I. GIỚI THIỆU VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. Dao động điều hòa là gì?

Định nghĩa: Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật biến thiên theo thời gian theo quy luật hàm sin (hoặc cosin).

Phương trình dao động:

$$\boxed{x = A\cos(\omega t + \varphi)}$$

Hoặc:

$$x = A\sin(\omega t + \varphi)$$

Trong đó:

• $x$: Li độ (độ lệch so với vị trí cân bằng) tại thời điểm $t$ (m, cm)
• $A$: Biên độ dao động (m, cm)
• $\omega$: Tần số góc (rad/s)
• $t$: Thời gian (s)
• $\varphi$: Pha ban đầu (rad)

Đặc điểm của dao động điều hòa:

• Chu kỳ và biên độ không đổi theo thời gian
• Lực kéo về tỉ lệ thuận với li độ và luôn hướng về vị trí cân bằng: $F = -kx$
• Dao động quanh một vị trí cân bằng cố định
• Vận tốc biến thiên điều hòa cùng tần số với li độ

2. Các đại lượng cơ bản

Quan hệ giữa các đại lượng:

• $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$
• $T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}$
• $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$

3. Quỹ đạo dao động là gì?

Định nghĩa: Quỹ đạo dao động là đoạn thẳng mà vật chuyển động qua lại trong quá trình dao động điều hòa.

Đặc điểm quan trọng:

• Quỹ đạo có dạng đoạn thẳng (không phải đường tròn, không phải đường cong)
• Vật dao động qua lại trên đoạn thẳng này
• Hai đầu đoạn thẳng là hai vị trí biên: biên âm $(-A)$ và biên dương $(+A)$
• Điểm giữa đoạn thẳng là vị trí cân bằng (VTCB)

Mô tả trực quan:

     Biên âm        VTCB        Biên dương
        -A            0              +A
        ●-------------●-------------●
        ←-------------------------→
              Quỹ đạo dao động

Lưu ý quan trọng:

• Quỹ đạo dao động điều hòa khác với quỹ đạo tròn trong chuyển động tròn đều
• Trong dao động điều hòa: quỹ đạo là đoạn thẳng
• Chiều dài quỹ đạo là khoảng cách từ biên âm đến biên dương

II. CÔNG THỨC CHIỀU DÀI QUỸ ĐẠO

1. Công thức cơ bản – Quỹ đạo toàn phần

📌 CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT:

$$\boxed{L = 2A}$$

Trong đó:

• $L$: Chiều dài quỹ đạo (m, cm)
• $A$: Biên độ dao động (m, cm)

Giải thích chi tiết:

Vật dao động từ:

• Vị trí biên âm: $x_{min} = -A$
• Vị trí biên dương: $x_{max} = +A$

Chiều dài quỹ đạo là khoảng cách giữa hai biên: $$L = x_{max} – x_{min} = A – (-A) = 2A$$

Ý nghĩa:

• Quỹ đạo dao động dài gấp đôi biên độ
• Đây là chiều dài cố định, không thay đổi trong suốt quá trình dao động

Ví dụ 1: Con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ $A = 5$ cm. Tính chiều dài quỹ đạo.

Lời giải: $$L = 2A = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}$$

Kết luận: Chiều dài quỹ đạo là 10 cm.

Ví dụ 2: Con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ, li độ cực đại là 3 cm. Tính chiều dài quỹ đạo.

Lời giải:

Biên độ dao động: $A = 3$ cm

Chiều dài quỹ đạo: $$L = 2A = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}$$

Kết luận: Chiều dài quỹ đạo là 6 cm.

2. Quỹ đạo giữa hai vị trí bất kỳ

Trường hợp tổng quát:

Nếu vật dao động giữa hai vị trí có li độ $x_1$ và $x_2$ (với $x_1 < x_2$), chiều dài đoạn quỹ đạo này là:

$$\boxed{L = x_2 – x_1}$$

Các trường hợp đặc biệt quan trọng:

a) Dao động từ vị trí cân bằng (x = 0) đến biên dương (x = A):

$$L = A – 0 = A$$

Giải thích: Vật đi từ VTCB đến biên, quãng đường bằng biên độ.

b) Dao động từ biên âm (x = -A) đến vị trí cân bằng (x = 0):

$$L = 0 – (-A) = A$$

Giải thích: Vật đi từ biên âm về VTCB, quãng đường cũng bằng biên độ.

c) Dao động từ biên âm (x = -A) đến biên dương (x = A):

$$L = A – (-A) = 2A$$

Giải thích: Đây chính là quỹ đạo toàn phần.

d) Dao động giữa hai vị trí đối xứng qua VTCB:

Nếu $x_1 = -a$ và $x_2 = +a$ (với $0 < a \leq A$):

$$L = a – (-a) = 2a$$

Ví dụ 3: Vật dao động điều hòa từ vị trí $x_1 = -2$ cm đến vị trí $x_2 = 6$ cm. Tính chiều dài đoạn quỹ đạo này.

Lời giải: $$L = x_2 – x_1 = 6 – (-2) = 8 \text{ cm}$$

Kết luận: Chiều dài đoạn quỹ đạo là 8 cm.

3. Minh họa hình vẽ và sơ đồ

Sơ đồ quỹ đạo dao động:

          -A         -A/2          0          A/2          A
    Biên âm                      VTCB                  Biên dương
          ●-----------●-----------●-----------●-----------●
          |<---------  Quỹ đạo một phía  -------->|
          |                    A                         |
          |<---------------  Quỹ đạo toàn phần  ------->|
          |                   L = 2A                     |

Các đoạn quỹ đạo đặc biệt:

• Từ biên đến VTCB: $L = A$
• Từ VTCB đến biên: $L = A$
• Từ biên này đến biên kia: $L = 2A$
• Từ $-\frac{A}{2}$ đến $+\frac{A}{2}$: $L = A$

Đồ thị li độ – thời gian:

   x
   ↑
   A  ●─────●─────●
   |   ╲   ╱   ╲   ╱
   0  ──●───●───●── → t
   |   ╱   ╲   ╱   ╲
  -A  ●─────●─────●

      ←─ T/4 ─→
      ←──── T ────→

Trong một chu kỳ T, vật đi qua quỹ đạo 2 lần (đi và về).

4. Phân biệt quỹ đạo và quãng đường

Đây là điểm quan trọng mà nhiều học sinh hay nhầm lẫn!

Giải thích chi tiết:

Quỹ đạo (L):

• Là độ dài đoạn thẳng mà vật dao động trên đó
• Giá trị cố định, không thay đổi
• $L = 2A$ cho quỹ đạo toàn phần

Quãng đường (s):

• Là tổng độ dài mà vật đã di chuyển được
• Tăng theo thời gian
• Trong 1 chu kỳ T: vật đi từ biên này → biên kia → biên này (qua lại 2 lần quỹ đạo)
• Do đó: $s_T = 2 \times 2A = 4A$

Ví dụ 4: Vật dao động với biên độ $A = 10$ cm.

a) Chiều dài quỹ đạo là bao nhiêu? b) Quãng đường vật đi được trong 1 chu kỳ là bao nhiêu? c) Quãng đường vật đi được trong 2.5 chu kỳ là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Chiều dài quỹ đạo (cố định): $$L = 2A = 2 \times 10 = 20 \text{ cm}$$

b) Quãng đường trong 1 chu kỳ: $$s_T = 4A = 4 \times 10 = 40 \text{ cm}$$

c) Quãng đường trong 2.5 chu kỳ: $$s = 2.5 \times 4A = 2.5 \times 40 = 100 \text{ cm}$$

Kết luận:

• Quỹ đạo: 20 cm (không đổi)
• Quãng đường 1T: 40 cm
• Quãng đường 2.5T: 100 cm

III. ỨNG DỤNG VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1. Tính chiều dài quỹ đạo khi biết biên độ

Dạng bài: Cho biên độ $A$, tính chiều dài quỹ đạo $L$.

Công thức: $L = 2A$

Bài tập 1: Con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ $A = 4$ cm. Tính chiều dài quỹ đạo.

Lời giải: $$L = 2A = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}$$

Đáp án: Chiều dài quỹ đạo là 8 cm.

Bài tập 2: Vật dao động điều hòa, biên độ $A = 12$ cm. Xác định: a) Chiều dài quỹ đạo b) Khoảng cách từ biên âm đến vị trí cân bằng

Lời giải:

a) Chiều dài quỹ đạo: $$L = 2A = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}$$

b) Khoảng cách từ biên âm $(-A)$ đến VTCB $(0)$: $$d = 0 – (-A) = A = 12 \text{ cm}$$

Đáp án: a) 24 cm; b) 12 cm.

2. Tính biên độ khi biết chiều dài quỹ đạo

Dạng bài: Cho chiều dài quỹ đạo $L$, tính biên độ $A$.

Công thức: $$\boxed{A = \frac{L}{2}}$$

Bài tập 3: Vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 12 cm. Tính biên độ dao động.

Lời giải: $$A = \frac{L}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$$

Đáp án: Biên độ là 6 cm.

Bài tập 4: Một vật dao động điều hòa, khoảng cách giữa hai vị trí biên là 18 cm. Tính: a) Chiều dài quỹ đạo b) Biên độ dao động

Lời giải:

a) Khoảng cách giữa hai biên chính là chiều dài quỹ đạo: $$L = 18 \text{ cm}$$

b) Biên độ: $$A = \frac{L}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm}$$

Đáp án: a) 18 cm; b) 9 cm.

3. Liên hệ với vận tốc cực đại

Công thức vận tốc cực đại:

$$\boxed{v_{max} = \omega A}$$

Từ đó suy ra biên độ:

$$A = \frac{v_{max}}{\omega}$$

Chiều dài quỹ đạo:

$$\boxed{L = 2A = \frac{2v_{max}}{\omega}}$$

Bài tập 5: Vật dao động điều hòa với vận tốc cực đại $v_{max} = 20$ cm/s và tần số góc $\omega = 4$ rad/s. Tính chiều dài quỹ đạo.

Lời giải:

Bước 1: Tính biên độ $$A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{20}{4} = 5 \text{ cm}$$

Bước 2: Tính chiều dài quỹ đạo $$L = 2A = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}$$

Đáp án: Chiều dài quỹ đạo là 10 cm.

Bài tập 6: Con lắc lò xo dao động với chu kỳ $T = 2$ s, vận tốc cực đại $v_{max} = 31.4$ cm/s. Tính chiều dài quỹ đạo. Cho $\pi = 3.14$.

Lời giải:

Bước 1: Tính tần số góc $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2 \times 3.14}{2} = 3.14 \text{ rad/s}$$

Bước 2: Tính biên độ $$A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{31.4}{3.14} = 10 \text{ cm}$$

Bước 3: Tính chiều dài quỹ đạo $$L = 2A = 2 \times 10 = 20 \text{ cm}$$

Đáp án: Chiều dài quỹ đạo là 20 cm.

4. Quãng đường trong các khoảng thời gian

Công thức quãng đường theo thời gian:

Lưu ý: Công thức $s = A$ trong T/4 chỉ đúng khi xuất phát từ VTCB hoặc từ biên.

Bài tập 7: Vật dao động điều hòa với biên độ $A = 5$ cm, tần số $f = 2$ Hz. Tính quãng đường vật đi được trong 3 chu kỳ.

Lời giải:

Quãng đường trong n chu kỳ: $$s = 4nA = 4 \times 3 \times 5 = 60 \text{ cm}$$

Đáp án: Quãng đường là 60 cm.

Bài tập 8: Con lắc dao động với biên độ 8 cm. Tính quãng đường vật đi được trong: a) 1 chu kỳ b) 2.5 chu kỳ c) Nửa chu kỳ

Lời giải:

a) Trong 1 chu kỳ: $$s_1 = 4A = 4 \times 8 = 32 \text{ cm}$$

b) Trong 2.5 chu kỳ: $$s_{2.5} = 4 \times 2.5 \times A = 10 \times 8 = 80 \text{ cm}$$

c) Trong nửa chu kỳ (T/2): $$s_{T/2} = 2A = 2 \times 8 = 16 \text{ cm}$$

Đáp án: a) 32 cm; b) 80 cm; c) 16 cm.

5. Bài toán con lắc lò xo

Công thức đặc biệt cho con lắc lò xo:

Khi lò xo dao động, chiều dài lò xo biến thiên giữa:

• Chiều dài cực đại: $l_{max}$ (lò xo giãn nhiều nhất)
• Chiều dài cực tiểu: $l_{min}$ (lò xo nén nhiều nhất hoặc giãn ít nhất)

Chiều dài quỹ đạo:

$$\boxed{L = l_{max} – l_{min} = 2A}$$

Hoặc dùng độ biến dạng:

$$L = \Delta l_{max} + |\Delta l_{min}|$$

Trong đó:

• $\Delta l_{max}$: Độ giãn cực đại
• $\Delta l_{min}$: Độ nén cực đại (hoặc độ giãn cực tiểu)

Bài tập 9: Lò xo có chiều dài tự nhiên $l_0 = 20$ cm. Khi dao động, chiều dài lò xo biến thiên từ 15 cm đến 25 cm. Tính: a) Chiều dài quỹ đạo b) Biên độ dao động

Lời giải:

a) Chiều dài quỹ đạo: $$L = l_{max} – l_{min} = 25 – 15 = 10 \text{ cm}$$

b) Biên độ dao động: $$A = \frac{L}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$$

Đáp án: a) 10 cm; b) 5 cm.

Bài tập 10: Con lắc lò xo treo thẳng đứng. Khi vật ở VTCB, lò xo giãn 4 cm. Biết biên độ dao động $A = 3$ cm. Tính chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo. Cho chiều dài tự nhiên $l_0 = 30$ cm.

Lời giải:

Bước 1: Chiều dài tại VTCB $$l_{cb} = l_0 + \Delta l_0 = 30 + 4 = 34 \text{ cm}$$

Bước 2: Chiều dài cực đại (lò xo giãn nhiều nhất) $$l_{max} = l_{cb} + A = 34 + 3 = 37 \text{ cm}$$

Bước 3: Chiều dài cực tiểu (lò xo giãn ít nhất) $$l_{min} = l_{cb} – A = 34 – 3 = 31 \text{ cm}$$

Kiểm tra: $L = l_{max} – l_{min} = 37 – 31 = 6 = 2A$ ✓

Đáp án: $l_{max} = 37$ cm, $l_{min} = 31$ cm.

IV. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức chiều dài quỹ đạo

B. Liên hệ với các đại lượng khác

C. Quãng đường theo thời gian

D. So sánh quỹ đạo và quãng đường

V. PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM

1. Quỹ đạo vs Quãng đường

QUỸĐẠO (L):

Định nghĩa: Độ dài đoạn thẳng mà vật dao động trên đó

Đặc điểm:

• Cố định, không thay đổi theo thời gian
• $L = 2A$ (quỹ đạo toàn phần)

Đơn vị: m, cm, mm

Ví dụ: Vật dao động với $A = 5$ cm → Quỹ đạo luôn là 10 cm

QUÃNG ĐƯỜNG (s):

Định nghĩa: Tổng chiều dài đường mà vật đã đi được

Đặc điểm:

• Tăng dần theo thời gian
• Phụ thuộc vào thời gian dao động
• Trong 1 chu kỳ: $s = 4A = 2L$

Đơn vị: m, cm, mm

Ví dụ: Vật dao động với $A = 5$ cm:

• Sau 1T: $s = 20$ cm
• Sau 2T: $s = 40$ cm
• Sau 3T: $s = 60$ cm

2. Biên độ vs Chiều dài quỹ đạo

BIÊN ĐỘ (A):

Định nghĩa: Li độ cực đại (giá trị lớn nhất của $|x|$)

Ý nghĩa: Khoảng cách từ VTCB đến biên

Công thức: $A = \frac{L}{2}$

Ví dụ: Quỹ đạo 12 cm → Biên độ $A = 6$ cm

CHIỀU DÀI QUỸ ĐẠO (L):

Định nghĩa: Khoảng cách từ biên âm đến biên dương

Ý nghĩa: Độ dài toàn bộ đoạn thẳng dao động

Công thức: $L = 2A$

Ví dụ: Biên độ 6 cm → Quỹ đạo $L = 12$ cm

3. Li độ vs Tọa độ

LI ĐỘ (x):

Định nghĩa: Độ lệch của vật so với vị trí cân bằng

Giá trị: $-A \leq x \leq A$

Dấu:

• Dương: Vật ở phía dương của VTCB
• Âm: Vật ở phía âm của VTCB
• Bằng 0: Vật ở VTCB

TỌA ĐỘ:

Định nghĩa: Vị trí tuyệt đối của vật trong hệ quy chiếu

Đặc điểm: Phụ thuộc vào gốc tọa độ được chọn

VI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

CÔNG THỨC SIÊU ĐƠN GIẢN:

$$\boxed{L = 2A}$$

Cách nhớ: “Quỹ đạo gấp đôi biên độ” hoặc “Hai lần biên độ”

QUÃNG ĐƯỜNG TRONG 1 CHU KỲ:

$$s_T = 4A = 2L$$

Cách nhớ: “Bốn lần biên độ” hoặc “Hai lần quỹ đạo”

BIÊN ĐỘ TỪ QUỸ ĐẠO:

$$A = \frac{L}{2}$$

Cách nhớ: “Biên độ bằng nửa quỹ đạo”

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm quỹ đạo với quãng đường

Sai: Nghĩ quỹ đạo cũng tăng theo thời gian như quãng đường

Đúng:

• Quỹ đạo cố định = $2A$
• Quãng đường tăng theo thời gian

❌ SAI LẦM 2: Nghĩ quỹ đạo = A (thiếu số 2)

Sai: $L = A$

Đúng: $L = 2A$ ✓

❌ SAI LẦM 3: Quên đơn vị

Sai: Tính ra kết quả nhưng không ghi đơn vị

Đúng: Luôn ghi rõ cm, m, mm… ✓

❌ SAI LẦM 4: Nhầm quỹ đạo dao động là đường tròn

Sai: Nghĩ quỹ đạo dao động điều hòa là đường tròn

Đúng: Quỹ đạo dao động điều hòa là đoạn thẳng ✓

(Chuyển động tròn đều mới có quỹ đạo tròn)

3. Kiểm tra nhanh

Kiểm tra 1: Quỹ đạo luôn cố định = $2A$

Kiểm tra 2: Quãng đường trong 1 chu kỳ = $4A$ = $2L$

Kiểm tra 3: Nếu $L = 10$ cm → $A = 5$ cm

Kiểm tra 4: Nếu $A = 8$ cm → $L = 16$ cm, $s_T = 32$ cm

VII. BÀI TẬP MẪU

Bài tập 1: Tính cơ bản

Đề bài: Con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ $A = 8$ cm. Tính: a) Chiều dài quỹ đạo b) Quãng đường vật đi được trong 1 chu kỳ c) Quãng đường vật đi được trong 2.5 chu kỳ

Lời giải:

a) Chiều dài quỹ đạo: $$L = 2A = 2 \times 8 = 16 \text{ cm}$$

b) Quãng đường trong 1 chu kỳ: $$s_1 = 4A = 4 \times 8 = 32 \text{ cm}$$

c) Quãng đường trong 2.5 chu kỳ: $$s_{2.5} = 2.5 \times 4A = 10 \times 8 = 80 \text{ cm}$$

Đáp án: a) 16 cm; b) 32 cm; c) 80 cm.

Bài tập 2: Tìm biên độ

Đề bài: Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 14 cm. Tính biên độ dao động.

Lời giải:

Chiều dài quỹ đạo: $L = 14$ cm

Biên độ: $$A = \frac{L}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm}$$

Đáp án: Biên độ là 7 cm.

Bài tập 3: Con lắc lò xo

Đề bài: Một lò xo dao động điều hòa. Chiều dài lò xo biến thiên từ 18 cm đến 26 cm. Tính: a) Chiều dài quỹ đạo b) Biên độ dao động c) Chiều dài lò xo tại VTCB

Lời giải:

a) Chiều dài quỹ đạo: $$L = l_{max} – l_{min} = 26 – 18 = 8 \text{ cm}$$

b) Biên độ dao động: $$A = \frac{L}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$$

c) Chiều dài tại VTCB: $$l_{cb} = \frac{l_{max} + l_{min}}{2} = \frac{26 + 18}{2} = 22 \text{ cm}$$

Đáp án: a) 8 cm; b) 4 cm; c) 22 cm.

Bài tập 4: Liên hệ với vận tốc

Đề bài: Vật dao động điều hòa với vận tốc cực đại $v_{max} = 30$ cm/s và chu kỳ $T = 2$ s. Tính chiều dài quỹ đạo. Cho $\pi = 3.14$.

Lời giải:

Bước 1: Tính tần số góc $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2 \times 3.14}{2} = 3.14 \text{ rad/s}$$

Bước 2: Tính biên độ $$A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{30}{3.14} \approx 9.55 \text{ cm}$$

Bước 3: Tính chiều dài quỹ đạo $$L = 2A \approx 2 \times 9.55 = 19.1 \text{ cm}$$

Đáp án: Chiều dài quỹ đạo xấp xỉ 19.1 cm.

Bài tập 5: Quãng đường

Đề bài: Vật dao động điều hòa với biên độ 5 cm, tần số 4 Hz. Tính quãng đường vật đi được trong 2.5 chu kỳ.

Lời giải:

Quãng đường trong n chu kỳ: $$s = 4nA = 4 \times 2.5 \times 5 = 50 \text{ cm}$$

Đáp án: Quãng đường là 50 cm.

Bài tập 6: Từ li độ

Đề bài: Vật dao động điều hòa từ vị trí $x_1 = -3$ cm đến vị trí $x_2 = 7$ cm. a) Tính chiều dài đoạn quỹ đạo này b) Nếu đây là quỹ đạo toàn phần, tính biên độ dao động

Lời giải:

a) Chiều dài đoạn quỹ đạo: $$L = x_2 – x_1 = 7 – (-3) = 10 \text{ cm}$$

b) Nếu là quỹ đạo toàn phần: $$A = \frac{L}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$$

Đáp án: a) 10 cm; b) 5 cm.

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về chiều dài quỹ đạo dao động điều hòa:

Quỹ đạo dao động: Đoạn thẳng mà vật dao động qua lại

Công thức chiều dài quỹ đạo: $L = 2A$

Phân biệt rõ: Quỹ đạo (cố định) ≠ Quãng đường (tăng theo thời gian)

Các trường hợp đặc biệt: Từ VTCB đến biên, giữa hai vị trí bất kỳ

Ứng dụng: Con lắc lò xo, tính biên độ, quãng đường

6 bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Mối liên hệ các công thức

• Quỹ đạo: $L = 2A$
• Biên độ: $A = \frac{L}{2}$
• Quãng đường 1T: $s_T = 4A = 2L$
• Con lắc lò xo: $L = l_{max} – l_{min}$

Cô Trần Thị Bình

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Lý – Hóa – Sinh tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Hoá Học, Bằng Thạc sĩ, Chức danh nghề nghiệp Giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Gia Định