I. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

1. Công thức nhân đôi là gì?

Định nghĩa: Công thức nhân đôi lượng giác là các công thức cho phép tính giá trị của các hàm lượng giác (sin, cos, tan) của góc gấp đôi (2a, 2x, 2α…) dựa vào giá trị lượng giác của góc ban đầu (a, x, α…).

Các công thức cơ bản:

• $\sin 2a$ tính theo $\sin a$ và $\cos a$
• $\cos 2a$ tính theo $\sin a$ và $\cos a$ (có 3 dạng)
• $\tan 2a$ tính theo $\tan a$

Xuất phát điểm: Công thức nhân đôi được suy ra từ công thức cộng lượng giác khi đặt hai góc bằng nhau (a = b).

Vai trò quan trọng:

• Là trường hợp đặc biệt của công thức cộng
• Nền tảng để xây dựng nhiều công thức khác: công thức hạ bậc, công thức biến đổi tích thành tổng
• Công cụ quan trọng trong giải phương trình và chứng minh đẳng thức lượng giác

2. Ba công thức nhân đôi cơ bản

Đặc điểm chung:

• Tất cả đều xuất phát từ công thức cộng
• Biểu diễn góc 2a qua các giá trị lượng giác của góc a
• Có thể biến đổi sang nhiều dạng khác nhau

II. CÔNG THỨC SIN NHÂN ĐÔI

1. Công thức sin 2a

📌 Công thức cơ bản

$$\boxed{\sin 2a = 2\sin a \cos a}$$

Cách đọc: “Sin của góc nhân đôi bằng 2 lần sin a nhân cos a”

Cách nhớ:

“Hai lần Sin nhân Cos”

Đặc điểm:

• Đây là công thức đơn giản nhất trong ba công thức nhân đôi
• Chỉ có một dạng duy nhất
• Luôn chứa cả sin và cos

Chứng minh công thức

Xuất phát từ công thức cộng $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

Đặt $b = a$, ta có: $$\sin 2a = \sin(a + a)$$ $$= \sin a \cos a + \cos a \sin a$$ $$= 2\sin a \cos a \quad \text{(đpcm)}$$

2. Các dạng biến thể của sin 2a

Dạng 1: Với góc khác nhau

Áp dụng cho góc 2x: $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$

Áp dụng cho góc 2α: $$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$$

Áp dụng cho góc 2t: $$\sin 2t = 2\sin t \cos t$$

Nguyên tắc chung: Thay a bằng bất kỳ góc nào

Dạng 2: Biểu diễn qua tan

$$\boxed{\sin 2a = \frac{2\tan a}{1 + \tan^2 a}}$$

Điều kiện: $\tan a$ xác định (tức $a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$)

Chứng minh:

Từ công thức cơ bản: $$\sin 2a = 2\sin a \cos a$$

Chia cả tử và mẫu cho $\cos^2 a$: $$= 2\sin a \cos a \cdot \frac{1}{\cos^2 a} \cdot \cos^2 a$$

$$= 2 \cdot \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a}$$

$$= \frac{2\tan a}{\frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\cos^2 a}}$$

$$= \frac{2\tan a}{1 + \tan^2 a} \quad \text{(đpcm)}$$

Ứng dụng: Dùng khi đề bài cho hoặc cần tính theo tan

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho $\sin a = \frac{3}{5}$ với $0 < a < \frac{\pi}{2}$. Tính $\sin 2a$?

Lời giải:

Bước 1: Xác định $\cos a$

Vì $0 < a < \frac{\pi}{2}$ (góc phần tư I) nên $\cos a > 0$: $$\cos a = \sqrt{1 – \sin^2 a} = \sqrt{1 – \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Bước 2: Áp dụng công thức $$\sin 2a = 2\sin a \cos a = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$

Đáp án: $\sin 2a = \frac{24}{25}$

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức $A = \sin x \cos x$

Lời giải:

Nhận thấy công thức $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, suy ra: $$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$$

Do đó: $$A = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \cdot 2\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$$

Đáp án: $A = \frac{1}{2}\sin 2x$

Ví dụ 3: Chứng minh $\sin 4a = 4\sin a \cos a \cos 2a$

Lời giải:

Phân tích: $\sin 4a = \sin 2(2a)$

Bước 1: Áp dụng công thức nhân đôi cho góc 2a $$VT = \sin 4a = \sin 2(2a) = 2\sin 2a \cos 2a$$

Bước 2: Thay $\sin 2a = 2\sin a \cos a$ $$= 2(2\sin a \cos a)\cos 2a$$

$$= 4\sin a \cos a \cos 2a = VP \quad \text{(đpcm)}$$

III. CÔNG THỨC COS NHÂN ĐÔI

1. Công thức cos 2a – Ba dạng khác nhau

Công thức cos nhân đôi có đặc điểm đặc biệt: có 3 dạng khác nhau, tùy theo cách biểu diễn.

📌 Dạng 1: Công thức cơ bản

$$\boxed{\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a}$$

Cách nhớ: “Cos bình trừ sin bình”

Chứng minh:

Từ công thức cộng $\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$

Đặt $b = a$: $$\cos 2a = \cos(a + a)$$ $$= \cos a \cos a – \sin a \sin a$$ $$= \cos^2 a – \sin^2 a \quad \text{(đpcm)}$$

Khi nào dùng: Khi biết cả $\sin a$ và $\cos a$, hoặc cần giữ cả hai hàm.

📌 Dạng 2: Biểu diễn qua cos

$$\boxed{\cos 2a = 2\cos^2 a – 1}$$

Cách nhớ: “Hai cos bình trừ một”

Chứng minh:

Từ dạng 1, sử dụng $\sin^2 a = 1 – \cos^2 a$: $$\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$$ $$= \cos^2 a – (1 – \cos^2 a)$$ $$= \cos^2 a – 1 + \cos^2 a$$ $$= 2\cos^2 a – 1 \quad \text{(đpcm)}$$

Khi nào dùng:

• Khi đề bài cho giá trị $\cos a$
• Khi cần hạ bậc $\cos^2 a$
• Khi biểu thức chỉ chứa cos

📌 Dạng 3: Biểu diễn qua sin

$$\boxed{\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a}$$

Cách nhớ: “Một trừ hai sin bình”

Chứng minh:

Từ dạng 1, sử dụng $\cos^2 a = 1 – \sin^2 a$: $$\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$$ $$= (1 – \sin^2 a) – \sin^2 a$$ $$= 1 – 2\sin^2 a \quad \text{(đpcm)}$$

Khi nào dùng:

• Khi đề bài cho giá trị $\sin a$
• Khi cần hạ bậc $\sin^2 a$
• Khi biểu thức chỉ chứa sin

2. Khi nào dùng dạng nào?

3. Dạng biểu diễn qua tan

$$\boxed{\cos 2a = \frac{1 – \tan^2 a}{1 + \tan^2 a}}$$

Điều kiện: $\tan a$ xác định

Chứng minh:

Từ công thức cơ bản: $$\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$$

Chia cả tử và mẫu cho $\cos^2 a$: $$= \frac{\cos^2 a – \sin^2 a}{\cos^2 a + \sin^2 a} \cdot \frac{1/\cos^2 a}{1/\cos^2 a}$$

$$= \frac{1 – \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{1 + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}$$

$$= \frac{1 – \tan^2 a}{1 + \tan^2 a} \quad \text{(đpcm)}$$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 4: Cho $\cos a = \frac{1}{3}$. Tính $\cos 2a$?

Lời giải:

Phương pháp: Dùng dạng 2 vì đề cho $\cos a$

$$\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$$

$$= 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 – 1$$

$$= 2 \cdot \frac{1}{9} – 1$$

$$= \frac{2}{9} – 1 = -\frac{7}{9}$$

Đáp án: $\cos 2a = -\frac{7}{9}$

Ví dụ 5: Cho $\sin a = \frac{2}{3}$. Tính $\cos 2a$?

Lời giải:

Phương pháp: Dùng dạng 3 vì đề cho $\sin a$

$$\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$$

$$= 1 – 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2$$

$$= 1 – 2 \cdot \frac{4}{9}$$

$$= 1 – \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$$

Đáp án: $\cos 2a = \frac{1}{9}$

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức $B = \cos^2 x – \sin^2 x$

Lời giải:

Nhận thấy đây chính là công thức cos nhân đôi dạng 1:

$$B = \cos^2 x – \sin^2 x = \cos 2x$$

Đáp án: $B = \cos 2x$

Ví dụ 7: Chứng minh $1 + \cos 2a = 2\cos^2 a$

Lời giải:

Phương pháp: Biến đổi vế trái

$$VT = 1 + \cos 2a$$

Thay $\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$: $$= 1 + (2\cos^2 a – 1)$$

$$= 1 + 2\cos^2 a – 1$$

$$= 2\cos^2 a = VP \quad \text{(đpcm)}$$

IV. CÔNG THỨC TAN NHÂN ĐÔI

1. Công thức tan 2a

📌 Công thức cơ bản

$$\boxed{\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}}$$

Điều kiện:

• $\tan a$ xác định: $a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$)
• $\tan^2 a \neq 1$, tức là $\tan a \neq \pm 1$

Cách nhớ:

“Hai tan chia cho một trừ tan bình”

• Tử số: $2\tan a$
• Mẫu số: $1 – \tan^2 a$

Chứng minh công thức

Từ công thức cộng $\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}$

Đặt $b = a$: $$\tan 2a = \tan(a + a)$$

$$= \frac{\tan a + \tan a}{1 – \tan a \cdot \tan a}$$

$$= \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a} \quad \text{(đpcm)}$$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 8: Cho $\tan a = 2$. Tính $\tan 2a$?

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}$$

$$= \frac{2 \cdot 2}{1 – 2^2}$$

$$= \frac{4}{1 – 4}$$

$$= \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$$

Đáp án: $\tan 2a = -\frac{4}{3}$

Ví dụ 9: Cho $\tan a = -1$. Tính $\tan 2a$?

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}$$

$$= \frac{2 \cdot (-1)}{1 – (-1)^2}$$

$$= \frac{-2}{1 – 1} = \frac{-2}{0}$$

Kết luận: Không xác định

Giải thích: Mẫu số bằng 0 vì $\tan^2 a = 1$, không thỏa mãn điều kiện của công thức.

Ý nghĩa: Nếu $\tan a = -1$ thì $a = -45° + k \cdot 180°$, do đó $2a = -90° + k \cdot 360°$, và $\tan(-90°)$ không xác định.

Ví dụ 10: Cho $\tan a = \frac{1}{2}$. Tính $\tan 2a$?

Lời giải:

$$\tan 2a = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^2}$$

$$= \frac{1}{1 – \frac{1}{4}}$$

$$= \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$

Đáp án: $\tan 2a = \frac{4}{3}$

3. Công thức cot nhân đôi

Tương tự với tan, ta có công thức cho cot:

$$\boxed{\cot 2a = \frac{\cot^2 a – 1}{2\cot a}}$$

Điều kiện:

• $\cot a$ xác định: $a \neq k\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$)
• $\cot a \neq 0$

Chứng minh:

$$\cot 2a = \frac{1}{\tan 2a} = \frac{1 – \tan^2 a}{2\tan a}$$

Chia cả tử và mẫu cho $\tan^2 a$: $$= \frac{\frac{1}{\tan^2 a} – 1}{\frac{2}{\tan a}} = \frac{\cot^2 a – 1}{2\cot a}$$

V. BẢNG TỔNG HỢP CÔNG THỨC

A. Ba công thức nhân đôi chính

B. Các dạng của cos 2a

C. Các dạng của sin 2a

D. Hệ quả – Công thức hạ bậc

Từ công thức nhân đôi, biến đổi ngược lại ta có công thức hạ bậc:

Hạ bậc sin: $$\boxed{\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}}$$

Chứng minh: Từ $\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$ $$\Rightarrow 2\sin^2 a = 1 – \cos 2a$$ $$\Rightarrow \sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$$

Hạ bậc cos: $$\boxed{\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}}$$

Chứng minh: Từ $\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$ $$\Rightarrow 2\cos^2 a = 1 + \cos 2a$$ $$\Rightarrow \cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$$

Ứng dụng:

• Biến đổi lũy thừa bậc 2 về bậc 1
• Tích phân các hàm lượng giác bậc chẵn (Toán 12)

VI. ỨNG DỤNG VÀ DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính giá trị khi biết sin, cos, tan

Bài tập 1: Cho $\sin a = \frac{4}{5}$ với $\frac{\pi}{2} < a < \pi$. Tính $\sin 2a$ và $\cos 2a$?

Lời giải:

Bước 1: Xác định dấu của $\cos a$

Vì $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ (góc phần tư II) nên:

• $\sin a > 0$ ✓ (phù hợp với đề cho)
• $\cos a < 0$ (góc phần tư II)

Bước 2: Tính $\cos a$

$$\cos a = -\sqrt{1 – \sin^2 a} = -\sqrt{1 – \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$

(Dấu âm vì góc ở phần tư II)

Bước 3: Tính $\sin 2a$

$$\sin 2a = 2\sin a \cos a = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$$

Bước 4: Tính $\cos 2a$

Dùng công thức: $\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$

$$\cos 2a = 1 – 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 – 2 \cdot \frac{16}{25} = 1 – \frac{32}{25} = -\frac{7}{25}$$

Đáp án:

• $\sin 2a = -\frac{24}{25}$
• $\cos 2a = -\frac{7}{25}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 2: Rút gọn $A = \frac{\sin 2x}{2\sin x}$

Lời giải:

Bước 1: Thay công thức $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

$$A = \frac{\sin 2x}{2\sin x} = \frac{2\sin x \cos x}{2\sin x}$$

Bước 2: Rút gọn (với điều kiện $\sin x \neq 0$)

$$= \frac{2\sin x \cos x}{2\sin x} = \cos x$$

Đáp án: $A = \cos x$

Bài tập 3: Rút gọn $B = 1 – \cos 2x$

Lời giải:

Sử dụng công thức $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$:

$$B = 1 – \cos 2x = 1 – (1 – 2\sin^2 x)$$

$$= 1 – 1 + 2\sin^2 x$$

$$= 2\sin^2 x$$

Đáp án: $B = 2\sin^2 x$

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài tập 4: Chứng minh $\frac{1 – \cos 2x}{\sin 2x} = \tan x$

Lời giải:

Phương pháp: Biến đổi vế trái

Bước 1: Thay công thức nhân đôi

$$VT = \frac{1 – \cos 2x}{\sin 2x}$$

Thay:

• $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$
• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

$$= \frac{1 – (1 – 2\sin^2 x)}{2\sin x \cos x}$$

Bước 2: Rút gọn

$$= \frac{1 – 1 + 2\sin^2 x}{2\sin x \cos x}$$

$$= \frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x}$$

$$= \frac{\sin x}{\cos x}$$

$$= \tan x = VP \quad \text{(đpcm)}$$

Dạng 4: Giải phương trình lượng giác

Bài tập 5: Giải phương trình $\sin 2x = \sin x$

Lời giải:

Bước 1: Thay công thức nhân đôi

$$\sin 2x = \sin x$$ $$2\sin x \cos x = \sin x$$

Bước 2: Chuyển vế

$$2\sin x \cos x – \sin x = 0$$

Bước 3: Đặt nhân tử chung

$$\sin x(2\cos x – 1) = 0$$

Bước 4: Giải

$$\sin x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2\cos x – 1 = 0$$

Trường hợp 1: $\sin x = 0$ $$\Rightarrow x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Trường hợp 2: $\cos x = \frac{1}{2}$ $$\Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp án: $x = k\pi$ hoặc $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$)

Dạng 5: Tính giá trị biểu thức

Bài tập 6: Tính $A = \sin^2 22.5° + \cos^2 22.5°$

Lời giải:

Phương pháp: Sử dụng công thức cơ bản

Áp dụng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$$A = \sin^2 22.5° + \cos^2 22.5° = 1$$

Đáp án: $A = 1$

(Bài này không cần dùng công thức nhân đôi, chỉ cần công thức cơ bản)

Bài tập 7: Tính $B = 2\sin 15° \cos 15°$

Lời giải:

Nhận thấy đây là công thức sin nhân đôi:

$$B = 2\sin 15° \cos 15° = \sin(2 \cdot 15°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$$

Đáp án: $B = \frac{1}{2}$

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Công thức sin 2a

“Hai lần Sin Cos”

$$\sin 2a = 2\sin a \cos a$$

Cách nhớ:

• Hệ số 2 đứng trước
• Nhân sin với cos
• Chỉ có 1 dạng duy nhất

Công thức cos 2a – Ba dạng

“Số 2 ở đâu, ở trước hàm bậc 2”

Dạng gốc: $\cos^2 – \sin^2$ $$\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$$

Dạng cos: $2\cos^2 – 1$ $$\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$$

Dạng sin: $1 – 2\sin^2$ $$\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$$

Mẹo: Nhớ số 2 luôn đứng trước hàm bậc 2 ($\cos^2$ hoặc $\sin^2$)

Công thức tan 2a

“Hai tan chia cho một trừ tan bình”

$$\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}$$

Cách nhớ:

• Tử số: $2\tan a$ (dễ nhớ)
• Mẫu số: $1 – \tan^2 a$ (chú ý dấu trừ)

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm công thức sin 2a

SAI: $\sin 2a = 2\sin a$ ❌ (thiếu cos)

ĐÚNG: $\sin 2a = 2\sin a \cos a$ ✓

Lưu ý: Không thể tách sin của tổng thành tổng các sin!

❌ SAI LẦM 2: Nhầm công thức cos 2a

SAI: $\cos 2a = 2\cos a$ ❌ (hoàn toàn sai)

ĐÚNG: $\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$ (hoặc 2 dạng khác) ✓

❌ SAI LẦM 3: Quên dấu âm trong cos 2a

SAI: $\cos 2a = \cos^2 a + \sin^2 a$ ❌ (đổi dấu)

ĐÚNG: $\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$ ✓ (dấu trừ)

Cách nhớ: Nếu cộng thì bằng 1, không phải cos 2a!

❌ SAI LẦM 4: Quên điều kiện của tan 2a

Lỗi: Áp dụng công thức khi $\tan a = 1$ hoặc $\tan a = -1$

ĐÚNG: Phải kiểm tra điều kiện $\tan^2 a \neq 1$ trước khi áp dụng

Ví dụ: Nếu $\tan a = -1$ thì $\tan 2a$ không xác định, không thể dùng công thức.

3. Lưu ý quan trọng

Lưu ý 1: Chọn dạng cos 2a phù hợp

Nguyên tắc:

• Biết $\sin a$ → dùng $\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$
• Biết $\cos a$ → dùng $\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$
• Biết cả hai → dùng $\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$

Lợi ích: Tiết kiệm thời gian, giảm sai sót

Lưu ý 2: Công thức ngược – Hạ bậc

Từ công thức nhân đôi, biến đổi ngược ta có công thức hạ bậc:

$$\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$$

$$\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$$

Ứng dụng:

• Biến đổi lũy thừa bậc 2 về bậc 1
• Rút gọn biểu thức
• Tích phân lượng giác (Toán 12)

Lưu ý 3: Kiểm tra điều kiện

Với tan và cot:

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định
• $\tan 2a$ không xác định khi $\tan a = \pm 1$
• $\cot 2a$ không xác định khi $\cot a = 0$

Lưu ý 4: Chú ý dấu khi tính sin, cos

Khi tính $\sin a$ hoặc $\cos a$ từ điều kiện:

• Xác định góc phần tư của a
• Suy ra dấu của sin a và cos a
• Áp dụng công thức $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ với dấu phù hợp

Ví dụ:

• Nếu $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ → $\sin a > 0$, $\cos a < 0$

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết công thức nhân đôi lượng giác:

Công thức sin nhân đôi:

• Dạng cơ bản: $\sin 2a = 2\sin a \cos a$
• Dạng qua tan: $\sin 2a = \frac{2\tan a}{1 + \tan^2 a}$

Công thức cos nhân đôi (3 dạng):

• Dạng cơ bản: $\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$
• Dạng qua cos: $\cos 2a = 2\cos^2 a – 1$
• Dạng qua sin: $\cos 2a = 1 – 2\sin^2 a$
• Dạng qua tan: $\cos 2a = \frac{1 – \tan^2 a}{1 + \tan^2 a}$

Công thức tan nhân đôi:

• $\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}$ (có điều kiện)

Chứng minh: Từ công thức cộng khi đặt a = b

Hệ quả – Công thức hạ bậc:

• $\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$
• $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$

5 dạng bài tập: Tính giá trị, rút gọn, chứng minh, giải phương trình, tính biểu thức

Ba công thức QUAN TRỌNG NHẤT cần nhớ

1. Sin nhân đôi: $$\sin 2a = 2\sin a \cos a$$

2. Cos nhân đôi (dạng cơ bản): $$\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a$$

3. Tan nhân đôi: $$\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}$$

Hệ quả quan trọng – Công thức hạ bậc

Từ công thức nhân đôi, ta có công thức ngược (hạ bậc):

$$\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$$

$$\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$$

Ứng dụng: Biến đổi lũy thừa bậc 2 về bậc 1, phục vụ tích phân lượng giác

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa