I. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG THỨC NHÂN BA

1. Công thức nhân ba là gì?

Định nghĩa: Công thức nhân ba là các công thức lượng giác biểu diễn các hàm số của góc ba lần (3x) theo các hàm số của góc đơn (x).

Cụ thể:

• Biểu diễn $\sin 3x$ theo $\sin x$
• Biểu diễn $\cos 3x$ theo $\cos x$
• Biểu diễn $\tan 3x$ theo $\tan x$

Phân loại: Công thức nhân ba thuộc nhóm công thức lượng giác nâng cao, được học trong chương trình Toán lớp 11.

Đặc điểm:

• Là dạng mở rộng của công thức nhân đôi
• Được suy ra từ công thức cộng và công thức nhân đôi
• Có dạng đa thức (sin, cos) hoặc phân thức (tan)

2. Tại sao phải học công thức nhân ba?

Trong học tập:

Biến đổi biểu thức lượng giác phức tạp: Chuyển đổi các biểu thức có góc 3x về góc x để dễ tính toán hơn.

Giải phương trình lượng giác dạng 3x: Giải các phương trình như $\sin 3x = k$, $\cos 3x = m$ bằng cách đưa về phương trình với sin x, cos x.

Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt: Tính các giá trị như $\sin 15°$, $\cos 22.5°$ thông qua việc sử dụng công thức ngược.

Nền tảng cho tích phân hàm lượng giác: Công thức nhân ba giúp hạ bậc các hàm $\sin^3 x$, $\cos^3 x$ để tính tích phân trong chương trình Toán 12.

Trong ứng dụng:

• Phân tích dao động điều hòa tần số cao
• Xử lý tín hiệu số
• Kỹ thuật điện tử và viễn thông

3. Vị trí trong chương trình

Hệ thống công thức lượng giác theo thứ tự học:

Công thức cơ bản → Công thức cộng → Công thức nhân đôi → Công thức nhân ba → Công thức hạ bậc

Mối liên hệ:

Từ công thức cộng:

• $\sin(a + b)$, $\cos(a + b)$

Đến công thức nhân đôi (cho $a = b$):

• $\sin 2x = \sin(x + x)$
• $\cos 2x = \cos(x + x)$

Đến công thức nhân ba (cho $3x = 2x + x$):

• $\sin 3x = \sin(2x + x)$
• $\cos 3x = \cos(2x + x)$

Như vậy, công thức nhân ba là bước tiếp theo tự nhiên sau khi đã học công thức nhân đôi.

II. CÔNG THỨC NHÂN BA CHO SIN VÀ COS

1. Công thức sin3x

📌 Công thức chính:

$$\boxed{\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x}$$

Cách nhớ: “3 sin trừ 4 sin bậc 3”

Đặc điểm:

• Hệ số của $\sin x$ là 3 (dương)
• Hệ số của $\sin^3 x$ là -4 (âm)
• Là đa thức bậc 3 theo $\sin x$

2. Chứng minh công thức sin3x

Phương pháp: Sử dụng công thức cộng và công thức nhân đôi

Xuất phát: Viết $3x = 2x + x$

$$\sin 3x = \sin(2x + x)$$

Bước 1: Áp dụng công thức cộng $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

$$\sin 3x = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$$

Bước 2: Thay các công thức nhân đôi:

• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
• $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$

$$= (2\sin x \cos x)\cos x + (1 – 2\sin^2 x)\sin x$$

Bước 3: Khai triển và rút gọn:

$$= 2\sin x \cos^2 x + \sin x – 2\sin^3 x$$

Bước 4: Sử dụng $\cos^2 x = 1 – \sin^2 x$:

$$= 2\sin x(1 – \sin^2 x) + \sin x – 2\sin^3 x$$

$$= 2\sin x – 2\sin^3 x + \sin x – 2\sin^3 x$$

$$= 3\sin x – 4\sin^3 x$$

Kết luận: Ta có điều phải chứng minh ✓

3. Công thức cos3x

📌 Công thức chính:

$$\boxed{\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x}$$

Cách nhớ: “4 cos bậc 3 trừ 3 cos”

