I. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

1. Công thức nhân xác suất là gì?

Định nghĩa: Công thức nhân xác suất là công thức dùng để tính xác suất của giao hai biến cố A và B, tức là xác suất để “cả A và B cùng xảy ra” (cả hai biến cố đều xảy ra đồng thời).

Ký hiệu: $P(A \cap B)$ đọc là “xác suất của A giao B” hoặc “xác suất A và B”.

Ý nghĩa thực tế:

• Tính xác suất “cả hai sự kiện cùng xảy ra”
• Trả lời câu hỏi dạng: “A xảy ra VÀ B xảy ra”
• Xác định xác suất của các sự kiện liên tiếp hoặc đồng thời

Ví dụ dễ hiểu:

• Xác suất cả hai máy đều hoạt động tốt
• Xác suất rút được 2 quân Át liên tiếp
• Xác suất cả 3 viên đạn đều trúng đích
• Xác suất học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý

2. Các khái niệm liên quan

Để hiểu rõ công thức nhân xác suất, cần nắm vững các khái niệm sau:

Giải thích chi tiết:

Giao hai biến cố ($A \cap B$): Là biến cố xảy ra khi cả A và B đều xảy ra. Chỉ cần một trong hai không xảy ra thì $A \cap B$ không xảy ra.

Biến cố độc lập: Hai biến cố mà sự xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia.

Xác suất có điều kiện: Xác suất của một biến cố khi biết chắc chắn một biến cố khác đã xảy ra.

3. Phân biệt công thức cộng và nhân

⚠️ Đây là điểm rất quan trọng, dễ nhầm lẫn:

Cách nhớ:

• “HOẶC” → CỘng
• “VÀ” → nhÂn

II. CÔNG THỨC NHÂN CHO BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

1. Định nghĩa biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

Điều kiện 1: Việc A xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất B xảy ra (và ngược lại)

Điều kiện 2 (Toán học): $$P(A|B) = P(A) \quad \text{và} \quad P(B|A) = P(B)$$

Điều kiện 3 (Định nghĩa chính): $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Ví dụ về biến cố độc lập:

• Tung 2 đồng xu riêng biệt: Kết quả đồng xu thứ nhất không ảnh hưởng đồng xu thứ hai
• Gieo 2 con xúc xắc: Kết quả con thứ nhất không ảnh hưởng con thứ hai
• Bắn 2 phát súng vào 2 mục tiêu khác nhau: Kết quả phát thứ nhất không ảnh hưởng phát thứ hai
• Hai học sinh làm bài độc lập: Kết quả của học sinh này không ảnh hưởng học sinh kia

Ví dụ về biến cố KHÔNG độc lập:

• Rút 2 lá bài không hoàn lại: Lá thứ nhất ảnh hưởng đến lá thứ hai
• Lấy 2 viên bi không hoàn lại: Bi thứ nhất ảnh hưởng đến bi thứ hai
• Thời tiết hai ngày liên tiếp: Thời tiết hôm nay ảnh hưởng ngày mai

2. Công thức nhân cho biến cố độc lập

📌 CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT (TOÁN 11):

$$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$$

Đọc là: “Xác suất A giao B bằng xác suất A nhân xác suất B”

Điều kiện áp dụng: A và B phải độc lập

Mở rộng cho n biến cố độc lập:

Nếu $A_1, A_2, …, A_n$ là n biến cố độc lập từng đôi:

$$\boxed{P(A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot … \cdot P(A_n)}$$

Cách nhớ: “Độc lập thì nhân trực tiếp”

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tung 2 đồng xu cân đối. Tính xác suất cả 2 đều xuất hiện mặt sấp?

Lời giải:

Phân tích: Hai lần tung là độc lập, kết quả đồng xu thứ nhất không ảnh hưởng đồng xu thứ hai.

• Biến cố A: “Đồng xu thứ nhất sấp” → $P(A) = \frac{1}{2}$
• Biến cố B: “Đồng xu thứ hai sấp” → $P(B) = \frac{1}{2}$
• A và B độc lập

Áp dụng công thức nhân: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Kết luận: Xác suất cả 2 đều sấp là $\frac{1}{4} = 0.25 = 25\%$.

Ví dụ 2: Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào bia, các lần bắn độc lập với nhau. Xác suất trúng đích mỗi phát là 0.8. Tính xác suất cả 3 phát đều trúng đích?

Lời giải:

Phân tích: Ba lần bắn độc lập, mỗi lần có xác suất trúng bằng nhau.

• $P(\text{phát 1 trúng}) = 0.8$
• $P(\text{phát 2 trúng}) = 0.8$
• $P(\text{phát 3 trúng}) = 0.8$

Áp dụng công thức cho 3 biến cố độc lập: $$P(\text{cả 3 trúng}) = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.8^3 = 0.512$$

Kết luận: Xác suất cả 3 phát đều trúng là 0.512 hay 51.2%.

Ví dụ 3: Hai sự kiện độc lập có $P(A) = 0.6$ và $P(B) = 0.5$. Tính:

a) $P(A \cap B)$? b) $P(A \cup B)$?

Lời giải:

Câu a) Tính $P(A \cap B)$:

Vì A và B độc lập: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.6 \times 0.5 = 0.3$$

Câu b) Tính $P(A \cup B)$:

Áp dụng công thức cộng: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$ $$= 0.6 + 0.5 – 0.3 = 0.8$$

Kết luận:

• a) $P(A \cap B) = 0.3 = 30\%$
• b) $P(A \cup B) = 0.8 = 80\%$

4. Ứng dụng: Xác suất “ít nhất 1”

Khi làm việc với nhiều biến cố độc lập, bài toán “ít nhất 1” xuất hiện rất thường xuyên.

📌 Công thức vàng:

$$\boxed{P(\text{ít nhất 1 trong n biến cố xảy ra}) = 1 – P(\text{tất cả đều không xảy ra})}$$

Nếu n biến cố độc lập, mỗi biến cố có xác suất p:

$$\boxed{P(\text{ít nhất 1}) = 1 – (1-p)^n}$$

Giải thích:

• “Ít nhất 1 xảy ra” là biến cố đối của “Tất cả đều không xảy ra”
• Với biến cố độc lập, dễ tính “tất cả không xảy ra” hơn

Ví dụ 4: Một xạ thủ bắn 5 phát vào bia, các lần bắn độc lập. Xác suất trúng đích mỗi phát là 0.7. Tính xác suất có ít nhất 1 phát trúng đích?

Lời giải:

Cách 1: Dùng biến cố đối (nhanh)

Xác suất mỗi phát trượt: $1 – 0.7 = 0.3$

Xác suất cả 5 phát đều trượt: $$P(\text{cả 5 trượt}) = 0.3^5 = 0.00243$$

Xác suất ít nhất 1 phát trúng: $$P(\text{ít nhất 1 trúng}) = 1 – 0.00243 = 0.99757 \approx 99.76\%$$

Cách 2: Tính trực tiếp (dài, không khuyến khích)

Ít nhất 1 trúng = 1 trúng + 2 trúng + 3 trúng + 4 trúng + 5 trúng

(Phải tính 5 trường hợp và cộng lại → rất phức tạp)

Kết luận: Xác suất ít nhất 1 phát trúng là khoảng 99.76%.

Nhận xét: Cách 1 (dùng biến cố đối) đơn giản hơn rất nhiều!

III. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết chắc chắn biến cố B đã xảy ra, ký hiệu $P(A|B)$.

📌 Công thức:

$$\boxed{P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)}$$

Đọc là: “Xác suất của A với điều kiện B” hoặc “Xác suất A khi biết B”

Ý nghĩa:

• Khi B đã xảy ra, không gian mẫu thu hẹp lại chỉ còn B
• Trong không gian B, ta xem xét xác suất A xảy ra
• Đây là “xác suất cập nhật” sau khi có thêm thông tin

Minh họa bằng sơ đồ Venn:

         Ω (không gian mẫu ban đầu)
    ┌─────────────────────────┐
    │        A          B     │
    │     ┌────┐    ┌─────┐   │
    │     │    └────┤ A∩B │   │
    │     │         └─────┘   │
    │     └────┘               │
    └─────────────────────────┘

Khi biết B đã xảy ra → Không gian mẫu mới = B
Xác suất A trong không gian B = P(A∩B) / P(B)

2. Ví dụ trực quan

Ví dụ 5: Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết rằng kết quả là số chẵn, tính xác suất để được số 4?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các biến cố

• Biến cố B: “Kết quả là số chẵn” = {2, 4, 6}
  • $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• Biến cố A: “Kết quả là số 4” = {4}
  • $P(A) = \frac{1}{6}$
• Biến cố $A \cap B$: “Vừa là 4 vừa là chẵn” = {4}
  • $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

Bước 2: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1/6 \times 2}{1} = \frac{1}{3}$$

Giải thích trực quan:

• Khi biết kết quả là số chẵn, không gian mẫu thu hẹp còn {2, 4, 6} (3 kết quả)
• Trong 3 kết quả này, số 4 chiếm 1 kết quả
• Vậy $P(A|B) = \frac{1}{3}$

Kết luận: Xác suất là $\frac{1}{3} \approx 33.3\%$.

3. Tính chất của xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện $P(A|B)$ có các tính chất tương tự xác suất thông thường:

Tính chất 1: Giới hạn $$0 \leq P(A|B) \leq 1$$

Tính chất 2: Biến cố chắc chắn $$P(\Omega|B) = 1$$

Tính chất 3: Biến cố đối $$P(\overline{A}|B) = 1 – P(A|B)$$

Tính chất 4: Nếu A và B độc lập $$P(A|B) = P(A)$$

Giải thích tính chất 4: Khi A và B độc lập, việc B xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất A, nên $P(A|B) = P(A)$.

4. So sánh P(A), P(A|B), P(B|A)

⚠️ LƯU Ý CỰC KỲ QUAN TRỌNG:

$$\boxed{P(A|B) \neq P(B|A)}$$

Hai xác suất có điều kiện này hoàn toàn khác nhau!

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 (Thời tiết):

• $P(\text{Mưa | Có mây})$: Xác suất mưa khi biết trời có mây (khá cao, khoảng 60%)
• $P(\text{Có mây | Mưa})$: Xác suất có mây khi biết trời mưa (rất cao, gần 100%)

→ Hai xác suất này rất khác nhau!

Ví dụ 2 (Y tế):

• $P(\text{Ung thư | Hút thuốc})$: Xác suất mắc ung thư khi hút thuốc (tăng nhưng vẫn thấp, khoảng 15%)
• $P(\text{Hút thuốc | Ung thư})$: Xác suất đã từng hút thuốc khi biết mắc ung thư (khá cao, khoảng 80-90%)

→ Hai xác suất hoàn toàn khác nhau!

Bảng so sánh:

IV. CÔNG THỨC NHÂN TỔNG QUÁT

1. Công thức nhân cho biến cố bất kỳ

Khi hai biến cố A và B KHÔNG độc lập, ta không thể dùng công thức $P(A) \cdot P(B)$.

📌 CÔNG THỨC TỔNG QUÁT (TOÁN 12):

$$\boxed{P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)}$$

Hoặc (tương đương):

$$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)}$$

Đây là công thức áp dụng cho MỌI cặp biến cố, kể cả khi chúng không độc lập.

Điều kiện áp dụng:

• $P(B) > 0$ (cho công thức thứ nhất)
• $P(A) > 0$ (cho công thức thứ hai)

2. Mối liên hệ giữa các công thức

Xuất phát từ định nghĩa xác suất có điều kiện:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Nhân cả hai vế với $P(B)$:

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$$

Tương tự, từ:

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

Suy ra:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

Kết luận: Cả hai công thức đều đúng và tương đương nhau.

3. Khi nào dùng công thức nào?

Bảng lựa chọn công thức:

Nguyên tắc chọn công thức:

1. Kiểm tra xem A, B có độc lập không?
2. Nếu độc lập → Dùng $P(A) \cdot P(B)$
3. Nếu không độc lập → Dùng $P(A) \cdot P(B|A)$ hoặc $P(B) \cdot P(A|B)$ tùy theo dữ kiện đề bài

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 6: Một hộp có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi không hoàn lại (lấy xong không bỏ trở lại). Tính xác suất cả 2 viên bi đều là bi đỏ?

Lời giải:

Phân tích: Hai lần lấy KHÔNG độc lập vì không hoàn lại. Bi lấy lần thứ nhất ảnh hưởng đến bi lấy lần thứ hai.

Bước 1: Xác định các biến cố

• Biến cố A: “Bi thứ nhất là đỏ”
• Biến cố B: “Bi thứ hai là đỏ”

Bước 2: Tính $P(A)$

• Ban đầu có 5 đỏ, 3 xanh, tổng 8 bi
• $P(A) = \frac{5}{8}$

Bước 3: Tính $P(B|A)$ (xác suất bi thứ hai đỏ, biết bi thứ nhất đã đỏ)

• Sau khi lấy 1 bi đỏ: còn 4 bi đỏ, 3 bi xanh, tổng 7 bi
• $P(B|A) = \frac{4}{7}$

Bước 4: Áp dụng công thức nhân tổng quát $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$$

Kết luận: Xác suất cả 2 viên bi đều đỏ là $\frac{5}{14} \approx 35.7\%$.

Lưu ý quan trọng: Đây là ví dụ điển hình về biến cố KHÔNG độc lập (do không hoàn lại). Không thể dùng công thức $P(A) \cdot P(B)$!

V. PHÂN BIỆT ĐỘC LẬP VÀ KHÔNG ĐỘC LẬP

1. Bảng so sánh chi tiết

2. Cách nhận biết

A, B độc lập khi:

Các phép thử riêng biệt, không liên quan

• Tung nhiều đồng xu/xúc xắc
• Bắn nhiều viên đạn vào các mục tiêu khác nhau
• Nhiều người làm bài độc lập

Lấy CÓ hoàn lại

• Rút bài có hoàn lại (rút xong bỏ trở lại rồi rút tiếp)
• Lấy bi có hoàn lại

Đề bài nói rõ “độc lập”

• “Các sự kiện độc lập”
• “Các lần thử nghiệm độc lập”

A, B không độc lập khi:

❌ Lấy KHÔNG hoàn lại

• Rút bài không hoàn lại
• Lấy bi không bỏ trở lại
• Chọn người không thay thế

❌ Kết quả phép thử trước ảnh hưởng phép thử sau

• Thời tiết hai ngày liên tiếp
• Giá cổ phiếu hai ngày liên tiếp

❌ Đề bài có “với điều kiện”, “biết rằng”

• “Biết rằng A đã xảy ra”
• “Với điều kiện B xảy ra”

3. Ví dụ so sánh

Tình huống 1: Độc lập – Tung 2 đồng xu

Bài toán: Tung 2 đồng xu riêng biệt. Tính xác suất cả 2 đều sấp?

Lời giải:

• Hai đồng xu độc lập, không ảnh hưởng nhau
• $P(\text{cả 2 sấp}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Tình huống 2: Không độc lập – Hộp 2 đồng xu, lấy không hoàn lại

Bài toán: Một hộp có 2 đồng xu (1 sấp, 1 ngửa). Lấy ngẫu nhiên 2 xu không hoàn lại. Tính xác suất cả 2 đều sấp?

Lời giải:

• Hai lần lấy KHÔNG độc lập (không hoàn lại)
• Nếu xu thứ nhất sấp: $P = \frac{1}{2}$
• Thì xu thứ hai không thể sấp (vì chỉ còn 1 xu ngửa): $P(\text{xu 2 sấp | xu 1 sấp}) = 0$
• $P(\text{cả 2 sấp}) = \frac{1}{2} \times 0 = 0$

Kết luận: Không thể có cả 2 xu đều sấp!

4. Kiểm tra tính độc lập

Để kiểm tra xem hai biến cố A và B có độc lập không:

Phương pháp 1: Tính $P(A \cap B)$ và $P(A) \cdot P(B)$, sau đó so sánh:

• Nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ → Độc lập ✓
• Nếu $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ → Không độc lập ✗

Phương pháp 2: Tính $P(A|B)$ và so sánh với $P(A)$:

• Nếu $P(A|B) = P(A)$ → Độc lập ✓
• Nếu $P(A|B) \neq P(A)$ → Không độc lập ✗

Ví dụ kiểm tra: Gieo xúc xắc, A: “Chẵn”, B: “Lớn hơn 3”

• $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• $A \cap B = {4, 6}$ → $P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
• $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
• Vì $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{4}$ → A và B không độc lập

VI. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức nhân cơ bản

B. Công thức mở rộng

C. Liên hệ công thức cộng và nhân

Cho biến cố độc lập:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A) \cdot P(B)$$

Biến đổi hữu ích:

$$P(A \cup B) = 1 – P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$$

Giải thích:

• Biến cố “A hoặc B” là biến cố đối của “không A và không B”
• Nếu A, B độc lập thì $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập

VII. DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Biến cố độc lập cơ bản

Đề bài: Hai máy móc hoạt động độc lập với nhau. Xác suất máy A hoạt động tốt là 0.9, máy B hoạt động tốt là 0.85. Tính xác suất cả 2 máy đều hoạt động tốt?

Lời giải:

Phân tích: Hai máy hoạt động độc lập.

Áp dụng công thức nhân cho biến cố độc lập: $$P(\text{cả 2 tốt}) = P(A) \cdot P(B) = 0.9 \times 0.85 = 0.765$$

Kết luận: Xác suất cả 2 máy đều hoạt động tốt là 0.765 hay 76.5%.

Dạng 2: Lấy không hoàn lại

Đề bài: Một hộp có 10 viên bi gồm 6 viên đỏ và 4 viên xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất để: a) Cả 2 viên đều là bi đỏ? b) Cả 2 viên đều là bi xanh?

Lời giải:

Câu a) Cả 2 đều đỏ:

Áp dụng công thức nhân (không độc lập): $$P(\text{đỏ, đỏ}) = P(\text{đỏ}_1) \cdot P(\text{đỏ}_2|\text{đỏ}_1)$$ $$= \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$$

Giải thích:

• Lần 1: 6 đỏ trong 10 bi → $P = \frac{6}{10}$
• Lần 2 (sau khi lấy 1 đỏ): còn 5 đỏ trong 9 bi → $P = \frac{5}{9}$

Câu b) Cả 2 đều xanh:

$$P(\text{xanh, xanh}) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$$

Kết luận:

• a) Xác suất cả 2 đỏ: $\frac{1}{3} \approx 33.3\%$
• b) Xác suất cả 2 xanh: $\frac{2}{15} \approx 13.3\%$

Dạng 3: “Ít nhất 1” với biến cố độc lập

Đề bài: Hai học sinh A và B làm bài độc lập. Xác suất học sinh A giải được bài toán là 0.7, học sinh B giải được là 0.6. Tính xác suất có ít nhất 1 học sinh giải được bài toán?

Lời giải:

Cách 1: Dùng biến cố đối (nhanh)

Xác suất cả 2 học sinh đều không giải được: $$P(\text{cả 2 không giải được}) = (1-0.7) \times (1-0.6) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$$

Xác suất ít nhất 1 học sinh giải được: $$P(\text{ít nhất 1 giải được}) = 1 – 0.12 = 0.88$$

Cách 2: Dùng công thức cộng

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$ $$= 0.7 + 0.6 – (0.7 \times 0.6)$$ $$= 1.3 – 0.42 = 0.88$$

Kết luận: Xác suất ít nhất 1 học sinh giải được là 0.88 hay 88%.

Nhận xét: Cả hai cách đều cho kết quả giống nhau. Cách 1 thường nhanh hơn cho bài toán “ít nhất 1”.

Dạng 4: Xác suất có điều kiện

Đề bài: Gieo 2 con xúc xắc cân đối. Biết rằng tổng hai mặt ≥ 10, tính xác suất để tổng hai mặt bằng đúng 11?

Lời giải:

Bước 1: Xác định biến cố B: “Tổng ≥ 10”

Liệt kê: B = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)}

Số phần tử: $n(B) = 6$

Bước 2: Xác định biến cố A: “Tổng = 11”

A = {(5,6), (6,5)}

Bước 3: Tìm $A \cap B$

A ⊂ B (mọi cặp có tổng 11 đều có tổng ≥ 10)

Vậy $A \cap B = A$, $n(A \cap B) = 2$

Bước 4: Tính xác suất có điều kiện

$$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{1}{3} \approx 33.3\%$.

Dạng 5: Kết hợp nhiều bước

Đề bài: Một xạ thủ bắn 4 viên đạn vào bia, các lần bắn độc lập. Xác suất trúng đích mỗi viên là 0.8. Tính xác suất để xạ thủ trúng đúng 3 viên trong 4 viên?

Lời giải:

Phân tích: “Đúng 3 viên” nghĩa là 3 viên trúng, 1 viên trượt.

Bước 1: Số cách chọn 3 viên trúng trong 4 viên

$$C_4^3 = 4 \text{ cách}$$

Bước 2: Xác suất mỗi cách

Mỗi cách: 3 viên trúng (xác suất 0.8) và 1 viên trượt (xác suất 0.2)

$$P(\text{mỗi cách}) = 0.8^3 \times 0.2^1 = 0.512 \times 0.2 = 0.1024$$

Bước 3: Tổng xác suất

$$P(\text{đúng 3 trúng}) = C_4^3 \times 0.8^3 \times 0.2$$ $$= 4 \times 0.1024 = 0.4096$$

Kết luận: Xác suất trúng đúng 3 viên là 0.4096 hay khoảng 40.96%.

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhận biết dạng bài

Nhận biết 1: Có từ “VÀ”

→ Dùng công thức nhân xác suất

Ví dụ: Cả hai máy đều hoạt động → $P(A \cap B)$

Nhận biết 2: Từ “ĐỘC LẬP” hoặc “CÓ HOÀN LẠI”

→ Dùng công thức nhân đơn giản

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Ví dụ: Tung 2 xu độc lập, rút bài có hoàn lại

Nhận biết 3: Từ “KHÔNG HOÀN LẠI” hoặc “VỚI ĐIỀU KIỆN”

→ Dùng công thức có điều kiện

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

Ví dụ: Rút 2 lá bài không hoàn lại, lấy bi không bỏ trở lại

Nhận biết 4: Từ “ÍT NHẤT 1” (với biến cố độc lập)

→ Dùng biến cố đối

$$P(\text{ít nhất 1}) = 1 – P(\text{tất cả không})$$

Ví dụ: Ít nhất 1 người trúng, ít nhất 1 viên trúng đích

2. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Dùng công thức độc lập khi không hoàn lại

Sai:

• Lấy 2 bi không hoàn lại: $P = \frac{6}{10} \times \frac{5}{10}$

Đúng:

• Phải dùng: $P = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9}$ ✓

❌ Sai lầm 2: Nhầm $P(A|B)$ với $P(B|A)$

Nhớ rằng: $$P(A|B) \neq P(B|A)$$

Hai xác suất này hoàn toàn khác nhau!

❌ Sai lầm 3: Quên nhân với $C_n^k$ trong bài toán “đúng k lần”

Sai:

• Bắn 4 phát, trúng đúng 3: $P = 0.8^3 \times 0.2$

Đúng:

• $P = C_4^3 \times 0.8^3 \times 0.2$ ✓

❌ Sai lầm 4: Nhầm lẫn “ít nhất” và “đúng”

• “Ít nhất k”: ≥ k (k, k+1, k+2,…)
• “Đúng k”: = k (chỉ k)

3. Chiến lược giải nhanh

Bước 1: Đọc kỹ đề bài

• Xác định A là gì? B là gì?
• Đề hỏi tìm: $P(A \cap B)$? $P(A|B)$? $P(A \cup B)$?

Bước 2: Kiểm tra tính độc lập

• A và B có độc lập không?
  • Độc lập: Các phép thử riêng biệt, có hoàn lại, đề nói rõ “độc lập”
  • Không độc lập: Không hoàn lại, có ảnh hưởng, có điều kiện

Bước 3: Chọn công thức phù hợp

• Độc lập → $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
• Không độc lập → $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
• “Ít nhất 1” (độc lập) → $P = 1 – P(\text{tất cả không})$
• Có điều kiện → $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Bước 4: Tính toán cẩn thận

• Thay số vào công thức
• Tính từng bước, không bỏ qua
• Kiểm tra: $0 \le P \le 1$?

Bước 5: Kiểm tra kết quả

• Kết quả có hợp lý không?
• Có thể kiểm tra bằng cách khác?

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về công thức nhân xác suất, một trong những công thức quan trọng nhất trong chương Xác suất lớp 11-12:

Công thức cho biến cố độc lập (TOÁN 11): $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Công thức tổng quát (TOÁN 12): $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$$

Công thức xác suất có điều kiện: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$$

Công thức “ít nhất 1” (biến cố độc lập): $$P(\text{ít nhất 1}) = 1 – (1-p)^n$$

Phân biệt công thức cộng và nhân

Bảng tóm tắt:

Các điểm cần nhớ

Phân biệt rõ: Độc lập vs Không độc lập

• Độc lập: Không ảnh hưởng, có hoàn lại → Nhân trực tiếp
• Không độc lập: Có ảnh hưởng, không hoàn lại → Dùng điều kiện

Lưu ý: $P(A|B) \neq P(B|A)$

• Hai xác suất này hoàn toàn khác nhau
• Đọc kỹ đề để xác định đúng

Với bài toán “ít nhất 1” (độc lập) → Dùng biến cố đối

• Công thức: $P = 1 – (1-p)^n$
• Nhanh và đơn giản hơn nhiều

Không hoàn lại = Không độc lập

• Phải dùng xác suất có điều kiện
• $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa