I. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG THỨC HẠ BẬC

1. Công thức hạ bậc là gì?

Định nghĩa: Công thức hạ bậc là các công thức biến đổi lượng giác cho phép chuyển đổi các hàm lượng giác bậc cao (bậc 2, 3, 4,…) về các hàm lượng giác bậc thấp hơn (bậc 1).

Đặc điểm:

• Biến đổi từ lũy thừa bậc cao sang lũy thừa bậc thấp
• Giúp đơn giản hóa biểu thức lượng giác phức tạp
• Làm cho việc tính toán trở nên dễ dàng hơn

Mục đích:

• Đơn giản hóa biểu thức: Chuyển biểu thức phức tạp về dạng đơn giản hơn
• Dễ tính toán: Hàm bậc 1 dễ tính hơn hàm bậc cao
• Giải quyết bài toán: Áp dụng trong nhiều dạng toán khác nhau
• Chuẩn bị cho tích phân: Nền tảng quan trọng cho Toán 12

Nguồn gốc: Các công thức hạ bậc được suy ra trực tiếp từ các công thức nhân đôi và công thức nhân ba của hàm lượng giác.

2. Mối quan hệ với công thức nhân đôi

Công thức nhân đôi của cosin:

$$\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$$ $$\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$$

Từ công thức nhân đôi thứ nhất, suy ra công thức hạ bậc cos²:

$$\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$$ $$2\cos^2 a = 1 + \cos 2a$$ $$\boxed{\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}}$$

Từ công thức nhân đôi thứ hai, suy ra công thức hạ bậc sin²:

$$\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$$ $$2\sin^2 a = 1 – \cos 2a$$ $$\boxed{\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}}$$

Nhận xét:

• Công thức hạ bậc chính là dạng biến đổi ngược của công thức nhân đôi
• Từ 2 công thức nhân đôi, ta có 2 công thức hạ bậc cơ bản nhất

II. CÔNG THỨC HẠ BẬC SIN VÀ COS BẬC 2

1. Công thức hạ bậc sin²

📌 Công thức cơ bản:

$$\boxed{\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}}$$

Chứng minh chi tiết:

Xuất phát từ công thức nhân đôi của cosin: $$\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$$

Biến đổi: $$2\sin^2 a = 1 – \cos 2a$$

Chia cả hai vế cho 2: $$\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2} \quad \text{(đpcm)}$$

Các dạng biến thể:

• $\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$
• $\sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2\alpha}{2}$
• $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 – \cos x}{2}$

Ví dụ 1: Hạ bậc $\sin^2 x$

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc với $a = x$: $$\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$$

Ví dụ 2: Tính giá trị $\sin^2 30°$ bằng công thức hạ bậc

Lời giải:

Áp dụng công thức với $a = 30°$: $$\sin^2 30° = \frac{1 – \cos 60°}{2}$$

Biết $\cos 60° = \frac{1}{2}$: $$\sin^2 30° = \frac{1 – \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

Kiểm tra: Ta biết $\sin 30° = \frac{1}{2}$, nên: $$\sin^2 30° = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ ✓

2. Công thức hạ bậc cos²

📌 Công thức cơ bản:

$$\boxed{\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}}$$

Chứng minh chi tiết:

Xuất phát từ công thức nhân đôi của cosin: $$\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$$

Biến đổi: $$2\cos^2 a = 1 + \cos 2a$$

Chia cả hai vế cho 2: $$\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} \quad \text{(đpcm)}$$

Các dạng biến thể:

• $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
• $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$
• $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

Ví dụ 3: Hạ bậc $\cos^2 x$

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc với $a = x$: $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Ví dụ 4: Tính giá trị $\cos^2 45°$ bằng công thức hạ bậc

Lời giải:

Áp dụng công thức với $a = 45°$: $$\cos^2 45° = \frac{1 + \cos 90°}{2}$$

Biết $\cos 90° = 0$: $$\cos^2 45° = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}$$

Kiểm tra: Ta biết $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên: $$\cos^2 45° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ ✓

3. Bảng công thức hạ bậc 2

Mẹo nhớ quan trọng:

Sin² → dấu TRỪ (-)
Cos² → dấu CỘNG (+)

Quy tắc chung:

• Cả hai công thức đều có tử số bắt đầu bằng 1
• Cả hai công thức đều chia cho 2
• Góc trong cos ở vế phải gấp đôi góc ban đầu (2a, 2x,…)
• Chỉ khác nhau ở dấu: sin dùng trừ, cos dùng cộng

4. Ứng dụng ngay lập tức

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức $A = \sin^2 x + \cos^2 x$ bằng công thức hạ bậc

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc cho cả hai số hạng: $$A = \frac{1 – \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Cộng hai phân số: $$A = \frac{1 – \cos 2x + 1 + \cos 2x}{2}$$

Rút gọn: $$A = \frac{2}{2} = 1$$

Kết luận: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (công thức lượng giác cơ bản)

(Lưu ý: Trong thực tế, ta dùng trực tiếp công thức $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ mà không cần hạ bậc)

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức $B = \cos^2 x – \sin^2 x$

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc: $$B = \frac{1 + \cos 2x}{2} – \frac{1 – \cos 2x}{2}$$

Trừ hai phân số: $$B = \frac{1 + \cos 2x – 1 + \cos 2x}{2}$$

Rút gọn: $$B = \frac{2\cos 2x}{2} = \cos 2x$$

Kết luận: $\cos^2 x – \sin^2 x = \cos 2x$ (công thức nhân đôi)

III. CÔNG THỨC HẠ BẬC SIN VÀ COS BẬC 3

1. Công thức hạ bậc sin³

📌 Công thức cơ bản:

$$\boxed{\sin^3 a = \frac{3\sin a – \sin 3a}{4}}$$

Chứng minh chi tiết:

Xuất phát từ công thức nhân ba của sin: $$\sin 3a = 3\sin a – 4\sin^3 a$$

Biến đổi để tìm $\sin^3 a$: $$4\sin^3 a = 3\sin a – \sin 3a$$

Chia cả hai vế cho 4: $$\sin^3 a = \frac{3\sin a – \sin 3a}{4} \quad \text{(đpcm)}$$

Các dạng biến thể:

• $\sin^3 x = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4}$
• $\sin^3 \alpha = \frac{3\sin \alpha – \sin 3\alpha}{4}$

Ví dụ 7: Hạ bậc $\sin^3 x$

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc với $a = x$: $$\sin^3 x = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4}$$

Ví dụ 8: Hạ bậc $\sin^3 2x$

Lời giải:

Áp dụng công thức với $a = 2x$: $$\sin^3 2x = \frac{3\sin 2x – \sin 6x}{4}$$

(Lưu ý: Góc trong sin bên phải gấp 3 lần góc ban đầu: $3 \times 2x = 6x$)

2. Công thức hạ bậc cos³

📌 Công thức cơ bản:

$$\boxed{\cos^3 a = \frac{3\cos a + \cos 3a}{4}}$$

Chứng minh chi tiết:

Xuất phát từ công thức nhân ba của cos: $$\cos 3a = 4\cos^3 a – 3\cos a$$

Biến đổi để tìm $\cos^3 a$: $$4\cos^3 a = 3\cos a + \cos 3a$$

Chia cả hai vế cho 4: $$\cos^3 a = \frac{3\cos a + \cos 3a}{4} \quad \text{(đpcm)}$$

Các dạng biến thể:

• $\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}$
• $\cos^3 \alpha = \frac{3\cos \alpha + \cos 3\alpha}{4}$

Ví dụ 9: Hạ bậc $\cos^3 x$

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc với $a = x$: $$\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}$$

Ví dụ 10: Hạ bậc $\cos^3 \frac{x}{2}$

Lời giải:

Áp dụng công thức với $a = \frac{x}{2}$: $$\cos^3 \frac{x}{2} = \frac{3\cos \frac{x}{2} + \cos \frac{3x}{2}}{4}$$

(Lưu ý: $3 \times \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}$)

3. Bảng công thức hạ bậc 3

Mẹo nhớ:

Sin³ → Hệ số 3 đứng trước, dấu TRỪ
Cos³ → Hệ số 3 đứng trước, dấu CỘNG
Cả hai đều chia cho 4

Quy tắc chung:

• Tử số có hai phần: hàm bậc 1 với hệ số 3 và hàm góc gấp 3
• Mẫu số luôn là 4
• Sin dùng dấu trừ, Cos dùng dấu cộng
• Góc ở số hạng thứ hai gấp 3 lần góc ban đầu

IV. CÔNG THỨC HẠ BẬC SIN VÀ COS BẬC 4

1. Công thức hạ bậc sin⁴

📌 Công thức cơ bản:

$$\boxed{\sin^4 a = \frac{3 – 4\cos 2a + \cos 4a}{8}}$$

Chứng minh chi tiết:

Bước 1: Viết $\sin^4 a = (\sin^2 a)^2$

Bước 2: Áp dụng công thức hạ bậc cho $\sin^2 a$: $$\sin^4 a = \left(\frac{1 – \cos 2a}{2}\right)^2$$

Bước 3: Khai triển bình phương: $$= \frac{(1 – \cos 2a)^2}{4} = \frac{1 – 2\cos 2a + \cos^2 2a}{4}$$

Bước 4: Áp dụng hạ bậc cho $\cos^2 2a = \frac{1 + \cos 4a}{2}$: $$= \frac{1 – 2\cos 2a + \frac{1 + \cos 4a}{2}}{4}$$

Bước 5: Quy đồng và rút gọn: $$= \frac{2 – 4\cos 2a + 1 + \cos 4a}{8}$$

$$= \frac{3 – 4\cos 2a + \cos 4a}{8} \quad \text{(đpcm)}$$

Ví dụ 11: Hạ bậc $\sin^4 x$

Lời giải: $$\sin^4 x = \frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$$

2. Công thức hạ bậc cos⁴

📌 Công thức cơ bản:

$$\boxed{\cos^4 a = \frac{3 + 4\cos 2a + \cos 4a}{8}}$$

Chứng minh: Tương tự như $\sin^4 a$, xuất phát từ $\cos^4 a = (\cos^2 a)^2$ và áp dụng công thức hạ bậc $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$.

Ví dụ 12: Hạ bậc $\cos^4 x$

Lời giải: $$\cos^4 x = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$$

3. Bảng công thức hạ bậc 4

Mẹo nhớ:

• Mẫu số luôn là 8
• Hằng số luôn là 3
• Hệ số trước cos 2a luôn là 4
• Sin dùng dấu trừ (-4), Cos dùng dấu cộng (+4)
• Cả hai đều có $\cos 4a$ (góc gấp 4 lần)

V. BẢNG TỔNG HỢP TẤT CẢ CÔNG THỨC HẠ BẬC

A. Công thức hạ bậc 2 (QUAN TRỌNG NHẤT)

Đây là 2 công thức QUAN TRỌNG NHẤT, cần thuộc lòng!B. Công thức hạ bậc 3

C. Công thức hạ bậc 4

D. Quy luật chung

Nhận xét quan trọng:

Trong mọi công thức hạ bậc:
Sin LUÔN dùng dấu TRỪ (-)
Cos LUÔN dùng dấu CỘNG (+)

Đây là quy luật xuyên suốt giúp bạn nhớ công thức dễ dàng!

VI. ỨNG DỤNG VÀ DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Hạ bậc biểu thức đơn giản

Bài tập 1: Hạ bậc biểu thức $A = \sin^2 2x$

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc $\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$ với $a = 2x$:

$$A = \sin^2 2x = \frac{1 – \cos (2 \times 2x)}{2}$$

$$= \frac{1 – \cos 4x}{2}$$

Kết luận: $\sin^2 2x = \frac{1 – \cos 4x}{2}$

Bài tập 2: Hạ bậc biểu thức $B = \cos^2 3x$

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$ với $a = 3x$:

$$B = \cos^2 3x = \frac{1 + \cos (2 \times 3x)}{2}$$

$$= \frac{1 + \cos 6x}{2}$$

Kết luận: $\cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}$

Bài tập 3: Hạ bậc biểu thức $C = \sin^2 \frac{x}{2}$

Lời giải:

Áp dụng công thức với $a = \frac{x}{2}$:

$$C = \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 – \cos (2 \times \frac{x}{2})}{2}$$

$$= \frac{1 – \cos x}{2}$$

Kết luận: $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 – \cos x}{2}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức phức tạp

Bài tập 4: Rút gọn $D = \sin^2 x – \cos^2 x$

Phương pháp 1: Dùng công thức hạ bậc

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc cho cả hai số hạng: $$D = \frac{1 – \cos 2x}{2} – \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Trừ hai phân số: $$= \frac{1 – \cos 2x – 1 – \cos 2x}{2}$$

$$= \frac{-2\cos 2x}{2} = -\cos 2x$$

Phương pháp 2: Dùng công thức nhân đôi trực tiếp

$$D = -(\cos^2 x – \sin^2 x) = -\cos 2x$$

Kết luận: $\sin^2 x – \cos^2 x = -\cos 2x$

Bài tập 5: Rút gọn $E = \sin^4 x + \cos^4 x$

Phương pháp 1: Dùng công thức hạ bậc 4

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$E = \frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}{8} + \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$$

Cộng hai phân số: $$= \frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x + 3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$$

$$= \frac{6 + 2\cos 4x}{8} = \frac{2(3 + \cos 4x)}{8} = \frac{3 + \cos 4x}{4}$$

Phương pháp 2: Biến đổi khéo léo

$$E = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 – 2\sin^2 x \cos^2 x$$

$$= 1 – 2\sin^2 x \cos^2 x$$

$$= 1 – \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2$$

$$= 1 – \frac{1}{2}\sin^2 2x$$

Áp dụng hạ bậc $\sin^2 2x = \frac{1 – \cos 4x}{2}$:

$$= 1 – \frac{1}{2} \cdot \frac{1 – \cos 4x}{2}$$

$$= 1 – \frac{1 – \cos 4x}{4}$$

$$= \frac{4 – 1 + \cos 4x}{4} = \frac{3 + \cos 4x}{4}$$

Kết luận: $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{3 + \cos 4x}{4}$

Dạng 3: Tính tích phân (Ứng dụng lớp 12)

Bài tập 6: Tính $I = \int \sin^2 x , dx$

Lời giải:

Bước 1: Hạ bậc $\sin^2 x$: $$I = \int \sin^2 x , dx = \int \frac{1 – \cos 2x}{2} , dx$$

Bước 2: Tách tích phân: $$= \frac{1}{2} \int (1 – \cos 2x) , dx$$

Bước 3: Tính từng phần: $$= \frac{1}{2}\left(x – \frac{\sin 2x}{2}\right) + C$$

$$= \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C$$

Kết luận: $\int \sin^2 x , dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C$

Bài tập 7: Tính $J = \int \cos^2 x , dx$

Lời giải:

Hạ bậc và tích phân: $$J = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} , dx$$

$$= \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) , dx$$

$$= \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C$$

$$= \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$

Kết luận: $\int \cos^2 x , dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức

Bài tập 8: Chứng minh $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ bằng công thức hạ bậc

Lời giải:

Vế trái: Áp dụng công thức hạ bậc: $$VT = \sin^2 x + \cos^2 x$$

$$= \frac{1 – \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

$$= \frac{1 – \cos 2x + 1 + \cos 2x}{2}$$

$$= \frac{2}{2} = 1 = VP$$

Kết luận: Đẳng thức được chứng minh ✓

(Lưu ý: Đây chỉ là minh họa cách dùng công thức hạ bậc, trong thực tế ta dùng trực tiếp $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$)

Bài tập 9: Chứng minh $\cos^2 x – \sin^2 x = \cos 2x$

Lời giải:

Vế trái: Áp dụng hạ bậc: $$VT = \cos^2 x – \sin^2 x$$

$$= \frac{1 + \cos 2x}{2} – \frac{1 – \cos 2x}{2}$$

$$= \frac{1 + \cos 2x – 1 + \cos 2x}{2}$$

$$= \frac{2\cos 2x}{2} = \cos 2x = VP$$

Kết luận: Đẳng thức được chứng minh ✓

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức hạ bậc

Bậc 2 – Nhớ dấu (QUAN TRỌNG NHẤT)

Sin² → dấu TRỪ (-)
$$\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$$

Cos² → dấu CỘNG (+)
$$\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$$

Khẩu quyết: “Sin trừ, Cos cộng, chia đôi, góp đôi”

Bậc 3 – Nhớ hệ số 3 và 4

Sin³: $\frac{3\sin a – \sin 3a}{4}$ (dấu trừ)
Cos³: $\frac{3\cos a + \cos 3a}{4}$ (dấu cộng)

Ghi nhớ:

• Hệ số 3 đứng trước hàm gốc
• Chia cho 4
• Sin dùng trừ, Cos dùng cộng
• Góc gấp 3 lần (sin 3a, cos 3a)

Bậc 4 – Nhớ số 3 và 8

Sin⁴: $\frac{3 – 4\cos 2a + \cos 4a}{8}$
Cos⁴: $\frac{3 + 4\cos 2a + \cos 4a}{8}$

Ghi nhớ:

• Chia cho 8
• Hằng số 3 ở đầu
• Hệ số 4 trước cos 2a
• Sin dùng trừ (-4), Cos dùng cộng (+4)
• Góc gấp 4 lần (cos 4a)

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm dấu

Sai:

• $\sin^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$ ❌ (dùng dấu cộng)

Đúng:

• $\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$ ✓ (dấu trừ)

❌ SAI LẦM 2: Quên chia 2 trong công thức bậc 2

Sai:

• $\sin^2 a = 1 – \cos 2a$ ❌ (quên chia 2)

Đúng:

• $\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$ ✓

❌ SAI LẦM 3: Nhầm góc

Sai:

• $\sin^2 x = \frac{1 – \cos x}{2}$ ❌ (góc không đúng)

Đúng:

• $\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$ ✓ (góc gấp đôi)

❌ SAI LẦM 4: Quên chia 4 trong công thức bậc 3

Sai:

• $\sin^3 a = 3\sin a – \sin 3a$ ❌ (quên chia 4)

Đúng:

• $\sin^3 a = \frac{3\sin a – \sin 3a}{4}$ ✓

3. Khi nào dùng công thức hạ bậc?

Dấu hiệu nhận biết:

Khi gặp các biểu thức:

• $\sin^2 x$, $\cos^2 x$ (bậc 2)
• $\sin^3 x$, $\cos^3 x$ (bậc 3)
• $\sin^4 x$, $\cos^4 x$ (bậc 4)
• Hoặc bất kỳ lũy thừa bậc cao nào của sin, cos

Mục đích sử dụng:

• Đơn giản hóa: Đưa biểu thức phức tạp về dạng đơn giản hơn
• Tính toán: Hàm bậc 1 dễ tính hơn hàm bậc cao
• Tích phân: Không thể tích phân $\sin^2 x$ trực tiếp, phải hạ bậc trước

Ứng dụng chính:

1. Rút gọn biểu thức lượng giác
2. Tính tích phân hàm lượng giác (Toán 12)
3. Chứng minh đẳng thức lượng giác
4. Giải phương trình lượng giác

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày hệ thống đầy đủ công thức hạ bậc lượng giác:

Công thức hạ bậc 2 (QUAN TRỌNG NHẤT):

• $\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$ (dấu trừ)
• $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$ (dấu cộng)

Công thức hạ bậc 3:

• $\sin^3 a = \frac{3\sin a – \sin 3a}{4}$ (dấu trừ)
• $\cos^3 a = \frac{3\cos a + \cos 3a}{4}$ (dấu cộng)

Công thức hạ bậc 4:

• $\sin^4 a = \frac{3 – 4\cos 2a + \cos 4a}{8}$ (dấu trừ)
• $\cos^4 a = \frac{3 + 4\cos 2a + \cos 4a}{8}$ (dấu cộng)

Nguồn gốc: Chứng minh từ công thức nhân đôi và nhân ba

Ứng dụng: 4 dạng bài tập – Hạ bậc, rút gọn, tích phân, chứng minh

Quy luật chung xuyên suốt

LUẬT VÀNG:
Sin LUÔN dùng dấu TRỪ (-)
Cos LUÔN dùng dấu CỘNG (+)

Quy luật này đúng cho MỌI bậc (2, 3, 4,…)

Lời khuyên học tập

📌 Học thuộc 2 công thức hạ bậc 2 – Đây là nền tảng quan trọng nhất

📌 Nhớ quy luật: Sin (-), Cos (+) – Áp dụng cho mọi bậc

📌 Hiểu nguồn gốc từ công thức nhân đôi – Giúp nhớ lâu và sâu hơn

📌 Luyện tập 4 dạng bài tập – Hạ bậc, rút gọn, tích phân, chứng minh

📌 Chú ý góc gấp đôi – $\sin^2 a$ → $\cos 2a$ (góc nhân 2)

📌 Ứng dụng vào tích phân (lớp 12) – Công cụ thiết yếu để tính tích phân hàm lượng giác

📌 Không học vẹt, hiểu bản chất – Tại sao sin dùng trừ, cos dùng cộng

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa