I. GIỚI THIỆU

1. Công thức cộng vận tốc là gì?

Định nghĩa: Công thức cộng vận tốc là công thức dùng để tính vận tốc của một vật khi quan sát từ các hệ quy chiếu khác nhau.

Ý tưởng cốt lõi: Vận tốc của một vật không phải là đại lượng tuyệt đối mà phụ thuộc vào người quan sát (hệ quy chiếu). Cùng một vật chuyển động, nhưng người đứng yên và người đang chuyển động sẽ thấy vận tốc khác nhau.

Tính tương đối của chuyển động:

• Một người đi trên tàu sẽ có vận tốc khác nhau khi nhìn từ tàu và khi nhìn từ bờ
• Mưa rơi thẳng đứng nhưng người đi sẽ thấy mưa rơi chéo
• Máy bay bay gặp gió sẽ có vận tốc thực khác vận tốc trong không khí

2. Các khái niệm cơ bản

Quy ước ký hiệu:

• Chỉ số 1: Vật cần tìm vận tốc (người, thuyền, máy bay…)
• Chỉ số 2: Hệ quy chiếu chuyển động (tàu, nước, gió…)
• Chỉ số 3: Hệ quy chiếu đứng yên, thường là mặt đất

Ví dụ minh họa:

• $\vec{v}_{người,đất}$: Vận tốc người so với đất
• $\vec{v}_{người,tàu}$: Vận tốc người so với tàu
• $\vec{v}_{tàu,đất}$: Vận tốc tàu so với đất

Hiểu tính tương đối: Giúp nhận thức rằng chuyển động là tương đối, phụ thuộc vào người quan sát.

II. CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC

1. Công thức tổng quát (dạng vectơ)

Công thức cơ bản:

$$\boxed{\vec{v}_{13} = \vec{v}_{12} + \vec{v}_{23}}$$

Đọc là: “Vận tốc 1 so với 3 bằng vận tốc 1 so với 2 cộng vận tốc 2 so với 3”

Ý nghĩa các thành phần:

• $\vec{v}_{13}$: Vận tốc tuyệt đối – Vận tốc của vật 1 đối với đất (hệ quy chiếu 3)
• $\vec{v}_{12}$: Vận tốc tương đối – Vận tốc của vật 1 đối với vật 2 (hệ quy chiếu chuyển động)
• $\vec{v}_{23}$: Vận tốc kéo theo – Vận tốc của vật 2 đối với đất

Quy tắc nhớ quan trọng:

“Quy tắc chỉ số liên tiếp”: 1-2 + 2-3 = 1-3

Chỉ số giữa (số 2) xuất hiện hai lần ở vế phải, khi cộng lại thì “triệt tiêu” nhau, chỉ còn lại chỉ số 1 và 3.

Ví dụ thực tế:

Người đi trên tàu:

• Vật 1: Người
• Vật 2: Tàu
• Vật 3: Đất (bờ)

$$\vec{v}_{người,đất} = \vec{v}_{người,tàu} + \vec{v}_{tàu,đất}$$

2. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp 1: Cùng phương, cùng chiều

Khi hai vectơ $\vec{v}_{12}$ và $\vec{v}_{23}$ cùng phương, cùng chiều:

$$\boxed{v_{13} = v_{12} + v_{23}}$$

Quy tắc: Cộng độ lớn vận tốc

Ví dụ 1: Người đi trên tàu theo chiều tàu chạy

• Người đi với vận tốc $v_{12} = 2$ m/s trên tàu (cùng chiều tàu)
• Tàu chạy với vận tốc $v_{23} = 5$ m/s so với bờ
• Vận tốc người so với bờ: $$v_{13} = 2 + 5 = 7 \text{ m/s}$$

Giải thích: Vận tốc tàu “cộng thêm” vào vận tốc người, làm người đi nhanh hơn so với bờ.

Trường hợp 2: Cùng phương, ngược chiều

Khi hai vectơ $\vec{v}_{12}$ và $\vec{v}_{23}$ cùng phương nhưng ngược chiều:

$$\boxed{v_{13} = |v_{12} – v_{23}|}$$

Quy tắc: Trừ độ lớn vận tốc, lấy trị tuyệt đối

Ví dụ 2: Người đi ngược chiều tàu

• Người đi với vận tốc $v_{12} = 2$ m/s trên tàu (ngược chiều tàu)
• Tàu chạy với vận tốc $v_{23} = 5$ m/s so với bờ
• Vận tốc người so với bờ: $$v_{13} = |2 – 5| = |-3| = 3 \text{ m/s}$$

Chiều: Theo chiều tàu (vì tàu nhanh hơn)

Giải thích: Người đi ngược lại nên vận tốc tàu “trừ đi” vận tốc người. Tàu nhanh hơn nên người vẫn chuyển động theo chiều tàu so với bờ.

Trường hợp 3: Vuông góc nhau

Khi hai vectơ $\vec{v}_{12} \perp \vec{v}_{23}$ (vuông góc):

$$\boxed{v_{13} = \sqrt{v_{12}^2 + v_{23}^2}}$$

Quy tắc: Áp dụng định lý Pythagore

Ví dụ 3: Thuyền chạy vuông góc với dòng nước

• Thuyền chạy với vận tốc $v_{12} = 3$ m/s (vuông góc bờ sông)
• Nước chảy với vận tốc $v_{23} = 4$ m/s (dọc theo bờ)
• Vận tốc thuyền so với bờ: $$v_{13} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m/s}$$

Giải thích: Thuyền vừa di chuyển vuông góc bờ, vừa bị nước đẩy dọc bờ, tạo thành tam giác vuông.

Hướng chuyển động:

Góc lệch so với phương vuông góc bờ: $$\tan\alpha = \frac{v_{23}}{v_{12}} = \frac{4}{3}$$ $$\alpha = \arctan\frac{4}{3} \approx 53.13°$$

Trường hợp 4: Hợp với nhau góc α

Khi hai vectơ tạo với nhau góc $\alpha$:

$$\boxed{v_{13}^2 = v_{12}^2 + v_{23}^2 + 2v_{12}v_{23}\cos\alpha}$$

Quy tắc: Áp dụng định lý hàm cos (tương tự định lý cos trong tam giác)

Trong đó:

• $\alpha$: Góc giữa $\vec{v}_{12}$ và $\vec{v}_{23}$

Các trường hợp đặc biệt:

• $\alpha = 0°$ (cùng chiều): $\cos 0° = 1$ → $v_{13} = v_{12} + v_{23}$
• $\alpha = 90°$ (vuông góc): $\cos 90° = 0$ → $v_{13} = \sqrt{v_{12}^2 + v_{23}^2}$
• $\alpha = 180°$ (ngược chiều): $\cos 180° = -1$ → $v_{13} = |v_{12} – v_{23}|$

Ví dụ 4: Thuyền chạy hợp với dòng nước góc 60°

• $v_{12} = 6$ m/s, $v_{23} = 4$ m/s, $\alpha = 60°$

$$v_{13}^2 = 6^2 + 4^2 + 2 \times 6 \times 4 \times \cos 60°$$ $$= 36 + 16 + 48 \times 0.5$$ $$= 36 + 16 + 24 = 76$$ $$v_{13} = \sqrt{76} \approx 8.72 \text{ m/s}$$

III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1. Các bước giải chuẩn

Bước 1: Xác định các vật và hệ quy chiếu

Đọc kỹ đề bài và xác định:

• Vật 1: Vật cần tìm vận tốc (thường là người, thuyền, máy bay)
• Vật 2: Hệ quy chiếu chuyển động (tàu, dòng nước, gió)
• Vật 3: Hệ quy chiếu đứng yên (thường là mặt đất, bờ sông)

Ví dụ: “Người đi trên tàu”

• Vật 1: Người
• Vật 2: Tàu
• Vật 3: Bờ (đất)

Bước 2: Viết công thức vectơ

Áp dụng công thức tổng quát: $$\vec{v}_{13} = \vec{v}_{12} + \vec{v}_{23}$$

Thay tên cụ thể: $$\vec{v}_{người,bờ} = \vec{v}_{người,tàu} + \vec{v}_{tàu,bờ}$$

Bước 3: Xác định hướng và áp dụng công thức phù hợp

Nếu cùng chiều: $$v_{13} = v_{12} + v_{23}$$

Nếu ngược chiều: $$v_{13} = |v_{12} – v_{23}|$$

Nếu vuông góc: $$v_{13} = \sqrt{v_{12}^2 + v_{23}^2}$$

Nếu hợp góc α: $$v_{13}^2 = v_{12}^2 + v_{23}^2 + 2v_{12}v_{23}\cos\alpha$$

Bước 4: Tính toán và kết luận

Thay số vào công thức, tính toán cẩn thận và ghi đơn vị.

2. Sơ đồ vẽ vectơ

Phương pháp hình bình hành:

Để cộng hai vectơ vectơ $\vec{v}_{12}$ và $\vec{v}_{23}$:

1. Vẽ $\vec{v}_{12}$ xuất phát từ điểm O
2. Vẽ $\vec{v}_{23}$ xuất phát từ điểm O
3. Hoàn thành hình bình hành
4. $\vec{v}_{13}$ là đường chéo xuất phát từ O

       v₁₃
      ↗
     ↗
    ↗
   O────→ v₂₃
   ↑
   ↑
   v₁₂

Phương pháp nối tiếp:

1. Vẽ $\vec{v}_{12}$ từ điểm A
2. Vẽ $\vec{v}_{23}$ từ điểm cuối của $\vec{v}_{12}$
3. $\vec{v}_{13}$ là vectơ nối từ điểm đầu $\vec{v}_{12}$ đến điểm cuối $\vec{v}_{23}$

Lưu ý: Vẽ hình giúp hình dung rõ ràng hướng và độ lớn vận tốc.

3. Mẹo nhớ nhanh

Mẹo 1: “Chỉ số liên tiếp”

Công thức: 1-2 + 2-3 = 1-3

Chỉ số 2 xuất hiện ở cả hai số hạng bên phải, khi cộng lại thì “bị triệt tiêu”, chỉ còn 1-3.

Ví dụ áp dụng:

• Cần tìm: $\vec{v}_{A,C}$
• Biết: $\vec{v}_{A,B}$ và $\vec{v}_{B,C}$
• Công thức: $\vec{v}_{A,C} = \vec{v}_{A,B} + \vec{v}_{B,C}$

Mẹo 2: Quy tắc đổi dấu

$$\vec{v}_{12} = -\vec{v}_{21}$$

Vận tốc của 1 so với 2 thì ngược hướng với vận tốc của 2 so với 1.

Ví dụ:

• Tàu chạy 10 m/s về phía Đông so với bờ
• Bờ “chạy” 10 m/s về phía Tây so với tàu

Mẹo 3: Nhớ theo từ khóa

• CÙNG chiều → CỘNG
• NGƯỢC chiều → TRỪ (có trị tuyệt đối)
• VUÔNG góc → PYTHAGORE ($\sqrt{a^2 + b^2}$)

IV. DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Người đi trên tàu/xe

Bài 1: Một tàu hỏa chạy thẳng đều với vận tốc 30 km/h. Một hành khách đi trên tàu với vận tốc 5 km/h so với tàu. Tính vận tốc của hành khách so với mặt đất khi: a) Người đi cùng chiều tàu chạy b) Người đi ngược chiều tàu chạy

Lời giải:

Xác định:

• Vật 1: Người
• Vật 2: Tàu
• Vật 3: Mặt đất

Công thức: $\vec{v}_{người,đất} = \vec{v}_{người,tàu} + \vec{v}_{tàu,đất}$

Câu a) Cùng chiều:

• Hai vectơ cùng chiều → Cộng đại số $$v = v_{người,tàu} + v_{tàu,đất} = 5 + 30 = 35 \text{ km/h}$$

Câu b) Ngược chiều:

• Hai vectơ ngược chiều → Trừ đại số $$v = |v_{người,tàu} – v_{tàu,đất}| = |5 – 30| = 25 \text{ km/h}$$

Chiều: Theo chiều tàu

Đáp án:

• a) 35 km/h
• b) 25 km/h

Dạng 2: Thuyền qua sông

Bài 2: Một con thuyền chạy vuông góc với bờ sông với vận tốc 6 m/s so với nước. Nước chảy với vận tốc 8 m/s so với bờ. Tính vận tốc của thuyền so với bờ.

Lời giải:

Xác định:

• Vật 1: Thuyền
• Vật 2: Nước
• Vật 3: Bờ

Công thức: $\vec{v}_{thuyền,bờ} = \vec{v}_{thuyền,nước} + \vec{v}_{nước,bờ}$

Phân tích:

• $\vec{v}_{thuyền,nước}$ vuông góc bờ: 6 m/s
• $\vec{v}_{nước,bờ}$ dọc bờ: 8 m/s
• Hai vectơ vuông góc → Dùng Pythagore

Tính toán: $$v_{thuyền,bờ} = \sqrt{v_{thuyền,nước}^2 + v_{nước,bờ}^2}$$ $$= \sqrt{6^2 + 8^2}$$ $$= \sqrt{36 + 64}$$ $$= \sqrt{100} = 10 \text{ m/s}$$

Đáp án: 10 m/s

Bài 3: Một dòng sông rộng 100 m, nước chảy với vận tốc 3 m/s. Thuyền chạy vuông góc bờ với vận tốc 4 m/s so với nước. Tính: a) Thời gian thuyền qua sông b) Quãng đường thuyền trôi theo dòng nước

Lời giải:

Câu a) Thời gian qua sông:

Nguyên tắc: Thời gian chỉ phụ thuộc vào thành phần vận tốc vuông góc với bờ.

$$t = \frac{d}{v_{\perp}} = \frac{\text{chiều rộng sông}}{v_{thuyền,nước}}$$ $$= \frac{100}{4} = 25 \text{ s}$$

Câu b) Quãng đường trôi:

Trong thời gian qua sông, thuyền bị dòng nước đẩy theo chiều dọc bờ: $$s = v_{nước} \times t = 3 \times 25 = 75 \text{ m}$$

Đáp án:

• a) 25 giây
• b) 75 mét

Dạng 3: Máy bay gặp gió

Bài 4: Một máy bay bay với vận tốc 500 km/h về phía Đông so với không khí. Gió thổi với vận tốc 100 km/h về phía Bắc. Tính vận tốc của máy bay so với mặt đất.

Lời giải:

Xác định:

• Vật 1: Máy bay
• Vật 2: Không khí (gió)
• Vật 3: Mặt đất

Công thức: $\vec{v}_{bay,đất} = \vec{v}_{bay,khí} + \vec{v}_{khí,đất}$

Phân tích:

• $\vec{v}_{bay,khí}$: 500 km/h về phía Đông
• $\vec{v}_{khí,đất}$ (gió): 100 km/h về phía Bắc
• Đông và Bắc vuông góc nhau → Pythagore

Tính toán: $$v_{bay,đất} = \sqrt{500^2 + 100^2}$$ $$= \sqrt{250000 + 10000}$$ $$= \sqrt{260000}$$ $$\approx 509.9 \text{ km/h}$$

Hướng bay: Lệch về phía Bắc so với hướng Đông một góc: $$\tan\alpha = \frac{100}{500} = 0.2$$ $$\alpha = \arctan(0.2) \approx 11.3°$$

Đáp án: Khoảng 509.9 km/h, lệch 11.3° về phía Bắc

Dạng 4: Mưa và người đi

Bài 5: Mưa rơi thẳng đứng với vận tốc 10 m/s. Một người chạy ngang với vận tốc 8 m/s. Tính: a) Vận tốc mưa so với người b) Góc cần nghiêng ô để không bị ướt

Lời giải:

Câu a) Vận tốc mưa so với người:

Công thức: $\vec{v}_{mưa,người} = \vec{v}_{mưa,đất} – \vec{v}_{người,đất}$

Hoặc: $\vec{v}_{mưa,người} = \vec{v}_{mưa,đất} + (-\vec{v}_{người,đất})$

Phân tích:

• $\vec{v}_{mưa,đất}$: 10 m/s thẳng đứng (xuống)
• $-\vec{v}_{người,đất}$: 8 m/s ngang (ngược chiều người chạy)
• Hai vectơ vuông góc

Tính toán: $$v_{mưa,người} = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} \approx 12.8 \text{ m/s}$$

Câu b) Góc nghiêng ô:

Để không bị ướt, ô phải nghiêng theo hướng mưa so với người.

$$\tan\alpha = \frac{v_{người,đất}}{v_{mưa,đất}} = \frac{8}{10} = 0.8$$ $$\alpha = \arctan(0.8) \approx 38.7°$$

Đáp án:

• a) Khoảng 12.8 m/s
• b) Nghiêng khoảng 38.7° so với phương thẳng đứng

Dạng 5: Hai xe chuyển động

Bài 6: Xe A chạy với vận tốc 60 km/h về phía Đông. Xe B chạy với vận tốc 80 km/h về phía Bắc. Tính vận tốc của xe A so với xe B.

Lời giải:

Công thức: $\vec{v}_{A,B} = \vec{v}_{A,đất} – \vec{v}_{B,đất}$

Hay: $\vec{v}_{A,B} = \vec{v}_{A,đất} + (-\vec{v}_{B,đất})$

Phân tích:

• $\vec{v}_{A,đất}$: 60 km/h về Đông
• $-\vec{v}_{B,đất}$: 80 km/h về Nam (ngược với Bắc)
• Đông và Nam vuông góc

Tính toán: $$v_{A,B} = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \text{ km/h}$$

Hướng: Từ B nhìn A, xe A chuyển động về hướng Đông-Nam.

$$\tan\beta = \frac{60}{80} = 0.75$$ $$\beta = \arctan(0.75) \approx 36.9°$$

Đáp án: 100 km/h, hướng Đông-Nam (lệch 36.9° so với hướng Đông)

V. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT

Công thức tổng quát

Công thức nghịch đảo

Từ công thức cơ bản, ta có thể suy ra:

Ứng dụng: Khi biết hai vận tốc, tìm vận tốc còn lại.

Tính chất quan trọng

Tính chất 1: Đổi chiều $$\vec{v}_{12} = -\vec{v}_{21}$$

Vận tốc 1 so với 2 ngược hướng với vận tốc 2 so với 1.

Tính chất 2: Vòng kín $$\vec{v}_{13} + \vec{v}_{31} = \vec{0}$$

Vận tốc đi và về triệt tiêu nhau.

Tính chất 3: Bắc cầu $$\vec{v}_{13} = \vec{v}_{12} + \vec{v}_{23} = \vec{v}_{12} + \vec{v}_{24} + \vec{v}_{43}$$

Có thể cộng nhiều vận tốc liên tiếp.

VI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: Quy tắc “chỉ số liên tiếp”

1-2 + 2-3 = 1-3

Chỉ số giữa (số 2) xuất hiện hai lần ở vế phải, khi cộng lại thì “bị triệt tiêu”.

Ví dụ mở rộng:

• $\vec{v}_{AC} = \vec{v}_{AB} + \vec{v}_{BC}$ (A-B + B-C = A-C)
• $\vec{v}_{14} = \vec{v}_{12} + \vec{v}_{23} + \vec{v}_{34}$ (1-2 + 2-3 + 3-4 = 1-4)

Mẹo 2: Nhớ bằng lời

“Vận tốc người so với đất = Vận tốc người so với tàu + Vận tốc tàu so với đất”

Hoặc ngắn gọn:

“Tuyệt đối = Tương đối + Kéo theo”

Mẹo 3: Nhớ theo hình ảnh

Tưởng tượng bạn đang đi trên tàu:

• Bạn đi nhanh trên tàu (vận tốc tương đối)
• Tàu cũng đang chạy (vận tốc kéo theo)
• Người đứng bờ thấy bạn chạy rất nhanh (vận tốc tuyệt đối = cộng hai vận tốc kia)

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên vectơ, cộng sai chiều

Sai: Người đi ngược chiều tàu, vận tốc người so với bờ = 2 + 5 = 7 m/s

Đúng: Ngược chiều → Trừ → $v = |2 – 5| = 3$ m/s

Nguyên nhân: Quên rằng vận tốc là đại lượng vectơ, có hướng.

❌ SAI LẦM 2: Nhầm chỉ số

Sai: $\vec{v}_{13} = \vec{v}_{12} + \vec{v}_{32}$ (sai vì 3-2, không liên tiếp)

Đúng: $\vec{v}_{13} = \vec{v}_{12} + \vec{v}_{23}$ (1-2 + 2-3)

Cách tránh: Kiểm tra “chỉ số liên tiếp” – chỉ số giữa phải xuất hiện 2 lần.

❌ SAI LẦM 3: Quên Pythagore khi vuông góc

Sai: Thuyền vuông góc dòng nước, $v = 6 + 8 = 14$ m/s

Đúng: $v = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ m/s

Cách tránh: Nhớ từ khóa “vuông góc” → Pythagore

❌ SAI LẦM 4: Nhầm thời gian qua sông

Sai: Thời gian = $\frac{\text{chiều rộng}}{v_{thuyền,bờ}}$

Đúng: Thời gian = $\frac{\text{chiều rộng}}{v_{\perp \text{ bờ}}}$ (chỉ phụ thuộc vận tốc vuông góc)

Giải thích: Thành phần dọc bờ không ảnh hưởng đến thời gian qua sông.

3. Lưu ý quan trọng

Vận tốc là đại lượng vectơ – Luôn chú ý đến hướng, không chỉ độ lớn

Thời gian qua sông – Chỉ phụ thuộc vào thành phần vận tốc vuông góc với bờ: $$t = \frac{d}{v_{\perp}}$$

Quãng đường trôi theo dòng – Tính bằng vận tốc dòng nước nhân với thời gian: $$s_{trôi} = v_{nước} \times t$$

Vẽ hình – Luôn vẽ sơ đồ vectơ để tránh nhầm lẫn về hướng

Đơn vị – Thống nhất đơn vị trước khi tính (m/s hoặc km/h)

VII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày công thức cộng vận tốc một cách ngắn gọn và đúng trọng tâm:

Công thức cơ bản: $$\vec{v}_{13} = \vec{v}_{12} + \vec{v}_{23}$$

4 trường hợp đặc biệt:

• Cùng chiều: $v_{13} = v_{12} + v_{23}$
• Ngược chiều: $v_{13} = |v_{12} – v_{23}|$
• Vuông góc: $v_{13} = \sqrt{v_{12}^2 + v_{23}^2}$
• Hợp góc α: $v_{13}^2 = v_{12}^2 + v_{23}^2 + 2v_{12}v_{23}\cos\alpha$

5 dạng bài tập phổ biến:

• Người đi trên tàu/xe
• Thuyền qua sông
• Máy bay gặp gió
• Mưa và người đi
• Hai xe chuyển động

Phương pháp giải: 4 bước chuẩn, mẹo nhớ, cách vẽ vectơ

Công thức QUAN TRỌNG NHẤT

$$\boxed{\vec{v}_{13} = \vec{v}_{12} + \vec{v}_{23}}$$

Quy tắc vàng: “Chỉ số liên tiếp: 1-2 + 2-3 = 1-3”

Ý nghĩa:

• $\vec{v}_{13}$: Vận tốc tuyệt đối (so với đất)
• $\vec{v}_{12}$: Vận tốc tương đối (so với vật chuyển động)
• $\vec{v}_{23}$: Vận tốc kéo theo (của vật chuyển động so với đất)

Cô Trần Thị Bình

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Lý – Hóa – Sinh tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Hoá Học, Bằng Thạc sĩ, Chức danh nghề nghiệp Giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Gia Định