1. Định lí côsin

Đối với tam giác $ABC$, ta kí hiệu: $A$, $B$, $C$ là các góc tại đỉnh tương ứng; $a$, $b$, $c$ là độ dài các cạnh đối diện với đỉnh $A$, $B$, $C$; $p$ là nửa chu vi; $S$ là diện tích; $R$, $r$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí côsin. Trong tam giác $ABC$:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$

$$b^2 = c^2 + a^2 – 2ca\cos B$$

$$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C$$

Nhận xét: Khi $A = 90°$, ta có $\cos A = 0$ nên $a^2 = b^2 + c^2$ — chính là định lí Pythagore. Vậy định lí Pythagore là trường hợp đặc biệt của định lí côsin.

Hệ quả — tính góc theo ba cạnh:

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}, \quad \cos B = \dfrac{c^2 + a^2 – b^2}{2ca}, \quad \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 120°$, $AB = 5$, $AC = 8$. Tính độ dài cạnh $BC$.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 120°$$

$$= 5^2 + 8^2 – 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 25 + 64 + 40 = 129$$

$$\boxed{BC = \sqrt{129}}$$

2. Định lí sin

Định lí sin. Trong tam giác $ABC$:

$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$$

trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 135°$, $\widehat{C} = 15°$ và $b = 12$. Tính $a$, $c$, $R$ và số đo góc $B$.

Lời giải:

Tính góc $B$:

$$\widehat{B} = 180° – (\widehat{A} + \widehat{C}) = 180° – (135° + 15°) = 30°$$

Áp dụng định lí sin:

$$\dfrac{a}{\sin 135°} = \dfrac{12}{\sin 30°} = \dfrac{c}{\sin 15°} = 2R$$

Tính $R$:

$$2R = \dfrac{12}{\sin 30°} = \dfrac{12}{0{,}5} = 24 \quad \Rightarrow \quad R = 12$$

Tính $a$:

$$a = \dfrac{12}{\sin 30°} \cdot \sin 135° = 24 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$$

Tính $c$:

$$c = \dfrac{12}{\sin 30°} \cdot \sin 15° = 24\sin 15° \approx 6{,}21$$

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố được gọi là giải tam giác.

Áp dụng các định lí côsin, sin và máy tính cầm tay, ta có thể giải tam giác trong các trường hợp:

• Biết hai cạnh và góc xen giữa.
• Biết ba cạnh.
• Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ: Giải tam giác $ABC$, biết $c = 14$, $\widehat{A} = 60°$, $\widehat{B} = 40°$.

Lời giải:

Tính $\widehat{C}$:

$$\widehat{C} = 180° – (60° + 40°) = 80°$$

Áp dụng định lí sin:

$$\dfrac{a}{\sin 60°} = \dfrac{b}{\sin 40°} = \dfrac{14}{\sin 80°}$$

Tính $a$:

$$a = \dfrac{14\sin 60°}{\sin 80°} \approx 12{,}31$$

Tính $b$:

$$b = \dfrac{14\sin 40°}{\sin 80°} \approx 9{,}14$$

4. Công thức tính diện tích tam giác

Công thức theo hai cạnh và góc xen giữa

$$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B = \dfrac{1}{2}ab\sin C$$

Công thức theo bán kính đường tròn nội tiếp

$$S = pr = \dfrac{(a + b + c) \cdot r}{2}$$

Công thức theo bán kính đường tròn ngoại tiếp

Do $\sin A = \dfrac{a}{2R}$ nên từ $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$, ta có:

$$S = \dfrac{abc}{4R}$$

Công thức Heron

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

trong đó $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi.

Ví dụ 1: Tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ có $c = 4$, $b = 6$, $\widehat{A} = 150°$.

Lời giải:

$$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 150° = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 6$$

$$\boxed{S = 6}$$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ có $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$.

a) Tính $\sin A$.

b) Tính diện tích $S$ bằng hai cách.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin:

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \dfrac{14^2 + 15^2 – 13^2}{2 \cdot 14 \cdot 15} = \dfrac{196 + 225 – 169}{420} = \dfrac{252}{420} = 0{,}6$$

$$\sin A = \sqrt{1 – \cos^2 A} = \sqrt{1 – 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$

b) Cách 1 — dùng công thức hai cạnh và sin góc xen giữa:

$$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 \cdot 0{,}8 = 84$$

Cách 2 — dùng công thức Heron:

$$p = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$$

$$S = \sqrt{21 \cdot (21 – 13) \cdot (21 – 14) \cdot (21 – 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$$

$$\boxed{S = 84}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Biết ba cạnh — tính góc, diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp

Phương pháp:

• Tính $\cos A$ bằng định lí côsin: $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$.
• Tính $\sin A = \sqrt{1 – \cos^2 A}$.
• Tính $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ (hoặc dùng Heron).
• Tính $r = \dfrac{S}{p}$ với $p = \dfrac{a+b+c}{2}$.

Ví dụ (Bài 3.5 SGK): Cho tam giác $ABC$ có $a = 6$, $b = 5$, $c = 8$. Tính $\cos A$, $S$, $r$.

Lời giải chi tiết:

Tính $\cos A$:

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 64 – 36}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{53}{80} = 0{,}6625$$

Tính $\sin A$:

$$\sin A = \sqrt{1 – \cos^2 A} = \sqrt{1 – 0{,}6625^2} = \sqrt{1 – 0{,}439} = \sqrt{0{,}561} \approx 0{,}749$$

Tính $S$:

$$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0{,}749 \approx 14{,}98$$

Tính $r$:

$$p = \dfrac{6 + 5 + 8}{2} = \dfrac{19}{2} = 9{,}5$$

$$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{14{,}98}{9{,}5} \approx 1{,}577$$

Dạng 2. Biết một cạnh và hai góc — tính bán kính ngoại tiếp, các cạnh còn lại

Phương pháp:

• Tính góc thứ ba: $C = 180° – A – B$.
• Áp dụng định lí sin: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$.
• Tính $R$, rồi tính các cạnh còn lại.

Ví dụ (Bài 3.6 SGK): Cho tam giác $ABC$ có $a = 10$, $\widehat{A} = 45°$, $\widehat{B} = 70°$. Tính $R$, $b$, $c$.

Lời giải chi tiết:

Tính $\widehat{C}$:

$$\widehat{C} = 180° – 45° – 70° = 65°$$

Tính $R$:

$$2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{10}{\sin 45°} = \dfrac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad R = 5\sqrt{2}$$

Tính $b$:

$$b = 2R\sin B = 10\sqrt{2} \cdot \sin 70° \approx 10\sqrt{2} \cdot 0{,}9397 \approx 13{,}29$$

Tính $c$:

$$c = 2R\sin C = 10\sqrt{2} \cdot \sin 65° \approx 10\sqrt{2} \cdot 0{,}9063 \approx 12{,}82$$

Dạng 3. Giải tam giác và tính diện tích

Phương pháp:

• Tìm đủ ba cạnh, ba góc bằng định lí sin và/hoặc côsin.
• Tính diện tích bằng $S = \dfrac{1}{2}ac\sin B$ (hoặc công thức phù hợp với dữ kiện).

Ví dụ (Bài 3.7 SGK): Giải tam giác $ABC$ và tính diện tích, biết $\widehat{A} = 15°$, $\widehat{B} = 130°$, $c = 6$.

Lời giải chi tiết:

Tính $\widehat{C}$:

$$\widehat{C} = 180° – 15° – 130° = 35°$$

Áp dụng định lí sin: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$

$$\dfrac{a}{\sin 15°} = \dfrac{b}{\sin 130°} = \dfrac{6}{\sin 35°}$$

Tính $b$:

$$b = \dfrac{6\sin 130°}{\sin 35°} = \dfrac{6 \cdot \sin 50°}{\sin 35°} \approx \dfrac{6 \cdot 0{,}7660}{0{,}5736} \approx 8{,}01$$

(Lưu ý: $\sin 130° = \sin(180° – 130°) = \sin 50°$)

Tính $a$:

$$a = \dfrac{6\sin 15°}{\sin 35°} \approx \dfrac{6 \cdot 0{,}2588}{0{,}5736} \approx 2{,}71$$

Tính diện tích:

$$S = \dfrac{1}{2}ac\sin B = \dfrac{1}{2} \cdot 2{,}71 \cdot 6 \cdot \sin 130°$$

$$= \dfrac{1}{2} \cdot 2{,}71 \cdot 6 \cdot 0{,}7660 \approx 6{,}22$$

Dạng 4. Bài toán thực tế — tàu biển, đo đạc khoảng cách

Phương pháp:

• Vẽ hình, gọi tên các đỉnh tam giác từ dữ kiện bài toán.
• Xác định các cạnh và góc đã biết.
• Áp dụng định lí côsin (khi biết hai cạnh và góc xen giữa) hoặc định lí sin (khi biết một cạnh và hai góc) để tìm các yếu tố còn lại.

Ví dụ 1 (Bài 3.8 SGK): Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $S70°E$ với vận tốc $70$ km/h. Đi được $90$ phút thì động cơ hỏng, tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc $8$ km/h. Sau $2$ giờ kể từ khi hỏng, tàu neo đậu vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo.

b) Xác định hướng từ cảng $A$ tới đảo.

Lời giải chi tiết:

Gọi $B$ là vị trí tàu khi hỏng động cơ, $C$ là vị trí neo đậu.

• $AB = 70 \times 1{,}5 = 105$ (km) — hướng $S70°E$.
• $BC = 8 \times 2 = 16$ (km) — hướng nam.

Vì từ $A$ đến $B$ theo hướng $S70°E$ và từ $B$ đến $C$ theo hướng nam ($S0°E$), góc giữa hai hướng tại $B$:

$$\widehat{ABC} = 180° – 70° = 110°$$

a) Tính $AC$:

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ABC})$$

$$= 105^2 + 16^2 – 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos 110°$$

$$= 11\,025 + 256 – 3\,360 \cdot \cos 110°$$

$$= 11\,281 – 3\,360 \cdot (-0{,}342)$$

$$= 11\,281 + 1\,149 \approx 12\,430$$

$$\boxed{AC \approx 111{,}5 \text{ (km)}}$$

b) Xác định hướng:

Gọi hướng từ $A$ đến $C$ là $Sx°E$. Vì $BC$ song song với hướng nam qua $A$, ta có $\widehat{SAC} = \widehat{ACB} = x$.

Áp dụng định lí sin:

$$\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{AB}{\sin C} \quad \Rightarrow \quad \sin C = \dfrac{AB \cdot \sin B}{AC} = \dfrac{105 \cdot \sin 110°}{111{,}5} \approx \dfrac{105 \cdot 0{,}9397}{111{,}5} \approx 0{,}8849$$

$$C \approx 62°$$

$$\boxed{\text{Hướng từ cảng } A \text{ tới đảo là } S62°E}$$

Ví dụ 2 (Bài 3.9 SGK): Trên nóc một toà nhà có cột ăng-ten cao $5$ m. Từ vị trí quan sát $A$ cao $7$ m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten với các góc $50°$ và $40°$ so với phương nằm ngang.

a) Tính các góc của tam giác $ABC$.

b) Tính chiều cao của toà nhà.

Lời giải chi tiết:

a) Tính các góc.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $BC$.

• $\widehat{AHB} = 90°$ và $\widehat{BAH} = 50°$ nên $\widehat{ABH} = 90° – 50° = 40°$, suy ra $\widehat{ABC} = 40°$.
• $\widehat{BAC} = \widehat{BAH} – \widehat{CAH} = 50° – 40° = 10°$.
• $\widehat{ACB} = 180° – 40° – 10° = 130°$.

$$\boxed{\widehat{ABC} = 40°, \quad \widehat{BAC} = 10°, \quad \widehat{ACB} = 130°}$$

b) Tính chiều cao toà nhà.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$ (với $BC = 5$ m):

$$AC = \dfrac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \dfrac{5 \cdot \sin 40°}{\sin 10°} \approx \dfrac{5 \cdot 0{,}6428}{0{,}1736} \approx 18{,}5 \text{ (m)}$$

Khoảng cách theo phương đứng từ $A$ đến $C$:

$$CH = AC \cdot \sin(\widehat{CAH}) = 18{,}5 \cdot \sin 40° \approx 18{,}5 \cdot 0{,}6428 \approx 11{,}9 \text{ (m)}$$

Chiều cao toà nhà (từ mặt đất đến chân $C$ của ăng-ten):

$$h = CH + 7 \approx 11{,}9 + 7 = 18{,}9 \text{ (m)}$$

$$\boxed{\text{Chiều cao toà nhà} \approx 18{,}9 \text{ m}}$$

Ví dụ 3 (Bài 3.11 SGK): Đường giao thông đi vòng qua núi từ $A$ qua $B$, $C$ đến $D$ (Hình 3.19). Biết $AB = 8$ km, $BC = 6$ km, $CD = 12$ km, $\widehat{ABC} = 105°$, $\widehat{BCD} = 135°$. Người ta dự định làm đường hầm thẳng từ $A$ đến $D$. Hỏi đường mới giảm bao nhiêu km?

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Tính $AC$ bằng định lí côsin trong $\triangle ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ABC})$$

$$= 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 105°$$

$$= 64 + 36 – 96 \cdot (-0{,}2588) \approx 100 + 24{,}85 = 124{,}85$$

$$AC \approx 11{,}17 \text{ (km)}$$

Bước 2. Tính $\widehat{BCA}$ bằng định lí sin trong $\triangle ABC$:

$$\sin(\widehat{BCA}) = \dfrac{AB \cdot \sin(\widehat{ABC})}{AC} = \dfrac{8 \cdot \sin 105°}{11{,}17} \approx \dfrac{8 \cdot 0{,}9659}{11{,}17} \approx 0{,}6916$$

$$\widehat{BCA} \approx 44°$$

Suy ra: $\widehat{ACD} = \widehat{BCD} – \widehat{BCA} = 135° – 44° = 91°$.

Bước 3. Tính $AD$ bằng định lí côsin trong $\triangle ACD$:

$$AD^2 = AC^2 + CD^2 – 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\widehat{ACD})$$

$$= 11{,}17^2 + 12^2 – 2 \cdot 11{,}17 \cdot 12 \cdot \cos 91°$$

$$\approx 124{,}77 + 144 – 268{,}08 \cdot (-0{,}01745)$$

$$\approx 268{,}77 + 4{,}68 = 273{,}45$$

$$AD \approx 16{,}54 \text{ (km)}$$

Đường cũ: $AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26$ km.

Đường mới giảm:

$$26 – 16{,}54 \approx 9{,}46 \text{ (km)}$$

$$\boxed{\text{Đường mới giảm khoảng } 9{,}46 \text{ km so với đường cũ}}$$

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Định lí côsin:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$

Định lí sin:

$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$$

Các công thức diện tích tam giác:

Giải tam giác — chọn công cụ:

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh