I. GIỚI THIỆU VỀ GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. Khái niệm góc trong hình học

Định nghĩa: Góc trong hình học không gian là độ lệch (độ nghiêng) giữa hai đối tượng hình học như đường thẳng, mặt phẳng hoặc vector.

Đơn vị đo góc:

• Độ (°): Hệ thập phân, một vòng tròn = 360°
• Radian (rad): Hệ thống toán học thuần túy, một vòng tròn = 2π rad
• Chuyển đổi: $180° = \pi \text{ rad}$

Quy ước chung:

• Góc trong không gian thường được đo từ $0°$ đến $180°$ (hoặc từ $0$ đến $\pi$ rad)
• Đối với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc giữa hai mặt phẳng: $0° \leq \alpha \leq 90°$

Phân loại góc:

• Góc nhọn: $0° < \alpha < 90°$
• Góc vuông: $\alpha = 90°$
• Góc tù: $90° < \alpha < 180°$
• Góc bẹt: $\alpha = 180°$

2. Các loại góc trong không gian

Trong hình học không gian, có 4 loại góc cơ bản cần nắm vững:

Loại 1: Góc giữa hai vector

• Là nền tảng cho tất cả các góc khác
• Được tính bằng tích vô hướng
• Miền giá trị: $[0°, 180°]$

Loại 2: Góc giữa hai đường thẳng

• Góc nhọn hoặc vuông tạo bởi hai đường thẳng
• Miền giá trị: $[0°, 90°]$
• Sử dụng vector chỉ phương

Loại 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ⭐

• Cực kỳ quan trọng – xuất hiện nhiều nhất trong đề thi
• Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó
• Miền giá trị: $[0°, 90°]$
• Đặc biệt: Dùng hàm SIN

Loại 4: Góc giữa hai mặt phẳng ⭐

• Cực kỳ quan trọng – dạng bài khó
• Là góc nhị diện giữa hai mặt phẳng
• Miền giá trị: $[0°, 90°]$
• Sử dụng vector pháp tuyến

4. Mối liên hệ giữa các góc

        GÓC GIỮA HAI VECTOR
        (Nền tảng toán học)
                ↓
    cos α = (u⃗·v⃗)/(|u⃗||v⃗|)
                ↓
        ┌───────┴───────┐
        ↓               ↓
  GÓC 2 ĐƯỜNG THẲNG   GÓC ĐƯỜNG-MẶT
  (Dùng vector        (Dùng vector
   chỉ phương)        chỉ phương +
        ↓              pháp tuyến)
        │                   ↓
        │              sin φ = ...
        │                   ↓
        └──────→  GÓC 2 MẶT PHẲNG
                  (Dùng vector
                   pháp tuyến)
                       ↓
                  cos φ = ...

Mối quan hệ logic:

1. Góc giữa hai vector là nền tảng cơ bản nhất
2. Góc giữa hai đường thẳng được tính thông qua vector chỉ phương
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cần cả vector chỉ phương và pháp tuyến
4. Góc giữa hai mặt phẳng dùng hai vector pháp tuyến

5. Cấu trúc bài viết

Bài viết được tổ chức theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp:

• Phần II: Nền tảng – Góc giữa hai vector (Công thức gốc)
• Phần III: Góc giữa hai đường thẳng (Ứng dụng cơ bản)
• Phần IV: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Trọng tâm – dùng SIN)
• Phần V: Góc giữa hai mặt phẳng (Trọng tâm – dùng COS)
• Phần VI: Bảng công thức tổng hợp
• Phần VII: Mẹo và kỹ thuật giải nhanh
• Phần VIII: Bài tập mẫu chi tiết

Đặc biệt chú trọng vào hai công thức quan trọng nhất: góc đường-mặt (SIN) và góc mặt-mặt (COS).

II. NỀN TẢNG: GÓC GIỮA HAI VECTOR

1. Định nghĩa góc giữa hai vector

Định nghĩa: Cho hai vector $\vec{u}$ và $\vec{v}$ đều khác vector không ($\vec{u} \neq \vec{0}$, $\vec{v} \neq \vec{0}$).

Góc giữa hai vector $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc $\alpha$ được tạo thành khi đặt hai vector chung gốc, thỏa mãn điều kiện: $$0 \leq \alpha \leq \pi \quad (0° \leq \alpha \leq 180°)$$

Lưu ý quan trọng:

• Góc giữa hai vector luôn được đo từ $0°$ đến $180°$ (không giới hạn ở $90°$)
• Đây là điểm khác biệt so với góc giữa hai đường thẳng

2. Công thức tính góc giữa hai vector

Cho hai vector:

• $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$
• $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$

CÔNG THỨC CƠ BẢN NHẤT:

$$\boxed{\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}}$$

Trong đó:

Tích vô hướng: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$$

Độ dài vector $\vec{u}$: $$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$$

Độ dài vector $\vec{v}$: $$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$$

Công thức đầy đủ (khai triển):

$$\boxed{\cos \alpha = \frac{u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}}$$

Cách nhớ dễ dàng:

“Tích vô hướng chia cho tích độ dài”

3. Các trường hợp đặc biệt

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai vector $\vec{u} = (1, 2, 2)$ và $\vec{v} = (2, 3, 6)$

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 2 + 6 + 12 = 20$$

Bước 2: Tính độ dài vector $\vec{u}$ $$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

Bước 3: Tính độ dài vector $\vec{v}$ $$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$$

Bước 4: Áp dụng công thức $$\cos \alpha = \frac{20}{3 \cdot 7} = \frac{20}{21}$$

Bước 5: Tính góc $$\alpha = \arccos\left(\frac{20}{21}\right) \approx 18.19°$$

Kết luận: Góc giữa hai vector là khoảng $18.19°$ (góc nhọn).

Ví dụ 2: Chứng minh hai vector $\vec{a} = (1, -1, 2)$ và $\vec{b} = (2, 4, 1)$ vuông góc với nhau.

Lời giải:

Để chứng minh hai vector vuông góc, ta chứng minh tích vô hướng bằng 0.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 1$$ $$= 2 – 4 + 2 = 0$$

Kết luận: Vì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ nên hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau ($\alpha = 90°$). ✓

Ví dụ 3: Tính góc giữa hai vector $\vec{p} = (3, 0, -4)$ và $\vec{q} = (-6, 0, 8)$

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng $$\vec{p} \cdot \vec{q} = 3 \cdot (-6) + 0 \cdot 0 + (-4) \cdot 8$$ $$= -18 + 0 – 32 = -50$$

Bước 2: Tính độ dài $$|\vec{p}| = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$|\vec{q}| = \sqrt{36 + 0 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Bước 3: Áp dụng công thức $$\cos \alpha = \frac{-50}{5 \cdot 10} = \frac{-50}{50} = -1$$

Bước 4: Tính góc $$\alpha = \arccos(-1) = 180°$$

Kết luận: Hai vector ngược hướng nhau (góc $180°$). Thật vậy: $\vec{q} = -2\vec{p}$ ✓

5. Lưu ý quan trọng

⚠️ Các điểm cần chú ý:

1. Không có giá trị tuyệt đối ở tử số:
   • Công thức là $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ (KHÔNG phải $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$)
   • Đây là khác biệt với công thức góc giữa hai đường thẳng
2. Miền giá trị:
   • Góc từ $0°$ đến $180°$ (không chỉ đến $90°$)
   • Có thể là góc tù
3. Dấu của cos:
   • Nếu $\cos \alpha > 0$: góc nhọn ($0° < \alpha < 90°$)
   • Nếu $\cos \alpha = 0$: góc vuông ($\alpha = 90°$)
   • Nếu $\cos \alpha < 0$: góc tù ($90° < \alpha < 180°$)
4. Điều kiện áp dụng:
   • Cả hai vector phải khác vector không
   • Nếu một trong hai vector là $\vec{0}$, góc không xác định

III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trong không gian là góc nhọn (hoặc vuông) tạo bởi hai đường thẳng đó.

Quy ước quan trọng: $$0° \leq \alpha \leq 90°$$

Chỉ xét góc nhọn hoặc góc vuông, không xét góc tù.

Lưu ý:

• Nếu hai đường thẳng tạo với nhau góc $120°$, ta coi góc giữa chúng là $60°$
• Luôn lấy góc nhỏ hơn hoặc bằng $90°$

2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có vector chỉ phương lần lượt là $\vec{u_1} = (a_1, b_1, c_1)$ và $\vec{u_2} = (a_2, b_2, c_2)$.

CÔNG THỨC:

$$\boxed{\cos \alpha = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}}$$

Lưu ý CỰC KỲ QUAN TRỌNG: Có dấu giá trị tuyệt đối ở tử số để đảm bảo góc luôn từ $0°$ đến $90°$.

Công thức đầy đủ:

$$\boxed{\cos \alpha = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}}$$

Cách nhớ:

“Giống góc giữa hai vector, nhưng thêm dấu giá trị tuyệt đối ở tử”

3. Các trường hợp đặc biệt

Điều kiện vuông góc: $$a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$$

Điều kiện song song: $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng có phương trình tham số:

$$d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + 3t \end{cases}, \quad d_2: \begin{cases} x = 2s \\ y = 1 – s \\ z = s \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Xác định vector chỉ phương

• Từ $d_1$: $\vec{u_1} = (1, 2, 3)$
• Từ $d_2$: $\vec{u_2} = (2, -1, 1)$

Bước 2: Tính tích vô hướng $$\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = 2 – 2 + 3 = 3$$

Bước 3: Tính độ dài $$|\vec{u_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$ $$|\vec{u_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$

Bước 4: Áp dụng công thức (chú ý dấu giá trị tuyệt đối) $$\cos \alpha = \frac{|3|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{42} = \frac{\sqrt{21}}{14}$$

Bước 5: Tính góc $$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) \approx 71.07°$$

Kết luận: Góc giữa hai đường thẳng là khoảng $71.07°$.

Ví dụ 2: Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc hoặc không vuông góc:

$$d_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1}, \quad d_2: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z+1}{1}$$

Lời giải:

Bước 1: Xác định vector chỉ phương

• Từ $d_1$: $\vec{u_1} = (2, 1, -1)$
• Từ $d_2$: $\vec{u_2} = (1, 3, 1)$

Bước 2: Kiểm tra điều kiện vuông góc $$\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1$$ $$= 2 + 3 – 1 = 4 \neq 0$$

Kết luận: Vì tích vô hướng khác 0 nên hai đường thẳng không vuông góc với nhau.

Tính góc chính xác: $$\cos \alpha = \frac{|4|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{66}}$$ $$\alpha = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{66}}\right) \approx 60.59°$$

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng: $$d_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{3}, \quad d_2: \frac{x-1}{4} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z}{6}$$

Chứng minh hai đường thẳng song song.

Lời giải:

Bước 1: Xác định vector chỉ phương

• $\vec{u_1} = (2, -1, 3)$
• $\vec{u_2} = (4, -2, 6)$

Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song $$\vec{u_2} = 2\vec{u_1}$$

hoặc kiểm tra tỉ lệ: $$\frac{4}{2} = \frac{-2}{-1} = \frac{6}{3} = 2$$

Kết luận: Hai vector chỉ phương cùng phương nên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau). Góc giữa chúng là $\alpha = 0°$. ✓

IV. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ⭐

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là góc giữa đường thẳng $d$ và hình chiếu vuông góc $d’$ của nó trên mặt phẳng $(\alpha)$.

Ký hiệu: $\varphi$ (phi) hoặc $\alpha$

Quy ước: $$0° \leq \varphi \leq 90°$$

Các trường hợp đặc biệt:

1. Nếu $d \perp (\alpha)$ (đường thẳng vuông góc mặt phẳng):
   • $\varphi = 90°$
   • Đường thẳng không có hình chiếu (hoặc hình chiếu là một điểm)
2. Nếu $d \subset (\alpha)$ (đường thẳng nằm trong mặt phẳng):
   • $\varphi = 0°$
   • Hình chiếu của $d$ trùng với chính $d$
3. Nếu $d \parallel (\alpha)$ (đường thẳng song song mặt phẳng):
   • $\varphi = 0°$
   • Hình chiếu của $d$ song song với $d$

2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho:

• Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$
• Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ với vector pháp tuyến $\vec{n} = (A, B, C)$

CÔNG THỨC TRỌNG TÂM – CỰC KỲ QUAN TRỌNG:

$$\boxed{\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}}$$

Công thức đầy đủ:

$$\boxed{\sin \varphi = \frac{|u_1A + u_2B + u_3C|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$$

🔥 CÁC NHỚ CỰC KỲ QUAN TRỌNG:

“Góc giữa ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG dùng SIN”

“Góc giữa HAI ĐƯỜNG THẲNG hoặc HAI MẶT PHẲNG dùng COS”

Giải thích tại sao dùng SIN:

• Góc $\varphi$ là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó
• Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{n}$ là góc phụ của $\varphi$
• Do đó: $\sin \varphi = \cos(90° – \varphi)$

3. Các bước tính toán chi tiết

Bước 1: Xác định vector chỉ phương $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ của đường thẳng $d$

• Từ phương trình tham số: $\begin{cases} x = x_0 + u_1t \\ y = y_0 + u_2t \\ z = z_0 + u_3t \end{cases}$
• Từ phương trình chính tắc: $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$

Bước 2: Xác định vector pháp tuyến $\vec{n} = (A, B, C)$ của mặt phẳng $(\alpha)$

• Từ phương trình tổng quát: $Ax + By + Cz + D = 0$

Bước 3: Tính tích vô hướng $$\vec{u} \cdot \vec{n} = u_1A + u_2B + u_3C$$

Bước 4: Tính độ dài các vector

• $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$
• $|\vec{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$

Bước 5: Áp dụng công thức $$\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$$

Bước 6: Tính góc $$\varphi = \arcsin(\text{giá trị tính được})$$

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tính góc giữa đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}$ và mặt phẳng $(\alpha): x + 2y – 2z + 3 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định vector chỉ phương của $d$ $$\vec{u} = (2, 1, 1)$$

Bước 2: Xác định vector pháp tuyến của $(\alpha)$ $$\vec{n} = (1, 2, -2)$$

Bước 3: Tính tích vô hướng $$\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2)$$ $$= 2 + 2 – 2 = 2$$

Bước 4: Tính độ dài các vector $$|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ $$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

Bước 5: Áp dụng công thức (chú ý dùng SIN) $$\sin \varphi = \frac{|2|}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9}$$

Bước 6: Tính góc $$\varphi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{9}\right) \approx 15.79°$$

Kết luận: Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là khoảng $15.79°$.

Ví dụ 2: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính góc giữa đường chéo $AC’$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Lời giải:

Phương pháp 1: Hình học thuần túy

Hình chiếu của $AC’$ lên $(ABCD)$ là $AC$.

Góc giữa $AC’$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{C’AC}$ trong tam giác $ACC’$ vuông tại $C$.

Tính toán:

• $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$)
• $CC’ = a$ (cạnh bên của hình lập phương)

Trong tam giác vuông $ACC’$: $$\tan \varphi = \frac{CC’}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\varphi = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 35.26°$$

Phương pháp 2: Dùng tọa độ

Đặt hệ trục tọa độ với:

• $A$ tại gốc: $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$, $A'(0, 0, a)$
• $C(a, a, 0)$, $C'(a, a, a)$

Vector và mặt phẳng:

• Vector $\vec{AC’} = (a, a, a)$
• Mặt phẳng $(ABCD)$ có phương trình $z = 0$, vector pháp tuyến $\vec{n} = (0, 0, 1)$

Áp dụng công thức: $$\sin \varphi = \frac{|a \cdot 0 + a \cdot 0 + a \cdot 1|}{\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} \cdot \sqrt{0 + 0 + 1}}$$ $$= \frac{|a|}{\sqrt{3a^2} \cdot 1} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$\varphi = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 35.26°$$

Kết luận: Cả hai phương pháp đều cho kết quả góc là khoảng $35.26°$. ✓

Ví dụ 3: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x – y + 2z – 5 = 0$.

Chứng minh $d \perp (\alpha)$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định các vector

• Vector chỉ phương của $d$: $\vec{u} = (2, -1, 2)$
• Vector pháp tuyến của $(\alpha)$: $\vec{n} = (2, -1, 2)$

Bước 2: Nhận xét $$\vec{u} = \vec{n}$$

Hai vector bằng nhau (cùng phương cùng hướng).

Kết luận: Vì vector chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vector pháp tuyến của mặt phẳng nên $d \perp (\alpha)$. Góc giữa chúng là $\varphi = 90°$. ✓

Kiểm tra bằng công thức: $$\sin \varphi = \frac{|2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 2|}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{9}} = \frac{|4 + 1 + 4|}{9} = \frac{9}{9} = 1$$

$$\varphi = \arcsin(1) = 90°$$ ✓

5. Các trường hợp đặc biệt

Điều kiện vuông góc chi tiết: $$\vec{u} = k\vec{n} \Leftrightarrow \frac{u_1}{A} = \frac{u_2}{B} = \frac{u_3}{C}$$

Điều kiện song song hoặc nằm trong: $$u_1A + u_2B + u_3C = 0$$

6. Mẹo nhớ quan trọng

🔥 CỰC KỲ QUAN TRỌNG – PHẢI NHỚ:

QUY TẮC VÀNG:

“Góc ĐƯỜNG-MẶT dùng SIN”

“Góc hai ĐƯỜNG hoặc hai MẶT dùng COS”

Cách nhớ bằng hình ảnh:

• Đường thẳng “chọc thẳng” vào mặt phẳng → “SIN” (sin lỗi khi chọc vào)
• Hai mặt phẳng đối diện nhau → “COS” (cố sống hòa bình)

Cách nhớ bằng từ:

“SIN đặc biệt” – Chỉ có đường-mặt mới đặc biệt dùng SIN

V. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ⭐

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ là góc nhị diện (góc hai mặt) giữa chúng, được đo bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó tại một điểm trên giao tuyến.

Quy ước: $$0° \leq \varphi \leq 90°$$

Chỉ xét góc nhọn hoặc góc vuông.

Cách xác định góc bằng hình học:

1. Tìm giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng
2. Lấy điểm $O$ trên $d$
3. Trong $(\alpha)$, dựng $d_1 \perp d$ tại $O$
4. Trong $(\beta)$, dựng $d_2 \perp d$ tại $O$
5. Góc giữa hai mặt phẳng = góc giữa $d_1$ và $d_2$

2. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng:

• $(\alpha): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$
• $(\beta): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$

CÔNG THỨC TRỌNG TÂM:

$$\boxed{\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}}$$

Công thức đầy đủ:

$$\boxed{\cos \varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}}$$

Cách nhớ:

“Giống hệt công thức góc giữa hai đường thẳng, nhưng dùng vector pháp tuyến thay vì vector chỉ phương”

3. Các bước tính toán

Bước 1: Viết phương trình hai mặt phẳng dạng tổng quát

• $(\alpha): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$
• $(\beta): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

Bước 2: Xác định vector pháp tuyến

• $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$
• $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$

Bước 3: Tính tích vô hướng $$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2$$

Bước 4: Tính độ dài

• $|\vec{n_1}| = \sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}$
• $|\vec{n_2}| = \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}$

Bước 5: Áp dụng công thức (chú ý dùng COS và có giá trị tuyệt đối) $$\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$$

Bước 6: Tính góc $$\varphi = \arccos(\text{giá trị tính được})$$

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng:

• $(\alpha): x + 2y – 2z + 1 = 0$
• $(\beta): 2x – y + 2z – 3 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Phương trình đã ở dạng tổng quát

Bước 2: Xác định vector pháp tuyến

• $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$
• $\vec{n_2} = (2, -1, 2)$

Bước 3: Tính tích vô hướng $$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2$$ $$= 2 – 2 – 4 = -4$$

Bước 4: Tính độ dài $$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ $$|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

Bước 5: Áp dụng công thức (chú ý giá trị tuyệt đối) $$\cos \varphi = \frac{|-4|}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$$

Bước 6: Tính góc $$\varphi = \arccos\left(\frac{4}{9}\right) \approx 63.61°$$

Kết luận: Góc giữa hai mặt phẳng là khoảng $63.61°$.

Ví dụ 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ và $(Oxz)$

Lời giải:

Bước 1: Viết phương trình các mặt phẳng tọa độ

• Mặt phẳng $(Oxy)$: $z = 0$ hay $0x + 0y + 1z = 0$
• Mặt phẳng $(Oxz)$: $y = 0$ hay $0x + 1y + 0z = 0$

Bước 2: Xác định vector pháp tuyến

• $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$
• $\vec{n_2} = (0, 1, 0)$

Bước 3: Tính tích vô hướng $$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$$

Kết luận: Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai mặt phẳng vuông góc với nhau: $\varphi = 90°$. ✓

Điều này hợp lý vì $(Oxy)$ là mặt phẳng nằm ngang và $(Oxz)$ là mặt phẳng thẳng đứng.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(A’BD)$ và $(ABCD)$.

Lời giải:

Đặt hệ trục tọa độ:

• $A$ tại gốc: $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$, $A'(0, 0, a)$

Bước 1: Tìm vector pháp tuyến của $(ABCD)$

• Mặt phẳng $(ABCD)$ có phương trình $z = 0$
• Vector pháp tuyến: $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$

Bước 2: Tìm vector pháp tuyến của $(A’BD)$

Mặt phẳng $(A’BD)$ đi qua ba điểm:

• $A'(0, 0, a)$
• $B(a, 0, 0)$
• $D(0, a, 0)$

Tính hai vector trong mặt phẳng: $$\vec{A’B} = B – A’ = (a, 0, -a)$$ $$\vec{A’D} = D – A’ = (0, a, -a)$$

Vector pháp tuyến là tích có hướng: $$\vec{n_2} = \vec{A’B} \times \vec{A’D} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & -a \\ 0 & a & -a \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(0 \cdot (-a) – (-a) \cdot a) – \vec{j}(a \cdot (-a) – (-a) \cdot 0) + \vec{k}(a \cdot a – 0 \cdot 0)$$ $$= \vec{i}(0 + a^2) – \vec{j}(-a^2 – 0) + \vec{k}(a^2 – 0)$$ $$= (a^2, a^2, a^2)$$

Đơn giản hóa: $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$ (chia cho $a^2$)

Bước 3: Áp dụng công thức $$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$$ $$|\vec{n_1}| = 1, \quad |\vec{n_2}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$

$$\cos \varphi = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Bước 4: Tính góc $$\varphi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54.74°$$

Kết luận: Góc giữa hai mặt phẳng là khoảng $54.74°$.

5. Các trường hợp đặc biệt

Điều kiện vuông góc chi tiết: $$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$$

Điều kiện song song: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$$

6. Phương pháp hình học (không dùng tọa độ)

Khi không sử dụng tọa độ, ta có thể tìm góc giữa hai mặt phẳng bằng phương pháp hình học thuần túy:

Các bước:

1. Tìm giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$
2. Lấy điểm $O$ bất kỳ trên giao tuyến $d$
3. Trong mặt phẳng $(\alpha)$, dựng đường thẳng $d_1$ đi qua $O$ và vuông góc với $d$
4. Trong mặt phẳng $(\beta)$, dựng đường thẳng $d_2$ đi qua $O$ và vuông góc với $d$
5. Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa $d_1$ và $d_2$

Ví dụ: Trong hình lập phương, để tìm góc giữa $(A’BD)$ và $(ABCD)$:

• Giao tuyến là $BD$
• Trong $(ABCD)$, dựng $AO \perp BD$ (O là trung điểm BD)
• Trong $(A’BD)$, dựng $A’O \perp BD$
• Góc giữa hai mặt phẳng = góc $\widehat{AOA’}$

VI. BẢNG TỔNG HỢP CÔNG THỨC

Bảng 1: Tất cả công thức tính góc

Bảng 2: So sánh chi tiết các công thức

Bảng 3: Điều kiện vuông góc và song song

Bảng 4: Công thức khai triển đầy đủ

Góc giữa hai đường thẳng: $$\cos \alpha = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$$

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $$\sin \varphi = \frac{|u_1A + u_2B + u_3C|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Góc giữa hai mặt phẳng: $$\cos \varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$$

VII. MẸO VÀ KỸ THUẬT GIẢI NHANH

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM NGHIÊM TRỌNG NHẤT:

Sai lầm 1: Nhầm lẫn SIN và COS

❌ SAI: Dùng COS cho góc đường thẳng – mặt phẳng $$\cos \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} \quad \text{(SAI!)}$$

✅ ĐÚNG: Phải dùng SIN $$\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$$

Hậu quả: Kết quả hoàn toàn sai, góc bổ sung ($\varphi$ thành $90° – \varphi$)

Sai lầm 2: Quên giá trị tuyệt đối

❌ SAI: Góc giữa hai đường thẳng không có giá trị tuyệt đối $\cos \alpha = \frac{\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|} \quad \text{(SAI!)}$

✅ ĐÚNG: Phải có giá trị tuyệt đối ở tử số $\cos \alpha = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}$

Hậu quả: Có thể cho góc tù thay vì góc nhọn

Sai lầm 3: Nhầm lẫn vector chỉ phương và pháp tuyến

❌ SAI: Dùng vector pháp tuyến cho đường thẳng, hoặc vector chỉ phương cho mặt phẳng

✅ ĐÚNG:

• Đường thẳng → Vector chỉ phương $\vec{u}$
• Mặt phẳng → Vector pháp tuyến $\vec{n}$

Sai lầm 4: Quên kiểm tra đơn vị góc trên máy tính

❌ SAI: Máy tính đang ở chế độ Radian nhưng nghĩ là Degree

✅ ĐÚNG:

• Luôn kiểm tra chế độ máy tính trước khi tính
• $\pi$ rad = 180°
• Ấn MODE để chuyển đổi giữa Deg và Rad

2. Mẹo nhớ công thức CỰC HIỆU QUẢ

QUY TẮC VÀNG: “COS – COS – SIN”

     COS        COS        SIN
      ↓          ↓          ↓
  Hai đường | Hai mặt | Đường-mặt
   thẳng    | phẳng  |  phẳng

Cách nhớ 1: “2 Con trước, SIN sau”

• Hai đường thẳng: COS (con thứ nhất)
• Hai mặt phẳng: COS (con thứ hai)
• Đường thẳng – Mặt phẳng: SIN (đứa đặc biệt)

Cách nhớ 2: “Đặc biệt thì SIN”

• Chỉ có góc đường thẳng – mặt phẳng là đặc biệt → dùng SIN
• Còn lại tất cả đều dùng COS

Cách nhớ 3: Hình ảnh sinh động

• Góc đường-mặt: Đường thẳng “chọc” vào mặt phẳng → “SIN” (sin lỗi khi chọc vào)
• Góc mặt-mặt: Hai mặt đối diện nhau → “COS” (cố sống chung hòa bình)
• Góc đường-đường: Hai đường giao nhau → “COS” (có duyên gặp nhau)

Cách nhớ 4: Câu thơ

“Hai CON gặp nhau, COS đôi ba
Chọc vào mặt phẳng, SIN hóa ra”

BẢNG TÓM TẮT NHANH

3. Công thức nhanh cho các trường hợp đặc biệt

Trường hợp 1: Hình hộp chữ nhật

Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước $a$, $b$, $c$.

Góc giữa đường chéo và mặt đáy: $\tan \varphi = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Góc giữa đường chéo không gian và cạnh đáy: $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Trường hợp 2: Hình lập phương cạnh $a$

Góc giữa đường chéo không gian và mặt đáy: $\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \varphi \approx 35.26°$

Góc giữa hai mặt chéo: $\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \varphi \approx 54.74°$

Trường hợp 3: Hình chóp đều

Cho hình chóp đều có đáy là đa giác đều, cạnh bên nghiêng góc $\alpha$ so với đáy.

Công thức: Tính trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao, cạnh bên và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.

4. Thứ tự ưu tiên khi giải bài

BƯỚC 1: Đọc kỹ đề – Xác định loại góc

• Góc gì với gì? (đường-mặt, mặt-mặt, đường-đường)
• Cần tìm gì? (góc, chứng minh vuông góc, chứng minh song song)

BƯỚC 2: Chọn phương pháp

Phương pháp tọa độ (Vector):

• ✅ Ưu điểm: Công thức rõ ràng, tính toán chính xác
• ✅ Phù hợp: Hình lập phương, hình hộp, tứ diện đều
• ❌ Nhược điểm: Cần đặt hệ trục, tính toán nhiều

Phương pháp hình học thuần túy:

• ✅ Ưu điểm: Trực quan, dễ hiểu
• ✅ Phù hợp: Hình chóp đều, hình đơn giản
• ❌ Nhược điểm: Cần kỹ năng dựng hình tốt

BƯỚC 3: Nếu dùng phương pháp tọa độ

3.1. Đặt hệ trục tọa độ thuận lợi

• Gốc tọa độ tại đỉnh quan trọng
• Các trục song song với cạnh
• Tận dụng tính đối xứng

3.2. Xác định tọa độ các điểm

• Viết tọa độ các đỉnh
• Kiểm tra lại tính đúng đắn

3.3. Viết phương trình đường thẳng/mặt phẳng

• Dạng tham số: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$
• Dạng tổng quát: $Ax + By + Cz + D = 0$

3.4. Tìm vector cần thiết

• Vector chỉ phương: $\vec{u}$
• Vector pháp tuyến: $\vec{n}$

BƯỚC 4: Áp dụng công thức đúng

Checklist quan trọng:

• ✓ Kiểm tra: SIN hay COS?
• ✓ Có giá trị tuyệt đối không?
• ✓ Vector đúng loại chưa? (chỉ phương hay pháp tuyến)

BƯỚC 5: Tính toán và kết luận

• Tính chính xác từng bước
• Kiểm tra đơn vị: độ hay radian?
• Kết luận rõ ràng

5. Kỹ thuật kiểm tra kết quả

Kiểm tra 1: Miền giá trị

• Góc giữa đường-mặt, mặt-mặt, đường-đường: $[0°, 90°]$
• Góc giữa vector: $[0°, 180°]$
• Nếu ra ngoài miền → SAI!

Kiểm tra 2: Hợp lý hình học

• Vẽ hình và ước lượng góc
• Góc vuông: $90°$
• Góc nhọn: $< 90°$
• So sánh với kết quả tính

Kiểm tra 3: Trường hợp đặc biệt

• Nếu hai vector vuông góc: tích vô hướng = 0
• Nếu hai vector cùng phương: góc = 0° hoặc 180°
• Kiểm tra điều kiện song song/vuông góc

Kiểm tra 4: Tính ngược lại

• Từ góc tính được, tính lại cos hoặc sin
• So sánh với giá trị trung gian

VIII. BÀI TẬP MẪU VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Lời giải:

Phương pháp hình học thuần túy:

Hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$.

Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ chính là góc $\widehat{SCA}$ trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$.

Tính toán:

• $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$)
• $SA = a\sqrt{2}$ (đã cho)

Trong tam giác vuông $SAC$: $\tan(\widehat{SCA}) = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$

$\widehat{SCA} = \arctan(1) = 45°$

Kết luận: Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $45°$.

Bài tập 2: Dùng tọa độ tính góc giữa đường thẳng $d: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x – y + z + 3 = 0$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định vector

• Vector chỉ phương của $d$: $\vec{u} = (1, 2, -1)$
• Vector pháp tuyến của $(\alpha)$: $\vec{n} = (2, -1, 1)$

Bước 2: Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 2 – 2 – 1 = -1$

Bước 3: Tính độ dài $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$

Bước 4: Áp dụng công thức (dùng SIN) $\sin \varphi = \frac{|-1|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$

Bước 5: Tính góc $\varphi = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \approx 9.59°$

Kết luận: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là khoảng $9.59°$.

Dạng 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng

Bài tập 3: Tính góc giữa mặt phẳng $(Oxy)$ và mặt phẳng $(\alpha): x + y + z – 3 = 0$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định vector pháp tuyến

• Mặt phẳng $(Oxy)$: $z = 0$ → $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$
• Mặt phẳng $(\alpha)$: $x + y + z – 3 = 0$ → $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$

Bước 2: Tính tích vô hướng $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$

Bước 3: Tính độ dài $|\vec{n_1}| = \sqrt{0 + 0 + 1} = 1$ $|\vec{n_2}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Bước 4: Áp dụng công thức (dùng COS) $\cos \varphi = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 5: Tính góc $\varphi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54.74°$

Kết luận: Góc giữa hai mặt phẳng là khoảng $54.74°$.

Bài tập 4: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$.

a) Tính góc giữa $(A’BD)$ và $(ABCD)$

b) Tính góc giữa $BD$ và mặt phẳng $(A’BD)$

Lời giải:

Câu a: Đã giải ở Ví dụ 3 phần V: $\varphi \approx 54.74°$

Câu b:

Đường thẳng $BD$ nằm trong mặt phẳng $(A’BD)$.

Do đó góc giữa chúng bằng $0°$.

Kết luận:

• a) Góc giữa hai mặt phẳng: $54.74°$
• b) Góc giữa $BD$ và $(A’BD)$: $0°$

Dạng 3: Bài toán tổng hợp

Bài tập 5: Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$.

a) Tính góc giữa cạnh $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(BCD)$

Lời giải:

Đặt hệ tọa độ: Đặt $D$ tại gốc tọa độ, tứ diện đều có:

• $D(0, 0, 0)$
• $A\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

Câu a: Góc giữa $AB$ và $(BCD)$

Mặt phẳng $(BCD)$ chính là mặt phẳng $z = 0$, có $\vec{n} = (0, 0, 1)$.

Vector chỉ phương của $AB$: $\vec{AB} = B – A = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6}, -\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)$

$\sin \varphi = \frac{\left|0 + 0 + 1 \cdot \left(-\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\right|}{|\vec{AB}| \cdot 1}$

Tính $|\vec{AB}| = a$ (cạnh tứ diện đều)

$\sin \varphi = \frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\varphi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \approx 54.74°$

Câu b: Do tính đối xứng của tứ diện đều, góc giữa hai mặt bất kỳ đều bằng nhau.

Có thể chứng minh: $\varphi \approx 70.53°$

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ và chi tiết các công thức tính góc trong hình học không gian:

Nền tảng – Góc giữa hai vector: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Góc giữa hai đường thẳng: $\cos \alpha = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}$ Dùng COS, có giá trị tuyệt đối

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (QUAN TRỌNG NHẤT): $\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$ Dùng SIN – công thức đặc biệt

Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$ Dùng COS, có giá trị tuyệt đối

Công thức cốt lõi phải nhớ

🔥 HAI CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT:

Công thức 1: Góc đường thẳng – mặt phẳng $\boxed{\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}}$

Công thức 2: Góc hai mặt phẳng $\boxed{\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}}$

Quy tắc vàng phải thuộc lòng

🎯 QUY TẮC “COS – COS – SIN”:

Hai đường thẳng  → COS
Hai mặt phẳng    → COS
Đường - Mặt      → SIN (đặc biệt)

Cách nhớ không bao giờ quên:

“Hai CON dùng COS, chỉ riêng đường-mặt dùng SIN”

Tài liệu tham khảo và học thêm

Các chủ đề liên quan cần nắm vững:

Kiến thức nền tảng:

• Vector trong không gian – Tích vô hướng và tích có hướng
• Phương trình mặt phẳng – Lập và ứng dụng
• Phương trình đường thẳng trong không gian
• Tọa độ trong không gian Oxyz

Kiến thức liên quan:

• Quan hệ vuông góc trong không gian
• Quan hệ song song trong không gian
• Khoảng cách trong không gian
• Thể tích khối đa diện

Dạng bài nâng cao:

• Bài toán tìm quỹ tích điểm
• Bài toán cực trị trong không gian
• Tìm tọa độ điểm thỏa điều kiện
• Chứng minh hình học không gian

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa