I. Giới Thiệu

1. Hệ thức lượng là gì?

Hệ thức lượng trong tam giác là tập hợp các công thức biểu diễn mối quan hệ giữa các yếu tố của tam giác, bao gồm: độ dài các cạnh, độ lớn các góc, đường cao, hình chiếu, và các đường đặc biệt khác.

Phân loại chính:

• Hệ thức lượng trong tam giác vuông (Chương trình lớp 9)
• Hệ thức lượng trong tam giác thường (Chương trình lớp 10)

3. Phân biệt lớp 9 và lớp 10

4. Cấu trúc bài viết

Bài viết được chia thành 3 phần chính:

• Phần 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông (ôn tập lớp 9)
• Phần 2: Hệ thức lượng trong tam giác thường (kiến thức lớp 10)
• Phần 3: Bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết

PHẦN 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

II. Các Hệ Thức Cơ Bản Trong Tam Giác Vuông

Ký hiệu trong tam giác vuông ABC (vuông tại A)

        A
        |\\
      b |  \\ c
        |    \\
        |______\\
        B   a    C
        H (chân đường cao)

Các yếu tố:

• Cạnh huyền: $a = BC$ (cạnh đối diện góc vuông)
• Hai cạnh góc vuông: $b = AC$, $c = AB$
• Đường cao từ A xuống BC: $h = AH$
• Hình chiếu của AB lên BC: $c’ = BH$
• Hình chiếu của AC lên BC: $b’ = HC$

1. Định lý Pythagore

Công thức cơ bản:

$$a^2 = b^2 + c^2$$

Hệ quả – Tính cạnh góc vuông:

$$b = \sqrt{a^2 – c^2}$$

$$c = \sqrt{a^2 – b^2}$$

Ví dụ 1: Tam giác vuông có cạnh huyền 10cm, một cạnh góc vuông 6cm. Tính cạnh còn lại.

Lời giải:

$$c = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$

Đáp án: 8cm

2. Hệ thức về đường cao

a) Hệ thức 1 – Đường cao và hình chiếu:

$$h^2 = b’ \cdot c’$$

Cách nhớ: Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu

b) Hệ thức 2 – Bình phương cạnh góc vuông:

$$b^2 = a \cdot b’$$

$$c^2 = a \cdot c’$$

Cách nhớ: Bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với hình chiếu của nó lên cạnh huyền

c) Hệ thức 3 – Công thức nghịch đảo:

$$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$$

Cách nhớ: Nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông

d) Hệ thức 4 – Đường cao và diện tích:

$$a \cdot h = b \cdot c$$

Giải thích: Hai cách tính diện tích tam giác vuông:

• $S = \frac{1}{2}bc$ (hai cạnh góc vuông)
• $S = \frac{1}{2}ah$ (cạnh huyền và đường cao)

Từ đó suy ra: $ah = bc$

Ví dụ 2: Tam giác vuông ABC (vuông tại A) có AB = 6cm, AC = 8cm. Tính đường cao AH.

Lời giải:

• Tính cạnh huyền: $BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ cm
• Tính đường cao: $$AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}$$

Đáp án: 4.8cm

Ví dụ 3: Tam giác vuông có cạnh huyền 13cm, hình chiếu một cạnh góc vuông lên cạnh huyền là 9cm. Tính cạnh góc vuông đó.

Lời giải:

Áp dụng công thức $b^2 = a \cdot b’$:

$$b^2 = 13 \times 9 = 117$$

$$b = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13} \approx 10.82 \text{ cm}$$

Đáp án: $3\sqrt{13}$ cm (≈ 10.82cm)

3. Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông

Với góc nhọn $\alpha$ trong tam giác vuông:

$$\sin \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}, \quad \cos \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}$$

$$\tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}, \quad \cot \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}$$

Các hệ thức lượng giác cơ bản:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$$

$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$

Ví dụ 4: Tam giác vuông có góc B = 30°, cạnh huyền 12cm. Tính hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

• Cạnh đối diện góc B (cạnh AC): $$AC = BC \cdot \sin B = 12 \times \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6 \text{ cm}$$
• Cạnh kề góc B (cạnh AB): $$AB = BC \cdot \cos B = 12 \times \cos 30° = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ cm}$$

Đáp án: AC = 6cm, AB = $6\sqrt{3}$ cm (≈ 10.39cm)

4. Bảng tổng hợp hệ thức tam giác vuông

PHẦN 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

III. Định Lý Sin (Lớp 10)

1. Định lý Sin

Trong tam giác ABC bất kỳ, ta có:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Trong đó:

• $a, b, c$: Độ dài ba cạnh BC, CA, AB
• $A, B, C$: Số đo ba góc tại đỉnh A, B, C (góc đối diện với cạnh tương ứng)
• $R$: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ý nghĩa: Tỷ số giữa mỗi cạnh và sin của góc đối diện với nó là một hằng số, bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp.

2. Hệ quả của định lý Sin

a) Tính cạnh khi biết một cạnh và hai góc:

$$a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C}$$

b) Tính góc khi biết hai cạnh và một góc:

$$\sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b} = \frac{a \cdot \sin C}{c}$$

c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$$

3. Ví dụ áp dụng định lý Sin

Ví dụ 5: Tam giác ABC có $a = 7$cm, góc $A = 45°$, góc $B = 60°$. Tính cạnh $b$.

Lời giải:

Áp dụng định lý Sin:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

$$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{7 \times \sin 60°}{\sin 45°}$$

$$b = \frac{7 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{6}}{2} \approx 8.57 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{7\sqrt{6}}{2}$ cm (≈ 8.57cm)

IV. Định Lý Cosin (Lớp 10)

1. Định lý Cosin

Trong tam giác ABC bất kỳ:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$

$$b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cos B$$

$$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C$$

Ý nghĩa: Định lý Cosin là sự mở rộng của định lý Pythagore cho tam giác bất kỳ.

Chú ý đặc biệt:

• Khi $A = 90°$ thì $\cos A = 0$, công thức trở thành $a^2 = b^2 + c^2$ (định lý Pythagore)

2. Hệ quả – Tính góc từ ba cạnh

Từ định lý Cosin, ta suy ra công thức tính góc:

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$

$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac}$$

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$$

3. Ví dụ áp dụng định lý Cosin

Ví dụ 6: Tam giác có $b = 8$cm, $c = 6$cm, góc $A = 60°$. Tính cạnh $a$.

Lời giải:

Áp dụng định lý Cosin:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$

$$a^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \times 8 \times 6 \times \cos 60°$$

$$a^2 = 64 + 36 – 96 \times 0.5 = 100 – 48 = 52$$

$$a = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \approx 7.21 \text{ cm}$$

Đáp án: $2\sqrt{13}$ cm (≈ 7.21cm)

Ví dụ 7: Tam giác có ba cạnh 6cm, 7cm, 8cm. Tính góc lớn nhất.

Lời giải:

• Góc lớn nhất nằm đối diện cạnh lớn nhất (8cm)
• Gọi góc đó là C, áp dụng công thức:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{6^2 + 7^2 – 8^2}{2 \times 6 \times 7}$$

$$\cos C = \frac{36 + 49 – 64}{84} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4} = 0.25$$

$$C = \arccos(0.25) \approx 75.52°$$

Đáp án: ≈ 75.52°

V. Công Thức Đường Trung Tuyến (Lớp 10)

1. Định lý về đường trung tuyến

Trong tam giác ABC, gọi $m_a, m_b, m_c$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C:

$$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4}$$

$$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 – b^2}{4}$$

$$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 – c^2}{4}$$

Dạng tương đương:

$$4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 – a^2$$

Ví dụ 8: Tam giác có ba cạnh 3cm, 4cm, 5cm. Tính đường trung tuyến ứng với cạnh 5cm.

Lời giải:

Đường trung tuyến ứng với cạnh 5cm là $m_a$ (với $a = 5$):

$$m_a^2 = \frac{2 \times 4^2 + 2 \times 3^2 – 5^2}{4}$$

$$m_a^2 = \frac{2 \times 16 + 2 \times 9 – 25}{4} = \frac{32 + 18 – 25}{4} = \frac{25}{4}$$

$$m_a = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}$$

Đáp án: 2.5cm

VI. Công Thức Tính Diện Tích (Lớp 10)

Các công thức diện tích liên quan đến hệ thức lượng

1. Công thức với sin góc:

$$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$$

2. Công thức Heron (biết 3 cạnh):

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Trong đó: $p = \frac{a+b+c}{2}$ (nửa chu vi)

3. Công thức với bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$$S = \frac{abc}{4R}$$

4. Công thức với bán kính đường tròn nội tiếp:

$$S = pr$$

Trong đó: $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

VII. Bảng Tổng Hợp Hệ Thức Lượng

Tam giác vuông

Tam giác thường

VIII. Bài Tập Tổng Hợp

Dạng 1: Tam Giác Vuông (8 Bài)

Bài 1

Tam giác vuông ABC (vuông tại A) có AB = 9cm, AC = 12cm. a) Tính BC
b) Tính đường cao AH
c) Tính BH, HC

Lời giải:

a) Tính BC: $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$$

b) Tính đường cao AH: $$AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{9 \times 12}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ cm}$$

c) Tính BH, HC: $$AB^2 = BC \times BH$$ $$BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{81}{15} = 5.4 \text{ cm}$$ $$HC = BC – BH = 15 – 5.4 = 9.6 \text{ cm}$$

Đáp án: a) 15cm, b) 7.2cm, c) BH = 5.4cm, HC = 9.6cm

Bài 2

Tam giác vuông có cạnh huyền 20cm, hình chiếu một cạnh góc vuông lên cạnh huyền là 16cm. Tính hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Gọi hai cạnh góc vuông là $b$ và $c$, với hình chiếu của $b$ là $b’ = 16$cm.

Cạnh thứ nhất: $$b^2 = a \times b’ = 20 \times 16 = 320$$ $$b = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \approx 17.89 \text{ cm}$$

Hình chiếu còn lại: $$c’ = a – b’ = 20 – 16 = 4 \text{ cm}$$

Cạnh thứ hai: $$c^2 = a \times c’ = 20 \times 4 = 80$$ $$c = 4\sqrt{5} \approx 8.94 \text{ cm}$$

Đáp án: $8\sqrt{5}$ cm và $4\sqrt{5}$ cm

Bài 3

Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5cm và 12cm. Tính cạnh huyền và đường cao ứng với cạnh huyền.

Lời giải:

Cạnh huyền: $$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$$

Đường cao: $$h = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.62 \text{ cm}$$

Đáp án: Cạnh huyền 13cm, đường cao $\frac{60}{13}$ cm (≈ 4.62cm)

Bài 4

Tam giác vuông có cạnh huyền 25cm, đường cao ứng với cạnh huyền là 12cm. Tính hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Từ công thức $ah = bc$ và $a^2 = b^2 + c^2$:

$$bc = ah = 25 \times 12 = 300$$

Ta có hệ: $$\begin{cases} b^2 + c^2 = 625 \\ bc = 300 \end{cases}$$

Sử dụng $(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 625 + 600 = 1225$

$$b + c = 35$$

Và $(b-c)^2 = b^2 + c^2 – 2bc = 625 – 600 = 25$

$$b – c = 5$$

Giải hệ: $$b = 20 \text{ cm}, \quad c = 15 \text{ cm}$$

Đáp án: 20cm và 15cm

Bài 5

Tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = 7cm, góc B = 40°. Tính AC, BC và đường cao AH.

Lời giải:

Tính BC: $$\cos B = \frac{AB}{BC}$$ $$BC = \frac{AB}{\cos B} = \frac{7}{\cos 40°} = \frac{7}{0.766} \approx 9.14 \text{ cm}$$

Tính AC: $$\tan B = \frac{AC}{AB}$$ $$AC = AB \times \tan B = 7 \times \tan 40° = 7 \times 0.839 \approx 5.87 \text{ cm}$$

Tính AH: $$AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{7 \times 5.87}{9.14} \approx 4.49 \text{ cm}$$

Đáp án: BC ≈ 9.14cm, AC ≈ 5.87cm, AH ≈ 4.49cm

Bài 6

Tam giác vuông có cạnh huyền 17cm, một cạnh góc vuông là 8cm. Tính cạnh góc vuông còn lại và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

Lời giải:

Cạnh góc vuông còn lại: $$c = \sqrt{17^2 – 8^2} = \sqrt{289 – 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$$

Hình chiếu của cạnh 8cm: $$b’^2 = \frac{b^2}{a} = \frac{64}{17} \approx 3.76 \text{ cm}$$

Hoặc dùng: $b^2 = a \times b’$ $$b’ = \frac{64}{17} \approx 3.76 \text{ cm}$$

Hình chiếu của cạnh 15cm: $$c’ = a – b’ = 17 – 3.76 = 13.24 \text{ cm}$$

Đáp án: Cạnh 15cm, hình chiếu 3.76cm và 13.24cm

Bài 7

Tam giác vuông cân có cạnh huyền 10cm. Tính cạnh góc vuông và đường cao ứng với cạnh huyền.

Lời giải:

Tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau: $b = c$

$$b^2 + c^2 = 10^2$$ $$2b^2 = 100$$ $$b = c = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \text{ cm}$$

Đường cao: $$h = \frac{b \times c}{a} = \frac{5\sqrt{2} \times 5\sqrt{2}}{10} = \frac{50}{10} = 5 \text{ cm}$$

Đáp án: Cạnh góc vuông $5\sqrt{2}$ cm (≈ 7.07cm), đường cao 5cm

Bài 8

Tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = 6cm, BC = 10cm. a) Tính AC b) Tính đường cao AH và chứng minh $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}$

Lời giải:

a) Tính AC: $$AC = \sqrt{BC^2 – AB^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$

b) Tính AH: $$AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8 \text{ cm}$$

Chứng minh: $$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{4.8^2} = \frac{1}{23.04}$$

$$\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{36} + \frac{1}{64} = \frac{64 + 36}{36 \times 64} = \frac{100}{2304} = \frac{1}{23.04}$$

Vậy đẳng thức được chứng minh ✓

Đáp án: a) 8cm, b) 4.8cm

Dạng 2: Định Lý Sin (8 Bài)

Bài 1

Tam giác ABC có $a = 10$cm, góc $A = 30°$, góc $B = 45°$. Tính cạnh $b$ và $c$.

Lời giải:

Tính góc C: $$C = 180° – A – B = 180° – 30° – 45° = 105°$$

Tính cạnh b: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$ $$b = \frac{a \times \sin B}{\sin A} = \frac{10 \times \sin 45°}{\sin 30°} = \frac{10 \times 0.707}{0.5} = 14.14 \text{ cm}$$

Tính cạnh c: $$c = \frac{a \times \sin C}{\sin A} = \frac{10 \times \sin 105°}{\sin 30°} = \frac{10 \times 0.966}{0.5} = 19.32 \text{ cm}$$

Đáp án: $b = 10\sqrt{2}$ cm (≈ 14.14cm), $c \approx 19.32$ cm

Bài 2

Tam giác ABC có $a = 8$cm, góc $B = 60°$, góc $C = 45°$. Tính cạnh $b$ và $c$.

Lời giải:

Tính góc A: $$A = 180° – 60° – 45° = 75°$$

Tính cạnh b: $$b = \frac{a \times \sin B}{\sin A} = \frac{8 \times \sin 60°}{\sin 75°} = \frac{8 \times 0.866}{0.966} \approx 7.17 \text{ cm}$$

Tính cạnh c: $$c = \frac{a \times \sin C}{\sin A} = \frac{8 \times \sin 45°}{\sin 75°} = \frac{8 \times 0.707}{0.966} \approx 5.86 \text{ cm}$$

Đáp án: b ≈ 7.17cm, c ≈ 5.86cm

Bài 3

Tam giác ABC có $b = 12$cm, góc $A = 50°$, góc $C = 70°$. Tính cạnh $a$ và $c$.

Lời giải:

Tính góc B: $$B = 180° – 50° – 70° = 60°$$

Tính cạnh a: $$a = \frac{b \times \sin A}{\sin B} = \frac{12 \times \sin 50°}{\sin 60°} = \frac{12 \times 0.766}{0.866} \approx 10.62 \text{ cm}$$

Tính cạnh c: $$c = \frac{b \times \sin C}{\sin B} = \frac{12 \times \sin 70°}{\sin 60°} = \frac{12 \times 0.940}{0.866} \approx 13.02 \text{ cm}$$

Đáp án: a ≈ 10.62cm, c ≈ 13.02cm

Bài 4

Tam giác ABC có $a = 15$cm, $b = 20$cm, góc $A = 40°$. Tính góc $B$.

Lời giải:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

$$\sin B = \frac{b \times \sin A}{a} = \frac{20 \times \sin 40°}{15} = \frac{20 \times 0.643}{15} = 0.857$$

$$B = \arcsin(0.857) \approx 59° \text{ hoặc } 121°$$

Vì $b > a$ nên góc $B > A$, cả hai trường hợp đều có thể.

Đáp án: B ≈ 59° hoặc 121°

Bài 5

Tam giác ABC có $c = 9$cm, góc $A = 35°$, góc $B = 80°$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải:

Tính góc C: $$C = 180° – 35° – 80° = 65°$$

Tính cạnh a: $$a = \frac{c \times \sin A}{\sin C} = \frac{9 \times \sin 35°}{\sin 65°} = \frac{9 \times 0.574}{0.906} \approx 5.70 \text{ cm}$$

Tính bán kính R: $$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{5.70}{2 \times 0.574} \approx 4.97 \text{ cm}$$

Đáp án: R ≈ 4.97cm

Bài 6

Tam giác ABC có $a = 7$cm, $b = 8$cm, góc $C = 60°$. Tính cạnh $c$.

Lời giải:

Sử dụng định lý Cosin để tính $c$: $$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C$$ $$c^2 = 49 + 64 – 2 \times 7 \times 8 \times 0.5 = 113 – 56 = 57$$ $$c = \sqrt{57} \approx 7.55 \text{ cm}$$

Sau đó có thể dùng định lý Sin để kiểm tra.

Đáp án: $c = \sqrt{57}$ cm (≈ 7.55cm)

Bài 7

Tam giác đều có cạnh $a = 6$cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.

Lời giải:

Tam giác đều có cả 3 góc bằng 60°.

Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{a}{2\sin 60°} = \frac{6}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ cm}$$

Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{R}{2} = \sqrt{3} \approx 1.73 \text{ cm}$$

Hoặc: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ cm

Đáp án: R = $2\sqrt{3}$ cm (≈ 3.46cm), r = $\sqrt{3}$ cm (≈ 1.73cm)

Bài 8

Tam giác ABC có $a = 5$cm, góc $B = 45°$, góc $C = 75°$. Tính diện tích tam giác.

Lời giải:

Tính góc A: $$A = 180° – 45° – 75° = 60°$$

Tính cạnh b: $$b = \frac{a \times \sin B}{\sin A} = \frac{5 \times \sin 45°}{\sin 60°} = \frac{5 \times 0.707}{0.866} \approx 4.08 \text{ cm}$$

Tính diện tích: $$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 5 \times 4.08 \times \sin 75°$$ $$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 4.08 \times 0.966 \approx 9.87 \text{ cm}^2$$

Đáp án: S ≈ 9.87 cm²

Dạng 3: Định Lý Cosin (8 Bài)

Bài 1

Tam giác có $b = 9$cm, $c = 7$cm, góc $A = 60°$. Tính cạnh $a$.

Lời giải:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$ $$a^2 = 81 + 49 – 2 \times 9 \times 7 \times 0.5 = 130 – 63 = 67$$ $$a = \sqrt{67} \approx 8.19 \text{ cm}$$

Đáp án: $\sqrt{67}$ cm (≈ 8.19cm)

Bài 2

Tam giác có ba cạnh 5cm, 6cm, 7cm. Tính góc A (đối diện cạnh 5cm).

Lời giải:

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{36 + 49 – 25}{2 \times 6 \times 7} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$$ $$A = \arccos\left(\frac{5}{7}\right) \approx 44.42°$$

Đáp án: A ≈ 44.42°

Bài 3

Tam giác có $a = 10$cm, $b = 12$cm, góc $C = 45°$. Tính cạnh $c$.

Lời giải:

$$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C$$ $$c^2 = 100 + 144 – 2 \times 10 \times 12 \times \cos 45°$$ $$c^2 = 244 – 240 \times 0.707 = 244 – 169.68 = 74.32$$ $$c = \sqrt{74.32} \approx 8.62 \text{ cm}$$

Đáp án: c ≈ 8.62cm

Bài 4

Tam giác có ba cạnh 8cm, 10cm, 12cm. Tính góc lớn nhất.

Lời giải:

Góc lớn nhất đối diện cạnh lớn nhất (12cm), gọi là góc C:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{64 + 100 – 144}{2 \times 8 \times 10} = \frac{20}{160} = \frac{1}{8}$$ $$C = \arccos(0.125) \approx 82.82°$$

Đáp án: C ≈ 82.82°

Bài 5

Tam giác có $b = 7$cm, $c = 8$cm, góc $A = 120°$. Tính cạnh $a$ và diện tích.

Lời giải:

Tính cạnh a: $$a^2 = 49 + 64 – 2 \times 7 \times 8 \times \cos 120°$$ $$a^2 = 113 – 112 \times (-0.5) = 113 + 56 = 169$$ $$a = 13 \text{ cm}$$

Tính diện tích: $$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 7 \times 8 \times \sin 120°$$ $$S = 28 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3} \approx 24.25 \text{ cm}^2$$

Đáp án: a = 13cm, S = $14\sqrt{3}$ cm² (≈ 24.25 cm²)

Bài 6

Tam giác có $a = 6$cm, $b = 8$cm, $c = 10$cm. Chứng minh tam giác vuông.

Lời giải:

Kiểm tra định lý Pythagore: $$c^2 = 100$$ $$a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100$$

Vậy $c^2 = a^2 + b^2$ → Tam giác vuông tại A (đối diện cạnh c)

Hoặc dùng định lý Cosin: $$\cos A = \frac{64 + 100 – 36}{2 \times 8 \times 10} = \frac{128}{160} = 0.8$$

Nhưng kiểm tra góc C: $$\cos C = \frac{36 + 64 – 100}{2 \times 6 \times 8} = \frac{0}{96} = 0$$ $$C = 90°$$

Đáp án: Tam giác vuông tại C ✓

Bài 7

Tam giác có $a = 11$cm, $c = 13$cm, góc $B = 75°$. Tính cạnh $b$.

Lời giải:

$$b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cos B$$ $$b^2 = 121 + 169 – 2 \times 11 \times 13 \times \cos 75°$$ $$b^2 = 290 – 286 \times 0.259 = 290 – 74.07 = 215.93$$ $$b = \sqrt{215.93} \approx 14.70 \text{ cm}$$

Đáp án: b ≈ 14.70cm

Bài 8

Tam giác có ba cạnh 9cm, 12cm, 15cm. a) Chứng minh tam giác vuông b) Tính các góc c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Lời giải:

a) Kiểm tra: $$15^2 = 225$$ $$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$ Vậy tam giác vuông tại đỉnh đối diện cạnh 15cm ✓

b) Góc đối diện cạnh 15cm = 90°

Góc B (đối cạnh 12cm): $$\sin B = \frac{12}{15} = 0.8$$ $$B = \arcsin(0.8) \approx 53.13°$$

Góc A: $$A = 90° – B = 36.87°$$

c) Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{c}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm}$$

(Cạnh huyền = đường kính đường tròn ngoại tiếp)

Đáp án: a) Vuông ✓, b) 90°, 53.13°, 36.87°, c) 7.5cm

Dạng 4: Bài Toán Tổng Hợp (8 Bài)

Bài 1

Tam giác ABC có $a = 8$cm, $b = 10$cm, $c = 12$cm. a) Tính góc A
b) Tính diện tích
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Lời giải:

a) Tính góc A: $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{100 + 144 – 64}{240} = \frac{180}{240} = 0.75$$ $$A = \arccos(0.75) \approx 41.41°$$

b) Tính diện tích (Heron):

• Nửa chu vi: $p = \frac{8+10+12}{2} = 15$
• Diện tích: $$S = \sqrt{15 \times 7 \times 5 \times 3} = \sqrt{1575} = 15\sqrt{7} \approx 39.69 \text{ cm}^2$$

c) Tính bán kính R: $$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{8}{2 \times \sin 41.41°} = \frac{8}{2 \times 0.661} \approx 6.05 \text{ cm}$$

Đáp án: a) ≈ 41.41°, b) $15\sqrt{7}$ cm² (≈ 39.69 cm²), c) ≈ 6.05cm

Bài 2

Tam giác ABC có $a = 7$cm, góc $B = 45°$, góc $C = 60°$. a) Tính các cạnh còn lại b) Tính diện tích c) Tính đường trung tuyến $m_a$

Lời giải:

a) Tính góc A: $$A = 180° – 45° – 60° = 75°$$

Tính cạnh b: $$b = \frac{a \times \sin B}{\sin A} = \frac{7 \times \sin 45°}{\sin 75°} = \frac{7 \times 0.707}{0.966} \approx 5.13 \text{ cm}$$

Tính cạnh c: $$c = \frac{a \times \sin C}{\sin A} = \frac{7 \times \sin 60°}{\sin 75°} = \frac{7 \times 0.866}{0.966} \approx 6.28 \text{ cm}$$

b) Diện tích: $$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 5.13 \times 6.28 \times 0.966 \approx 15.57 \text{ cm}^2$$

c) Đường trung tuyến: $$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4} = \frac{2 \times 26.32 + 2 \times 39.44 – 49}{4} = \frac{82.52}{4} = 20.63$$ $$m_a \approx 4.54 \text{ cm}$$

Đáp án: a) b ≈ 5.13cm, c ≈ 6.28cm; b) S ≈ 15.57 cm²; c) $m_a$ ≈ 4.54cm

Bài 3

Tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = 8cm, AC = 15cm. a) Tính BC và đường cao AH b) Tính diện tích c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp

Lời giải:

a) Tính BC: $$BC = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ cm}$$

Tính AH: $$AH = \frac{8 \times 15}{17} = \frac{120}{17} \approx 7.06 \text{ cm}$$

b) Diện tích: $$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \text{ cm}^2$$

c) Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{20} = 3 \text{ cm}$$

(với $p = \frac{8+15+17}{2} = 20$)

Đáp án: a) BC = 17cm, AH ≈ 7.06cm; b) 60 cm²; c) 3cm

Bài 4

Tam giác ABC có $b = 6$cm, $c = 8$cm, góc $A = 90°$. a) Tính cạnh $a$ b) Tính góc B và C c) Tính đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Lời giải:

a) Tính cạnh a: $$a^2 = 36 + 64 = 100$$ $$a = 10 \text{ cm}$$

b) Tính góc B: $$\sin B = \frac{b}{a} = \frac{6}{10} = 0.6$$ $$B = \arcsin(0.6) \approx 36.87°$$

$$C = 90° – B = 53.13°$$

c) Đường trung tuyến từ A (vuông góc) xuống cạnh huyền: $$m_a = \frac{a}{2} = 5 \text{ cm}$$

(Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Đáp án: a) 10cm; b) B ≈ 36.87°, C ≈ 53.13°; c) 5cm

Bài 5

Tam giác ABC có chu vi 36cm, các cạnh tỷ lệ với 3:4:5. a) Tính độ dài các cạnh b) Chứng minh tam giác vuông c) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp

Lời giải:

a) Tính các cạnh: $$a:b:c = 3:4:5$$ $$a + b + c = 36$$ $$3k + 4k + 5k = 36$$ $$12k = 36 \Rightarrow k = 3$$

Vậy: $a = 9$cm, $b = 12$cm, $c = 15$cm

b) Kiểm tra: $$15^2 = 225$$ $$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$ Tam giác vuông ✓

c) Diện tích: $$S = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2$$

Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{S}{p} = \frac{54}{18} = 3 \text{ cm}$$

Đáp án: a) 9cm, 12cm, 15cm; b) Vuông ✓; c) S = 54 cm², r = 3cm

Bài 6

Tam giác đều ABC có cạnh 10cm. a) Tính đường cao b) Tính diện tích c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

Lời giải:

a) Đường cao: $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ cm}$$

b) Diện tích: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \approx 43.30 \text{ cm}^2$$

c) Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77 \text{ cm}$$

Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{R}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.89 \text{ cm}$$

Đáp án: a) $5\sqrt{3}$ cm; b) $25\sqrt{3}$ cm²; c) R = $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm, r = $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm

Bài 7

Tam giác ABC có $a = 13$cm, $b = 14$cm, $c = 15$cm. a) Tính diện tích (Heron) b) Tính đường cao ứng với cạnh b c) Tính góc B

Lời giải:

a) Diện tích (Heron):

• Nửa chu vi: $p = \frac{13+14+15}{2} = 21$ $$S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ cm}^2$$

b) Đường cao ứng với cạnh b: $$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{168}{14} = 12 \text{ cm}$$

c) Góc B: $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{169 + 225 – 196}{2 \times 13 \times 15} = \frac{198}{390} = \frac{33}{65}$$ $$B = \arccos\left(\frac{33}{65}\right) \approx 59.49°$$

Đáp án: a) 84 cm²; b) 12cm; c) ≈ 59.49°

Bài 8

Tam giác ABC có $b = 7$cm, $c = 9$cm, đường trung tuyến $m_a = 8$cm. a) Tính cạnh $a$ b) Tính diện tích

Lời giải:

a) Từ công thức trung tuyến: $$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4}$$ $$64 = \frac{2 \times 49 + 2 \times 81 – a^2}{4}$$ $$256 = 98 + 162 – a^2$$ $$a^2 = 260 – 256 = 4$$ $$a = 2 \text{ cm}$$

b) Tính diện tích (Heron):

• Nửa chu vi: $p = \frac{2+7+9}{2} = 9$ $$S = \sqrt{9 \times 7 \times 2 \times 0} = 0$$

Có vấn đề! Kiểm tra lại: với $a = 2$, $b = 7$, $c = 9$: $$a + b = 9 = c$$

Đây là tam giác suy biến (3 điểm thẳng hàng), không tồn tại!

Kiểm tra lại tính toán: $$256 = 260 – a^2$$ $$a^2 = 4$$

Nhưng điều kiện tồn tại tam giác: $a + b > c$ $$2 + 7 = 9$$ (không thỏa mãn nghiêm ngặt)

Kết luận: Bài toán không có tam giác thỏa mãn (dữ kiện mâu thuẫn)

Đáp án: Tam giác không tồn tại với dữ kiện đã cho

IX. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ về hệ thức lượng trong tam giác:

Tam giác vuông (Lớp 9): 6 hệ thức cơ bản – Pythagore, đường cao, hình chiếu

Tam giác thường (Lớp 10): Định lý Sin, Cosin, công thức trung tuyến

Ứng dụng: Tính cạnh, góc, diện tích, bán kính đường tròn ngoại/nội tiếp

6 bài tập đa dạng có lời giải chi tiết từng bước

Phụ Lục: Sơ Đồ Tư Duy

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
│
├── TAM GIÁC VUÔNG (Lớp 9)
│   ├── Pythagore: a² = b² + c²
│   ├── Đường cao: h² = b'·c'
│   ├── Hình chiếu: b² = a·b', c² = a·c'
│   ├── Diện tích: ah = bc
│   └── Nghịch đảo: 1/h² = 1/b² + 1/c²
│
└── TAM GIÁC THƯỜNG (Lớp 10)
    ├── Định lý Sin: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
    ├── Định lý Cosin: a² = b² + c² - 2bc·cosA
    ├── Trung tuyến: m²ₐ = (2b² + 2c² - a²)/4
    ├── Diện tích (sin): S = ½bc·sinA
    └── Diện tích (Heron): S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa