I. GIỚI THIỆU

1. Phương trình bậc 2

Dạng tổng quát: Phương trình bậc hai (hay phương trình bậc 2) có dạng:

$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$

Trong đó:

• $a$, $b$, $c$ là các hệ số thực cho trước
• $x$ là ẩn số (biến số) cần tìm
• $a \neq 0$ (nếu $a = 0$ thì phương trình trở thành bậc nhất)

Nghiệm của phương trình là gì?

Nghiệm của phương trình là giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình, tức là khi thay giá trị đó vào phương trình thì được đẳng thức đúng.

Ví dụ: Với phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$:

• $x = 2$ là nghiệm vì: $2^2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0$ ✓
• $x = 3$ là nghiệm vì: $3^2 – 5(3) + 6 = 9 – 15 + 6 = 0$ ✓
• $x = 1$ không là nghiệm vì: $1^2 – 5(1) + 6 = 1 – 5 + 6 = 2 \neq 0$ ✗

2. Các phương pháp giải

Có nhiều phương pháp để giải phương trình bậc 2, mỗi phương pháp có ưu điểm riêng:

1. Công thức nghiệm (sử dụng Delta $\Delta$):

• Phương pháp chuẩn, áp dụng cho mọi phương trình
• Dựa trên biệt thức Delta để xác định số nghiệm

2. Công thức nghiệm thu gọn (sử dụng Delta phẩy $\Delta’$):

• Phương pháp rút gọn khi hệ số $b$ chẵn
• Tính toán nhanh hơn công thức thường

3. Nhẩm nghiệm nhanh:

• Các trường hợp đặc biệt: $a + b + c = 0$, $a – b + c = 0$, $c = 0$
• Tìm nghiệm ngay lập tức không cần tính toán

4. Định lý Vi-et:

• Tính tổng và tích nghiệm mà không cần tìm nghiệm cụ thể
• Ứng dụng trong bài toán chứa tham số, tính biểu thức nghiệm

5. Phân tích thành nhân tử:

• Phương pháp nhanh nhất nếu phân tích được
• Thường áp dụng với các phương trình đơn giản

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết sẽ trình bày chi tiết và có hệ thống:

Phần II-III: 2 công thức nghiệm chính (Delta và Delta phẩy)

Phần IV: Công thức nghiệm kép đặc biệt

Phần V: Công thức nhẩm nghiệm nhanh (3 trường hợp)

Phần VI: Định lý Vi-et và ứng dụng

Phần VII-VIII: Bảng so sánh, mẹo giải nhanh

Phần IX: Bài tập tự luyện có hướng dẫn

II. CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT (SỬ DỤNG DELTA)

1. Công thức nghiệm đầy đủ

Cho phương trình: $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \neq 0$

Quy trình giải 2 bước:

Bước 1: Tính biệt thức Delta

$$\boxed{\Delta = b^2 – 4ac}$$

Bước 2: Xét dấu Delta và tính nghiệm

Bảng công thức nghiệm theo Delta:

Giải thích chi tiết:

• Khi $\Delta > 0$: Có hai nghiệm thực phân biệt, sử dụng công thức với dấu $\pm$
• Khi $\Delta = 0$: Có nghiệm kép (nghiệm bội hai), đây chính là hoành độ đỉnh parabol
• Khi $\Delta < 0$: Không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai của số âm trong $\mathbb{R}$

2. Công thức viết gọn

Khi $\Delta \geq 0$ (phương trình có nghiệm), công thức nghiệm có thể viết gọn:

$$\boxed{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$$

Trong đó:

• Dấu “$+$” (cộng) cho nghiệm thứ nhất $x_1$
• Dấu “$-$” (trừ) cho nghiệm thứ hai $x_2$

Lưu ý quan trọng:

• Dấu $\pm$ nghĩa là ta tính cả hai trường hợp: cộng và trừ
• Công thức này chỉ áp dụng khi $\Delta \geq 0$
• Phải tách thành hai nghiệm riêng biệt trong kết luận cuối cùng

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định các hệ số

• $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Bước 2: Tính Delta $$\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \times 1 \times 6$$ $$= 25 – 24 = 1$$

Bước 3: Xét dấu Delta

• Vì $\Delta = 1 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bước 4: Tính nghiệm $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) – \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 – 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 3$ và $x_2 = 2$

Kiểm tra:

• Với $x = 3$: $3^2 – 5(3) + 6 = 9 – 15 + 6 = 0$ ✓
• Với $x = 2$: $2^2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0$ ✓

Ví dụ 2: Giải phương trình $2x^2 + 3x – 5 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 2$, $b = 3$, $c = -5$

Bước 2: Tính Delta $$\Delta = 3^2 – 4 \times 2 \times (-5) = 9 – (-40) = 9 + 40 = 49$$

Bước 3: Xét dấu

• $\Delta = 49 > 0$ → Có 2 nghiệm phân biệt

Bước 4: Tính nghiệm $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$$x_2 = \frac{-3 – \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-3 – 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1$ và $x_2 = -\frac{5}{2}$

Ví dụ 3: Giải phương trình $x^2 – 2x + 5 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 1$, $b = -2$, $c = 5$

Bước 2: Tính Delta $$\Delta = (-2)^2 – 4 \times 1 \times 5 = 4 – 20 = -16$$

Bước 3: Xét dấu

• $\Delta = -16 < 0$

Kết luận: Phương trình vô nghiệm trong tập số thực $\mathbb{R}$.

Giải thích: Vì $\Delta < 0$ nên không tồn tại căn bậc hai của số âm trong tập số thực.

III. CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN (SỬ DỤNG DELTA PHẨY)

1. Khi nào dùng công thức thu gọn?

Điều kiện áp dụng: Hệ số $b$ là số chẵn hoặc chia hết cho 2.

Khi đó, ta có thể viết: $b = 2b’$ với $b’ = \frac{b}{2}$

Phương trình có dạng: $$ax^2 + 2b’x + c = 0$$

Ví dụ:

• $x^2 – 6x + 8 = 0$ có $b = -6 = 2 \times (-3)$, nên $b’ = -3$
• $2x^2 + 8x – 10 = 0$ có $b = 8 = 2 \times 4$, nên $b’ = 4$

Lợi ích của công thức thu gọn:

• Số liệu tính toán nhỏ hơn (chỉ tính với $b’$ thay vì $b$)
• Công thức nghiệm không có số 2 ở mẫu
• Giảm thiểu sai sót tính toán
• Tiết kiệm thời gian trong bài thi

2. Công thức nghiệm thu gọn

Quy trình giải:

Bước 1: Tính Delta phẩy

$$\boxed{\Delta’ = (b’)^2 – ac}$$

với $b’ = \frac{b}{2}$

Bước 2: Xét dấu Delta phẩy và tính nghiệm

Bảng công thức nghiệm theo Delta phẩy:

Chú ý: Công thức nghiệm có mẫu số là $a$ (không phải $2a$ như công thức thường).

3. So sánh công thức thường và thu gọn

Bảng so sánh chi tiết:

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 4: Giải phương trình $x^2 – 6x + 8 = 0$ bằng công thức thu gọn

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 1$, $b = -6$, $c = 8$
• Nhận thấy $b = -6 = 2 \times (-3)$ là số chẵn
• Do đó: $b’ = -3$

Bước 2: Tính Delta phẩy $$\Delta’ = (b’)^2 – ac = (-3)^2 – 1 \times 8 = 9 – 8 = 1$$

Bước 3: Xét dấu

• $\Delta’ = 1 > 0$ → Có 2 nghiệm phân biệt

Bước 4: Tính nghiệm $$x_1 = \frac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{1} = \frac{3 + 1}{1} = 4$$

$$x_2 = \frac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-(-3) – \sqrt{1}}{1} = \frac{3 – 1}{1} = 2$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 4$ và $x_2 = 2$

So sánh với công thức thường:

• Nếu dùng Delta: $\Delta = (-6)^2 – 4(1)(8) = 36 – 32 = 4 = 4 \times 1 = 4\Delta’$ ✓
• Nghiệm: $x = \frac{6 \pm 2}{2} = 4$ hoặc $2$ (kết quả giống nhau)

Ví dụ 5: Giải phương trình $2x^2 – 8x + 6 = 0$ bằng công thức thu gọn

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 2$, $b = -8 = 2 \times (-4)$, nên $b’ = -4$, $c = 6$

Bước 2: Tính Delta phẩy $$\Delta’ = (-4)^2 – 2 \times 6 = 16 – 12 = 4$$

Bước 3: Xét dấu

• $\Delta’ = 4 > 0$ → Có 2 nghiệm phân biệt

Bước 4: Tính nghiệm $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-(-4) – \sqrt{4}}{2} = \frac{4 – 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 3$ và $x_2 = 1$

IV. CÔNG THỨC NGHIỆM KÉP

1. Nghiệm kép là gì?

Định nghĩa: Khi biệt thức $\Delta = 0$ (hoặc $\Delta’ = 0$), phương trình có nghiệm duy nhất, gọi là nghiệm kép (hay nghiệm bội hai).

Đặc điểm:

• Phương trình có một nghiệm duy nhất, nhưng ta nói nó là nghiệm kép
• Hai nghiệm trùng nhau: $x_1 = x_2$
• Nghiệm kép chính là hoành độ đỉnh của parabol

Ý nghĩa hình học:

Đồ thị parabol $y = ax^2 + bx + c$ tiếp xúc với trục Ox tại một điểm duy nhất. Điểm tiếp xúc này chính là đỉnh của parabol.

2. Công thức nghiệm kép

Sử dụng Delta thường ($\Delta$):

$$\boxed{x = x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}} \quad \text{(khi } \Delta = 0\text{)}$$

Sử dụng Delta phẩy ($\Delta’$):

$$\boxed{x = -\frac{b’}{a}} \quad \text{(khi } \Delta’ = 0\text{)}$$

Lưu ý: Nghiệm kép chính là hoành độ đỉnh I của parabol.

3. Điều kiện để có nghiệm kép

Với công thức Delta:

Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi: $$\Delta = 0 \Leftrightarrow b^2 – 4ac = 0 \Leftrightarrow b^2 = 4ac$$

Với công thức Delta phẩy:

$$\Delta’ = 0 \Leftrightarrow (b’)^2 – ac = 0 \Leftrightarrow (b’)^2 = ac$$

Ứng dụng: Dùng để tìm tham số $m$ sao cho phương trình có nghiệm kép.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 6: Giải phương trình $x^2 – 4x + 4 = 0$

Lời giải:

Cách 1: Dùng Delta

• $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$
• $\Delta = (-4)^2 – 4(1)(4) = 16 – 16 = 0$
• Nghiệm kép: $x = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$

Cách 2: Phân tích nhân tử

• $x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2 = 0$
• $\Rightarrow x – 2 = 0$
• $\Rightarrow x = 2$ (nghiệm kép)

Kết luận: Phương trình có nghiệm kép $x = 2$.

Kiểm tra: Với $x = 2$: $(2)^2 – 4(2) + 4 = 4 – 8 + 4 = 0$ ✓

Ví dụ 7: Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 6x + m = 0$ có nghiệm kép.

Lời giải:

Điều kiện nghiệm kép: $\Delta = 0$

$$\Delta = (-6)^2 – 4(1)(m) = 0$$ $$36 – 4m = 0$$ $$4m = 36$$ $$m = 9$$

Khi $m = 9$, tính nghiệm kép: $$x = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Kết luận: Phương trình có nghiệm kép khi $m = 9$, nghiệm kép là $x = 3$.

Kiểm tra: Phương trình trở thành $x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2 = 0$ ✓

V. CÔNG THỨC NHẨM NGHIỆM NHANH

1. Trường hợp a + b + c = 0

Định lý: Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có 2 nghiệm:

$$\boxed{x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{c}{a}}$$

Chứng minh:

• Thay $x = 1$ vào phương trình: $a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 0$ ✓
• Theo định lý Vi-et: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
• Vì $x_1 = 1$ nên $1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ → $x_2 = \frac{c}{a}$

Cách nhớ: “Cộng ba số bằng không, nghiệm một và c chia a”

Ví dụ 8: Giải phương trình $2x^2 – 5x + 3 = 0$

Lời giải:

Kiểm tra điều kiện: $$a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0$$ ✓

Áp dụng công thức nhẩm:

• $x_1 = 1$
• $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{3}{2}$

Kiểm tra:

• Với $x = 1$: $2(1)^2 – 5(1) + 3 = 2 – 5 + 3 = 0$ ✓
• Với $x = \frac{3}{2}$: $2(\frac{3}{2})^2 – 5(\frac{3}{2}) + 3 = \frac{9}{2} – \frac{15}{2} + 3 = 0$ ✓

2. Trường hợp a – b + c = 0

Định lý: Nếu $a – b + c = 0$ thì phương trình có 2 nghiệm:

$$\boxed{x_1 = -1, \quad x_2 = -\frac{c}{a}}$$

Chứng minh:

• Thay $x = -1$ vào phương trình: $a(-1)^2 + b(-1) + c = a – b + c = 0$ ✓
• Theo Vi-et: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
• Vì $x_1 = -1$ nên $(-1) \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ → $x_2 = -\frac{c}{a}$

Cách nhớ: “Trừ b ra bằng không, nghiệm âm một và âm c chia a”

Ví dụ 9: Giải phương trình $3x^2 + 4x – 7 = 0$

Lời giải:

Kiểm tra điều kiện $a + b + c$: $$a + b + c = 3 + 4 + (-7) = 0$$ ✓

Vậy có thể dùng trường hợp 1:

• $x_1 = 1$
• $x_2 = \frac{-7}{3} = -\frac{7}{3}$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1$ và $x_2 = -\frac{7}{3}$

Ví dụ 10: Giải phương trình $2x^2 – 3x + 5 = 0$

Lời giải:

Kiểm tra $a – b + c$: $$a – b + c = 2 – (-3) + 5 = 2 + 3 + 5 = 10 \neq 0$$ ✗

Kiểm tra $a + b + c$: $$a + b + c = 2 + (-3) + 5 = 4 \neq 0$$ ✗

Kết luận: Không thể nhẩm nghiệm, phải dùng công thức Delta.

• $\Delta = (-3)^2 – 4(2)(5) = 9 – 40 = -31 < 0$
• Phương trình vô nghiệm

3. Trường hợp c = 0

Định lý: Nếu $c = 0$ thì phương trình có dạng $ax^2 + bx = 0$

Phân tích: $x(ax + b) = 0$

Nghiệm:

$$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{b}{a}}$$

Giải thích:

• Phương trình tương đương với $x = 0$ hoặc $ax + b = 0$
• Từ $ax + b = 0$ suy ra $x = -\frac{b}{a}$

Ví dụ 11: Giải phương trình $5x^2 – 3x = 0$

Lời giải:

Nhận thấy $c = 0$, phân tích: $$5x^2 – 3x = 0$$ $$x(5x – 3) = 0$$

Giải:

• $x = 0$ hoặc $5x – 3 = 0$
• $x = 0$ hoặc $x = \frac{3}{5}$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0$ và $x_2 = \frac{3}{5}$

4. Bảng tổng hợp công thức nhẩm nghiệm

Bảng tra cứu nhanh:

5. Mẹo kiểm tra nhanh

Quy trình 3 bước:

✅ Bước 1: Kiểm tra $a + b + c = ?$

• Nếu bằng 0 → Nghiệm: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{c}{a}$

✅ Bước 2: Nếu bước 1 không thỏa, kiểm tra $a – b + c = ?$

• Nếu bằng 0 → Nghiệm: $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{c}{a}$

✅ Bước 3: Nếu cả hai không thỏa, kiểm tra $c = 0?$

• Nếu đúng → Phân tích: $x(ax + b) = 0$

Nếu không thuộc trường hợp nào → Dùng công thức Delta hoặc Vi-et

VI. BẢNG TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP

Bảng so sánh các công thức nghiệm

Bảng so sánh toàn diện:

Sơ đồ tư duy chọn phương pháp

Quy trình ra quyết định:

BẮT ĐẦU: Phương trình bậc 2 (ax² + bx + c = 0)
           |
           ├─→ [1] Kiểm tra a + b + c = 0?
           |       ├── CÓ → Nhẩm: x₁ = 1, x₂ = c/a ✓
           |       └── KHÔNG → Tiếp
           |
           ├─→ [2] Kiểm tra a - b + c = 0?
           |       ├── CÓ → Nhẩm: x₁ = -1, x₂ = -c/a ✓
           |       └── KHÔNG → Tiếp
           |
           ├─→ [3] Kiểm tra c = 0?
           |       ├── CÓ → Phân tích: x(ax + b) = 0 ✓
           |       └── KHÔNG → Tiếp
           |
           ├─→ [4] Thử phân tích nhân tử?
           |       ├── ĐƯỢC → Phân tích thành (x - x₁)(x - x₂) ✓
           |       └── KHÔNG ĐƯỢC → Tiếp
           |
           ├─→ [5] Hệ số b có chẵn không?
           |       ├── CÓ → Dùng Δ' (nhanh hơn) ✓
           |       └── KHÔNG → Tiếp
           |
           └─→ [6] Dùng công thức Delta thường ✓

Ghi nhớ: Luôn kiểm tra các trường hợp đặc biệt trước khi dùng công thức tổng quát!

VII. MẸO VÀ KỸ THUẬT GIẢI NHANH

1. Thứ tự ưu tiên khi giải

Quy trình 5 bước chuẩn:

Bước 1: Kiểm tra các trường hợp nhẩm nghiệm

• Tính $a + b + c = ?$
• Tính $a – b + c = ?$
• Kiểm tra $c = 0?$

Bước 2: Thử phân tích thành nhân tử

• Tìm hai số có tổng bằng $b$ và tích bằng $ac$ (với $a = 1$)
• Hoặc tổng bằng $-\frac{b}{a}$ và tích bằng $\frac{c}{a}$ (tổng quát)

Bước 3: Chọn công thức phù hợp

• Nếu $b$ chẵn → Dùng $\Delta’$
• Nếu $b$ lẻ → Dùng $\Delta$

Bước 4: Tính toán cẩn thận

• Chú ý dấu của các hệ số
• Tính chính xác Delta
• Rút gọn kết quả

Bước 5: Kiểm tra nghiệm

• Thế vào phương trình, hoặc
• Dùng Vi-et để kiểm tra

2. Các lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Nhầm dấu khi tính $-b$

Sai:

• Phương trình: $x^2 – 5x + 6 = 0$ với $b = -5$
• Tính: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$ ❌ (thiếu dấu âm của $b$)

Đúng:

• $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$ ✓

Cách tránh: Luôn viết rõ $-b = -(-5) = 5$ trước khi thay vào công thức.

❌ Lỗi 2: Quên điều kiện $\Delta \geq 0$ khi dùng Vi-ét

Sai:

• Phương trình: $x^2 + x + 1 = 0$ có $\Delta = -3 < 0$
• Vẫn tính: $x_1 + x_2 = -1$ ❌ (Vi-et chỉ đúng khi có nghiệm)

Đúng:

• Kiểm tra $\Delta$ trước: $\Delta = -3 < 0$ → Vô nghiệm
• Không thể áp dụng Vi-et vì phương trình vô nghiệm ✓

❌ Lỗi 3: Nhầm mẫu số khi $a \neq 1$

Sai:

• Phương trình: $2x^2 – 6x + 4 = 0$ có $\Delta = 0$
• Nghiệm kép: $x = \frac{6}{2} = 3$ ❌ (quên chia cho $2a$)

Đúng:

• Nghiệm kép: $x = \frac{-(-6)}{2 \times 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ ✓

❌ Lỗi 4: Nhầm công thức nhẩm nghiệm

Sai:

• $a + b + c = 0$ → $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{a}{c}$ ❌

Đúng:

• $a + b + c = 0$ → $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{c}{a}$ ✓

Cách nhớ: “c trên a” (không phải “a trên c”)

3. Mẹo kiểm tra nghiệm

Cách 1: Thế nghiệm vào phương trình ban đầu

Đây là cách chắc chắn nhất nhưng tốn thời gian.

Ví dụ: Kiểm tra $x = 2$ là nghiệm của $x^2 – 5x + 6 = 0$

• Thay: $2^2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0$ ✓

Cách 2: Kiểm tra bằng Vi-ét (nhanh hơn)

Ví dụ: Phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$ có nghiệm $x_1 = 2$, $x_2 = 3$

Kiểm tra:

• Tổng: $x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5 = -\frac{-5}{1}$ ✓
• Tích: $x_1 \cdot x_2 = 2 \times 3 = 6 = \frac{6}{1}$ ✓

Cách 3: Dùng máy tính Casio/Vinacal

Các bước:

1. Nhập chế độ giải phương trình (MODE → EQN)
2. Chọn phương trình bậc 2
3. Nhập hệ số $a$, $b$, $c$
4. Máy tính tự động cho nghiệm

Lưu ý: Chỉ dùng để kiểm tra, không dùng trong bài thi không cho phép máy tính.

VIII. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 1: Giải bằng công thức nghiệm

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $x^2 – 7x + 12 = 0$

b) $3x^2 + 5x – 2 = 0$

c) $x^2 + 2x + 3 = 0$

Dạng 2: Nhẩm nghiệm nhanh

Bài 2: Giải nhanh các phương trình (không cần tính Delta):

a) $2x^2 – 7x + 5 = 0$

b) $3x^2 + 5x + 2 = 0$

c) $x^2 – 6x = 0$

Dạng 3: Sử dụng Vi-ét

Bài 3: Không giải phương trình, hãy tính:

a) $x_1^2 + x_2^2$ với phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$

b) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ với phương trình $2x^2 – 3x + 1 = 0$

c) $|x_1 – x_2|$ với phương trình $x^2 – 4x + 3 = 0$

Hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1:

Câu a) $x^2 – 7x + 12 = 0$

Lời giải:

• Hệ số: $a = 1$, $b = -7$, $c = 12$
• $\Delta = (-7)^2 – 4(1)(12) = 49 – 48 = 1 > 0$
• Có 2 nghiệm phân biệt:
  • $x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4$
  • $x_2 = \frac{7 – 1}{2} = 3$
• Đáp số: $x_1 = 4$, $x_2 = 3$

Câu b) $3x^2 + 5x – 2 = 0$

Lời giải:

• Hệ số: $a = 3$, $b = 5$, $c = -2$
• $\Delta = 5^2 – 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49 > 0$
• $x_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
• $x_2 = \frac{-5 – 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
• Đáp số: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -2$

Câu c) $x^2 + 2x + 3 = 0$

Lời giải:

• $\Delta = 2^2 – 4(1)(3) = 4 – 12 = -8 < 0$
• Đáp số: Phương trình vô nghiệm

Bài 2:

Câu a) $2x^2 – 7x + 5 = 0$

Lời giải:

• Kiểm tra: $a + b + c = 2 + (-7) + 5 = 0$ ✓
• Áp dụng nhẩm nghiệm:
  • $x_1 = 1$
  • $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{2}$
• Đáp số: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{5}{2}$

Câu b) $3x^2 + 5x + 2 = 0$

Lời giải:

• Kiểm tra: $a – b + c = 3 – 5 + 2 = 0$ ✓
• Áp dụng nhẩm nghiệm:
  • $x_1 = -1$
  • $x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{2}{3}$
• Đáp số: $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{2}{3}$

Câu c) $x^2 – 6x = 0$

Lời giải:

• Nhận thấy $c = 0$
• Phân tích: $x(x – 6) = 0$
• $x_1 = 0$ hoặc $x_2 = 6$
• Đáp số: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$

Bài 3:

Câu a) Tính $x_1^2 + x_2^2$ với $x^2 – 5x + 6 = 0$

Lời giải:

• Theo Vi-et: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 x_2 = 6$
• $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 x_2 = 5^2 – 2(6) = 25 – 12 = 13$
• Đáp số: $13$

Câu b) Tính $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ với $2x^2 – 3x + 1 = 0$

Lời giải:

• Theo Vi-et: $x_1 + x_2 = \frac{3}{2}$, $x_1 x_2 = \frac{1}{2}$
• $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$
• Đáp số: $3$

Câu c) Tính $|x_1 – x_2|$ với $x^2 – 4x + 3 = 0$

Lời giải:

• Theo Vi-et: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 x_2 = 3$
• $(x_1 – x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 – 4x_1 x_2 = 16 – 12 = 4$
• $|x_1 – x_2| = \sqrt{4} = 2$
• Đáp số: $2$

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và hệ thống các công thức nghiệm phương trình bậc 2:

5 phương pháp giải chính:

1. Công thức Delta (Δ) – Phương pháp tổng quát, áp dụng mọi trường hợp
2. Công thức thu gọn (Δ’) – Dùng khi $b$ chẵn, tính nhanh hơn
3. Công thức nghiệm kép – Dùng khi $\Delta = 0$ hoặc $\Delta’ = 0$
4. Nhẩm nghiệm nhanh – 3 trường hợp: $a \pm b + c = 0$ và $c = 0$
5. Định lý Vi-ét – Tính tổng và tích nghiệm, lập phương trình, tính biểu thức

Chọn phương pháp phù hợp – Kiểm tra trường hợp đặc biệt trước, sau đó mới dùng công thức tổng quát

Kiểm tra nghiệm sau khi tìm được – Dùng thế trực tiếp hoặc Vi-ét để đảm bảo chính xác

Hiểu rõ ý nghĩa – Không chỉ học thuộc công thức mà còn hiểu bản chất và cách áp dụng

Bảng tóm tắt công thức nghiệm

Bảng tra cứu nhanh – In ra dán bàn học:

Những điều cần nhớ

Quan trọng nhất:

1. Luôn kiểm tra $a \neq 0$ trước khi giải
2. Delta quyết định số nghiệm:
   • $\Delta > 0$: 2 nghiệm phân biệt
   • $\Delta = 0$: 1 nghiệm kép
   • $\Delta < 0$: Vô nghiệm
3. Thứ tự ưu tiên: Nhẩm → Phân tích → Delta phẩy → Delta
4. Vi-ét chỉ dùng khi $\Delta \geq 0$ (phương trình có nghiệm)
5. Kiểm tra nghiệm bằng Vi-ét hoặc thế trực tiếp

Xem thêm các chủ đề liên quan:

• [Công thức Delta chi tiết – Biệt thức và ứng dụng]
• [Định lý Vi-ét nâng cao – Bài toán tham số]
• [Bài tập phương trình bậc 2 có lời giải chi tiết]
• [Phương trình bậc 2 chứa tham số – Phương pháp giải]
• [Hàm số bậc 2 – Parabol và tính chất]
• [Bất phương trình bậc 2 – Phương pháp giải toàn diện]

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

❓ Khi nào dùng Delta, khi nào dùng Delta phẩy?

→ Dùng Delta phẩy khi hệ số $b$ chẵn (chia hết cho 2) để tính nhanh hơn. Dùng Delta thường trong các trường hợp còn lại hoặc khi không chắc chắn.

❓ Tại sao phải kiểm tra $\Delta \geq 0$ trước khi dùng Vi-ét?

→ Vì Vi-ét chỉ áp dụng khi phương trình có nghiệm thực. Nếu $\Delta < 0$, phương trình vô nghiệm nên không có $x_1, x_2$ để tính tổng và tích.

❓ Làm sao để nhớ hết các công thức nhẩm nghiệm?

→ Nhớ theo khẩu quyết:

• “Cộng ba số bằng không → một và c chia a”
• “Trừ b ra bằng không → âm một và âm c chia a”
• “c bằng không → không và âm b chia a”

❓ Khi nào nên phân tích thành nhân tử thay vì dùng công thức?

→ Khi phương trình có dạng đơn giản, dễ phân tích (như $x^2 – 5x + 6$). Nếu không phân tích được trong 10 giây thì chuyển sang dùng công thức.

❓ Có cần học thuộc tất cả công thức không?

→ Bắt buộc phải thuộc: Delta, công thức nghiệm, Vi-ét. Các công thức nhẩm và mở rộng nên hiểu cách suy ra để áp dụng khi cần.

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa