2 = 3$ cách để có 2 lần thành công:
  1. S-S-F (thành công lần 1 và 2)
  2. S-F-S (thành công lần 1 và 3)
  3. F-S-S (thành công lần 2 và 3)

Phần 2: $p^k$ – Xác suất k lần thành công

Câu hỏi: Tại sao có $p^k$?

Trả lời: Xác suất để có k lần thành công liên tiếp = nhân xác suất k lần.

Ví dụ: Với $k=3$, $p=0.7$:

• Xác suất 3 lần thành công: $p \times p \times p = p^3 = (0.7)^3 = 0.343$

Phần 3: $q^{n-k}$ – Xác suất (n-k) lần thất bại

Câu hỏi: Tại sao có $q^{n-k}$ hay $(1-p)^{n-k}$?

Trả lời: Nếu có k lần thành công trong n lần, thì có $(n-k)$ lần thất bại.

Ví dụ: Với $n=5$, $k=2$, $q=0.3$:

• Số lần thất bại: $n-k = 5-2 = 3$
• Xác suất 3 lần thất bại: $q^3 = (0.3)^3 = 0.027$

3. Ví dụ minh họa cơ bản

Ví dụ 1: Tung đồng xu

Đề bài: Tung đồng xu 5 lần. Tính xác suất được đúng 3 lần sấp?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các thông số

• $n = 5$ (tung 5 lần)
• $k = 3$ (đúng 3 lần sấp)
• $p = 0.5$ (xác suất sấp)
• $q = 1 – 0.5 = 0.5$ (xác suất ngửa)

Bước 2: Áp dụng công thức Bernoulli $$P(X = 3) = C_5^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2$$

Bước 3: Tính từng phần

• $C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$
• $(0.5)^3 = 0.125$
• $(0.5)^2 = 0.25$

Bước 4: Nhân các phần lại $$P(X = 3) = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125 = 31.25%$$

Kết luận: Xác suất tung được đúng 3 lần sấp là 31.25%

Ví dụ 2: Bắn súng

Đề bài: Bắn 4 viên đạn vào bia, xác suất trúng mỗi viên là 0.6. Tính xác suất trúng đúng 2 viên?

Lời giải:

Bước 1: Xác định thông số

• $n = 4$ (bắn 4 viên)
• $k = 2$ (trúng đúng 2 viên)
• $p = 0.6$ (xác suất trúng)
• $q = 1 – 0.6 = 0.4$ (xác suất trượt)

Bước 2: Công thức $$P(X = 2) = C_4^2 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^2$$

Bước 3: Tính toán

• $C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$
• $(0.6)^2 = 0.36$
• $(0.4)^2 = 0.16$

Bước 4: Kết quả $$P(X = 2) = 6 \times 0.36 \times 0.16 = 0.3456 = 34.56%$$

Kết luận: Xác suất trúng đúng 2 viên là 34.56%

4. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp 1: Không lần nào thành công ($k = 0$)

Công thức: $$P(X = 0) = C_n^0 \cdot p^0 \cdot q^n = 1 \cdot 1 \cdot q^n = (1-p)^n$$

Ví dụ: Bắn 3 viên với $p = 0.7$. Xác suất cả 3 trượt? $$P(X = 0) = (1-0.7)^3 = (0.3)^3 = 0.027 = 2.7%$$

Trường hợp 2: Tất cả đều thành công ($k = n$)

Công thức: $$P(X = n) = C_n^n \cdot p^n \cdot q^0 = 1 \cdot p^n \cdot 1 = p^n$$

Ví dụ: Bắn 3 viên với $p = 0.7$. Xác suất cả 3 trúng? $$P(X = 3) = (0.7)^3 = 0.343 = 34.3%$$

Trường hợp 3: Đúng 1 lần thành công ($k = 1$)

Công thức: $$P(X = 1) = C_n^1 \cdot p^1 \cdot q^{n-1} = n \cdot p \cdot (1-p)^{n-1}$$

Ví dụ: Tung đồng xu 4 lần. Xác suất đúng 1 lần sấp? $$P(X = 1) = 4 \times 0.5 \times (0.5)^3 = 4 \times 0.5 \times 0.125 = 0.25 = 25%$$

IV. CÔNG THỨC BERNOULLI MỞ RỘNG

1. Xác suất “ít nhất k lần”

Định nghĩa: “Ít nhất k lần” nghĩa là k lần trở lên (k, k+1, k+2, …, n).

Công thức tổng quát: $$\boxed{P(X \geq k) = P(X = k) + P(X = k+1) + … + P(X = n)}$$

$$= \sum_{i=k}^{n} C_n^i \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$$

Công thức dùng biến cố đối (thường nhanh hơn): $$\boxed{P(X \geq k) = 1 – P(X < k) = 1 – \sum_{i=0}^{k-1} C_n^i \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}}$$

Khi nào dùng biến cố đối?

• Khi $k$ gần $n$ (ví dụ: $k > \frac{n}{2}$)
• Khi tính $P(X < k)$ có ít số hạng hơn

Ví dụ: Bắn súng

Đề bài: Bắn 5 viên đạn, xác suất trúng mỗi viên là 0.7. Tính xác suất trúng ít nhất 3 viên?

Lời giải:

Cách 1: Tính trực tiếp $$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$$

(Cần tính 3 số hạng)

Cách 2: Dùng biến cố đối (Nhanh hơn) $$P(X \geq 3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$$

Tính từng phần:

• $P(X=0) = (0.3)^5 = 0.00243$
• $P(X=1) = C_5^1 \cdot 0.7 \cdot (0.3)^4 = 5 \times 0.7 \times 0.0081 = 0.02835$
• $P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^3 = 10 \times 0.49 \times 0.027 = 0.1323$

Tổng: $$P(X < 3) = 0.00243 + 0.02835 + 0.1323 = 0.16308$$

Vậy: $$P(X \geq 3) = 1 – 0.16308 = 0.83692 \approx 83.7%$$

2. Xác suất “nhiều nhất k lần”

Định nghĩa: “Nhiều nhất k lần” nghĩa là từ 0 đến k lần (0, 1, 2, …, k).

Công thức: $$\boxed{P(X \leq k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k)}$$

$$= \sum_{i=0}^{k} C_n^i \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$$

Công thức dùng biến cố đối (khi k gần n): $$P(X \leq k) = 1 – P(X > k) = 1 – \sum_{i=k+1}^{n} C_n^i \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$$

Ví dụ:

Đề bài: Tung đồng xu 6 lần. Tính xác suất được nhiều nhất 2 lần sấp?

Lời giải: $$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$

Với $n=6$, $p=0.5$:

• $P(X=0) = (0.5)^6 = 0.015625$
• $P(X=1) = C_6^1 \cdot (0.5)^6 = 6 \times 0.015625 = 0.09375$
• $P(X=2) = C_6^2 \cdot (0.5)^6 = 15 \times 0.015625 = 0.234375$

$$P(X \leq 2) = 0.015625 + 0.09375 + 0.234375 = 0.34375 \approx 34.4%$$

3. Xác suất “từ k₁ đến k₂ lần”

Công thức: $$\boxed{P(k_1 \leq X \leq k_2) = \sum_{i=k_1}^{k_2} C_n^i \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}}$$

Ví dụ:

Đề bài: Bắn 10 viên, $p = 0.6$. Tính xác suất trúng từ 5 đến 7 viên?

Lời giải: $$P(5 \leq X \leq 7) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)$$

4. So sánh các dạng

Nguyên tắc vàng: Luôn chọn cách tính có ít số hạng hơn!

V. KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI

1. Kỳ vọng (Expected Value)

Định nghĩa: Kỳ vọng là số lần thành công trung bình trong n phép thử.

Công thức: $$\boxed{E(X) = n \cdot p}$$

Ý nghĩa: Nếu thực hiện n phép thử nhiều lần, trung bình sẽ có $np$ lần thành công.

Ví dụ:

Ví dụ 1: Tung đồng xu 100 lần

• $E(X) = 100 \times 0.5 = 50$ lần sấp

Ví dụ 2: Bắn 20 viên với $p = 0.7$

• $E(X) = 20 \times 0.7 = 14$ viên trúng

2. Phương sai (Variance)

Định nghĩa: Phương sai đo mức độ phân tán của số lần thành công quanh giá trị kỳ vọng.

Công thức: $$\boxed{Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = n \cdot p \cdot q}$$

Ý nghĩa: Phương sai càng lớn, kết quả càng phân tán (không ổn định).

Ví dụ:

Với $n=100$, $p=0.5$: $$Var(X) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$$

3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Công thức: $$\boxed{\sigma(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot q}}$$

Ý nghĩa: Độ lệch chuẩn cho biết kết quả thường dao động bao nhiêu so với kỳ vọng.

Ví dụ:

Với $n=100$, $p=0.5$: $$\sigma(X) = \sqrt{25} = 5$$

Giải thích: Kỳ vọng 50 lần sấp, thường dao động ±5 lần (từ 45 đến 55).

4. Bảng tóm tắt

Giải thích ví dụ: Trong 10 lần bắn:

• Trung bình trúng 7 lần
• Dao động ±1.45 lần
• Thường trúng từ 5-6 đến 8-9 lần

VI. BÀI TẬP MẪU VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Tính xác suất đúng k lần

Bài 1: Trắc nghiệm

Đề bài: Một học sinh làm trắc nghiệm 10 câu, mỗi câu có 4 đáp án. Học sinh chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất làm đúng 3 câu?

Lời giải:

Bước 1: Xác định thông số

• $n = 10$ (10 câu)
• $k = 3$ (đúng 3 câu)
• $p = \frac{1}{4} = 0.25$ (xác suất đúng mỗi câu)
• $q = \frac{3}{4} = 0.75$ (xác suất sai)

Bước 2: Công thức $$P(X = 3) = C_{10}^3 \cdot (0.25)^3 \cdot (0.75)^7$$

Bước 3: Tính toán

• $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!7!} = 120$
• $(0.25)^3 = 0.015625$
• $(0.75)^7 \approx 0.1335$

Bước 4: Kết quả $$P(X = 3) = 120 \times 0.015625 \times 0.1335 \approx 0.2503 \approx 25%$$

Bài 2: Sinh con

Đề bài: Xác suất sinh con trai là 0.51. Một gia đình có 4 con. Tính xác suất có đúng 2 con trai?

Lời giải:

• $n = 4$, $k = 2$, $p = 0.51$, $q = 0.49$

$$P(X = 2) = C_4^2 \cdot (0.51)^2 \cdot (0.49)^2$$ $$= 6 \times 0.2601 \times 0.2401$$ $$\approx 0.3747 \approx 37.5%$$

Dạng 2: Xác suất “ít nhất”

Bài 3: Bắn súng

Đề bài: Bắn 5 viên đạn, xác suất trúng mỗi viên là 0.8. Tính xác suất trúng ít nhất 3 viên?

Lời giải – Cách 2 (Biến cố đối – Nhanh hơn):

$$P(X \geq 3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$$

Tính từng phần:

• $P(X=0) = (0.2)^5 = 0.00032$
• $P(X=1) = C_5^1 \cdot 0.8 \cdot (0.2)^4 = 5 \times 0.8 \times 0.0016 = 0.0064$
• $P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^3 = 10 \times 0.64 \times 0.008 = 0.0512$

Tổng: $$P(X < 3) = 0.00032 + 0.0064 + 0.0512 = 0.05792$$

Kết quả: $$P(X \geq 3) = 1 – 0.05792 = 0.94208 \approx 94.2%$$

Bài 4: Kiểm tra chất lượng

Đề bài: Một máy sản xuất có tỷ lệ lỗi 5%. Kiểm tra 20 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất 1 sản phẩm lỗi?

Lời giải:

Mẹo: Dùng công thức nhanh cho “ít nhất 1” $$P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0)$$

• $n = 20$, $p = 0.05$ (lỗi)
• $P(X = 0) = (1-0.05)^{20} = (0.95)^{20} \approx 0.3585$
• $P(X \geq 1) = 1 – 0.3585 = 0.6415 \approx 64.15%$

Dạng 3: Xác suất “nhiều nhất”

Bài 5: Tung đồng xu

Đề bài: Tung đồng xu 8 lần. Tính xác suất được nhiều nhất 2 lần sấp?

Lời giải:

$$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$

Với $n=8$, $p=0.5$:

• $P(X=0) = (0.5)^8 = 0.00391$
• $P(X=1) = C_8^1 \cdot (0.5)^8 = 8 \times 0.00391 = 0.03125$
• $P(X=2) = C_8^2 \cdot (0.5)^8 = 28 \times 0.00391 = 0.10938$

$$P(X \leq 2) = 0.00391 + 0.03125 + 0.10938 = 0.14454 \approx 14.5%$$

Dạng 4: Kỳ vọng và phương sai

Bài 6:

Đề bài: Bắn 50 viên đạn, xác suất trúng mỗi viên là 0.7. Tính: a) Kỳ vọng số viên trúng b) Độ lệch chuẩn

Lời giải:

Câu a) Kỳ vọng: $$E(X) = n \cdot p = 50 \times 0.7 = 35 \text{ viên}$$

Câu b) Độ lệch chuẩn:

• $Var(X) = npq = 50 \times 0.7 \times 0.3 = 10.5$
• $\sigma(X) = \sqrt{10.5} \approx 3.24$ viên

Giải thích: Trung bình trúng 35 viên, dao động khoảng ±3.24 viên (từ 32 đến 38 viên thường gặp).

VII. SO SÁNH VỚI CÁC PHÂN PHỐI KHÁC

Bảng so sánh

Khi nào dùng phân phối nào?

Dùng Bernoulli khi:

• Rút có hoàn lại (hoặc tổng thể vô hạn)
• Tung đồng xu/xúc xắc nhiều lần
• Bắn nhiều viên độc lập
• Kiểm tra sản phẩm với tỷ lệ lỗi cố định

Dùng Siêu bội khi:

• Rút bài không hoàn lại
• Lấy mẫu từ tổng thể nhỏ
• Ví dụ: Rút 5 bi từ hộp 20 bi

Dùng Poisson khi:

• Đếm số sự kiện trong khoảng thời gian/không gian
• n rất lớn, p rất nhỏ
• Ví dụ: Số cuộc gọi trong 1 giờ, số tai nạn trong 1 tháng

Dùng Hình học khi:

• Đếm số lần thử đến khi thành công lần đầu
• Ví dụ: Tung đến khi ra mặt 6 lần đầu

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý QUAN TRỌNG

1. Nhận biết bài toán Bernoulli

✅ Dấu hiệu nhận biết:

1. Có từ khóa số lần:

• “n lần”, “n phép thử”, “lặp lại n lần”
• “Tung 10 lần”, “Bắn 5 viên”, “Kiểm tra 20 sản phẩm”

2. Chỉ có 2 kết quả:

• Đúng/Sai, Trúng/Trượt, Thành công/Thất bại
• Sấp/Ngửa, Đạt/Lỗi, Khỏi/Không khỏi

3. Độc lập và p không đổi:

• “Có hoàn lại”, “Xác suất không đổi”
• “Độc lập nhau”, “Không ảnh hưởng lẫn nhau”

2. Công thức tính nhanh

Mẹo 1: “Ít nhất 1”

$$\boxed{P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – (1-p)^n = 1 – q^n}$$

Ví dụ: Bắn 10 viên, $p=0.7$. Xác suất ít nhất 1 trúng? $$P(X \geq 1) = 1 – (0.3)^{10} \approx 0.9999 = 99.99%$$

Mẹo 2: “Tất cả thành công”

$$\boxed{P(X = n) = p^n}$$

Ví dụ: Tung đồng xu 5 lần, xác suất cả 5 lần sấp? $$P(X = 5) = (0.5)^5 = 0.03125 = 3.125%$$

Mẹo 3: “Không có nào thành công”

$$\boxed{P(X = 0) = (1-p)^n = q^n}$$

Ví dụ: Bắn 4 viên, $p=0.8$. Xác suất cả 4 trượt? $$P(X = 0) = (0.2)^4 = 0.0016 = 0.16%$$

3. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên tính $C_n^k$

Sai: $$P(X=2) = (0.7)^2 \cdot (0.3)^3$$

Đúng: $$P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^3$$

❌ SAI LẦM 2: Nhầm lẫn p và q

Sai: Xác suất trúng p=0.7, viết $(0.3)^k$ cho k lần trúng

Đúng: $(0.7)^k$ cho k lần trúng, $(0.3)^{n-k}$ cho n-k lần trượt

❌ SAI LẦM 3: Dùng Bernoulli khi không độc lập

Sai: Rút 5 lá bài không hoàn lại → Dùng Bernoulli

Đúng: Phải dùng phân phối siêu bội

4. Sử dụng máy tính

Máy tính Casio fx-580VN X / Vinacal 570ES Plus II:

Tính $C_n^k$ (tổ hợp):

1. Nhập n
2. Nhấn SHIFT → ÷ (phím nCr)
3. Nhập k
4. Nhấn =

Ví dụ: Tính $C_5^2$

• 5 → SHIFT → ÷ → 2 → =
• Kết quả: 10

Tính lũy thừa:

• $(0.7)^5$ = 0.7 → ^ → 5 → =

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ về Công thức Bernoulli:

Khái niệm cơ bản:

• Phép thử Bernoulli: 2 kết quả, xác suất p
• Dãy phép thử: n lần độc lập, p không đổi

Công thức chính: $$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Các dạng mở rộng:

• Đúng k lần: Công thức trực tiếp
• Ít nhất k lần: Dùng biến cố đối nếu nhanh hơn
• Nhiều nhất k lần: Cộng từ 0 đến k

Đại lượng quan trọng:

• Kỳ vọng: $E(X) = np$
• Phương sai: $Var(X) = npq$
• Độ lệch chuẩn: $\sigma(X) = \sqrt{npq}$

Ứng dụng thực tế:

• Kiểm soát chất lượng sản phẩm
• Dự đoán kết quả y tế
• Phân tích thống kê trong nghiên cứu
• Mô hình hóa trong khoa học tự nhiên

Xem thêm:

• [Công thức xác suất đầy đủ – Từ cơ bản đến nâng cao]
• [Phân phối nhị thức – Bài tập có lời giải]
• [Tổ hợp và xác suất – Chuyên đề ôn thi]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa