I. Phần Giới Thiệu

1. Đạo hàm và nguyên hàm – Hai chiều ngược nhau

Hình ảnh minh họa:

     ĐẠO HÀM
Hàm f(x) ---------> Đạo hàm f'(x)
     ↑                    ↓
     |                    |
     └──── NGUYÊN HÀM ────┘

Định nghĩa:

• Đạo hàm: Từ hàm f(x) → tìm f'(x) (tốc độ thay đổi)
• Nguyên hàm: Từ f(x) → tìm F(x) sao cho F'(x) = f(x) (hàm gốc)

Ví dụ minh họa:

• Đạo hàm: $(x^3)’ = 3x^2$ (từ $x^3$ tìm ra $3x^2$)
• Nguyên hàm: $\int 3x^2 dx = x^3 + C$ (từ $3x^2$ tìm lại $x^3$)

2. Tại sao cần học cả hai?

Lý do học đạo hàm:

• Tìm tốc độ thay đổi
• Khảo sát hàm số (tăng giảm, cực trị)
• Tìm tiếp tuyến
• Giải bài toán tối ưu

Lý do học nguyên hàm:

• Tính diện tích, thể tích
• Giải phương trình vi phân
• Tính quãng đường từ vận tốc
• Nền tảng cho tích phân

Khi nào dùng gì?

• Biết vị trí → tính vận tốc: Dùng đạo hàm
• Biết vận tốc → tính vị trí: Dùng nguyên hàm
• Biết diện tích hình phẳng: Dùng nguyên hàm
• Tìm cực trị hàm số: Dùng đạo hàm

3. Định lý cơ bản của giải tích

Mối liên hệ quan trọng: $$\frac{d}{dx}\left(\int f(x)dx\right) = f(x)$$

Ý nghĩa:

• Đạo hàm của nguyên hàm = hàm ban đầu
• Nguyên hàm và đạo hàm là nghịch đảo của nhau
• Chúng “triệt tiêu” lẫn nhau

Ví dụ kiểm chứng:

• $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$
• $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + C\right) = x^2$ ✓

4. Nội dung bài viết

Bài viết sẽ cung cấp:

• Bảng đối chiếu đạo hàm ↔ nguyên hàm (20+ hàm)
• Công thức nguyên hàm đầy đủ
• So sánh quy tắc hai bên
• Mẹo nhớ công thức nguyên hàm
• Bài tập tổng hợp kết hợp cả hai
• Ứng dụng trong bài toán thực tế

II. BẢNG ĐỐI CHIẾU ĐẠO HÀM ↔ NGUYÊN HÀM

1. Nguyên tắc đối chiếu

Quy luật chung: $$\text{Nếu } F'(x) = f(x) \text{ thì } \int f(x)dx = F(x) + C$$

Lưu ý quan trọng: Nguyên hàm luôn có hằng số C vì đạo hàm của hằng số bằng 0.

2. Bảng đối chiếu đầy đủ

A. HÀM LŨY THỪA

Quy luật nhớ:

• Đạo hàm: Số mũ giảm 1, nhân với số mũ cũ
• Nguyên hàm: Số mũ tăng 1, chia cho số mũ mới

Mẹo nhớ nguyên hàm lũy thừa:

“Tăng mũ lên 1, chia cho mũ mới”

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

B. HÀM MŨ VÀ LOGARIT

Đặc biệt quan trọng:

• $e^x$ là hàm duy nhất có đạo hàm bằng chính nó
• $e^x$ cũng có nguyên hàm bằng chính nó (cộng C)

Mẹo nhớ:

• Nguyên hàm $e^{ax}$ → chia cho $a$
• Nguyên hàm $a^x$ → chia cho $\ln a$
• Nguyên hàm $\frac{1}{x}$ → $\ln|x|$ (trị tuyệt đối!)

C. HÀM LƯỢNG GIÁC

Quy luật nhớ:

• Đạo hàm: sin → cos (dấu +), cos → -sin (dấu -)
• Nguyên hàm: cos → sin (dấu +), sin → -cos (dấu -)

Mẹo nhớ lượng giác:

“Cos thành sin dương, sin thành -cos âm”

Đặc biệt:

• Nguyên hàm $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ là $\tan x$
• Nguyên hàm $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ là $-\cot x$

D. HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Hai công thức VIP thường gặp trong đề thi:

• $\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$
• $\int \dfrac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$

E. BẢNG TỔNG HỢP ĐẶC BIỆT

III. CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM NÂNG CAO

1. Quy tắc tính nguyên hàm

Quy tắc 1: Nguyên hàm của tổng $$\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$$

Ví dụ: $$\int (x^2 + \sin x)dx = \frac{x^3}{3} + (-\cos x) + C = \frac{x^3}{3} – \cos x + C$$

Quy tắc 2: Nhân hằng số $$\int k \cdot f(x)dx = k \int f(x)dx$$

Ví dụ: $$\int 5x^2 dx = 5 \int x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{5x^3}{3} + C$$

Quy tắc 3: Nguyên hàm từng phần (tích) $$\int u \cdot dv = uv – \int v \cdot du$$

Ví dụ: $$\int x \sin x dx = -x\cos x – \int (-\cos x) dx = -x\cos x + \sin x + C$$

Quy tắc 4: Đổi biến số $$\int f(u(x)) \cdot u'(x) dx = \int f(u) du$$

Ví dụ: $$\int 2x \cdot e^{x^2} dx = \int e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C$$ (với $u = x^2$, $du = 2x dx$)

2. So sánh quy tắc đạo hàm vs nguyên hàm

Nhận xét quan trọng:

• Tổng, hiệu: Hai bên có quy tắc giống nhau
• Tích: Nguyên hàm phức tạp hơn nhiều (cần dùng từng phần)
• Hàm hợp: Nguyên hàm dùng phương pháp đổi biến

3. Nguyên hàm các hàm đặc biệt

A. Nguyên hàm chứa $ax + b$:

$$\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \quad (n \neq -1)$$

$$\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$$

$$\int e^{ax+b} dx = \frac{e^{ax+b}}{a} + C$$

Quy luật: Với hàm hợp có dạng $ax + b$, nguyên hàm chia thêm cho $a$.

B. Nguyên hàm hàm hợp lượng giác:

$$\int \sin(ax+b) dx = -\frac{\cos(ax+b)}{a} + C$$

$$\int \cos(ax+b) dx = \frac{\sin(ax+b)}{a} + C$$

C. Nguyên hàm phân thức đặc biệt:

$$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$$

Lưu ý: Công thức có hệ số $\frac{1}{a}$ hoặc không, cần nhớ chính xác!

IV. MẸO NHỚ CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

1. Mẹo nhớ bằng “ngược đạo hàm”

Nguyên tắc vàng:

“Nguyên hàm là quá trình ngược của đạo hàm”

Cách áp dụng:

• Biết $(x^3)’ = 3x^2$ → Suy ra $\int 3x^2 dx = x^3 + C$
• Biết $(\sin x)’ = \cos x$ → Suy ra $\int \cos x dx = \sin x + C$
• Biết $(e^x)’ = e^x$ → Suy ra $\int e^x dx = e^x + C$

Phương pháp kiểm tra: Sau khi tìm nguyên hàm, lấy đạo hàm để kiểm tra!

2. Mẹo nhớ công thức lũy thừa

Khẩu quyết:

“Tăng mũ lên 1, chia cho mũ mới”

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Ví dụ thực hành:

• $\int x^2 dx = \dfrac{x^{2+1}}{2+1} + C = \dfrac{x^3}{3} + C$
• $\int x^5 dx = \dfrac{x^{5+1}}{5+1} + C = \dfrac{x^6}{6} + C$
• $\int x^{-2} dx = \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \dfrac{x^{-1}}{-1} + C = -\dfrac{1}{x} + C$

Trường hợp đặc biệt: $n = -1$ $$\int \frac{1}{x} dx = \int x^{-1} dx = \ln|x| + C$$

3. Mẹo nhớ lượng giác

Khẩu quyết:

“Cos thành sin dương, sin thành -cos âm”

• $\int \cos x dx = \sin x + C$ (dấu dương)
• $\int \sin x dx = -\cos x + C$ (dấu âm – cần nhớ!)

Mẹo phụ:

• Nguyên hàm $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ → $\tan x$
• Nguyên hàm $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ → $-\cot x$

Cách nhớ: $\cos^2 x$ ở mẫu → tan, $\sin^2 x$ ở mẫu → -cot

4. Mẹo nhớ hàm mũ

Khẩu quyết:

“$e^x$ giữ nguyên, $a^x$ chia ln a”

• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$

Với hàm hợp:

• $\int e^{ax} dx = \dfrac{e^{ax}}{a} + C$ (chia thêm cho $a$)
• $\int e^{2x} dx = \dfrac{e^{2x}}{2} + C$

5. Mẹo nhớ hàm đặc biệt

Hai công thức VIP:

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$$

Cách nhớ:

• Mẫu có $1 + x^2$ → $\arctan$
• Mẫu có $\sqrt{1-x^2}$ → $\arcsin$

6. Bảng mẹo tổng hợp

V. BÀI TẬP TỔNG HỢP KẾT HỢP CẢ HAI

Dạng 1: Từ đạo hàm suy ra nguyên hàm

Bài 1: Biết $f'(x) = 3x^2 + 2x – 1$. Tìm $f(x)$.

Lời giải: $$f(x) = \int f'(x) dx = \int (3x^2 + 2x – 1) dx$$ $$= \int 3x^2 dx + \int 2x dx – \int 1 dx$$ $$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} – x + C$$ $$= x^3 + x^2 – x + C$$

Kiểm tra: $(x^3 + x^2 – x + C)’ = 3x^2 + 2x – 1$ ✓

Bài 2: Biết $y’ = e^x + \sin x$. Tìm $y$.

Lời giải: $$y = \int (e^x + \sin x) dx = \int e^x dx + \int \sin x dx$$ $$= e^x + (-\cos x) + C = e^x – \cos x + C$$

Kiểm tra: $(e^x – \cos x + C)’ = e^x + \sin x$ ✓

Dạng 2: Kiểm tra nguyên hàm bằng đạo hàm

Bài 3: Kiểm tra $\int 2x dx = x^2 + C$ có đúng không?

Lời giải: Lấy đạo hàm: $(x^2 + C)’ = 2x + 0 = 2x$ ✓ Đúng!

Bài 4: Kiểm tra $\int \cos x dx = \sin x + C$

Lời giải: $(\sin x + C)’ = \cos x + 0 = \cos x$ ✓ Đúng!

Bài 5: Kiểm tra $\int \sin x dx = \cos x + C$ có đúng không?

Lời giải: $(\cos x + C)’ = -\sin x \neq \sin x$ ✗ Sai! Đúng phải là: $\int \sin x dx = -\cos x + C$

Dạng 3: Bài toán vận tốc – gia tốc

Bài 6: Gia tốc $a(t) = 6t$ (m/s²). Tìm vận tốc $v(t)$ biết $v(0) = 2$ m/s.

Lời giải:

• $v(t) = \int a(t) dt = \int 6t dt = 6 \cdot \frac{t^2}{2} + C = 3t^2 + C$
• Điều kiện ban đầu: $v(0) = 2$ → $3 \cdot 0^2 + C = 2$ → $C = 2$
• Vậy $v(t) = 3t^2 + 2$ (m/s)

Bài 7: Vận tốc $v(t) = 2t + 3$ (m/s). Tìm quãng đường $s(t)$ biết $s(0) = 0$.

Lời giải:

• $s(t) = \int v(t) dt = \int (2t + 3) dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} + 3t + C = t^2 + 3t + C$
• Điều kiện: $s(0) = 0$ → $0^2 + 3 \cdot 0 + C = 0$ → $C = 0$
• Vậy $s(t) = t^2 + 3t$ (m)

Dạng 4: Tìm hàm số từ đạo hàm cấp 2

Bài 8: Cho $f”(x) = 6x$, $f'(0) = 1$, $f(0) = 2$. Tìm $f(x)$.

Lời giải:

• Bước 1: Tìm $f'(x)$
  • $f'(x) = \int f”(x) dx = \int 6x dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 3x^2 + C_1$
  • Điều kiện: $f'(0) = 1$ → $3 \cdot 0^2 + C_1 = 1$ → $C_1 = 1$
  • $f'(x) = 3x^2 + 1$
• Bước 2: Tìm $f(x)$
  • $f(x) = \int f'(x) dx = \int (3x^2 + 1) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + x + C_2 = x^3 + x + C_2$
  • Điều kiện: $f(0) = 2$ → $0^3 + 0 + C_2 = 2$ → $C_2 = 2$
  • Kết quả: $f(x) = x^3 + x + 2$

Kiểm tra:

• $f'(x) = 3x^2 + 1$ ✓
• $f”(x) = 6x$ ✓
• $f'(0) = 1$, $f(0) = 2$ ✓

Dạng 5: Diện tích và đạo hàm

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục hoành, $x = 0$, $x = 2$.

Lời giải: $$S = \int_0^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$$

Kiểm tra nguyên hàm: $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^3}{3}\right) = x^2$ ✓

Diện tích: $S = \dfrac{8}{3}$ đơn vị diện tích

VI. ỨNG DỤNG THỰC TẾ KẾT HỢP CẢ HAI

1. Bài toán chuyển động

Mối liên hệ trong chuyển động:

Quãng đường s(t)
      ↓ ĐẠO HÀM
Vận tốc v(t) = s'(t)
      ↓ ĐẠO HÀM
Gia tốc a(t) = v'(t) = s''(t)

Ngược lại:

Gia tốc a(t)
      ↓ NGUYÊN HÀM
Vận tốc v(t) = ∫a(t)dt + C₁
      ↓ NGUYÊN HÀM
Quãng đường s(t) = ∫v(t)dt + C₂

Ví dụ thực tế: Xe ô tô chuyển động với gia tốc $a = 2t$ m/s². Tính quãng đường sau 3 giây, biết $v(0) = 0$, $s(0) = 0$.

Lời giải:

• Bước 1: Tìm vận tốc
  • $v(t) = \int 2t dt = t^2 + C_1$
  • Điều kiện $v(0) = 0$: $C_1 = 0$
  • $v(t) = t^2$ m/s
• Bước 2: Tìm quãng đường
  • $s(t) = \int t^2 dt = \frac{t^3}{3} + C_2$
  • Điều kiện $s(0) = 0$: $C_2 = 0$
  • $s(t) = \frac{t^3}{3}$ m
• Kết quả: $s(3) = \frac{27}{3} = 9$ mét

2. Bài toán tăng trưởng dân số

Bài toán: Tốc độ tăng dân số của một thành phố là $P'(t) = 1000e^{0.02t}$ người/năm. Tìm dân số sau $t$ năm, biết dân số ban đầu là 50,000 người.

Lời giải:

• $P(t) = \int 1000e^{0.02t} dt = 1000 \cdot \frac{e^{0.02t}}{0.02} + C = 50000e^{0.02t} + C$
• Điều kiện $P(0) = 50000$: $50000 + C = 50000$ → $C = 0$
• Kết quả: $P(t) = 50000e^{0.02t}$ người

3. Bài toán vật lý – Công và công suất

Mối liên hệ:

• Công suất: $P(t) = \frac{dW}{dt}$ (đạo hàm của công)
• Công: $W = \int P(t) dt$ (nguyên hàm của công suất)

Ví dụ: Công suất của máy là $P(t) = 100t$ W. Tính công thực hiện trong 5 giây đầu.

Lời giải: $W = \int_0^5 100t dt = 100 \cdot \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^5 = 50(25 – 0) = 1250 \text{ J}$

4. Bài toán kinh tế – Chi phí biên

Mối liên hệ:

• Chi phí biên: $MC = \frac{dC}{dq}$ (đạo hàm của tổng chi phí)
• Tổng chi phí: $C(q) = \int MC , dq$ (nguyên hàm của chi phí biên)

Ví dụ: Chi phí biên sản xuất $q$ sản phẩm là $MC = 2q + 10$ (nghìn đồng/sản phẩm). Chi phí cố định là 100 nghìn đồng. Tìm hàm tổng chi phí.

Lời giải:

• $C(q) = \int (2q + 10) dq = q^2 + 10q + C$
• Chi phí cố định: $C(0) = 100$ → $C = 100$
• Kết quả: $C(q) = q^2 + 10q + 100$ (nghìn đồng)

VII. SO SÁNH TỔNG QUÁT

Bảng so sánh đầy đủ

Điểm giống nhau

• Cả hai đều là công cụ cơ bản của giải tích
• Cả hai đều tuân theo quy tắc tuyến tính (tổng, hiệu)
• Cả hai đều có công thức cho các hàm cơ bản
• Cả hai đều quan trọng trong ứng dụng thực tế

Điểm khác nhau

Về kết quả:

• Đạo hàm: Cho một kết quả duy nhất
• Nguyên hàm: Cho vô số kết quả (khác nhau bởi C)

Về hướng tính toán:

• Đạo hàm: Đi từ phức tạp → đơn giản
• Nguyên hàm: Đi từ đơn giản → phức tạp

Về quy tắc:

• Đạo hàm: Có quy tắc đơn giản cho tích/thương
• Nguyên hàm: Tích/thương rất phức tạp (từng phần, không có công thức thương)

IX. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã hệ thống hóa MỐI LIÊN HỆ giữa đạo hàm và nguyên hàm:

Bảng đối chiếu đầy đủ:

• 25+ cặp công thức đạo hàm ↔ nguyên hàm
• Bao gồm: lũy thừa, mũ, logarit, lượng giác, lượng giác ngược

Công thức nguyên hàm:

• Đầy đủ các loại hàm cơ bản và nâng cao
• 4 quy tắc tính nguyên hàm
• Nguyên hàm đặc biệt với $ax + b$

Mẹo nhớ hiệu quả:

• 6 khẩu quyết dễ nhớ
• Kỹ thuật “ngược đạo hàm”
• Phương pháp kiểm tra bằng đạo hàm

Bài tập tích hợp:

• 9 bài tập kết hợp cả hai khái niệm
• Ứng dụng trong chuyển động, kinh tế, vật lý
• Bài toán thực tế cụ thể

Bảng so sánh chi tiết:

• Điểm giống và khác nhau
• Khi nào dùng đạo hàm, khi nào dùng nguyên hàm
• Checklist học hiệu quả 8 tuần

Vai trò của cặp đôi này

Trong toán học:

• Đạo hàm: Phân tích sự thay đổi, khảo sát tính chất hàm số
• Nguyên hàm: Tổng hợp từ các phần nhỏ, tính diện tích thể tích
• Cùng nhau: Tạo nên nền tảng vững chắc cho giải tích

Trong ứng dụng:

• Đạo hàm: Từ vị trí → vận tốc → gia tốc
• Nguyên hàm: Từ gia tốc → vận tốc → quãng đường
• Bổ sung hoàn hảo: Giải quyết mọi bài toán chuyển động

Trong học tập:

• Hiểu được mối liên hệ → học dễ dàng hơn
• Kiểm tra chéo → tránh sai sót
• Ứng dụng tích hợp → điểm cao hơn

PHỤ LỤC: BẢNG TỔNG HỢP

Bảng 1: Đối chiếu đầy đủ Đạo hàm ↔ Nguyên hàm

Bảng 2: Quy tắc so sánh

Bảng 3: Mẹo nhớ công thức nguyên hàm

Bảng 4: Công thức nguyên hàm đặc biệt

Bảng 5: Bài toán chuyển động

CÂU HỎI THƯỜNG GẶP (FAQ)

1. Đạo hàm và nguyên hàm có phải là nghịch đảo của nhau?

Trả lời: Đúng! Chúng là hai phép toán ngược nhau.

• Đạo hàm: Từ F(x) → tìm f(x) = F'(x)
• Nguyên hàm: Từ f(x) → tìm F(x) sao cho F'(x) = f(x)

Kiểm chứng: $\frac{d}{dx}\left(\int f(x)dx\right) = f(x)$

2. Tại sao nguyên hàm có thêm hằng số C?

Trả lời: Vì đạo hàm của hằng số bằng 0.

• Nếu F'(x) = f(x)
• Thì (F(x) + C)’ = F'(x) + 0 = f(x)
• Vậy vô số hàm F(x) + C đều là nguyên hàm của f(x)

Ví dụ: $\int 2x dx = x^2 + C$ (C có thể là 0, 1, 5, -3,…)

3. Làm sao biết khi nào dùng đạo hàm, khi nào dùng nguyên hàm?

Trả lời:

• Dùng đạo hàm khi: Biết hàm gốc, cần tìm tốc độ thay đổi
  • Có s(t), tìm v(t)
  • Có hàm số, tìm cực trị
• Dùng nguyên hàm khi: Biết tốc độ thay đổi, cần tìm hàm gốc
  • Có v(t), tìm s(t)
  • Có f'(x), tìm f(x)
  • Tính diện tích

4. Có cách nào học thuộc công thức nguyên hàm nhanh không?

Trả lời: Có 3 cách hiệu quả:

1. Học qua đạo hàm: Biết $(x^3)’ = 3x^2$ → suy ra $\int 3x^2 dx = x^3 + C$
2. Dùng mẹo nhớ: “Tăng mũ, chia mũ mới”, “Cos thành sin”
3. Kiểm tra bằng đạo hàm: Sau khi tìm nguyên hàm, lấy đạo hàm để kiểm tra

5. Tại sao nguyên hàm khó hơn đạo hàm?

Trả lời:

• Đạo hàm: Luôn có công thức cụ thể, tính toán cơ học
• Nguyên hàm: Không phải hàm nào cũng có công thức, cần kỹ xảo
  • Cần biết đổi biến
  • Cần biết tích phân từng phần
  • Nhiều hàm không có nguyên hàm dạng sơ cấp (VD: $e^{x^2}$)

6. Làm sao kiểm tra nguyên hàm có đúng không?

Trả lời: Lấy đạo hàm kết quả!

Ví dụ: Kiểm tra $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$

• Lấy đạo hàm: $\left(\frac{x^3}{3} + C\right)’ = \frac{3x^2}{3} = x^2$ ✓

Quy tắc vàng: Luôn kiểm tra nguyên hàm bằng đạo hàm!

7. Có thể tính nguyên hàm bằng máy tính không?

Trả lời:

• Máy tính Casio, Vinacal: Không tính nguyên hàm trực tiếp
• Máy tính đồ thị: Có chức năng tính tích phân xác định
• Online: Symbolab, Wolfram Alpha có thể tính nguyên hàm
• Lưu ý: Trong thi THPT, phải tính tay!

8. Có bài tập nào kết hợp cả đạo hàm và nguyên hàm?

Trả lời: Có rất nhiều dạng:

• Chuyển động: Cho a(t), tìm s(t) (dùng nguyên hàm 2 lần)
• Diện tích với cực trị: Tìm cực trị bằng đạo hàm, tính diện tích bằng tích phân
• Phương trình vi phân: $y’ = f(x)$ → tìm y bằng nguyên hàm
• Bài toán tối ưu: Kết hợp cả hai để giải quyết hoàn chỉnh

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa