I. GIỚI THIỆU VỀ CƠ NĂNG

1. Cơ năng là gì?

Định nghĩa: Cơ năng của một vật là tổng động năng và thế năng của vật đó. Cơ năng đặc trưng cho khả năng sinh công của vật do chuyển động và vị trí của nó.

Ký hiệu:

• $W$ (trong chương trình phổ thông Việt Nam)
• $E$ hoặc $ME$ (Mechanical Energy – trong tài liệu quốc tế)

Đơn vị: Joule (J) = N·m = kg·m²/s²

Công thức tổng quát:

$$\boxed{W = W_đ + W_t}$$

Trong đó:

• $W$: Cơ năng (J)
• $W_đ$: Động năng (J)
• $W_t$: Thế năng (J)

Ý nghĩa: Cơ năng cho biết tổng năng lượng cơ học mà vật sở hữu, bao gồm cả năng lượng do chuyển động (động năng) và năng lượng do vị trí (thế năng).

2. Các dạng năng lượng cấu thành cơ năng

3. Phân biệt nội dung lớp 10 và lớp 12

Lưu ý: Bài viết này trình bày cả hai mức độ, giúp học sinh có cái nhìn tổng thể và liên tục về cơ năng.

II. ĐỘNG NĂNG

1. Định nghĩa động năng

Động năng là dạng năng lượng mà vật có được do chuyển động. Mọi vật đang chuyển động đều có động năng.

Đặc điểm:

• Động năng phụ thuộc vào khối lượng và vận tốc
• Động năng càng lớn, vật càng có khả năng sinh công lớn
• Vật đứng yên có động năng bằng 0

2. Công thức động năng

$$\boxed{W_đ = \frac{1}{2}mv^2}$$

Trong đó:

• $W_đ$: Động năng (đơn vị: Jun – J)
• $m$: Khối lượng vật (đơn vị: kilogram – kg)
• $v$: Vận tốc vật (đơn vị: mét/giây – m/s)

Ví dụ 1: Một vật có khối lượng $m = 2$ kg chuyển động với vận tốc $v = 10$ m/s. Tính động năng.

Lời giải: $$W_đ = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^2 = 1 \times 100 = 100 \text{ J}$$

Kết luận: Động năng của vật là 100 J.

3. Định lý động năng

Phát biểu: Độ biến thiên động năng của vật bằng công của các ngoại lực tác dụng lên vật.

$$\boxed{\Delta W_đ = W_{đ2} – W_{đ1} = A}$$

Dạng khai triển:

$$\boxed{\frac{1}{2}mv_2^2 – \frac{1}{2}mv_1^2 = A}$$

Ý nghĩa: Công của lực làm thay đổi động năng của vật. Nếu công dương, động năng tăng; nếu công âm, động năng giảm.

Ví dụ 2: Một lực $F = 20$ N kéo vật có khối lượng $m = 5$ kg từ trạng thái đứng yên đi được quãng đường $s = 10$ m theo phương ngang. Tính vận tốc cuối của vật.

Lời giải:

Bước 1: Tính công của lực $$A = F \cdot s = 20 \times 10 = 200 \text{ J}$$

Bước 2: Áp dụng định lý động năng

Vật xuất phát từ trạng thái đứng yên: $v_1 = 0$ $$\frac{1}{2}mv_2^2 – 0 = A$$ $$\frac{1}{2} \times 5 \times v_2^2 = 200$$ $$v_2^2 = 80$$ $$v_2 = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94 \text{ m/s}$$

Kết luận: Vận tốc cuối của vật là khoảng 8.94 m/s.

4. Tính chất động năng

Luôn không âm: $W_đ \geq 0$ (vì $v^2 \geq 0$)

Bằng 0 khi đứng yên: Khi $v = 0$ thì $W_đ = 0$

Là đại lượng vô hướng: Động năng không có chiều, chỉ có độ lớn

Tỉ lệ với bình phương vận tốc: Vận tốc tăng gấp đôi → động năng tăng gấp 4 lần

Phụ thuộc hệ quy chiếu: Cùng một vật có thể có động năng khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau

III. THẾ NĂNG

1. Thế năng trọng trường (Lớp 10)

Định nghĩa:

Thế năng trọng trường là dạng năng lượng mà vật có được do vị trí của nó trong trọng trường (do độ cao so với mốc thế năng).

Công thức:

$$\boxed{W_t = mgh}$$

Trong đó:

• $W_t$: Thế năng trọng trường (J)
• $m$: Khối lượng vật (kg)
• $g$: Gia tốc trọng trường ($g \approx 10$ m/s² hoặc $9.8$ m/s²)
• $h$: Độ cao của vật so với mốc thế năng đã chọn (m)

Chọn mốc thế năng:

Nguyên tắc: Mốc thế năng có thể chọn tùy ý, thường chọn ở:

• Mặt đất (phổ biến nhất)
• Vị trí thấp nhất của chuyển động
• Vị trí cần tính toán

Lưu ý quan trọng:

• Thế năng có thể dương, âm hoặc bằng 0 tùy theo vị trí so với mốc
• Chỉ có độ biến thiên thế năng mới có ý nghĩa vật lý
• $h$ tính từ mốc đã chọn, không phải độ cao thực

Ví dụ 3: Vật có khối lượng $m = 3$ kg ở độ cao $h = 5$ m so với mặt đất. Lấy $g = 10$ m/s². Tính thế năng trọng trường, chọn mốc tại mặt đất.

Lời giải: $$W_t = mgh = 3 \times 10 \times 5 = 150 \text{ J}$$

Kết luận: Thế năng trọng trường của vật là 150 J.

2. Thế năng đàn hồi (Lớp 12)

Định nghĩa:

Thế năng đàn hồi là dạng năng lượng mà lò xo (hoặc vật đàn hồi) có được do bị biến dạng (giãn hoặc nén).

Công thức:

$$\boxed{W_t = \frac{1}{2}kx^2}$$

Trong đó:

• $W_t$: Thế năng đàn hồi (J)
• $k$: Độ cứng của lò xo (N/m)
• $x$: Độ biến dạng của lò xo (m)

Lưu ý cực kỳ quan trọng:

• $x$ là độ biến dạng (độ giãn hoặc độ nén), không phải chiều dài lò xo
• $x = |l – l_0|$ với $l_0$ là chiều dài tự nhiên, $l$ là chiều dài hiện tại
• Mốc thế năng: vị trí lò xo không biến dạng ($x = 0$)

Ví dụ 4: Lò xo có độ cứng $k = 100$ N/m bị nén một đoạn $x = 0.1$ m = 10 cm. Tính thế năng đàn hồi.

Lời giải: $$W_t = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.1)^2 = 50 \times 0.01 = 0.5 \text{ J}$$

Kết luận: Thế năng đàn hồi của lò xo là 0.5 J.

3. So sánh hai loại thế năng

IV. CÔNG THỨC CƠ NĂNG

1. Công thức tổng quát

Cơ năng của một vật là tổng động năng và thế năng:

$$\boxed{W = W_đ + W_t}$$

2. Cơ năng trong trọng trường (Lớp 10)

Đối với vật chuyển động trong trọng trường Trái Đất:

$$\boxed{W = \frac{1}{2}mv^2 + mgh}$$

Ví dụ 5: Vật có khối lượng $m = 2$ kg đang chuyển động với vận tốc $v = 5$ m/s ở độ cao $h = 3$ m so với mặt đất. Lấy $g = 10$ m/s². Tính cơ năng, chọn mốc thế năng tại mặt đất.

Lời giải:

Động năng: $$W_đ = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 5^2 = 25 \text{ J}$$

Thế năng: $$W_t = mgh = 2 \times 10 \times 3 = 60 \text{ J}$$

Cơ năng: $$W = W_đ + W_t = 25 + 60 = 85 \text{ J}$$

Kết luận: Cơ năng của vật là 85 J.

3. Cơ năng con lắc lò xo (Lớp 12)

Con lắc lò xo gồm vật nặng gắn vào lò xo, dao động điều hòa.

$$\boxed{W = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2}$$

Tại vị trí cân bằng ($x = 0$, vận tốc cực đại):

$$W = \frac{1}{2}mv_{max}^2$$

Tại biên ($x = \pm A$, vận tốc bằng 0):

$$W = \frac{1}{2}kA^2$$

Bảo toàn cơ năng:

$$\boxed{\frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}kA^2}$$

Suy ra vận tốc cực đại:

$$v_{max} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Với: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ là tần số góc

Ví dụ 6: Con lắc lò xo có độ cứng $k = 100$ N/m, dao động với biên độ $A = 0.05$ m = 5 cm. Tính: a) Cơ năng của con lắc b) Vận tốc cực đại, biết khối lượng $m = 0.4$ kg

Lời giải:

Câu a) Cơ năng:

Tại biên, toàn bộ cơ năng là thế năng: $$W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.05)^2 = 50 \times 0.0025 = 0.125 \text{ J}$$

Câu b) Vận tốc cực đại:

Từ $\frac{1}{2}mv_{max}^2 = W$: $$v_{max} = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.125}{0.4}} = \sqrt{0.625} \approx 0.79 \text{ m/s}$$

Hoặc dùng công thức: $$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}} = 0.05 \times \sqrt{\frac{100}{0.4}} = 0.05 \times \sqrt{250} \approx 0.79 \text{ m/s}$$

Kết luận: a) Cơ năng: 0.125 J; b) Vận tốc cực đại: 0.79 m/s

4. Cơ năng con lắc đơn (Lớp 12)

Con lắc đơn gồm vật nặng treo vào sợi dây, dao động trong trọng trường.

Cơ năng tổng quát:

$$\boxed{W = \frac{1}{2}mv^2 + mgl(1 – \cos\alpha)}$$

Trong đó:

• $l$: Chiều dài dây treo (m)
• $\alpha$: Góc lệch so với phương thẳng đứng (rad hoặc độ)

Với dao động nhỏ ($\alpha < 10°$ hoặc $\alpha < 0.17$ rad), xấp xỉ:

$$W \approx \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mg\frac{s^2}{l}$$

Với: $s = l\alpha$ là li độ cong (độ dời theo cung tròn)

Tại vị trí cân bằng ($\alpha = 0$):

$$W = \frac{1}{2}mv_{max}^2$$

Tại biên ($\alpha = \alpha_0$, $v = 0$):

$$W = mgl(1 – \cos\alpha_0) \approx \frac{1}{2}mg\frac{s_0^2}{l}$$

Ví dụ 7: Con lắc đơn có chiều dài $l = 1$ m, khối lượng $m = 0.1$ kg, dao động với biên độ góc $\alpha_0 = 0.1$ rad (khoảng 5.7°). Lấy $g = 10$ m/s². Tính cơ năng (chọn mốc tại vị trí cân bằng).

Lời giải:

Vì dao động nhỏ, dùng công thức xấp xỉ: $$s_0 = l\alpha_0 = 1 \times 0.1 = 0.1 \text{ m}$$

$$W = \frac{1}{2}mg\frac{s_0^2}{l} = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 10 \times \frac{(0.1)^2}{1}$$ $$= 0.5 \times \frac{0.01}{1} = 0.005 \text{ J}$$

Kết luận: Cơ năng con lắc đơn là 0.005 J = 5 mJ.

V. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG

1. Phát biểu

Định luật bảo toàn cơ năng: Trong trường hợp chỉ có nội lực (lực thế) tác dụng, không có lực cản (ma sát, cản không khí), cơ năng của hệ được bảo toàn.

$$\boxed{W = W_đ + W_t = \text{hằng số}}$$

Ý nghĩa: Trong quá trình chuyển động, động năng và thế năng có thể chuyển hóa qua lại nhưng tổng của chúng (cơ năng) luôn không đổi.

2. Hệ quả

Tại hai vị trí bất kỳ của vật:

$$\boxed{W_1 = W_2}$$

$$\boxed{W_{đ1} + W_{t1} = W_{đ2} + W_{t2}}$$

Hoặc viết:

$$\boxed{\frac{1}{2}mv_1^2 + W_{t1} = \frac{1}{2}mv_2^2 + W_{t2}}$$

Ứng dụng: Tính vận tốc ở một vị trí khi biết vận tốc ở vị trí khác mà không cần biết lực, gia tốc.

3. Ứng dụng trong rơi tự do

Bài toán: Vật rơi từ độ cao $h$ với vận tốc ban đầu $v_0 = 0$ (thả rơi).

Tại độ cao $h$ (vị trí 1):

• Động năng: $W_{đ1} = 0$ (vì $v_0 = 0$)
• Thế năng: $W_{t1} = mgh$ (chọn mốc tại mặt đất)
• Cơ năng: $W_1 = mgh$

Tại mặt đất (vị trí 2):

• Động năng: $W_{đ2} = \frac{1}{2}mv^2$
• Thế năng: $W_{t2} = 0$ (tại mốc)
• Cơ năng: $W_2 = \frac{1}{2}mv^2$

Bảo toàn cơ năng: $$W_1 = W_2$$ $$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$ $$v = \sqrt{2gh}$$

Ví dụ 8: Thả vật từ độ cao $h = 20$ m. Lấy $g = 10$ m/s². Tính vận tốc khi vật chạm đất.

Lời giải: $$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \text{ m/s}$$

Kết luận: Vận tốc khi chạm đất là 20 m/s.

4. Ứng dụng trong con lắc lò xo

Bảo toàn cơ năng tại vị trí bất kỳ:

$$\boxed{\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2}$$

Từ đây suy ra vận tốc tại li độ $x$:

$$v = \sqrt{\frac{k}{m}(A^2 – x^2)} = \omega\sqrt{A^2 – x^2}$$

Với: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ là tần số góc

Ví dụ 9: Con lắc lò xo có $k = 100$ N/m, $m = 0.4$ kg, $A = 0.1$ m. Tính vận tốc tại li độ $x = 0.06$ m.

Lời giải:

Bước 1: Tính tần số góc $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0.4}} = \sqrt{250} \approx 15.81 \text{ rad/s}$$

Bước 2: Tính vận tốc $$v = \omega\sqrt{A^2 – x^2}$$ $$= 15.81 \times \sqrt{(0.1)^2 – (0.06)^2}$$ $$= 15.81 \times \sqrt{0.01 – 0.0036}$$ $$= 15.81 \times \sqrt{0.0064}$$ $$= 15.81 \times 0.08 \approx 1.26 \text{ m/s}$$

Kết luận: Vận tốc tại li độ $x = 0.06$ m là khoảng 1.26 m/s.

5. Ứng dụng trong con lắc đơn

Với dao động nhỏ, bảo toàn cơ năng:

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mg\frac{s^2}{l} = \frac{1}{2}mg\frac{s_0^2}{l}$$

Suy ra vận tốc tại li độ $s$:

$$v = \sqrt{\frac{g}{l}(s_0^2 – s^2)} = \omega\sqrt{s_0^2 – s^2}$$

Với: $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ là tần số góc

6. Khi có lực cản (ma sát)

Khi có lực cản, cơ năng không được bảo toàn mà giảm dần theo thời gian.

Độ giảm cơ năng bằng công của lực ma sát:

$$\boxed{W_1 – W_2 = |A_{ma sát}|}$$

$$\boxed{W_1 – W_2 = F_{ms} \cdot s}$$

Trong đó:

• $W_1$: Cơ năng ban đầu
• $W_2$: Cơ năng sau
• $F_{ms}$: Lực ma sát
• $s$: Quãng đường vật đi được

Ví dụ 10: Vật có khối lượng $m = 2$ kg trượt từ độ cao $h = 5$ m xuống dốc dài $s = 10$ m. Hệ số ma sát $\mu = 0.2$. Lấy $g = 10$ m/s². Tính vận tốc cuối dốc.

Lời giải:

Bước 1: Cơ năng ban đầu (chọn mốc tại chân dốc) $$W_1 = mgh = 2 \times 10 \times 5 = 100 \text{ J}$$

Bước 2: Công của lực ma sát

Giả sử dốc nghiêng góc $\alpha$ thì: $\sin\alpha = \frac{h}{s} = \frac{5}{10} = 0.5$ → $\alpha = 30°$

Phản lực: $N = mg\cos 30° = 2 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ N

$$A_{ms} = \mu N s = 0.2 \times 10\sqrt{3} \times 10 = 20\sqrt{3} \approx 34.64 \text{ J}$$

Hoặc đơn giản hơn, nếu đề cho thẳng: $$A_{ms} = \mu mgs = 0.2 \times 2 \times 10 \times 10 = 40 \text{ J}$$

Bước 3: Cơ năng cuối $$W_2 = W_1 – A_{ms} = 100 – 40 = 60 \text{ J}$$

Bước 4: Vận tốc cuối (tại chân dốc, $h = 0$) $$W_2 = \frac{1}{2}mv^2$$ $$60 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2$$ $$v^2 = 60$$ $$v = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \approx 7.75 \text{ m/s}$$

Kết luận: Vận tốc cuối dốc là khoảng 7.75 m/s.

VI. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT

A. Động năng và Thế năng

B. Cơ năng các hệ

C. Định luật bảo toàn

D. Công thức đặc biệt

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Cơ năng luôn bảo toàn

Sai: Cơ năng bảo toàn trong mọi trường hợp ❌

Đúng: Cơ năng chỉ bảo toàn khi không có lực cản (ma sát, cản không khí) ✓

Lưu ý: Nếu đề bài không nói gì, mặc định bỏ qua ma sát → bảo toàn cơ năng.

❌ SAI LẦM 2: Nhầm lẫn về mốc thế năng

Sai: $W_t = mgh$ với $h$ là độ cao thực của vật so với mặt đất ❌

Đúng: $h$ là độ cao tính từ mốc thế năng đã chọn, không nhất thiết là mặt đất ✓

Ví dụ: Nếu chọn mốc tại vị trí A, và vật ở vị trí B cao hơn A 3m → $h = 3$ m.

❌ SAI LẦM 3: Nhầm độ biến dạng và chiều dài lò xo

Sai: Thế năng lò xo $W_t = \frac{1}{2}kl^2$ với $l$ là chiều dài lò xo ❌

Đúng: $W_t = \frac{1}{2}kx^2$ với $x$ là độ biến dạng (giãn hoặc nén) ✓

Công thức: $x = |l – l_0|$ với $l_0$ là chiều dài tự nhiên.

❌ SAI LẦM 4: Quên hệ số $\frac{1}{2}$

Sai:

• $W_đ = mv^2$ ❌
• $W_t = kx^2$ ❌

Đúng:

• $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$ ✓
• $W_t = \frac{1}{2}kx^2$ ✓

2. Mẹo giải nhanh

MẸO 1: Chọn mốc thế năng thông minh

Nguyên tắc: Chọn mốc tại vị trí cần tính → thế năng tại đó bằng 0

Ví dụ: Tính vận tốc tại mặt đất → chọn mốc tại mặt đất → $W_t = 0$ tại đó.

MẸO 2: Nhận biết khi nào dùng bảo toàn

Dùng bảo toàn cơ năng khi:

• Đề bài nói “bỏ qua ma sát”
• Rơi tự do trong không khí (bỏ qua cản)
• Con lắc dao động (bỏ qua ma sát)
• Không có lực cản nào được đề cập

Không dùng bảo toàn khi:

• Có ma sát, có lực cản
• Đề bài cho hệ số ma sát $\mu$

MẸO 3: Phân tích năng lượng con lắc

Con lắc lò xo:

• Tại VTCB ($x = 0$): Động năng max, thế năng = 0
• Tại biên ($x = \pm A$): Động năng = 0, thế năng max
• Tại vị trí bất kỳ: Động năng + thế năng = cơ năng (không đổi)

Con lắc đơn:

• Tại VTCB ($\alpha = 0$): Vận tốc max, thế năng min (chọn mốc tại đây → $W_t = 0$)
• Tại biên ($\alpha = \alpha_0$): Vận tốc = 0, thế năng max

MẸO 4: Sử dụng định lý động năng

Khi nào dùng:

• Khi biết lực và quãng đường
• Khi tính vận tốc mà không cần biết thế năng

Công thức: $$A = \Delta W_đ = \frac{1}{2}m(v_2^2 – v_1^2)$$

3. Đơn vị cần nhớ

Năng lượng:

• 1 J (Joule) = 1 N·m = 1 kg·m²/s²
• 1 kJ = 1000 J
• 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J = 3.6 MJ
• 1 eV (electron-volt) = 1.6 × 10⁻¹⁹ J

Các đại lượng khác:

• Khối lượng: kg
• Vận tốc: m/s
• Độ cao: m
• Độ cứng: N/m
• Lực: N

VIII. BÀI TẬP MẪU

Bài tập 1: Rơi tự do – Bảo toàn cơ năng

Đề bài: Thả một vật từ độ cao $h = 45$ m so với mặt đất. Lấy $g = 10$ m/s². Tính: a) Cơ năng của vật (chọn mốc tại mặt đất) b) Vận tốc khi vật chạm đất

Lời giải:

Câu a) Cơ năng:

Chọn mốc thế năng tại mặt đất.

Tại độ cao $h = 45$ m (vật được thả, $v_0 = 0$):

• Động năng: $W_đ = 0$
• Thế năng: $W_t = mgh = m \times 10 \times 45 = 450m$ (J)
• Cơ năng: $W = W_đ + W_t = 450m$ (J)

Nhận xét: Cơ năng tỉ lệ với khối lượng, nếu biết $m$ cụ thể có thể tính số.

Câu b) Vận tốc chạm đất:

Bảo toàn cơ năng: $$W_{trên} = W_{đất}$$ $$mgh + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv^2$$ $$gh = \frac{1}{2}v^2$$ $$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 45} = \sqrt{900} = 30 \text{ m/s}$$

Đáp số: a) $W = 450m$ J; b) $v = 30$ m/s

Bài tập 2: Con lắc lò xo – Bảo toàn cơ năng

Đề bài: Con lắc lò xo có độ cứng $k = 100$ N/m, khối lượng vật $m = 0.4$ kg, dao động với biên độ $A = 0.1$ m = 10 cm. Tính: a) Cơ năng của con lắc b) Vận tốc cực đại c) Vận tốc tại li độ $x = 0.06$ m

Lời giải:

Câu a) Cơ năng:

Tại biên, toàn bộ cơ năng là thế năng: $$W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.1)^2 = 0.5 \text{ J}$$

Câu b) Vận tốc cực đại:

Tại VTCB, toàn bộ cơ năng là động năng: $$W = \frac{1}{2}mv_{max}^2$$ $$v_{max} = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.5}{0.4}} = \sqrt{2.5} \approx 1.58 \text{ m/s}$$

Hoặc dùng công thức: $$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}} = 0.1 \times \sqrt{\frac{100}{0.4}} = 0.1 \times \sqrt{250} \approx 1.58 \text{ m/s}$$

Câu c) Vận tốc tại $x = 0.06$ m:

Bảo toàn cơ năng: $$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = W$$ $$v = \sqrt{\frac{2(W – \frac{1}{2}kx^2)}{m}}$$ $$= \sqrt{\frac{2(0.5 – \frac{1}{2} \times 100 \times 0.06^2)}{0.4}}$$ $$= \sqrt{\frac{2(0.5 – 0.18)}{0.4}}$$ $$= \sqrt{\frac{0.64}{0.4}} = \sqrt{1.6} \approx 1.26 \text{ m/s}$$

Đáp số: a) $W = 0.5$ J; b) $v_{max} \approx 1.58$ m/s; c) $v \approx 1.26$ m/s

Bài tập 3: Có ma sát – Cơ năng giảm

Đề bài: Vật có khối lượng $m = 1$ kg trượt từ đỉnh dốc cao $h = 10$ m, dốc dài $s = 20$ m. Hệ số ma sát $\mu = 0.3$. Lấy $g = 10$ m/s². Tính vận tốc vật ở chân dốc.

Lời giải:

Bước 1: Cơ năng ban đầu (chọn mốc tại chân dốc) $$W_1 = mgh = 1 \times 10 \times 10 = 100 \text{ J}$$

Bước 2: Công của lực ma sát

Lực ma sát: $F_{ms} = \mu mg = 0.3 \times 1 \times 10 = 3$ N

Công ma sát: $A_{ms} = F_{ms} \times s = 3 \times 20 = 60$ J

Bước 3: Cơ năng cuối $$W_2 = W_1 – A_{ms} = 100 – 60 = 40 \text{ J}$$

Bước 4: Vận tốc chân dốc

Tại chân dốc, $h = 0$ (tại mốc), toàn bộ cơ năng là động năng: $$W_2 = \frac{1}{2}mv^2$$ $$40 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2$$ $$v^2 = 80$$ $$v = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94 \text{ m/s}$$

Đáp số: $v \approx 8.94$ m/s

Bài tập 4: Ném lên – Tìm độ cao cực đại

Đề bài: Ném một vật theo phương thẳng đứng lên cao với vận tốc ban đầu $v_0 = 20$ m/s. Lấy $g = 10$ m/s². Bỏ qua sức cản không khí. Tính độ cao cực đại mà vật đạt được.

Lời giải:

Chọn mốc thế năng tại vị trí ném.

Tại vị trí ném (h = 0): $$W_1 = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_0^2$$

Tại độ cao cực đại ($v = 0$, $h = h_{max}$): $$W_2 = 0 + mgh_{max} = mgh_{max}$$

Bảo toàn cơ năng: $$W_1 = W_2$$ $$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_{max}$$ $$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 10} = \frac{400}{20} = 20 \text{ m}$$

Đáp số: $h_{max} = 20$ m

IX. ỨNG DỤNG THỰC TẾ

1. Thủy điện

Nguyên lý:

• Nước tích ở đập cao có thế năng trọng trường lớn
• Nước chảy xuống → chuyển thành động năng
• Nước va vào tuabin làm quay → cơ năng chuyển thành điện năng

Công thức công suất: $$P = \eta \cdot \rho \cdot g \cdot Q \cdot h$$

Trong đó:

• $\eta$: Hiệu suất chuyển đổi
• $\rho$: Khối lượng riêng nước (1000 kg/m³)
• $Q$: Lưu lượng nước (m³/s)
• $h$: Độ cao cột nước (m)

2. Năng lượng gió

Nguyên lý:

• Gió có động năng do chuyển động
• Cánh quạt gió quay → chuyển động năng gió thành cơ năng quay
• Máy phát điện → chuyển cơ năng thành điện năng

Công suất gió: $$P = \frac{1}{2}\rho Sv^3$$

Trong đó:

• $\rho$: Khối lượng riêng không khí (1.225 kg/m³)
• $S$: Diện tích quét của cánh quạt (m²)
• $v$: Vận tốc gió (m/s)

3. Lò xo giảm xóc

Nguyên lý:

• Khi xe va chạm, động năng xe chuyển thành thế năng đàn hồi của lò xo
• Lò xo nén → hấp thụ năng lượng va chạm
• Lò xo giãn từ từ → giải phóng năng lượng, giảm chấn động

Ứng dụng: Ô tô, xe máy, đệm giày chạy bộ, giảm xóc máy móc

4. Vũ trụ – Quỹ đạo vệ tinh

Nguyên lý:

• Vệ tinh trên quỹ đạo có cả động năng (do chuyển động) và thế năng (do độ cao)
• Trên quỹ đạo tròn: động năng và thế năng chuyển hóa qua lại nhưng cơ năng bảo toàn
• Tính vận tốc vệ tinh, quỹ đạo dựa vào bảo toàn cơ năng

5. Thể thao

Nhảy cao:

• Vận động viên chạy → có động năng
• Nhảy lên → động năng chuyển thành thế năng
• Độ cao đạt được phụ thuộc động năng ban đầu

Nhảy xa:

• Động năng ban đầu quyết định quãng bay
• Trong không trung: cơ năng gần như bảo toàn (bỏ qua cản không khí nhỏ)

Đu quay, tàu lượn:

• Chuyển hóa liên tục giữa động năng và thế năng
• Điểm cao nhất: thế năng max, động năng min
• Điểm thấp nhất: động năng max, thế năng min

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về cơ năng trong chương trình Vật lý 10 và 12:

Khái niệm cơ bản:

• Cơ năng = Động năng + Thế năng
• Động năng: $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$
• Thế năng: Trọng trường ($mgh$), Đàn hồi ($\frac{1}{2}kx^2$)

Công thức cơ năng:

• Tổng quát: $W = W_đ + W_t$
• Trọng trường: $W = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
• Con lắc lò xo: $W = \frac{1}{2}kA^2$
• Con lắc đơn: $W = mgl(1-\cos\alpha_0)$

Định luật bảo toàn:

• Không ma sát: $W_1 = W_2$
• Có ma sát: $W_1 – W_2 = F_{ms} \cdot s$

Bài tập mẫu: 4 bài từ cơ bản đến nâng cao

Ứng dụng thực tế: Thủy điện, gió, lò xo, vũ trụ, thể thao

Công thức QUAN TRỌNG cần nhớ

1. Cơ năng tổng quát: $$\boxed{W = \frac{1}{2}mv^2 + W_t}$$

2. Con lắc lò xo: $$\boxed{W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2}$$

3. Bảo toàn cơ năng (không ma sát): $$\boxed{W_1 = W_2}$$

4. Có ma sát: $$\boxed{W_1 – W_2 = F_{ms} \cdot s}$$

5. Vận tốc rơi tự do: $$\boxed{v = \sqrt{2gh}}$$

6. Vận tốc con lắc lò xo: $$\boxed{v = \omega\sqrt{A^2 – x^2}}$$

Lời khuyên học tập

Chọn mốc thế năng phù hợp – Chọn ở vị trí cần tính để thế năng bằng 0 tại đó, đơn giản hóa tính toán

Kiểm tra điều kiện bảo toàn – Trước khi dùng bảo toàn cơ năng, luôn kiểm tra có ma sát không

Phân tích năng lượng con lắc – Nhớ: Biên → thế năng max, VTCB → động năng max

Đơn vị luôn là Joule – Năng lượng đo bằng Jun (J), không dùng đơn vị khác

Phân biệt động năng và động lượng – Động năng: $\frac{1}{2}mv^2$ (J), Động lượng: $mv$ (kg·m/s)

Nhớ hệ số $\frac{1}{2}$ – Động năng và thế năng đàn hồi đều có $\frac{1}{2}$

Thế năng đàn hồi: dùng độ biến dạng – $x$ là độ giãn/nén, không phải chiều dài lò xo

Cô Trần Thị Bình

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Lý – Hóa – Sinh tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Hoá Học, Bằng Thạc sĩ, Chức danh nghề nghiệp Giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Gia Định