Đặc điểm:

• Hệ số của $\cos^3 x$ là 4 (dương)
• Hệ số của $\cos x$ là -3 (âm)
• Là đa thức bậc 3 theo $\cos x$

4. Chứng minh công thức cos3x

Phương pháp: Sử dụng công thức cộng và công thức nhân đôi

Xuất phát: Viết $3x = 2x + x$

$$\cos 3x = \cos(2x + x)$$

Bước 1: Áp dụng công thức cộng $\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$

$$\cos 3x = \cos 2x \cos x – \sin 2x \sin x$$

Bước 2: Thay các công thức nhân đôi:

• $\cos 2x = 2\cos^2 x – 1$
• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

$$= (2\cos^2 x – 1)\cos x – (2\sin x \cos x)\sin x$$

Bước 3: Khai triển:

$$= 2\cos^3 x – \cos x – 2\sin^2 x \cos x$$

Bước 4: Sử dụng $\sin^2 x = 1 – \cos^2 x$:

$$= 2\cos^3 x – \cos x – 2(1 – \cos^2 x)\cos x$$

$$= 2\cos^3 x – \cos x – 2\cos x + 2\cos^3 x$$

$$= 4\cos^3 x – 3\cos x$$

Kết luận: Ta có điều phải chứng minh ✓

5. Nhận xét về hai công thức

Bảng so sánh:

Quy luật ghi nhớ:

Sin: Hệ số bậc 1 trước (3), bậc 3 sau (4)
Cos: Hệ số bậc 3 trước (4), bậc 1 sau (3)

Đặc điểm chung:

• Cả hai đều sử dụng hệ số 3 và 4
• Cả hai đều là đa thức bậc 3
• Sin viết số hạng bậc 1 trước, Cos viết số hạng bậc 3 trước

Mẹo nhớ vị trí:

• Sin: Số nhỏ (3) trước, số lớn (4) sau
• Cos: Số lớn (4) trước, số nhỏ (3) sau

III. CÔNG THỨC NHÂN BA CHO TAN

1. Công thức tan3x

📌 Công thức chính:

$$\boxed{\tan 3x = \frac{3\tan x – \tan^3 x}{1 – 3\tan^2 x}}$$

Điều kiện:

• $\cos x \neq 0$ (để $\tan x$ xác định)
• $\cos 3x \neq 0$ (để $\tan 3x$ xác định)
• $1 – 3\tan^2 x \neq 0$ (mẫu số khác 0)

Cách nhớ:

• Tử số: $3\tan x – \tan^3 x$ (bậc lẻ, hệ số 3)
• Mẫu số: $1 – 3\tan^2 x$ (bậc chẵn, hệ số 3)

2. Chứng minh công thức tan3x

Phương pháp: Xuất phát từ định nghĩa $\tan 3x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x}$

Bước 1: Viết theo định nghĩa

$$\tan 3x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x}$$

Bước 2: Thay công thức sin3x và cos3x

$$= \frac{3\sin x – 4\sin^3 x}{4\cos^3 x – 3\cos x}$$

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $\cos^3 x$ ($\cos x \neq 0$)

$$= \frac{\frac{3\sin x}{\cos^3 x} – \frac{4\sin^3 x}{\cos^3 x}}{\frac{4\cos^3 x}{\cos^3 x} – \frac{3\cos x}{\cos^3 x}}$$

$$= \frac{3 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} – 4 \cdot \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x}}{4 – 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}$$

Bước 4: Sử dụng $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ và $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$

$$= \frac{3\tan x(1 + \tan^2 x) – 4\tan^3 x}{4 – 3(1 + \tan^2 x)}$$

Bước 5: Khai triển

$$= \frac{3\tan x + 3\tan^3 x – 4\tan^3 x}{4 – 3 – 3\tan^2 x}$$

$$= \frac{3\tan x – \tan^3 x}{1 – 3\tan^2 x}$$

Kết luận: Ta có điều phải chứng minh ✓

3. Công thức cot3x (mở rộng)

Dạng 1: $$\cot 3x = \frac{3\cot x – \cot^3 x}{1 – 3\cot^2 x}$$

Dạng 2 (đảo ngược): $$\cot 3x = \frac{\cot^3 x – 3\cot x}{3\cot^2 x – 1}$$

Lưu ý: Công thức cot3x ít sử dụng hơn trong chương trình phổ thông, thường chỉ cần nhớ công thức tan3x.

IV. BẢNG TỔNG HỢP CÔNG THỨC

Bảng công thức nhân ba đầy đủ

Dạng biến thể thường gặp (Hạ bậc)

Từ công thức nhân ba, ta có thể suy ra công thức hạ bậc:

Từ công thức sin3x:

$$\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x$$

$$4\sin^3 x = 3\sin x – \sin 3x$$

$$\boxed{\sin^3 x = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4}}$$

Từ công thức cos3x:

$$\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x$$

$$4\cos^3 x = \cos 3x + 3\cos x$$

$$\boxed{\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}}$$

Ứng dụng: Các công thức hạ bậc này rất quan trọng trong việc tính tích phân:

• $\int \sin^3 x , dx$
• $\int \cos^3 x , dx$

V. ỨNG DỤNG VÀ VÍ DỤ

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Bài tập 1: Tính $\sin 3x$ biết $\sin x = \frac{1}{3}$

Lời giải:

Áp dụng công thức $\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x$:

$$\sin 3x = 3 \cdot \frac{1}{3} – 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3$$

$$= 1 – 4 \cdot \frac{1}{27}$$

$$= 1 – \frac{4}{27}$$

$$= \frac{27 – 4}{27} = \frac{23}{27}$$

Kết luận: $\sin 3x = \frac{23}{27}$

Bài tập 2: Tính $\cos 3x$ biết $\cos x = \frac{1}{2}$

Lời giải:

Áp dụng công thức $\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x$:

$$\cos 3x = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 – 3 \cdot \frac{1}{2}$$

$$= 4 \cdot \frac{1}{8} – \frac{3}{2}$$

$$= \frac{1}{2} – \frac{3}{2}$$

$$= -1$$

Kiểm tra:

• $\cos x = \frac{1}{2}$ → $x = 60°$
• $3x = 180°$
• $\cos 180° = -1$ ✓

Kết luận: $\cos 3x = -1$

Bài tập 3: Tính $\tan 3x$ biết $\tan x = 2$

Lời giải:

Áp dụng công thức $\tan 3x = \frac{3\tan x – \tan^3 x}{1 – 3\tan^2 x}$:

$$\tan 3x = \frac{3(2) – 2^3}{1 – 3(2)^2}$$

$$= \frac{6 – 8}{1 – 12}$$

$$= \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11}$$

Kết luận: $\tan 3x = \frac{2}{11}$

Dạng 2: Tính giá trị góc đặc biệt

Bài tập 4: Tính $\sin 15°$ bằng công thức nhân ba

Phương pháp: Sử dụng $15° = \frac{45°}{3}$, tức là nếu đặt $3x = 45°$ thì $x = 15°$

Lời giải:

Từ công thức: $\sin 45° = 3\sin 15° – 4\sin^3 15°$

Đặt $t = \sin 15°$ (với $t > 0$):

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = 3t – 4t^3$$

$$8t^3 – 6t + \sqrt{2} = 0$$

Đây là phương trình bậc 3. Giải phương trình này (bằng máy tính hoặc phương pháp Cardano), ta được:

$$t = \sin 15° = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$$

Kết luận: $\sin 15° = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài tập 5: Chứng minh: $\sin^3 x = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4}$

Lời giải:

Cách 1: Xuất phát từ công thức nhân ba

Từ công thức: $\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x$

Biến đổi: $$4\sin^3 x = 3\sin x – \sin 3x$$

$$\sin^3 x = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4}$$

Kết luận: Đẳng thức được chứng minh ✓

Bài tập 6: Chứng minh: $\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}$

Lời giải:

Từ công thức: $\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x$

Biến đổi: $$4\cos^3 x = \cos 3x + 3\cos x$$

$$\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}$$

Kết luận: Đẳng thức được chứng minh ✓

Dạng 4: Giải phương trình

Bài tập 7: Giải phương trình $\sin 3x = \sin x$

Lời giải:

Bước 1: Thay công thức nhân ba

$$3\sin x – 4\sin^3 x = \sin x$$

Bước 2: Chuyển vế và rút gọn

$$3\sin x – 4\sin^3 x – \sin x = 0$$

$$2\sin x – 4\sin^3 x = 0$$

$$2\sin x(1 – 2\sin^2 x) = 0$$

Bước 3: Giải phương trình tích

Trường hợp 1: $\sin x = 0$ $$x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Trường hợp 2: $1 – 2\sin^2 x = 0$ $$\sin^2 x = \frac{1}{2}$$

$$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

• Với $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $x = \frac{\pi}{4} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi$
• Với $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi$ hoặc $x = -\frac{3\pi}{4} + k2\pi$

Viết gọn: $x = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Kết luận: Nghiệm của phương trình là: $$x = k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Bài tập 8: Giải phương trình $\cos 3x = \cos x$

Lời giải:

Thay công thức nhân ba: $$4\cos^3 x – 3\cos x = \cos x$$

$$4\cos^3 x – 4\cos x = 0$$

$$4\cos x(\cos^2 x – 1) = 0$$

$$4\cos x \cdot (-\sin^2 x) = 0$$

Trường hợp 1: $\cos x = 0$ $$x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Trường hợp 2: $\sin x = 0$ $$x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Kết luận: $x = \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$

VI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Công thức Sin3x

“3 sin trừ 4 sin bậc 3”

$$\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x$$

Ghi nhớ:

• Số đầu tiên là 3 (nhỏ hơn)
• Số thứ hai là 4 (lớn hơn)
• Bậc 1 viết trước, bậc 3 viết sau

Công thức Cos3x

“4 cos bậc 3 trừ 3 cos”

$$\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x$$

Ghi nhớ:

• Số đầu tiên là 4 (lớn hơn)
• Số thứ hai là 3 (nhỏ hơn)
• Bậc 3 viết trước, bậc 1 viết sau

Công thức Tan3x

“Giống công thức tan cộng, nhưng với hệ số 3”

$$\tan 3x = \frac{3\tan x – \tan^3 x}{1 – 3\tan^2 x}$$

Ghi nhớ:

• Tử số: $3\tan x – \tan^3 x$ (bậc lẻ, có đổi dấu)
• Mẫu số: $1 – 3\tan^2 x$ (bậc chẵn, không đổi dấu)
• Hệ số đều là 3

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm thứ tự hệ số

Sai:

• $\sin 3x = 4\sin x – 3\sin^3 x$ ❌

Đúng:

• $\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x$ ✓

❌ SAI LẦM 2: Quên dấu âm

Sai:

• $\cos 3x = 4\cos^3 x + 3\cos x$ ❌ (dấu cộng)

Đúng:

• $\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x$ ✓ (dấu trừ)

❌ SAI LẦM 3: Nhầm lẫn công thức nhân đôi và nhân ba

Công thức nhân đôi:

• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
• $\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x$

Công thức nhân ba:

• $\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x$
• $\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x$

→ Hoàn toàn khác nhau!

❌ SAI LẦM 4: Quên điều kiện khi dùng tan3x

Lưu ý: Khi sử dụng công thức $\tan 3x$, cần đảm bảo:

• $\cos x \neq 0$
• $1 – 3\tan^2 x \neq 0$

3. Lưu ý khi sử dụng

Kiểm tra kết quả bằng góc đặc biệt

Sau khi tính toán, nên thử với các góc đặc biệt (30°, 45°, 60°) để kiểm tra tính đúng đắn.

Ví dụ: $\cos 3x$ với $x = 60°$

• $\cos 3(60°) = \cos 180° = -1$
• Thay vào công thức: $4\cos^3 60° – 3\cos 60° = 4(\frac{1}{2})^3 – 3(\frac{1}{2}) = -1$ ✓

Công thức nhân ba ít dùng hơn nhân đôi

Trong thực tế giải toán, công thức nhân đôi được sử dụng nhiều hơn. Công thức nhân ba chủ yếu xuất hiện trong:

• Bài toán chuyên sâu
• Tích phân nâng cao
• Phương trình lượng giác phức tạp

Thường dùng để hạ bậc hoặc giải phương trình

Hai ứng dụng chính:

1. Hạ bậc: $\sin^3 x$, $\cos^3 x$ về bậc 1
2. Giải phương trình: Phương trình có dạng $\sin 3x$, $\cos 3x$

VII. LIÊN HỆ VỚI CÔNG THỨC KHÁC

1. Từ công thức cộng đến nhân ba

Sơ đồ phát triển:

Công thức cộng: sin(a+b), cos(a+b)
         ↓ (cho a = b)
Công thức nhân đôi: sin2x, cos2x
         ↓ (cho 3x = 2x + x)
Công thức nhân ba: sin3x, cos3x

Chi tiết:

Bước 1: Công thức cộng

• $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
• $\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$

Bước 2: Nhân đôi (cho $a = b = x$)

• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
• $\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x$

Bước 3: Nhân ba (cho $3x = 2x + x$)

• $\sin 3x = \sin(2x + x)$ → sử dụng công thức cộng và nhân đôi
• $\cos 3x = \cos(2x + x)$ → sử dụng công thức cộng và nhân đôi

2. Hạ bậc từ công thức nhân ba

Từ công thức sin3x, suy ra công thức hạ bậc:

$$\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x$$

$$\Rightarrow \boxed{\sin^3 x = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4}}$$

Từ công thức cos3x, suy ra công thức hạ bậc:

$$\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x$$

$$\Rightarrow \boxed{\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}}$$

Ứng dụng quan trọng: Tính tích phân

Ví dụ: Tính $\int \sin^3 x , dx$

$$\int \sin^3 x , dx = \int \frac{3\sin x – \sin 3x}{4} , dx$$

$$= \frac{1}{4}\int (3\sin x – \sin 3x) , dx$$

$$= \frac{1}{4}\left(-3\cos x + \frac{\cos 3x}{3}\right) + C$$

3. So sánh nhân đôi và nhân ba

Bảng so sánh chi tiết:

Nhận xét:

• Công thức nhân đôi đơn giản và hay dùng hơn
• Công thức nhân ba phức tạp nhưng cần thiết cho một số dạng toán đặc biệt

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ công thức nhân ba lượng giác với các nội dung chính:

Công thức Sin3x: $$\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x$$

Công thức Cos3x: $$\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x$$

Công thức Tan3x: $$\tan 3x = \frac{3\tan x – \tan^3 x}{1 – 3\tan^2 x}$$

Chứng minh chi tiết: Từ công thức cộng và nhân đôi

Dạng biến thể: Công thức hạ bậc cho $\sin^3 x$ và $\cos^3 x$

Ứng dụng: 8 bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Ứng dụng chính

1. Tính giá trị lượng giác

• Tính $\sin 3x$, $\cos 3x$ khi biết $\sin x$, $\cos x$
• Tính giá trị góc đặc biệt như $\sin 15°$

2. Giải phương trình lượng giác

• Phương trình dạng $\sin 3x = k$
• Phương trình dạng $\cos 3x = m$

3. Hạ bậc trong tích phân

• Tích phân $\int \sin^3 x , dx$
• Tích phân $\int \cos^3 x , dx$

4. Chứng minh đẳng thức

• Biến đổi biểu thức lượng giác phức tạp

Lời khuyên học tập

📌 Học thuộc 2 công thức sin3x và cos3x – Đây là cơ sở của mọi bài toán

📌 Nhớ quy luật: Sin (3-4), Cos (4-3) – Mẹo đơn giản nhưng hiệu quả

📌 Luyện chứng minh để hiểu sâu – Hiểu nguồn gốc giúp nhớ lâu hơn

📌 Làm nhiều bài tập để thuần thục – Thực hành là chìa khóa thành công

📌 Liên hệ với công thức nhân đôi – Hiểu mối liên hệ giữa các công thức

📌 Chú ý điều kiện khi dùng tan3x – Tránh sai sót về điều kiện xác định

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa