I. GIỚI THIỆU VỀ CON LẮC ĐƠN

1. Con lắc đơn là gì?

Định nghĩa: Con lắc đơn là một hệ cơ học đơn giản gồm một vật nặng treo vào một sợi dây không giãn, có thể dao động qua lại quanh vị trí cân bằng dưới tác dụng của trọng lực.

Cấu tạo:

Con lắc đơn gồm hai phần chính:

• Vật nặng (quả lắc):
  • Khối lượng $m$ (kg)
  • Kích thước rất nhỏ so với chiều dài dây (coi như chất điểm)
  • Thường là quả cầu kim loại
• Dây treo:
  • Chiều dài $l$ (m) – đo từ điểm treo đến trọng tâm vật
  • Khối lượng không đáng kể (bỏ qua)
  • Không giãn trong quá trình dao động
  • Vật dao động trong mặt phẳng thẳng đứng

Các đại lượng đặc trưng:

• $l$: Chiều dài dây treo (m)
• $m$: Khối lượng vật nặng (kg)
• $\alpha$: Góc lệch so với phương thẳng đứng (rad hoặc độ)
• $\alpha_0$: Biên độ góc – góc lệch cực đại (rad)
• $s$: Li độ cong – độ dài cung tròn tính từ VTCB (m)

2. Điều kiện dao động điều hòa

Điều kiện dao động nhỏ:

Con lắc đơn dao động điều hòa khi biên độ góc đủ nhỏ:

$$\boxed{\alpha_0 < 10° \quad (\text{tương đương } \alpha_0 < 0.17 \text{ rad})}$$

Lý do: Khi dao động nhỏ, ta có thể xấp xỉ:

$$\sin\alpha \approx \alpha \quad \text{(với } \alpha \text{ tính bằng rad)}$$

Ví dụ:

• $\sin(10°) = \sin(0.1745 \text{ rad}) \approx 0.1736$
• $\alpha = 0.1745$ rad
• Sai số: $\frac{|0.1745 – 0.1736|}{0.1745} \approx 0.5%$ (rất nhỏ)

Khi không thỏa điều kiện: Nếu $\alpha_0 > 10°$, con lắc vẫn dao động tuần hoàn nhưng không còn là dao động điều hòa.

II. CÔNG THỨC CHU KỲ VÀ TẦN SỐ

1. Công thức chu kỳ (QUAN TRỌNG NHẤT)

Công thức cơ bản:

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}$$

Trong đó:

• $T$: Chu kỳ dao động (s) – thời gian thực hiện một dao động toàn phần
• $l$: Chiều dài dây treo (m)
• $g$: Gia tốc trọng trường (m/s²)
  • Trên mặt đất: $g = 9.8$ m/s² hoặc $g = 10$ m/s² (lấy gần đúng)
• $\pi \approx 3.14$ hoặc $\pi \approx \frac{22}{7}$

Đặc điểm đặc biệt của chu kỳ con lắc đơn:

• ✅ Phụ thuộc vào chiều dài dây $l$
• ✅ Phụ thuộc vào gia tốc trọng trường $g$
• ❌ KHÔNG phụ thuộc vào khối lượng $m$
• ❌ KHÔNG phụ thuộc vào biên độ $\alpha_0$ (khi dao động nhỏ)

Ví dụ 1: Tính chu kỳ cơ bản

Một con lắc đơn có chiều dài dây treo $l = 1$ m, dao động tại nơi có $g = 10$ m/s². Tính chu kỳ dao động.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{10}}$$

$$= 2\pi \times \frac{1}{\sqrt{10}} = 2\pi \times \frac{\sqrt{10}}{10}$$

$$= \frac{2\pi\sqrt{10}}{10} = \frac{\pi\sqrt{10}}{5} \approx 2 \text{ s}$$

Kết luận: Chu kỳ dao động là 2 giây.

2. Công thức tần số góc

Công thức:

$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \frac{2\pi}{T}}$$

Đơn vị: rad/s (radian trên giây)

Ý nghĩa: Tần số góc cho biết tốc độ biến thiên của pha dao động.

Mối liên hệ:

• $\omega = \frac{2\pi}{T}$ (từ định nghĩa)
• $\omega = 2\pi f$ (liên hệ với tần số)

Ví dụ 2: Tính tần số góc

Con lắc ở Ví dụ 1 có $l = 1$ m, $g = 10$ m/s². Tính tần số góc.

Lời giải:

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{10}{1}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \text{ rad/s}$$

Hoặc dùng chu kỳ: $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14 \text{ rad/s}$$

3. Công thức tần số

Công thức:

$$\boxed{f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}}$$

Đơn vị: Hz (Hertz) – dao động trên giây

Ý nghĩa: Tần số cho biết số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây.

Ví dụ 3: Tính tần số

Con lắc có chu kỳ $T = 2$ s. Tính tần số dao động.

Lời giải:

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ Hz}$$

Kết luận: Con lắc thực hiện 0.5 dao động trong 1 giây, hay 1 dao động trong 2 giây.

4. Đặc điểm quan trọng của chu kỳ

Chu kỳ KHÔNG phụ thuộc:

❌ Khối lượng $m$:

• Hai con lắc có khối lượng khác nhau nhưng cùng chiều dài dây, cùng nơi → cùng chu kỳ
• Đây là điểm đặc biệt của con lắc đơn

❌ Biên độ $\alpha_0$ (khi dao động nhỏ):

• Con lắc dao động với biên độ $5°$ hay $8°$ đều có cùng chu kỳ
• Chỉ đúng khi $\alpha_0 < 10°$

Chu kỳ CHỈ phụ thuộc:

✅ Chiều dài dây $l$:

• $l$ tăng → $T$ tăng (tỉ lệ thuận với $\sqrt{l}$)
• Con lắc dài → dao động chậm (chu kỳ lớn)
• Con lắc ngắn → dao động nhanh (chu kỳ nhỏ)

✅ Gia tốc trọng trường $g$:

• $g$ tăng → $T$ giảm (tỉ lệ nghịch với $\sqrt{g}$)
• Nơi có $g$ lớn → dao động nhanh
• Nơi có $g$ nhỏ → dao động chậm

Các hệ quả quan trọng:

Hệ quả 1: Hai con lắc cùng chiều dài, cùng nơi (cùng $g$) → Cùng chu kỳ (dù khác khối lượng)

Hệ quả 2: Con lắc dài gấp 4 lần → Chu kỳ tăng gấp 2 lần (vì $T \sim \sqrt{l}$)

Hệ quả 3: Đưa con lắc từ mặt đất lên núi cao ($g$ giảm) → Chu kỳ tăng → Đồng hồ chạy chậm

III. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG

1. Li độ cong (Li độ dài)

Định nghĩa: Li độ cong $s$ là độ dài cung tròn tính từ vị trí cân bằng đến vị trí của vật tại thời điểm $t$.

Mối liên hệ với góc lệch:

$$\boxed{s = l\alpha}$$

Trong đó $\alpha$ tính bằng radian.

Phương trình dao động:

$$\boxed{s = s_0\cos(\omega t + \varphi)}$$

Trong đó:

• $s$: Li độ cong tại thời điểm $t$ (m)
• $s_0 = l\alpha_0$: Biên độ dao động (m)
• $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$: Tần số góc (rad/s)
• $\varphi$: Pha ban đầu (rad)
• $\omega t + \varphi$: Pha dao động tại thời điểm $t$ (rad)

2. Li độ góc

Phương trình:

$$\boxed{\alpha = \alpha_0\cos(\omega t + \varphi)}$$

Trong đó:

• $\alpha$: Góc lệch tại thời điểm $t$ (rad)
• $\alpha_0$: Biên độ góc – góc lệch cực đại (rad)

Lưu ý: Góc phải đo bằng radian trong công thức.

3. Vận tốc

Vận tốc tức thời:

$$\boxed{v = s’ = -s_0\omega\sin(\omega t + \varphi)}$$

Hoặc:

$$v = \omega\sqrt{s_0^2 – s^2}$$

Vận tốc cực đại (tại vị trí cân bằng $s = 0$):

$$\boxed{v_{max} = s_0\omega = l\alpha_0\omega = \sqrt{gl}\alpha_0}$$

Công thức đầy đủ hơn (không cần dao động nhỏ):

$$v_{max} = \sqrt{2gl(1 – \cos\alpha_0)}$$

Với dao động nhỏ: $\cos\alpha_0 \approx 1 – \frac{\alpha_0^2}{2}$

$$v_{max} \approx \sqrt{2gl \cdot \frac{\alpha_0^2}{2}} = \sqrt{gl\alpha_0^2} = \sqrt{gl}\alpha_0$$

Ví dụ 4: Tính vận tốc cực đại

Con lắc đơn có $l = 1$ m, biên độ góc $\alpha_0 = 0.1$ rad, $g = 10$ m/s². Tính vận tốc cực đại của vật.

Lời giải:

$$v_{max} = \sqrt{gl}\alpha_0 = \sqrt{10 \times 1} \times 0.1$$

$$= \sqrt{10} \times 0.1 \approx 3.16 \times 0.1 = 0.316 \text{ m/s}$$

Kết luận: Vận tốc cực đại là khoảng 0.316 m/s.

4. Gia tốc

Gia tốc tức thời:

$$\boxed{a = s” = -s_0\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 s}$$

Đặc điểm: Gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng, tỉ lệ với li độ.

Gia tốc cực đại (tại vị trí biên $s = s_0$):

$$\boxed{a_{max} = s_0\omega^2 = g\alpha_0}$$

Chứng minh: $$a_{max} = s_0\omega^2 = l\alpha_0 \cdot \frac{g}{l} = g\alpha_0$$

Gia tốc tại VTCB: $a = 0$ (vì $s = 0$)

IV. LỰC VÀ NĂNG LƯỢNG

1. Lực kéo về

Định nghĩa: Lực kéo về là hợp lực tác dụng lên vật theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo, luôn hướng về vị trí cân bằng.

Công thức chính xác:

$$\boxed{F = -mg\sin\alpha}$$

Dấu trừ chỉ lực ngược chiều với li độ (hướng về VTCB).

Khi dao động nhỏ ($\alpha < 10°$, $\sin\alpha \approx \alpha$):

$$\boxed{F \approx -mg\alpha = -\frac{mg}{l}s}$$

So sánh với con lắc lò xo:

• Con lắc lò xo: $F = -kx$ với $k$ là độ cứng
• Con lắc đơn: $F = -\frac{mg}{l}s$ với $\frac{mg}{l}$ đóng vai trò như độ cứng

Kết luận: Con lắc đơn dao động nhỏ tương tự con lắc lò xo với “độ cứng” $k = \frac{mg}{l}$.

2. Lực căng dây

Lực căng dây tại vị trí góc $\alpha$ bất kỳ:

$$\boxed{T = mg\cos\alpha + m\frac{v^2}{l}}$$

Giải thích:

• $mg\cos\alpha$: Thành phần trọng lực theo phương dây
• $m\frac{v^2}{l}$: Lực hướng tâm (do chuyển động tròn)

Lực căng dây cực đại (tại vị trí cân bằng $\alpha = 0$, $v = v_{max}$):

$$T_{max} = mg\cos(0) + m\frac{v_{max}^2}{l} = mg + m\frac{v_{max}^2}{l}$$

Thay $v_{max} = \sqrt{gl}\alpha_0$:

$$T_{max} = mg + m\frac{gl\alpha_0^2}{l} = mg(1 + \alpha_0^2)$$

Với dao động nhỏ, có thể xấp xỉ chính xác hơn:

$$\boxed{T_{max} \approx mg(1 + 2\alpha_0^2)}$$

Lực căng dây cực tiểu (tại vị trí biên $\alpha = \alpha_0$, $v = 0$):

$$\boxed{T_{min} = mg\cos\alpha_0}$$

Với dao động nhỏ: $\cos\alpha_0 \approx 1 – \frac{\alpha_0^2}{2}$

$$T_{min} \approx mg\left(1 – \frac{\alpha_0^2}{2}\right)$$

3. Cơ năng

Định nghĩa: Cơ năng là tổng động năng và thế năng của con lắc.

Cơ năng toàn phần (với dao động nhỏ):

$$\boxed{W = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mg\frac{s^2}{l} = \frac{1}{2}mg\frac{s_0^2}{l} = \frac{1}{2}mgl\alpha_0^2}$$

Chú ý: Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng.

Động năng:

$$\boxed{W_đ = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mg\frac{s_0^2 – s^2}{l}}$$

Động năng cực đại (tại VTCB): $$W_{đ,max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}mgl\alpha_0^2 = W$$

Động năng cực tiểu (tại biên): $$W_{đ,min} = 0$$

Thế năng:

$$\boxed{W_t = \frac{1}{2}mg\frac{s^2}{l} = \frac{1}{2}mgl\alpha^2}$$

Thế năng cực đại (tại biên): $$W_{t,max} = \frac{1}{2}mgl\alpha_0^2 = W$$

Thế năng cực tiểu (tại VTCB): $$W_{t,min} = 0$$

Sự chuyển hóa năng lượng:

• Tại VTCB: $W = W_đ$ (toàn động năng)
• Tại biên: $W = W_t$ (toàn thế năng)
• Vị trí khác: $W = W_đ + W_t$ (bảo toàn)

V. CÔNG THỨC THAY ĐỔI CHU KỲ

1. Thay đổi chiều dài

Khi thay đổi chiều dài từ $l_1$ sang $l_2$:

$$\boxed{\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}}$$

Chứng minh: $$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$$

Ví dụ 5: Tăng chiều dài

Con lắc có chu kỳ $T_1 = 2$ s. Nếu tăng chiều dài gấp 4 lần thì chu kỳ mới là bao nhiêu?

Lời giải:

$$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{4} = 2$$

$$T_2 = 2T_1 = 2 \times 2 = 4 \text{ s}$$

Kết luận: Chiều dài tăng gấp 4 lần → Chu kỳ tăng gấp 2 lần.

2. Thay đổi vị trí (thay đổi $g$)

Khi chuyển con lắc từ nơi có $g_1$ đến nơi có $g_2$:

$$\boxed{\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2}}}$$

Lưu ý: $g$ ở mẫu nên tỉ lệ nghịch.

Ví dụ 6: Thay đổi gia tốc trọng trường

Đồng hồ quả lắc chạy đúng ở mặt đất ($g = 10$ m/s²). Đưa lên núi có $g’ = 9$ m/s². Chu kỳ thay đổi như thế nào?

Lời giải:

$$\frac{T’}{T} = \sqrt{\frac{g}{g’}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$$

Kết luận: Chu kỳ tăng khoảng 5.4% → Đồng hồ chạy chậm.

3. Con lắc trong thang máy

Khi thang máy chuyển động, gia tốc trọng trường biểu kiến thay đổi.

Thang máy đi lên nhanh dần hoặc đi xuống chậm dần (gia tốc $a$ hướng lên):

$$\boxed{g’ = g + a}$$

$$\boxed{T’ = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}}$$

Chu kỳ giảm so với khi đứng yên.

Thang máy đi lên chậm dần hoặc đi xuống nhanh dần (gia tốc $a$ hướng xuống):

$$\boxed{g’ = g – a}$$

$$\boxed{T’ = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g-a}}}$$

Chu kỳ tăng so với khi đứng yên.

Thang máy rơi tự do ($a = g$ hướng xuống):

$$g’ = g – g = 0$$

Kết luận: Con lắc không dao động (trạng thái không trọng lượng).

Ví dụ 7: Con lắc trong thang máy

Con lắc có chu kỳ $T_0 = 2$ s khi thang máy đứng yên. Thang máy đi lên nhanh dần với gia tốc $a = 2$ m/s². Lấy $g = 10$ m/s². Tính chu kỳ mới.

Lời giải:

Gia tốc biểu kiến: $$g’ = g + a = 10 + 2 = 12 \text{ m/s}^2$$

Chu kỳ mới: $$\frac{T’}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{g’}} = \sqrt{\frac{10}{12}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$$

$$T’ = 2 \times \sqrt{\frac{5}{6}} \approx 2 \times 0.913 = 1.826 \text{ s}$$

Kết luận: Chu kỳ giảm từ 2s xuống còn khoảng 1.83s.

4. Đồng hồ quả lắc chạy nhanh/chậm

Nguyên lý: Đồng hồ quả lắc chạy đúng khi chu kỳ bằng chu kỳ thiết kế $T_0$.

Khi chu kỳ thực $T \neq T_0$:

Thời gian sai lệch trong một khoảng thời gian $\Delta t_0$ (thường là 1 ngày = 86400s):

$$\boxed{\Delta t = \left|\frac{T – T_0}{T_0}\right| \times \Delta t_0}$$

Hoặc:

$$\Delta t = \left|\frac{\Delta T}{T_0}\right| \times \Delta t_0$$

Quy luật:

• Đồng hồ chạy nhanh khi: $T < T_0$ (chu kỳ nhỏ hơn → dao động nhanh hơn)
• Đồng hồ chạy chậm khi: $T > T_0$ (chu kỳ lớn hơn → dao động chậm hơn)

Nguyên nhân:

• Tăng $l$ hoặc giảm $g$ → $T$ tăng → chạy chậm
• Giảm $l$ hoặc tăng $g$ → $T$ giảm → chạy nhanh

Ví dụ 8: Đồng hồ quả lắc sai giờ

Đồng hồ chạy đúng ở mặt đất ($g = 10$ m/s²). Đưa lên núi có $g’ = 9.8$ m/s². Sau 1 ngày (86400s), đồng hồ sai bao nhiêu?

Lời giải:

$$\frac{T’}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{g’}} = \sqrt{\frac{10}{9.8}} \approx 1.0102$$

Thời gian sai lệch: $$\Delta t = \left(\frac{T’}{T_0} – 1\right) \times 86400$$

$$= (1.0102 – 1) \times 86400 = 0.0102 \times 86400$$

$$\approx 881 \text{ s} \approx 14.7 \text{ phút}$$

Kết luận: Đồng hồ chạy chậm khoảng 14.7 phút sau 1 ngày.

VI. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT

A. Chu kỳ, tần số, tần số góc

B. Phương trình dao động

C. Lực và năng lượng

D. Thay đổi chu kỳ

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Chu kỳ phụ thuộc khối lượng

Sai: Con lắc nặng gấp đôi → Chu kỳ tăng ❌

Đúng: Chu kỳ KHÔNG phụ thuộc khối lượng $m$ ✅

Giải thích: Công thức $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ không có $m$.

❌ SAI LẦM 2: Tăng chiều dài gấp n → Chu kỳ tăng gấp n

Sai: Tăng $l$ gấp 2 → $T$ tăng gấp 2 ❌

Đúng: Tăng $l$ gấp 2 → $T$ tăng gấp $\sqrt{2} \approx 1.41$ ✅

Lý do: $T \sim \sqrt{l}$ (tỉ lệ với căn bậc hai)

❌ SAI LẦM 3: Nhầm lẫn $s_0$ là góc

Sai: $v_{max} = s_0\omega$ với $s_0$ là góc ❌

Đúng: $s_0 = l\alpha_0$ là biên độ dài (m), không phải góc ✅

❌ SAI LẦM 4: Quên đổi góc sang radian

Sai: $\alpha_0 = 10°$ dùng trực tiếp trong công thức ❌

Đúng: $\alpha_0 = 10° \times \frac{\pi}{180} \approx 0.17$ rad ✅

❌ SAI LẦM 5: Nhầm dấu khi thay đổi $g$

Sai: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}}$ ❌

Đúng: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2}}$ (chú ý $g$ ở mẫu) ✅

2. Mẹo nhớ công thức

MẸO 1: Công thức chu kỳ

“2 pi căn l trên g”

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Nhớ: 2π nhân với căn của l chia g

MẸO 2: So sánh chu kỳ

• $l$ tăng → $T$ tăng (tỉ lệ thuận với $\sqrt{l}$)
• $g$ tăng → $T$ giảm (tỉ lệ nghịch với $\sqrt{g}$)

Ghi nhớ: $l$ ở tử → tỉ lệ thuận, $g$ ở mẫu → tỉ lệ nghịch

MẸO 3: Điều kiện dao động điều hòa

“Nhỏ hơn 10 độ”

$$\alpha_0 < 10° \approx 0.17 \text{ rad}$$

MẸO 4: Chu kỳ không phụ thuộc

“Không khối, không biên”

• Không phụ thuộc khối lượng $m$
• Không phụ thuộc biên độ $\alpha_0$

MẸO 5: Thang máy

• Lên nhanh, xuống chậm: $g’ = g + a$ → $T$ giảm
• Lên chậm, xuống nhanh: $g’ = g – a$ → $T$ tăng

Nhớ: Gia tốc cùng chiều $g$ → cộng, ngược chiều → trừ

3. Đơn vị cần chú ý

Chiều dài:

• $l$ (m) – mét
• Đơn vị khác phải đổi: cm → m, km → m

Góc:

• Phải dùng radian trong công thức
• Chuyển đổi: $\alpha (rad) = \alpha (độ) \times \frac{\pi}{180}$
• $10° = 10 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.17$ rad

Gia tốc trọng trường:

• $g = 9.8$ m/s² hoặc $g = 10$ m/s² (gần đúng)

Thời gian:

• Chu kỳ $T$ (s)
• 1 ngày = 86400 s

VIII. BÀI TẬP MẪU

Bài tập 1: Tính chu kỳ và tần số cơ bản

Đề bài: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo $l = 2.5$ m, dao động tại nơi có $g = 10$ m/s². Tính: a) Chu kỳ dao động b) Tần số dao động

Lời giải:

Câu a) Tính chu kỳ: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2.5}{10}}$$

$$= 2\pi\sqrt{0.25} = 2\pi \times 0.5 = \pi \approx 3.14 \text{ s}$$

Câu b) Tính tần số: $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{\pi} \approx \frac{1}{3.14} \approx 0.318 \text{ Hz}$$

Kết luận:

• Chu kỳ: $\pi \approx 3.14$ s
• Tần số: $\frac{1}{\pi} \approx 0.318$ Hz

Bài tập 2: Thay đổi chiều dài

Đề bài: Một con lắc đơn có chu kỳ dao động $T_1 = 2$ s. Muốn chu kỳ dao động là $T_2 = 1$ s thì phải thay đổi chiều dài dây treo như thế nào?

Lời giải:

Áp dụng công thức so sánh: $$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$$

$$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$$

Bình phương hai vế: $$\frac{1}{4} = \frac{l_2}{l_1}$$

$$l_2 = \frac{l_1}{4}$$

Kết luận: Phải giảm chiều dài xuống 4 lần (hay giảm 75%).

Bài tập 3: Tính vận tốc và gia tốc cực đại

Đề bài: Con lắc đơn có chiều dài $l = 1$ m, dao động với biên độ góc $\alpha_0 = 0.1$ rad tại nơi có $g = 10$ m/s². Tính: a) Vận tốc cực đại b) Gia tốc cực đại

Lời giải:

Câu a) Vận tốc cực đại: $$v_{max} = \sqrt{gl}\alpha_0 = \sqrt{10 \times 1} \times 0.1$$

$$= \sqrt{10} \times 0.1 \approx 3.16 \times 0.1 = 0.316 \text{ m/s}$$

Câu b) Gia tốc cực đại: $$a_{max} = g\alpha_0 = 10 \times 0.1 = 1 \text{ m/s}^2$$

Kết luận:

• $v_{max} \approx 0.316$ m/s
• $a_{max} = 1$ m/s²

Bài tập 4: Đồng hồ quả lắc sai giờ

Đề bài: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ ở mặt đất, nơi có $g = 10$ m/s². Đưa đồng hồ lên núi cao, nơi có $g’ = 9.8$ m/s². Hỏi sau 1 ngày (86400 s), đồng hồ chạy nhanh hay chậm và sai bao nhiêu giây?

Lời giải:

Bước 1: So sánh chu kỳ: $$\frac{T’}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{g’}} = \sqrt{\frac{10}{9.8}} \approx 1.0102$$

Bước 2: Xác định chạy nhanh hay chậm:

• $T’ > T_0$ → Chu kỳ tăng → Đồng hồ chạy chậm

Bước 3: Tính thời gian sai lệch: $$\Delta t = \left(\frac{T’}{T_0} – 1\right) \times 86400$$

$$= (1.0102 – 1) \times 86400 = 0.0102 \times 86400$$

$$\approx 881 \text{ s} \approx 14 \text{ phút } 41 \text{ giây}$$

Kết luận: Đồng hồ chạy chậm khoảng 881 giây (≈ 14.7 phút) sau 1 ngày.

Bài tập 5: Con lắc trong thang máy

Đề bài: Một con lắc đơn dao động với chu kỳ $T_0 = 2$ s khi thang máy đứng yên. Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc $a = 2$ m/s². Lấy $g = 10$ m/s². Tính chu kỳ dao động của con lắc khi thang máy chuyển động.

Lời giải:

Bước 1: Tính gia tốc biểu kiến:

Thang máy đi lên nhanh dần → gia tốc hướng lên: $$g’ = g + a = 10 + 2 = 12 \text{ m/s}^2$$

Bước 2: Tính chu kỳ mới: $$\frac{T’}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{g’}} = \sqrt{\frac{10}{12}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$$

$$T’ = T_0 \times \sqrt{\frac{5}{6}} = 2 \times \sqrt{\frac{5}{6}}$$

$$\approx 2 \times 0.913 = 1.826 \text{ s}$$

Kết luận: Chu kỳ giảm từ 2 s xuống khoảng 1.83 s.

IX. ỨNG DỤNG THỰC TẾ

1. Đồng hồ quả lắc

Nguyên lý hoạt động:

Đồng hồ quả lắc sử dụng chu kỳ dao động ổn định của con lắc đơn để đo thời gian:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = const$$

Đặc điểm:

• Chu kỳ không phụ thuộc khối lượng → Ổn định
• Không phụ thuộc biên độ (dao động nhỏ) → Chính xác
• Chỉ phụ thuộc $l$ và $g$ → Dễ điều chỉnh

Điều chỉnh:

• Đồng hồ chạy chậm: Giảm $l$ (vặn ốc lên) → $T$ giảm
• Đồng hồ chạy nhanh: Tăng $l$ (vặn ốc xuống) → $T$ tăng

Ứng dụng:

• Đồng hồ treo tường cổ điển
• Đồng hồ cây (đồng hồ đứng)
• Các thiết bị đo thời gian chính xác trước khi có đồng hồ điện tử

2. Đo gia tốc trọng trường $g$

Phương pháp:

Từ công thức chu kỳ: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Suy ra: $$\boxed{g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}}$$

Các bước thực hiện:

1. Đo chiều dài dây $l$ (dùng thước)
2. Cho con lắc dao động nhỏ
3. Đo thời gian thực hiện $n$ dao động toàn phần
4. Tính chu kỳ: $T = \frac{t}{n}$
5. Tính $g$ theo công thức trên

Ứng dụng:

• Địa chất: Đo $g$ tại nhiều điểm để lập bản đồ trọng lực
• Thăm dò: Phát hiện khoáng sản, dầu mỏ (nơi có mỏ $g$ khác)
• Địa vật lý: Nghiên cứu cấu trúc bên trong Trái Đất
• Giáo dục: Thí nghiệm đo $g$ trong phòng thí nghiệm

3. Con lắc Foucault

Lịch sử: Nhà vật lý người Pháp Léon Foucault (1851) đã dùng con lắc khổng lồ để chứng minh Trái Đất tự quay.

Nguyên lý:

• Mặt phẳng dao động của con lắc giữ nguyên trong không gian quán tính
• Trái Đất quay bên dưới con lắc
• Quan sát thấy mặt phẳng dao động quay dần theo thời gian

Tốc độ quay:

• Tại cực: 1 vòng/ngày (24h)
• Tại xích đạo: Không quay
• Tại vĩ độ $\phi$: Chu kỳ quay = $\frac{24h}{\sin\phi}$

Ý nghĩa: Bằng chứng trực quan cho thấy Trái Đất tự quay quanh trục.

4. Thiết bị giảm chấn trong xây dựng

Vấn đề: Các tòa nhà cao tầng có thể dao động khi có gió mạnh hoặc động đất.

Giải pháp: Lắp đặt con lắc khổng lồ (TMD – Tuned Mass Damper) ở tầng cao nhất.

Nguyên lý:

• Con lắc có khối lượng rất lớn (hàng trăm tấn)
• Điều chỉnh $l$ sao cho chu kỳ con lắc bằng chu kỳ dao động của tòa nhà
• Khi tòa nhà dao động, con lắc dao động ngược pha
• Giảm biên độ dao động của tòa nhà

Ví dụ thực tế:

• Tòa nhà Taipei 101 (Đài Loan): Con lắc 660 tấn
• Burj Khalifa (Dubai): Hệ thống giảm chấn phức tạp

5. Thể thao – Xà đơn

Nguyên lý: Vận động viên thực hiện động tác xà đơn giống như con lắc đơn.

Ứng dụng:

• Tính chu kỳ dao động: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ với $l$ là chiều dài tay người
• Tối ưu hóa kỹ thuật: Thu co cơ thể để thay đổi $l$, tăng vận tốc quay
• Phân tích động tác: Dùng năng lượng và động lượng

Lưu ý: Vận động viên không phải con lắc đơn lý tưởng vì có thể thay đổi hình dạng cơ thể.

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và hệ thống về con lắc đơn:

Cấu tạo và điều kiện: Con lắc đơn gồm vật nặng và dây treo, dao động điều hòa khi $\alpha_0 < 10°$

Công thức chu kỳ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ – Công thức quan trọng nhất, không phụ thuộc $m$ và $\alpha_0$

Tần số và tần số góc: $f = \frac{1}{T}$, $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Phương trình dao động: Li độ, vận tốc, gia tốc – tương tự dao động điều hòa

Lực và năng lượng: Lực kéo về, lực căng dây, cơ năng bảo toàn

Thay đổi chu kỳ: Thay đổi $l$, $g$, trong thang máy, đồng hồ quả lắc

Bài tập mẫu và ứng dụng thực tế

Công thức CẦN NHỚ NHẤT

Chu kỳ con lắc đơn:

$$\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}$$

Đặc điểm quan trọng:

• ❌ KHÔNG phụ thuộc khối lượng $m$
• ❌ KHÔNG phụ thuộc biên độ $\alpha_0$ (khi dao động nhỏ)
• ✅ CHỈ phụ thuộc chiều dài $l$ và gia tốc trọng trường $g$

Hệ quả:

• $l$ tăng → $T$ tăng (tỉ lệ với $\sqrt{l}$)
• $g$ tăng → $T$ giảm (tỉ lệ nghịch với $\sqrt{g}$)

Các công thức quan trọng khác

Tần số góc: $$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$$

Vận tốc cực đại: $$v_{max} = \sqrt{gl}\alpha_0$$

Cơ năng: $$W = \frac{1}{2}mgl\alpha_0^2$$

Thay đổi chiều dài: $$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$$

Đo gia tốc trọng trường: $$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$$

Lời khuyên học tập

Học thuộc công thức chu kỳ – Đây là công thức quan trọng nhất, xuất hiện trong hầu hết các bài tập

Nhớ kỹ: Chu kỳ KHÔNG phụ thuộc khối lượng – Đây là điểm đặc biệt của con lắc đơn

Điều kiện dao động nhỏ: $\alpha_0 < 10°$ – Cần thỏa để dao động điều hòa

Góc phải đo bằng radian trong công thức – Nhớ đổi: $1° = \frac{\pi}{180}$ rad

So sánh chu kỳ dùng tỉ số – $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ hoặc $\sqrt{\frac{g_1}{g_2}}$

Vẽ hình minh họa – Giúp hình dung rõ các vị trí, lực tác dụng

Luyện tập nhiều dạng bài – Đặc biệt các dạng thay đổi chu kỳ, đồng hồ quả lắc, thang máy

Hiểu bản chất vật lý – Không chỉ thuộc công thức mà hiểu tại sao lại như vậy

Cô Trần Thị Bình

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Lý – Hóa – Sinh tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Hoá Học, Bằng Thạc sĩ, Chức danh nghề nghiệp Giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Gia Định