I. GIỚI THIỆU VỀ HYPEBOL

1. Hypebol là gì?

Định nghĩa hình học:

Hypebol là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho hiệu khoảng cách từ M đến hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ (gọi là tiêu điểm) bằng một hằng số:

$$\boxed{|MF_1 – MF_2| = 2a}$$

Điều kiện: $2a < F_1F_2$ (hiệu khoảng cách nhỏ hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm)

Phân loại: Hypebol thuộc họ đường conic (còn gọi là đường côníc), cùng với elip và parabol. Đây là một trong ba loại đường cong được tạo ra khi cắt một hình nón bằng mặt phẳng.

Nguồn gốc tên gọi: Từ tiếng Hy Lạp “hyperbole” có nghĩa là “vượt quá”, ám chỉ tính chất mở rộng ra vô tận của đường cong này.

2. Các yếu tố cơ bản

Tiêu điểm (Foci):

• $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$
• Là hai điểm cố định mà từ đó ta đo hiệu khoảng cách

Đỉnh (Vertices):

• $A_1(-a; 0)$ và $A_2(a; 0)$
• Là hai điểm gần tâm nhất trên hypebol

Tâm (Center):

• O(0; 0)
• Là trung điểm của đoạn $F_1F_2$ và đoạn $A_1A_2$

Trục thực (Transverse axis):

• Đoạn thẳng $A_1A_2$
• Độ dài: $2a$

Trục ảo (Conjugate axis):

• Đoạn thẳng vuông góc với trục thực tại tâm O
• Độ dài: $2b$

Tiêu cự (Focal length):

• Khoảng cách giữa hai tiêu điểm: $F_1F_2 = 2c$

Tâm sai (Eccentricity):

• Ký hiệu: $e = \frac{c}{a}$
• Điều kiện: $e > 1$ (luôn lớn hơn 1 với hypebol)

3. Hình dạng và đặc điểm

Đặc điểm hình học:

Có 2 nhánh đối xứng: Mỗi nhánh ở một phía của trục ảo, đối xứng qua tâm O

Không khép kín: Khác với elip, hypebol mở ra vô tận về hai phía

Có 2 đường tiệm cận: Các nhánh hypebol tiến gần đến các đường tiệm cận khi xa tâm

Đối xứng: Đối xứng qua cả hai trục tọa độ và qua tâm O

Sự khác biệt với elip:

• Elip: Tổng khoảng cách không đổi ($MF_1 + MF_2 = 2a$)
• Hypebol: Hiệu khoảng cách không đổi ($|MF_1 – MF_2| = 2a$)

II. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL

1. Phương trình chính tắc (tâm O, trục thực trên Ox)

Phương trình:

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1}$$

Trong đó:

• $a > 0$: Nửa độ dài trục thực
• $b > 0$: Nửa độ dài trục ảo
• Trục thực nằm trên trục Ox (ngang)

Các đặc điểm quan trọng:

Tâm đối xứng: O(0; 0)

Đỉnh:

• $A_1(-a; 0)$ và $A_2(a; 0)$ trên trục Ox

Tiêu điểm:

• $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$ trên trục Ox

Hệ thức cơ bản: $$\boxed{c^2 = a^2 + b^2}$$

Lưu ý: Dấu CỘNG trong hệ thức này là điểm khác biệt quan trọng với elip.

2. Phương trình chính tắc (tâm O, trục thực trên Oy)

Phương trình:

$$\boxed{\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1}$$

Đặc điểm:

• Trục thực nằm trên trục Oy (dọc)
• Hai nhánh hypebol mở lên trên và xuống dưới

Đỉnh:

• $A_1(0; -a)$ và $A_2(0; a)$ trên trục Oy

Tiêu điểm:

• $F_1(0; -c)$ và $F_2(0; c)$ trên trục Oy

Hệ thức: Vẫn giữ nguyên $c^2 = a^2 + b^2$

3. So sánh hai dạng

Cách nhận biết nhanh:

Số hạng nào có hệ số DƯƠNG (không có dấu trừ) thì trục thực theo hướng đó

Ví dụ:

• $\frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{9} = 1$: $x^2$ dương → Trục thực Ox
• $\frac{y^2}{16} – \frac{x^2}{4} = 1$: $y^2$ dương → Trục thực Oy

III. HỆ THỨC CƠ BẢN VÀ CÁC CÔNG THỨC QUAN TRỌNG

1. Hệ thức liên hệ a, b, c

Công thức quan trọng nhất:

$$\boxed{c^2 = a^2 + b^2}$$

Ghi nhớ:

• Khác với elip có $c^2 = a^2 – b^2$ (dấu trừ)
• Hypebol có dấu CỘNG

Mẹo nhớ: “Hypebol CỘNG, Elip TRỪ”

Ví dụ 1:

• Cho $a = 3$, $b = 4$
• Tính $c$: $c^2 = 9 + 16 = 25$ → $c = 5$

2. Tâm sai (Eccentricity)

Định nghĩa: Tâm sai là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực:

$$\boxed{e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}}$$

Tính chất quan trọng:

• Với hypebol: $e > 1$ (luôn lớn hơn 1)
• Càng xa tâm, các nhánh càng gần với tiệm cận
• $e$ càng lớn thì hypebol càng “mở”

Công thức biến đổi:

$$e^2 = \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$$

Ví dụ 2: Với hypebol $\frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1$

• $a = 3$, $b = 4$
• $c = \sqrt{9 + 16} = 5$
• $e = \frac{5}{3} \approx 1.67 > 1$ ✓

3. Tiêu cự

Công thức:

$$\boxed{F_1F_2 = 2c = 2\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Ý nghĩa: Khoảng cách giữa hai tiêu điểm

Ví dụ 3:

• Với $a = 3$, $b = 4$ → $c = 5$
• Tiêu cự: $2c = 10$

4. Phương trình đường chuẩn

Định nghĩa: Đường chuẩn là đường thẳng tương ứng với mỗi tiêu điểm.

Với hypebol có trục thực trên Ox:

$$\boxed{x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{a}{e}}$$

Có 2 đường chuẩn:

• Đường chuẩn ứng với $F_1$: $x = -\frac{a}{e}$
• Đường chuẩn ứng với $F_2$: $x = \frac{a}{e}$

Ví dụ 4: Với $a = 3$, $e = \frac{5}{3}$

• Đường chuẩn: $x = \pm \frac{3}{5/3} = \pm \frac{9}{5}$

5. Định nghĩa theo tiêu điểm-đường chuẩn

Định nghĩa thứ hai của hypebol:

Hypebol là tập hợp các điểm M sao cho tỉ số giữa khoảng cách từ M đến tiêu điểm F và khoảng cách từ M đến đường chuẩn tương ứng $\Delta$ là một hằng số bằng tâm sai:

$$\boxed{\frac{MF}{d(M, \Delta)} = e}$$

Trong đó:

• $F$: Tiêu điểm
• $\Delta$: Đường chuẩn tương ứng
• $e$: Tâm sai ($e > 1$ với hypebol)
• $d(M, \Delta)$: Khoảng cách từ M đến đường chuẩn

Ý nghĩa: Đây là định nghĩa chung cho tất cả các đường conic:

• $e < 1$: Elip
• $e = 1$: Parabol
• $e > 1$: Hypebol

6. Phương trình tiếp tuyến

a) Tiếp tuyến tại điểm trên hypebol

Tại điểm $M_0(x_0; y_0)$ thuộc hypebol:

$$\boxed{\frac{x_0 x}{a^2} – \frac{y_0 y}{b^2} = 1}$$

Cách nhớ: Thay $x^2$ bởi $x_0 x$ và $y^2$ bởi $y_0 y$ trong phương trình chính tắc.

Ví dụ 5: Hypebol $\frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1$, điểm $M_0(5; \frac{9}{4})$

Phương trình tiếp tuyến: $$\frac{5x}{16} – \frac{\frac{9}{4} \cdot y}{9} = 1$$ $$\frac{5x}{16} – \frac{y}{4} = 1$$

b) Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương trình:

$$\boxed{y = kx \pm \sqrt{a^2k^2 – b^2}}$$

Điều kiện tồn tại: $$a^2k^2 – b^2 \geq 0 \Leftrightarrow |k| \geq \frac{b}{a}$$

Giải thích: Hệ số góc của tiếp tuyến phải lớn hơn hoặc bằng hệ số góc của tiệm cận.

IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HYPEBOL

1. Phương trình tiệm cận

Với hypebol $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$:

$$\boxed{y = \pm \frac{b}{a}x}$$

Hai đường thẳng qua gốc O:

• Tiệm cận 1: $y = \frac{b}{a}x$ (hệ số góc dương)
• Tiệm cận 2: $y = -\frac{b}{a}x$ (hệ số góc âm)

Với hypebol $\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1$:

$$y = \pm \frac{a}{b}x$$

2. Cách tìm tiệm cận nhanh

QUY TRÌNH 4 BƯỚC:

Bước 1: Viết phương trình hypebol về dạng chính tắc $$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Bước 2: Thay “= 1” bằng “= 0” $$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 0$$

Bước 3: Phân tích thành tích $$\left(\frac{x}{a} – \frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}\right) = 0$$

Bước 4: Giải hai phương trình

• $\frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0$ → $y = \frac{b}{a}x$
• $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ → $y = -\frac{b}{a}x$

Ví dụ 6: Tìm tiệm cận của $\frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1$

Lời giải:

• $a = 5$, $b = 4$
• Tiệm cận: $y = \pm \frac{4}{5}x$

3. Góc giữa hai tiệm cận

Công thức tính góc:

$$\boxed{\tan \alpha = \frac{2\frac{b}{a}}{1 – \left(\frac{b}{a}\right)^2} = \frac{2ab}{a^2 – b^2}}$$

Trường hợp đặc biệt – Hypebol đều:

Nếu $a = b$ thì hai tiệm cận vuông góc với nhau (góc 90°)

Chứng minh: Khi $a = b$:

• Tiệm cận: $y = \pm x$
• Hệ số góc: $k_1 = 1$ và $k_2 = -1$
• Tích: $k_1 \cdot k_2 = -1$ → Hai đường vuông góc ✓

4. Ý nghĩa hình học

Tính chất tiệm cận:

Các nhánh hypebol tiến gần đến tiệm cận khi xa tâm O

Khoảng cách từ điểm trên hypebol đến tiệm cận tiến về 0 khi $x \to \infty$

Nhưng hypebol không bao giờ cắt tiệm cận (chỉ tiến gần vô hạn)

Ứng dụng: Tiệm cận giúp vẽ hình dạng gần đúng của hypebol một cách nhanh chóng.

V. CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT

1. Hypebol đều (Hypebol vuông)

Định nghĩa: Hypebol có $a = b$ gọi là hypebol đều hoặc hypebol vuông.

Phương trình:

$$\boxed{x^2 – y^2 = a^2}$$

Hoặc viết lại: $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{a^2} = 1$

Đặc điểm đặc biệt:

✅ Hai tiệm cận vuông góc: $y = \pm x$ (góc 45° với trục Ox)

✅ Tâm sai: $e = \sqrt{2}$ (vì $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ → $c = a\sqrt{2}$ → $e = \sqrt{2}$)

✅ Hai nhánh đối xứng hoàn toàn qua cả hai trục và qua gốc O

✅ Đồng nhất về hình dạng: Chỉ khác nhau về kích thước

Ví dụ 7:

• $x^2 – y^2 = 9$ là hypebol đều với $a = b = 3$
• Tiệm cận: $y = \pm x$
• Tâm sai: $e = \sqrt{2} \approx 1.414$

2. Hypebol liên hợp

Định nghĩa: Hai hypebol được gọi là liên hợp với nhau nếu:

$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{và} \quad \frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1$$

Hoặc viết lại:

$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{và} \quad -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Đặc điểm:

Có chung tiệm cận: Cả hai có tiệm cận $y = \pm \frac{b}{a}x$

Hoán đổi trục:

• Trục thực của hypebol thứ nhất là trục ảo của hypebol thứ hai
• Trục ảo của hypebol thứ nhất là trục thực của hypebol thứ hai

Đối xứng qua tiệm cận: Hai hypebol đối xứng qua các đường tiệm cận

Ví dụ 8:

• $\frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1$ (trục thực Ox)
• $\frac{y^2}{9} – \frac{x^2}{16} = 1$ (trục thực Oy)

Cả hai có chung tiệm cận: $y = \pm \frac{3}{4}x$

VI. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

Bảng 1: Công thức cơ bản

Bảng 2: Các yếu tố hypebol

Bảng 3: So sánh Hypebol – Elip

VII. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Viết phương trình hypebol cơ bản

Đề bài: Viết phương trình chính tắc của hypebol biết:

• Độ dài trục thực: $2a = 8$ → $a = 4$
• Độ dài trục ảo: $2b = 6$ → $b = 3$
• Trục thực nằm trên trục Ox

Lời giải:

Phương trình chính tắc: $$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Thay $a = 4$ và $b = 3$: $$\boxed{\frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1}$$

Ví dụ 2: Tìm các yếu tố của hypebol

Đề bài: Cho hypebol $\frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{9} = 1$. Tìm: a) Độ dài trục thực, trục ảo b) Tọa độ tiêu điểm c) Tâm sai d) Phương trình tiệm cận

Lời giải:

a) Độ dài các trục:

• $a^2 = 25$ → $a = 5$
• $b^2 = 9$ → $b = 3$
• Trục thực: $2a = 10$
• Trục ảo: $2b = 6$

b) Tọa độ tiêu điểm:

• Tính $c$: $c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 9 = 34$
• $c = \sqrt{34} \approx 5.83$
• Tiêu điểm: $F_1(-\sqrt{34}; 0)$ và $F_2(\sqrt{34}; 0)$

c) Tâm sai: $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx 1.17 > 1$$ ✓

d) Phương trình tiệm cận: $$y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{5}x$$

Hay: $y = 0.6x$ và $y = -0.6x$

Ví dụ 3: Lập phương trình từ điều kiện cho trước

Đề bài: Lập phương trình hypebol biết:

• Tiêu điểm: $F_1(-5; 0)$, $F_2(5; 0)$
• Đi qua điểm $M(6; 2)$

Lời giải:

Bước 1: Từ tiêu điểm suy ra $c = 5$

Bước 2: Hệ thức liên hệ: $$c^2 = a^2 + b^2$$ $$25 = a^2 + b^2 \quad …(1)$$

Bước 3: Điểm M thuộc hypebol nên: $$\frac{36}{a^2} – \frac{4}{b^2} = 1 \quad …(2)$$

Bước 4: Từ (1): $b^2 = 25 – a^2$

Thay vào (2): $$\frac{36}{a^2} – \frac{4}{25 – a^2} = 1$$

Bước 5: Giải phương trình: $$36(25 – a^2) – 4a^2 = a^2(25 – a^2)$$ $$900 – 36a^2 – 4a^2 = 25a^2 – a^4$$ $$a^4 – 65a^2 + 900 = 0$$

Đặt $t = a^2$: $$t^2 – 65t + 900 = 0$$ $$\Delta = 65^2 – 3600 = 625$$ $$t = \frac{65 \pm 25}{2}$$ $$t = 45 \text{ hoặc } t = 20$$

Bước 6: Chọn nghiệm:

• Nếu $a^2 = 45$ → $b^2 = 25 – 45 = -20$ (loại vì $b^2 < 0$)
• Nếu $a^2 = 20$ → $b^2 = 25 – 20 = 5$ ✓

Đáp án: $$\boxed{\frac{x^2}{20} – \frac{y^2}{5} = 1}$$

Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến

Đề bài: Cho hypebol $\frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1$. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(8; 3\sqrt{3})$.

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra M thuộc hypebol: $$\frac{64}{16} – \frac{27}{9} = 4 – 3 = 1$$ ✓

Bước 2: Áp dụng công thức tiếp tuyến: $$\frac{x_0 x}{a^2} – \frac{y_0 y}{b^2} = 1$$

$$\frac{8x}{16} – \frac{3\sqrt{3} \cdot y}{9} = 1$$

$$\frac{x}{2} – \frac{\sqrt{3}y}{3} = 1$$

Bước 3: Quy đồng và rút gọn: $$3x – 2\sqrt{3}y = 6$$

Đáp án: $$\boxed{3x – 2\sqrt{3}y – 6 = 0}$$

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Phân biệt Hypebol và Elip

CÁCH NHẬN BIẾT NHANH:

Từ phương trình:

Có dấu TRỪ (-) → HYPEBOL $$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Có dấu CỘNG (+) → ELIP $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Từ hệ thức c, a, b:

Hypebol: $c^2 = a^2 + b^2$ (dấu CỘNG)

Elip: $c^2 = a^2 – b^2$ (dấu TRỪ)

Từ tâm sai:

Hypebol: $e > 1$

Elip: $0 < e < 1$

2. Cách nhớ công thức nhanh

Công thức tiệm cận:

“Thay = 1 thành = 0 rồi phân tích”

$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \xrightarrow{\text{thay}} \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 0$$

Phân tích: $\left(\frac{x}{a} – \frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}\right) = 0$

Được hai tiệm cận: $y = \pm \frac{b}{a}x$

Hệ thức cơ bản:

“Hypebol CỘNG, Elip TRỪ”

• Hypebol: $c^2 = a^2 + b^2$
• Elip: $c^2 = a^2 – b^2$

3. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm lẫn hệ thức

Sai: $c^2 = a^2 – b^2$ (công thức của elip)

Đúng: $c^2 = a^2 + b^2$ (công thức của hypebol) ✓

❌ SAI LẦM 2: Quên điều kiện tâm sai

Sai: Tính được $e = 0.8$ cho hypebol

Đúng: Tâm sai hypebol luôn $e > 1$ ✓

❌ SAI LẦM 3: Viết tiệm cận thiếu dấu ±

Sai: Tiệm cận của hypebol là $y = \frac{b}{a}x$

Đúng: Tiệm cận là $y = \pm \frac{b}{a}x$ (có 2 đường) ✓

❌ SAI LẦM 4: Nhầm trục thực và trục ảo

Lưu ý: Số hạng nào DƯƠNG (không có dấu trừ) thì trục thực theo biến đó

• $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$: Trục thực Ox
• $\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1$: Trục thực Oy

4. Quy trình làm bài tập chuẩn

BƯỚC 1: Xác định dạng phương trình

• Trục thực Ox hay Oy?
• Nhận biết qua số hạng dương

BƯỚC 2: Tìm a và b từ phương trình

• $a^2$: Mẫu số của số hạng dương
• $b^2$: Mẫu số của số hạng âm

BƯỚC 3: Tính c từ hệ thức $$c^2 = a^2 + b^2$$

BƯỚC 4: Tính các yếu tố còn lại

• Tâm sai: $e = \frac{c}{a}$
• Tiêu điểm: $F(\pm c; 0)$ hoặc $F(0; \pm c)$
• Tiệm cận: $y = \pm \frac{b}{a}x$ hoặc $y = \pm \frac{a}{b}x$

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ công thức hypebol cơ bản và quan trọng:

Định nghĩa: Hiệu khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số $|MF_1 – MF_2| = 2a$

Phương trình chính tắc:

• Trục Ox: $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$
• Trục Oy: $\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1$

Hệ thức cơ bản: $c^2 = a^2 + b^2$ (dấu CỘNG)

Tâm sai: $e = \frac{c}{a} > 1$ (luôn lớn hơn 1)

Tiệm cận: $y = \pm \frac{b}{a}x$ (hai đường qua gốc)

Các yếu tố: Đỉnh, tiêu điểm, đường chuẩn, trục thực, trục ảo

4 ví dụ minh họa với lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao

Điểm cần nhớ quan trọng nhất

TOP 5 CÔNG THỨC CỐT LÕI:

Phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ (dấu TRỪ)

Hệ thức: $c^2 = a^2 + b^2$ (dấu CỘNG)

Tâm sai: $e = \frac{c}{a} > 1$

Tiệm cận: $y = \pm \frac{b}{a}x$

Phân biệt với elip: Hypebol có dấu TRỪ và $e > 1$

Các chủ đề liên quan:

• [Đường Elip – Công thức và tính chất]
• [Đường Parabol – Phương trình và ứng dụng]
• [Đường Conic – Tổng quan và phân loại]
• [Hệ tọa độ trong mặt phẳng]
• [Phương trình đường cong trong hình học giải tích]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa