I. Giới Thiệu Về Dãy Số

1. Dãy số là gì?

Dãy số là một hàm số với tập xác định là $\mathbb{N}^*$ (tập hợp số tự nhiên khác 0) hoặc $\mathbb{N}$ (tập hợp số tự nhiên). Mỗi số tự nhiên $n$ trong tập xác định tương ứng với một giá trị duy nhất $u_n$ gọi là số hạng thứ $n$.

Dãy số thường được ký hiệu là $(u_n)$ hoặc viết dưới dạng liệt kê: $u_1, u_2, u_3, …, u_n, …$

Ví dụ minh họa:

• Dãy số tự nhiên: 1, 2, 3, 4, 5,…
• Dãy số chẵn: 2, 4, 6, 8, 10,…
• Dãy số bình phương: 1, 4, 9, 16, 25,…

2. Các cách cho dãy số

Có 4 cách chính để xác định một dãy số:

Cách 1: Liệt kê các số hạng

Đây là cách đơn giản nhất, ta liệt kê lần lượt các số hạng của dãy.

Ví dụ: 2, 4, 6, 8, 10,…

Cách 2: Công thức số hạng tổng quát

Biểu diễn số hạng thứ $n$ theo biến $n$.

Ví dụ: $u_n = 2n$ với $n \geq 1$

Cách 3: Công thức truy hồi

Biểu diễn số hạng sau theo một hoặc nhiều số hạng trước đó, kèm điều kiện ban đầu.

Ví dụ: $u_1 = 2$, $u_{n+1} = u_n + 2$

Cách 4: Mô tả bằng lời

Diễn đạt quy luật của dãy số bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Ví dụ: Dãy các số chẵn dương

3. Tại sao phải học công thức dãy số?

Việc nắm vững công thức dãy số có nhiều lợi ích quan trọng:

• Xác định nhanh số hạng bất kỳ: Không cần liệt kê từ đầu, ta có thể tính trực tiếp số hạng thứ 100, thứ 1000,…
• Nền tảng cho các chuyên đề nâng cao: Cấp số cộng, cấp số nhân đều là trường hợp đặc biệt của dãy số
• Ứng dụng trong lập trình: Nhiều thuật toán sử dụng công thức truy hồi và đệ quy
• Cơ sở cho giải tích: Khái niệm giới hạn, tích phân đều xuất phát từ dãy số

4. Cấu trúc bài viết

Bài viết sẽ trình bày các nội dung chính sau:

• Công thức số hạng tổng quát
• Dãy số cách đều (cấp số cộng)
• Công thức truy hồi
• Mối liên hệ giữa các công thức
• Bài tập ví dụ minh họa

II. Công Thức Số Hạng Tổng Quát

1. Định nghĩa công thức số hạng tổng quát

Công thức số hạng tổng quát (hay công thức tổng quát) là công thức biểu diễn số hạng thứ $n$ của dãy theo $n$.

Dạng tổng quát:

$$u_n = f(n)$$

Trong đó:

• $u_n$: số hạng thứ $n$
• $f(n)$: hàm số theo biến $n$
• $n \in \mathbb{N}^*$ (hoặc $\mathbb{N}$)

Ý nghĩa: Biết $n$ → tính ngay được $u_n$ mà không cần biết các số hạng trước

2. Các dạng công thức số hạng tổng quát thường gặp

a) Dạng đa thức:

b) Dạng phân số:

c) Dạng lũy thừa:

d) Dạng căn thức:

e) Dạng giai thừa:

$$u_n = n! = 1 \times 2 \times 3 \times … \times n$$

Ví dụ: 1, 2, 6, 24, 120, 720,…

3. Cách tìm công thức số hạng tổng quát

Bước 1: Quan sát quy luật các số hạng

Bước 2: Nhận dạng dạng công thức:

• Hiệu đều → Đa thức bậc 1
• Hiệu của hiệu đều → Đa thức bậc 2
• Tỷ số đều → Lũy thừa

Bước 3: Thử nghiệm với các giá trị $n$ nhỏ

Bước 4: Chứng minh bằng quy nạp (nếu cần)

Ví dụ 1: Tìm công thức tổng quát của dãy: 3, 5, 7, 9, 11,…

Lời giải:

• Quan sát: $5-3=2$, $7-5=2$, $9-7=2$ → Hiệu đều = 2
• Dãy có dạng: $u_n = an + b$
• Thử: $u_1 = 3$: $a \cdot 1 + b = 3$
• Thử: $u_2 = 5$: $a \cdot 2 + b = 5$
• Giải hệ: $a = 2$, $b = 1$
• Công thức: $u_n = 2n + 1$

Ví dụ 2: Tìm công thức tổng quát của dãy: 1, 4, 9, 16, 25,…

Lời giải:

• Quan sát: $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $16 = 4^2$, $25 = 5^2$
• Công thức: $u_n = n^2$

4. Kiểm tra công thức

Sau khi tìm được công thức $u_n = f(n)$, kiểm tra:

• Thay $n = 1, 2, 3, …$ vào công thức
• So sánh với các số hạng đã cho
• Nếu khớp → Công thức đúng

III. Công Thức Dãy Số Cách Đều (Cấp Số Cộng)

1. Định nghĩa dãy số cách đều

Dãy số cách đều (hay cấp số cộng) là dãy số mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi.

Điều kiện:

$$u_{n+1} – u_n = d \text{ (không đổi)}$$

Trong đó $d$ gọi là công sai

2. Công thức số hạng tổng quát dãy cách đều

Công thức:

$$u_n = u_1 + (n-1)d$$

Trong đó:

• $u_1$: số hạng đầu tiên
• $d$: công sai
• $n$: chỉ số số hạng

Giải thích:

• Từ $u_1$ đến $u_n$ có $(n-1)$ bước
• Mỗi bước tăng thêm $d$
• Tổng tăng: $(n-1)d$

Ví dụ 1: Dãy 3, 7, 11, 15, 19,…

• $u_1 = 3$, $d = 4$
• $u_n = 3 + (n-1) \times 4 = 3 + 4n – 4 = 4n – 1$
• Kiểm tra: $u_5 = 4(5) – 1 = 19$ ✓

Ví dụ 2: Dãy 20, 17, 14, 11, 8,…

• $u_1 = 20$, $d = -3$
• $u_n = 20 + (n-1)(-3) = 20 – 3n + 3 = 23 – 3n$
• Kiểm tra: $u_4 = 23 – 3(4) = 11$ ✓

3. Các trường hợp đặc biệt

4. Mối liên hệ với đa thức bậc nhất

Dãy số cách đều luôn có dạng đa thức bậc 1:

$$u_n = an + b$$

Trong đó:

• $a = d$ (công sai)
• $b = u_1 – d$

Chứng minh:

$$u_n = u_1 + (n-1)d = u_1 + dn – d = dn + (u_1 – d)$$

IV. Công Thức Truy Hồi

1. Định nghĩa công thức truy hồi

Công thức truy hồi là công thức biểu diễn số hạng thứ $n$ theo một hoặc nhiều số hạng trước đó.

Dạng tổng quát:

$$u_n = f(u_{n-1}, u_{n-2}, …, u_1)$$

Điều kiện: Phải cho biết số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)

Ví dụ:

• $u_1 = 1$, $u_{n+1} = u_n + 2$ (truy hồi bậc 1)
• $u_1 = 1$, $u_2 = 1$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ (truy hồi bậc 2 – Fibonacci)

2. Các dạng công thức truy hồi thường gặp

a) Truy hồi tuyến tính bậc 1:

Dạng 1: $u_{n+1} = u_n + a$ (cấp số cộng)

• Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n-1)a$

Ví dụ: $u_1 = 3$, $u_{n+1} = u_n + 5$

• Dãy: 3, 8, 13, 18, 23,…
• Công thức: $u_n = 3 + 5(n-1) = 5n – 2$

Dạng 2: $u_{n+1} = qu_n$ với $q \neq 0$ (cấp số nhân)

• Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

Ví dụ: $u_1 = 2$, $u_{n+1} = 3u_n$

• Dãy: 2, 6, 18, 54, 162,…
• Công thức: $u_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

Dạng 3: $u_{n+1} = au_n + b$ (truy hồi affine)

• Phức tạp hơn, cần phương pháp đặc trưng

Ví dụ: $u_1 = 1$, $u_{n+1} = 2u_n + 3$

Cách giải:

• Tìm điểm bất động: $x = 2x + 3 \Rightarrow x = -3$
• Đặt $v_n = u_n + 3$
• $v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 3 + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3) = 2v_n$
• $(v_n)$ là cấp số nhân: $v_n = v_1 \cdot 2^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$
• $u_n = v_n – 3 = 2^{n+1} – 3$

b) Truy hồi tuyến tính bậc 2:

Dạng: $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$

Ví dụ kinh điển – Dãy Fibonacci:

$$u_1 = 1, u_2 = 1, u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$$

Dãy: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…

Công thức Binet (số hạng tổng quát Fibonacci):

$$u_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n – \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$$

(Công thức này nâng cao, không bắt buộc học lớp 11)

c) Truy hồi phi tuyến:

Ví dụ: $u_1 = 2$, $u_{n+1} = u_n^2$

• Dãy: 2, 4, 16, 256,…
• $u_n = 2^{2^{n-1}}$

3. Chuyển từ truy hồi sang tổng quát

Phương pháp chung:

1. Tính vài số hạng đầu (5-10 số hạng)
2. Quan sát quy luật
3. Đoán công thức tổng quát
4. Chứng minh bằng quy nạp

Ví dụ: $u_1 = 1$, $u_{n+1} = u_n + 2n$

Bước 1: Tính các số hạng:

• $u_1 = 1$
• $u_2 = u_1 + 2(1) = 1 + 2 = 3$
• $u_3 = u_2 + 2(2) = 3 + 4 = 7$
• $u_4 = u_3 + 2(3) = 7 + 6 = 13$
• $u_5 = u_4 + 2(4) = 13 + 8 = 21$

Dãy: 1, 3, 7, 13, 21,…

Bước 2: Quan sát:

• $1 = 1^2$
• $3 = 2^2 – 1$
• $7 = 3^2 – 2$
• $13 = 4^2 – 3$
• $21 = 5^2 – 4$

Đoán: $u_n = n^2 – (n-1) = n^2 – n + 1$

4. So sánh truy hồi và tổng quát

V. Mối Liên Hệ Giữa Các Công Thức

1. Chuyển đổi giữa các dạng

Từ truy hồi → Tổng quát:

• Tính vài số hạng
• Nhận dạng quy luật
• Đoán và chứng minh

Từ tổng quát → Truy hồi:

• $u_n = f(n)$
• $u_{n+1} = f(n+1)$
• Biểu diễn $u_{n+1}$ theo $u_n$ và $n$

Ví dụ: Cho $u_n = n^2$, tìm công thức truy hồi.

Lời giải:

• $u_{n+1} = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 = u_n + 2n + 1$
• Công thức truy hồi: $u_1 = 1$, $u_{n+1} = u_n + 2n + 1$

2. Bảng tổng hợp các loại dãy

VI. Bài Tập Ví Dụ

Dạng 1: Tìm công thức tổng quát

Bài 1: Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy: 2, 5, 10, 17, 26,…

Lời giải:

• Quan sát hiệu:
  • $5 – 2 = 3$
  • $10 – 5 = 5$
  • $17 – 10 = 7$
  • $26 – 17 = 9$
• Hiệu tăng đều 2 đơn vị → Công thức bậc 2: $u_n = an^2 + bn + c$
• Thử với 3 số hạng đầu:
  • $n=1$: $a + b + c = 2$
  • $n=2$: $4a + 2b + c = 5$
  • $n=3$: $9a + 3b + c = 10$
• Giải hệ: $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$
• Công thức: $u_n = n^2 + 1$
• Kiểm tra: $u_4 = 16 + 1 = 17$ ✓, $u_5 = 25 + 1 = 26$ ✓

Bài 2: Cho dãy số: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, …$. Tìm $u_n$.

Lời giải:

• Quan sát: Tử số là 1, 2, 3, 4,… (là $n$)
• Mẫu số là 2, 3, 4, 5,… (là $n+1$)
• Công thức: $u_n = \frac{n}{n+1}$

Dạng 2: Tính số hạng từ công thức truy hồi

Bài 3: Cho $u_1 = 2$, $u_{n+1} = 3u_n – 1$. Tính $u_5$.

Lời giải:

• $u_1 = 2$
• $u_2 = 3(2) – 1 = 5$
• $u_3 = 3(5) – 1 = 14$
• $u_4 = 3(14) – 1 = 41$
• $u_5 = 3(41) – 1 = 122$

Đáp án: $u_5 = 122$

Bài 4: Cho $u_1 = 1$, $u_2 = 2$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. Tính $u_7$.

Lời giải:

• $u_1 = 1$
• $u_2 = 2$
• $u_3 = u_2 + u_1 = 2 + 1 = 3$
• $u_4 = u_3 + u_2 = 3 + 2 = 5$
• $u_5 = u_4 + u_3 = 5 + 3 = 8$
• $u_6 = u_5 + u_4 = 8 + 5 = 13$
• $u_7 = u_6 + u_5 = 13 + 8 = 21$

Đáp án: $u_7 = 21$

Dạng 3: Chuyển đổi giữa các dạng

Bài 5: Cho $u_n = 3n – 1$. Viết công thức truy hồi.

Lời giải:

• $u_1 = 3(1) – 1 = 2$
• $u_{n+1} = 3(n+1) – 1 = 3n + 3 – 1 = 3n + 2$
• $u_{n+1} = (3n – 1) + 3 = u_n + 3$

Công thức truy hồi: $u_1 = 2$, $u_{n+1} = u_n + 3$

VII. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã trình bày ngắn gọn và đầy đủ về:

Công thức số hạng tổng quát: $u_n = f(n)$

• Các dạng: đa thức, phân số, lũy thừa, căn
• Cách tìm công thức từ dãy số

Dãy số cách đều: $u_n = u_1 + (n-1)d$

• Trường hợp đặc biệt của công thức tổng quát

Công thức truy hồi: $u_n = f(u_{n-1}, …)$

• Truy hồi bậc 1, bậc 2
• Cấp số cộng, cấp số nhân
• Dãy Fibonacci

Mối liên hệ và chuyển đổi giữa các dạng công thức

Phụ Lục: Bảng Công Thức Nhanh

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa