I. GIỚI THIỆU VỀ TAM GIÁC THƯỜNG

1. Tam giác thường là gì?

Định nghĩa: Tam giác thường là tam giác bất kỳ, không nhất thiết phải có góc vuông. Đây là trường hợp tổng quát nhất của tam giác trong hình học phẳng.

Phân loại tam giác theo góc:

• Tam giác nhọn: Cả ba góc đều nhọn (nhỏ hơn 90°)
  • Ví dụ: Tam giác đều với ba góc 60°
  • Tính chất: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp đều nằm trong tam giác
• Tam giác vuông: Có một góc bằng 90°
  • Trường hợp đặc biệt, áp dụng được định lý Pythagore
  • Các công thức lượng giác trở nên đơn giản hơn
• Tam giác tù: Có một góc tù (lớn hơn 90°)
  • Trực tâm nằm ngoài tam giác
  • Cần sử dụng định lý sin và cosin để giải

2. Ký hiệu và quy ước

Hình minh họa:

        A
       /\
      /  \
   c /    \ b
    /      \
   /________\
  B    a     C

Các ký hiệu chuẩn:

• Các đỉnh: A, B, C (thường viết hoa)
• Các cạnh: a, b, c (viết thường)
  • Cạnh a đối diện với góc A (cạnh BC)
  • Cạnh b đối diện với góc B (cạnh AC)
  • Cạnh c đối diện với góc C (cạnh AB)
• Các góc: A, B, C (hoặc $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$)

Quy ước quan trọng:

• Cạnh và góc đối diện luôn cùng ký hiệu
• Cạnh a nằm đối diện góc A, cạnh b đối diện góc B, cạnh c đối diện góc C

Các đại lượng liên quan:

• Chu vi: $P = a + b + c$
• Nửa chu vi: $p = \frac{a+b+c}{2}$
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R$
• Bán kính đường tròn nội tiếp: $r$

II. ĐỊNH LÝ SIN (ĐỊNH LÝ HÀM SIN)

1. Phát biểu định lý sin

Định lý: Trong tam giác ABC bất kỳ, ta có:

$$\boxed{\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R}$$

Trong đó:

• $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của tam giác
• $A, B, C$ là số đo ba góc đối diện với các cạnh tương ứng
• $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ý nghĩa: Tỉ số giữa mỗi cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó là một hằng số, bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Lưu ý quan trọng:

• Định lý đúng với mọi loại tam giác (nhọn, vuông, tù)
• Công thức này giúp liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác
• Đặc biệt hữu ích khi biết góc và cạnh đối diện

2. Các dạng viết khác

Dạng 1: Tỉ lệ giữa các cạnh

$$\boxed{\frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B}}$$

$$\boxed{\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}}$$

$$\boxed{\frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C}}$$

Ứng dụng: So sánh độ dài các cạnh khi biết góc.

Dạng 2: Tính cạnh khi biết góc và R

$$\boxed{a = 2R\sin A}$$

$$\boxed{b = 2R\sin B}$$

$$\boxed{c = 2R\sin C}$$

Ứng dụng: Tính độ dài cạnh khi biết bán kính đường tròn ngoại tiếp và góc đối diện.

Dạng 3: Tính sin góc khi biết cạnh và R

$$\boxed{\sin A = \frac{a}{2R}}$$

$$\boxed{\sin B = \frac{b}{2R}}$$

$$\boxed{\sin C = \frac{c}{2R}}$$

Ứng dụng: Tìm góc khi biết cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp.

3. Chứng minh định lý sin

Phương pháp 1: Dùng đường cao

Trường hợp 1: Tam giác nhọn

Bước 1: Kẻ đường cao $AH$ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$.

Bước 2: Trong tam giác vuông $ABH$: $$AH = c \sin B$$

Bước 3: Trong tam giác vuông $ACH$: $$AH = b \sin C$$

Bước 4: Từ hai biểu thức trên: $$c \sin B = b \sin C$$

$$\Rightarrow \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Bước 5: Tương tự, kẻ đường cao từ B và C, ta được: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Phương pháp 2: Liên hệ với đường tròn ngoại tiếp

Bước 1: Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm O, bán kính R.

Bước 2: Vẽ đường kính $AD$ của đường tròn ($D$ là điểm đối xứng với $A$ qua tâm $O$).

Bước 3: Do $AD$ là đường kính nên: $$\angle ACD = 90°$$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Bước 4: Trong tam giác vuông $ACD$: $$\sin D = \frac{AC}{AD} = \frac{b}{2R}$$

Bước 5: Mặt khác, $\angle D = \angle ABC = B$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

Suy ra: $\sin B = \frac{b}{2R}$

Kết luận: $b = 2R \sin B$, tương tự: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ ✓

4. Ứng dụng định lý sin

a) Tính cạnh khi biết 1 cạnh và 2 góc

Bài toán: Cho tam giác ABC có $a = 10$ cm, $A = 60°$, $B = 45°$. Tính cạnh $b$.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng định lý sin: $$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$$

Bước 2: Tính $b$: $$b = a \cdot \frac{\sin B}{\sin A} = 10 \cdot \frac{\sin 45°}{\sin 60°}$$

$$= 10 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{6}}{3}$$

Kết luận: $b = \frac{10\sqrt{6}}{3} \approx 8.16$ cm

b) Tính góc khi biết 2 cạnh và 1 góc

Bài toán: Cho tam giác ABC có $a = 5$ cm, $b = 7$ cm, $A = 40°$. Tính góc $B$.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng định lý sin: $$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$$

Bước 2: Tính $\sin B$: $$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{7 \times \sin 40°}{5}$$

$$\sin B = \frac{7 \times 0.643}{5} \approx 0.900$$

Bước 3: Tìm góc $B$: $$B = \arcsin(0.900) \approx 64.2°$$

Lưu ý: Có thể có hai giá trị: $B_1 \approx 64.2°$ hoặc $B_2 = 180° – 64.2° = 115.8°$. Cần kiểm tra điều kiện $A + B + C = 180°$.

c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Công thức: $$\boxed{R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}}$$

Bài toán: Cho tam giác ABC có $a = 8$ cm, $A = 60°$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải: $$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{8}{2 \times \sin 60°} = \frac{8}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 \text{ cm}$$

III. ĐỊNH LÝ COSIN (ĐỊNH LÝ HÀM COS)

1. Phát biểu định lý cosin

Định lý: Trong tam giác ABC bất kỳ, ta có:

$$\boxed{a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A}$$

$$\boxed{b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cos B}$$

$$\boxed{c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C}$$

Ý nghĩa:

• Định lý cosin là sự mở rộng của định lý Pythagore cho tam giác bất kỳ
• Khi góc $A = 90°$ thì $\cos A = 0$, công thức trở thành: $a^2 = b^2 + c^2$ (Pythagore)
• Cho phép tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Lưu ý:

• Dấu “$-$” trong công thức rất quan trọng, không được quên
• Góc trong công thức là góc xen giữa hai cạnh đã biết

2. Dạng đảo – Tính cos góc

Từ định lý cosin, ta có thể biểu diễn cosine của góc:

$$\boxed{\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}}$$

$$\boxed{\cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac}}$$

$$\boxed{\cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}}$$

Ứng dụng: Tính góc khi biết độ dài ba cạnh của tam giác.

Lưu ý về dấu của $\cos$:

• Nếu $\cos A > 0$ → góc $A$ nhọn ($A < 90°$)
• Nếu $\cos A = 0$ → góc $A$ vuông ($A = 90°$)
• Nếu $\cos A < 0$ → góc $A$ tù ($A > 90°$)

3. Chứng minh định lý cosin

Phương pháp: Dùng hệ tọa độ Oxy

Bước 1: Đặt tam giác trong hệ tọa độ:

• Điểm $B$ tại gốc tọa độ: $B(0; 0)$
• Điểm $C$ trên trục $Ox$: $C(a; 0)$
• Điểm $A$ có tọa độ: $A(c\cos B; c\sin B)$

Bước 2: Tính khoảng cách $AC$ theo công thức khoảng cách: $$AC^2 = (c\cos B – a)^2 + (c\sin B – 0)^2$$

Bước 3: Khai triển: $$b^2 = c^2\cos^2 B – 2ac\cos B + a^2 + c^2\sin^2 B$$

Bước 4: Sử dụng $\cos^2 B + \sin^2 B = 1$: $$b^2 = c^2(\cos^2 B + \sin^2 B) + a^2 – 2ac\cos B$$

$$b^2 = c^2 + a^2 – 2ac\cos B$$

Kết luận: $b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cos B$ ✓

Chứng minh tương tự cho hai công thức còn lại.

4. Ứng dụng định lý cosin

a) Tính cạnh khi biết 2 cạnh và góc xen giữa

Bài toán: Cho tam giác ABC có $b = 5$ cm, $c = 7$ cm, $A = 60°$. Tính cạnh $a$.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng định lý cosin: $$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$

Bước 2: Thay số: $$a^2 = 5^2 + 7^2 – 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°$$

$$a^2 = 25 + 49 – 70 \times \frac{1}{2}$$

$$a^2 = 74 – 35 = 39$$

Bước 3: Tính $a$: $$a = \sqrt{39} \approx 6.24 \text{ cm}$$

Kết luận: Cạnh $a \approx 6.24$ cm.

b) Tính góc khi biết 3 cạnh

Bài toán: Cho tam giác ABC có $a = 3$ cm, $b = 4$ cm, $c = 5$ cm. Tính góc $C$.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức: $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$$

Bước 2: Thay số: $$\cos C = \frac{3^2 + 4^2 – 5^2}{2 \times 3 \times 4} = \frac{9 + 16 – 25}{24} = \frac{0}{24} = 0$$

Bước 3: Kết luận: $$C = 90°$$

Nhận xét: Tam giác ABC vuông tại C (do $3^2 + 4^2 = 5^2$ – bộ số Pythagore)

c) Xét tính chất tam giác

Phương pháp: Dựa vào dấu của $\cos C$:

• Nếu $\cos C > 0$:
  • Góc $C$ nhọn ($C < 90°$)
  • Nếu cả ba góc đều nhọn → tam giác nhọn
• Nếu $\cos C = 0$:
  • Góc $C = 90°$
  • Tam giác vuông tại $C$
• Nếu $\cos C < 0$:
  • Góc $C$ tù ($C > 90°$)
  • Tam giác tù tại $C$

Ví dụ: Xét tam giác có $a = 7$, $b = 8$, $c = 13$

$$\cos C = \frac{49 + 64 – 169}{2 \times 7 \times 8} = \frac{-56}{112} = -0.5 < 0$$

Vậy tam giác tù tại $C$ (góc $C = 120°$).

IV. CÔNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC

1. Công thức cơ bản

📌 Công thức 1: Đáy nhân cao

$$\boxed{S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao}}$$

Ví dụ: Tam giác có đáy 6 cm, chiều cao 4 cm. $$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \text{ cm}^2$$

Ứng dụng: Công thức đơn giản nhất nhưng cần biết chiều cao.

2. Công thức từ 2 cạnh và góc xen giữa

Đây là công thức QUAN TRỌNG NHẤT trong lượng giác tam giác:

$$\boxed{S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C}$$

Giải thích: Diện tích bằng một nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc xen giữa hai cạnh đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $b = 6$ cm, $c = 8$ cm, $A = 30°$. Tính diện tích.

Lời giải: $$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin 30°$$

$$= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \frac{1}{2} = 12 \text{ cm}^2$$

Ưu điểm: Không cần tính chiều cao, chỉ cần biết 2 cạnh và góc xen giữa.

3. Công thức Heron

Khi biết 3 cạnh $a$, $b$, $c$:

$$\boxed{S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$

Trong đó: $p = \frac{a+b+c}{2}$ (nửa chu vi)

Ví dụ: Cho tam giác có $a = 5$ cm, $b = 6$ cm, $c = 7$ cm. Tính diện tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính nửa chu vi: $$p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Bước 2: Tính các hiệu:

• $p – a = 9 – 5 = 4$
• $p – b = 9 – 6 = 3$
• $p – c = 9 – 7 = 2$

Bước 3: Áp dụng công thức Heron: $$S = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216}$$

$$= \sqrt{36 \times 6} = 6\sqrt{6} \approx 14.7 \text{ cm}^2$$

Ưu điểm: Chỉ cần biết 3 cạnh, không cần biết góc.

4. Công thức liên hệ với bán kính

a) Với bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$:

$$\boxed{S = \frac{abc}{4R}}$$

Suy ra: $R = \frac{abc}{4S}$

Ứng dụng: Tính diện tích khi biết ba cạnh và bán kính ngoại tiếp, hoặc ngược lại.

b) Với bán kính đường tròn nội tiếp $r$:

$$\boxed{S = pr}$$

Trong đó: $p = \frac{a+b+c}{2}$ (nửa chu vi)

Suy ra: $r = \frac{S}{p}$

Ví dụ: Tam giác có chu vi 18 cm, bán kính nội tiếp 2 cm. $$S = pr = 9 \times 2 = 18 \text{ cm}^2$$

5. Bảng tổng hợp công thức diện tích

V. BẢNG TỔNG HỢP CÔNG THỨC

A. Định lý sin

B. Định lý cosin

C. Công thức diện tích

D. Các hệ thức khác

VI. KHI NÀO DÙNG CÔNG THỨC NÀO?

1. Sơ đồ quyết định

GIẢI TAM GIÁC - Tôi biết gì?
     │
     ├─→ Biết 1 cạnh + 2 góc?
     │   → Dùng ĐỊNH LÝ SIN
     │   → Tìm được: các cạnh còn lại
     │
     ├─→ Biết 2 cạnh + góc xen giữa?
     │   → Dùng ĐỊNH LÝ COSIN
     │   → Tìm được: cạnh thứ 3
     │
     ├─→ Biết 3 cạnh?
     │   → Dùng ĐỊNH LÝ COSIN (dạng đảo)
     │   → Tìm được: các góc
     │   → Hoặc dùng HERON
     │   → Tìm được: diện tích
     │
     └─→ Tính diện tích?
           • Có góc xen giữa → S = ½bc sin A
           • Chỉ có 3 cạnh → Heron
           • Có R hoặc r → dùng công thức tương ứng

2. Bảng tra cứu nhanh

VII. BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: Dùng định lý sin – Tính cạnh

Đề bài: Cho tam giác ABC có $a = 8$ cm, $A = 60°$, $B = 45°$. Tính cạnh $b$ và $c$.

Lời giải:

Bước 1: Tính góc $C$: $$C = 180° – A – B = 180° – 60° – 45° = 75°$$

Bước 2: Tính cạnh $b$ bằng định lý sin: $$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$$

$$b = \frac{a \times \sin B}{\sin A} = \frac{8 \times \sin 45°}{\sin 60°}$$

$$= \frac{8 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{6}}{3} \approx 6.53 \text{ cm}$$

Bước 3: Tính cạnh $c$: $$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$$

$$c = \frac{8 \times \sin 75°}{\sin 60°} = \frac{8 \times 0.966}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 8.9 \text{ cm}$$

Kết luận: $b \approx 6.53$ cm, $c \approx 8.9$ cm.

Dạng 2: Dùng định lý cosin – Tính cạnh

Đề bài: Cho tam giác ABC có $b = 5$ cm, $c = 7$ cm, $A = 60°$. Tính cạnh $a$.

Lời giải:

Áp dụng định lý cosin: $$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$

$$a^2 = 5^2 + 7^2 – 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°$$

$$a^2 = 25 + 49 – 70 \times \frac{1}{2}$$

$$a^2 = 74 – 35 = 39$$

$$a = \sqrt{39} \approx 6.24 \text{ cm}$$

Kết luận: Cạnh $a \approx 6.24$ cm.

Dạng 3: Dùng định lý cosin – Tính góc

Đề bài: Cho tam giác ABC có $a = 6$ cm, $b = 8$ cm, $c = 10$ cm. Tính góc $C$ và xét tính chất tam giác.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng định lý cosin dạng đảo: $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$$

$$= \frac{6^2 + 8^2 – 10^2}{2 \times 6 \times 8}$$

$$= \frac{36 + 64 – 100}{96} = \frac{0}{96} = 0$$

Bước 2: Kết luận: $$C = 90°$$

Tính chất: Tam giác ABC vuông tại $C$ (do $\cos C = 0$).

Kiểm tra: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ (Pythagore) ✓

Dạng 4: Tính diện tích – Có góc

Đề bài: Cho tam giác ABC có $b = 6$ cm, $c = 8$ cm, $A = 30°$. Tính diện tích tam giác.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$S = \frac{1}{2}bc\sin A$$

$$= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin 30°$$

$$= 24 \times \frac{1}{2} = 12 \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích tam giác là 12 cm².

Dạng 5: Tính diện tích – Công thức Heron

Đề bài: Cho tam giác ABC có $a = 5$ cm, $b = 6$ cm, $c = 7$ cm. Tính diện tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính nửa chu vi: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$$

Bước 2: Áp dụng công thức Heron: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$= \sqrt{9 \times (9-5) \times (9-6) \times (9-7)}$$

$$= \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2}$$

$$= \sqrt{216} = \sqrt{36 \times 6} = 6\sqrt{6} \approx 14.7 \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích tam giác là $6\sqrt{6} \approx 14.7$ cm².

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Định lý sin:

“Cạnh chia sin góc đối diện, bằng hai R”

$$\frac{a}{\sin A} = 2R$$

Định lý cosin:

“Giống Pythagore nhưng trừ thêm hai lần tích hai cạnh nhân cos góc xen giữa”

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$

Diện tích:

“Một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa”

$$S = \frac{1}{2}bc\sin A$$

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm góc xen giữa trong định lý cosin

Sai: Cho $a = 5$, $b = 6$, $C = 60°$ → Tính $c$ bằng: $$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C$$

Đúng: Góc $C$ không phải góc xen giữa $a$ và $b$!

• Góc xen giữa $a$ và $b$ là góc $C$ (đúng!)
• Nhưng cạnh $c$ đối diện với góc $C$
• Công thức đúng: $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C$ ✓

❌ SAI LẦM 2: Quên dấu âm trong công thức cosin

Sai: $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc\cos A$

Đúng: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$ ✓

Cách nhớ: Dấu TRỪ luôn luôn có trong định lý cosin.

❌ SAI LẦM 3: Nhầm $\sin A$ và $\sin B$ trong định lý sin

Sai: $\frac{a}{\sin B} = \frac{b}{\sin A}$

Đúng: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ ✓

Quy tắc: Cạnh và sin góc đối diện phải cùng chữ cái.

❌ SAI LẦM 4: Quên tính nửa chu vi $p$ trong công thức Heron

Sai: $S = \sqrt{(a+b+c)(a)(b)(c)}$

Đúng:

• Tính $p = \frac{a+b+c}{2}$ trước
• Sau đó: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ✓

3. Lưu ý quan trọng

Luôn vẽ hình và ghi rõ dữ kiện – Giúp hình dung bài toán rõ ràng

Kiểm tra tổng ba góc: $A + B + C = 180°$ – Điều kiện cần của tam giác

Định lý cosin dùng khi:

• Biết 2 cạnh – góc xen giữa
• Hoặc biết 3 cạnh

Định lý sin dùng khi:

• Biết góc – cạnh đối diện
• Cần tìm bán kính $R$

Công thức diện tích $S = \frac{1}{2}bc\sin A$:

• Là công thức VIP nhất
• Dùng khi có 2 cạnh và góc xen giữa

Khi giải tam giác:

• Xác định rõ dữ kiện đã cho
• Chọn công thức phù hợp nhất
• Tính toán cẩn thận, kiểm tra kết quả

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ hệ thức lượng giác trong tam giác thường cho chương trình lớp 10:

Định lý sin (Định lý hàm sin): $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

Ứng dụng: Tính cạnh khi biết góc, tìm bán kính $R$

Định lý cosin (Định lý hàm cos): $$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$$

Ứng dụng: Tính cạnh từ 2 cạnh + góc xen giữa, hoặc tính góc từ 3 cạnh

Công thức diện tích:

• Công thức vàng: $S = \frac{1}{2}bc\sin A$
• Công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
• Các công thức khác với $R$ và $r$

Bài tập mẫu: 5 dạng cơ bản có lời giải chi tiết

Công thức cần nhớ nhất

Ba công thức vàng của lượng giác tam giác:

1. Định lý sin: $$\boxed{\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R}$$

2. Định lý cosin: $$\boxed{a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A}$$

$$\boxed{\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}}$$

3. Diện tích: $$\boxed{S = \frac{1}{2}bc\sin A}$$

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa