I. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Khái niệm mặt phẳng trong không gian

Định nghĩa: Mặt phẳng trong không gian ba chiều là tập hợp vô hạn các điểm thỏa mãn một điều kiện hình học nhất định. Mặt phẳng là một trong những đối tượng cơ bản nhất của hình học không gian.

Các cách xác định một mặt phẳng duy nhất:

1. Qua 3 điểm không thẳng hàng: Ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng ký hiệu là $(ABC)$
2. Qua 1 điểm và vuông góc với 1 vector: Điểm $M_0$ và vector $\vec{n} \neq \vec{0}$ xác định duy nhất mặt phẳng đi qua $M_0$ và vuông góc với $\vec{n}$
3. Qua 1 điểm và song song với 2 vector: Điểm $M_0$ và hai vector không cùng phương $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$ xác định mặt phẳng đi qua $M_0$ và song song với cả hai vector
4. Qua 1 đường thẳng và 1 điểm ngoài đường thẳng: Đường thẳng $d$ và điểm $A \notin d$ xác định duy nhất một mặt phẳng
5. Qua 2 đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng
6. Qua 2 đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song xác định duy nhất một mặt phẳng

2. Vector pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là vector $\vec{n} \neq \vec{0}$ vuông góc với mọi vector nằm trong mặt phẳng đó.

Ký hiệu: $\vec{n}$ hoặc $\overrightarrow{n}$

Tính chất quan trọng:

• Nếu $\vec{n}$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ thì $k\vec{n}$ (với $k \neq 0$) cũng là vector pháp tuyến của $(\alpha)$
• Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến, và chúng đều cùng phương với nhau
• Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi vector pháp tuyến của chúng cùng phương

Vai trò của vector pháp tuyến:

• Vector pháp tuyến xác định hướng (độ nghiêng) của mặt phẳng trong không gian
• Là công cụ quan trọng để viết phương trình mặt phẳng
• Dùng để tính góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Xác định quan hệ vuông góc, song song giữa các đối tượng

Cách xác định vector pháp tuyến:

• Nếu mặt phẳng chứa hai vector $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ không cùng phương thì $\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2}$ (tích có hướng)
• Nếu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng có vector chỉ phương $\vec{u}$ thì $\vec{n} = \vec{u}$
• Nếu mặt phẳng song song với mặt phẳng có vector pháp tuyến $\vec{n’}$ thì $\vec{n} = \vec{n’}$

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết được tổ chức theo thứ tự từ cơ bản đến nâng cao:

• Phần II: Phương trình tổng quát – Công thức quan trọng nhất
• Phần III: Các dạng phương trình đặc biệt (đoạn chắn, mặt tọa độ,…)
• Phần IV: Phương pháp lập phương trình (7 dạng cơ bản)
• Phần V: Bảng tổng hợp công thức
• Phần VI: Mẹo và kỹ thuật giải nhanh
• Phần VII: Bài tập mẫu có lời giải chi tiết
• Phần VIII: Kết luận và lời khuyên

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG ⭐

1. Định nghĩa và công thức

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT (QUAN TRỌNG NHẤT):

$$\boxed{Ax + By + Cz + D = 0}$$

Trong đó:

• $A$, $B$, $C$, $D$ là các số thực
• $(A, B, C)$ là tọa độ của vector pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng
• $(x, y, z)$ là tọa độ của điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng
• Điều kiện: $A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$ (tức là ít nhất một trong ba hệ số $A$, $B$, $C$ phải khác 0)

Ý nghĩa:

• Mọi điểm $M(x, y, z)$ nằm trên mặt phẳng đều thỏa mãn phương trình này
• Ngược lại, mọi điểm thỏa mãn phương trình này đều nằm trên mặt phẳng

Cách nhớ quan trọng:

“Hệ số của x, y, z chính là tọa độ vector pháp tuyến”

Ví dụ nhận dạng:

• Phương trình $2x – 3y + z + 5 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n} = (2, -3, 1)$
• Phương trình $x + y + z = 1$ có vector pháp tuyến $\vec{n} = (1, 1, 1)$

2. Cách lập phương trình tổng quát

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ và có vector pháp tuyến $\vec{n} = (A, B, C)$

CÔNG THỨC LẬP PHƯƠNG TRÌNH:

$$\boxed{A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0}$$

Giải thích công thức:

• Điểm $M(x, y, z)$ bất kỳ nằm trên mặt phẳng
• Vector $\overrightarrow{M_0M} = (x – x_0, y – y_0, z – z_0)$ nằm trong mặt phẳng
• Do $\vec{n}$ vuông góc với mọi vector trong mặt phẳng nên: $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$$ $$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$$

Các bước thực hiện chi tiết:

Bước 1: Xác định vector pháp tuyến $\vec{n} = (A, B, C)$

• Từ đề bài cho trực tiếp
• Hoặc tính toán từ các điều kiện (sẽ trình bày ở Phần IV)

Bước 2: Xác định một điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ thuộc mặt phẳng

• Lấy từ đề bài
• Hoặc tính toán từ các điều kiện

Bước 3: Áp dụng công thức $$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$$

Bước 4: Khai triển và rút gọn về dạng $Ax + By + Cz + D = 0$

• Nhân các dấu ngoặc
• Thu gọn các số hạng tự do
• Viết dưới dạng chuẩn

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1, 2, 3)$ và có vector pháp tuyến $\vec{n} = (2, -1, 3)$

Lời giải:

Bước 1: Đã có $\vec{n} = (2, -1, 3)$ và $M(1, 2, 3)$

Bước 2: Áp dụng công thức: $$2(x – 1) + (-1)(y – 2) + 3(z – 3) = 0$$

Bước 3: Khai triển: $$2x – 2 – y + 2 + 3z – 9 = 0$$

Bước 4: Rút gọn: $$2x – y + 3z – 9 = 0$$

Kết luận: Phương trình mặt phẳng là $\boxed{2x – y + 3z – 9 = 0}$

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O(0, 0, 0)$ và vuông góc với vector $\vec{u} = (1, 1, 1)$

Lời giải:

Bước 1: Vector pháp tuyến $\vec{n} = \vec{u} = (1, 1, 1)$ và điểm $O(0, 0, 0)$

Bước 2: Áp dụng công thức: $$1(x – 0) + 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0$$

Bước 3: Rút gọn: $$x + y + z = 0$$

Kết luận: Phương trình mặt phẳng là $\boxed{x + y + z = 0}$

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(2, -1, 3)$ và có vector pháp tuyến $\vec{n} = (0, 0, 1)$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$0(x – 2) + 0(y + 1) + 1(z – 3) = 0$$ $$z – 3 = 0$$ $$z = 3$$

Kết luận: Mặt phẳng song song với $(Oxy)$ và có phương trình $\boxed{z = 3}$

4. Nhận dạng vector pháp tuyến từ phương trình

Khi cho phương trình mặt phẳng, ta có thể ngay lập tức xác định được vector pháp tuyến.

Quy tắc: Hệ số của $(x, y, z)$ chính là tọa độ của vector pháp tuyến

Ví dụ nhận dạng:

Lưu ý quan trọng:

• Có thể nhân vector pháp tuyến với một số khác 0 mà không thay đổi mặt phẳng
• Ví dụ: $\vec{n} = (3, -2, 1)$ và $\vec{n’} = (6, -4, 2)$ cùng xác định một họ mặt phẳng song song

III. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT

1. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Định nghĩa: Mặt phẳng cắt ba trục tọa độ $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, $C(0, 0, c)$ với $a, b, c \neq 0$.

CÔNG THỨC ĐOẠN CHẮN:

$$\boxed{\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1}$$

Trong đó:

• $a$: Đoạn chắn trên trục $Ox$ (hoành độ giao điểm với $Ox$)
• $b$: Đoạn chắn trên trục $Oy$ (tung độ giao điểm với $Oy$)
• $c$: Đoạn chắn trên trục $Oz$ (cao độ giao điểm với $Oz$)

Điều kiện: $a \neq 0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$

Ứng dụng: Dạng này rất thuận tiện khi đề bài cho ba giao điểm với các trục tọa độ.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại $A(2, 0, 0)$, $B(0, 3, 0)$, $C(0, 0, 6)$

Lời giải:

Bước 1: Xác định đoạn chắn: $a = 2$, $b = 3$, $c = 6$

Bước 2: Áp dụng công thức đoạn chắn: $$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$$

Bước 3: Nhân cả hai vế với 6 (BCNN của 2, 3, 6): $$3x + 2y + z = 6$$

Kết luận: Phương trình mặt phẳng là $\boxed{3x + 2y + z – 6 = 0}$ hoặc $\boxed{3x + 2y + z = 6}$

Ví dụ 2: Chuyển phương trình $2x + 3y + 6z – 12 = 0$ về dạng đoạn chắn

Lời giải:

Bước 1: Chuyển vế số hạng tự do: $$2x + 3y + 6z = 12$$

Bước 2: Chia cả hai vế cho 12: $$\frac{2x}{12} + \frac{3y}{12} + \frac{6z}{12} = 1$$

Bước 3: Rút gọn: $$\frac{x}{6} + \frac{y}{4} + \frac{z}{2} = 1$$

Kết luận:

• Dạng đoạn chắn: $\boxed{\frac{x}{6} + \frac{y}{4} + \frac{z}{2} = 1}$
• Mặt phẳng cắt trục $Ox$ tại $(6, 0, 0)$
• Mặt phẳng cắt trục $Oy$ tại $(0, 4, 0)$
• Mặt phẳng cắt trục $Oz$ tại $(0, 0, 2)$

2. Phương trình các mặt phẳng tọa độ

Bảng các mặt phẳng tọa độ:

Đặc điểm:

• Đây là ba mặt phẳng cơ bản nhất trong không gian
• Chúng vuông góc với nhau từng đôi một
• Chia không gian thành 8 phần (8 góc phần tám)

3. Mặt phẳng song song với trục tọa độ

Điều kiện: Mặt phẳng song song với một trục tọa độ khi và chỉ khi vector pháp tuyến vuông góc với trục đó.

Quy tắc nhớ: “Mặt phẳng song song với trục nào thì phương trình thiếu biến đó”

Ví dụ:

• Mặt phẳng $2y + 3z – 6 = 0$ song song với trục $Ox$ (thiếu $x$)
• Mặt phẳng $x – 2z + 1 = 0$ song song với trục $Oy$ (thiếu $y$)
• Mặt phẳng $3x + y = 5$ song song với trục $Oz$ (thiếu $z$)

4. Mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ

Điều kiện: Mặt phẳng song song với một mặt phẳng tọa độ khi và chỉ khi vector pháp tuyến cùng phương với vector pháp tuyến của mặt phẳng tọa độ đó.

Ví dụ:

• Mặt phẳng $z = 5$ song song với $(Oxy)$ và cách $(Oxy)$ một khoảng 5 đơn vị
• Mặt phẳng $y = -3$ song song với $(Oxz)$
• Mặt phẳng $x = 2$ song song với $(Oyz)$

Lưu ý:

• Khi $k = 0$, mặt phẳng trùng với mặt phẳng tọa độ tương ứng
• Ví dụ: $z = 0$ chính là mặt phẳng $(Oxy)$

5. Mặt phẳng đi qua hai trục tọa độ

Kết luận: Mặt phẳng đi qua hai trục tọa độ chính là một trong ba mặt phẳng tọa độ.

IV. PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng 1: Mặt phẳng qua 1 điểm, có vector pháp tuyến

Đã trình bày chi tiết ở Phần II

Tóm tắt:

• Cho: Điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ và vector pháp tuyến $\vec{n} = (A, B, C)$
• Công thức: $A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$

Dạng 2: Mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng

Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$, $C(x_3, y_3, z_3)$ không thẳng hàng.

Phương pháp:

Bước 1: Tính hai vector trong mặt phẳng: $$\vec{AB} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1, z_2 – z_1)$$ $$\vec{AC} = (x_3 – x_1, y_3 – y_1, z_3 – z_1)$$

Bước 2: Tính vector pháp tuyến bằng tích có hướng (tích vector):

$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}\begin{vmatrix} y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} – \vec{j}\begin{vmatrix} x_2-x_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} + \vec{k}\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{vmatrix}$$

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm $A$ (hoặc $B$, $C$) với vector pháp tuyến $\vec{n}$

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $C(0, 0, 1)$

Lời giải:

Bước 1: Tính hai vector: $$\vec{AB} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$$

Bước 2: Tính tích có hướng: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(1 \cdot 1 – 0 \cdot 0) – \vec{j}((-1) \cdot 1 – 0 \cdot (-1)) + \vec{k}((-1) \cdot 0 – 1 \cdot (-1))$$

$$= \vec{i}(1) – \vec{j}(-1) + \vec{k}(1)$$

$$= (1, 1, 1)$$

Bước 3: Viết phương trình qua điểm $A(1, 0, 0)$ với $\vec{n} = (1, 1, 1)$: $$1(x – 1) + 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0$$ $$x – 1 + y + z = 0$$

Kết luận: $\boxed{x + y + z – 1 = 0}$ hoặc $\boxed{x + y + z = 1}$

Dạng 3: Mặt phẳng qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có vector chỉ phương $\vec{u}$.

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng chính là vector chỉ phương của đường thẳng: $$\vec{n} = \vec{u}$$

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng qua $M(1, 2, 3)$ và vuông góc với đường thẳng: $$d: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$$

Lời giải:

Bước 1: Vector chỉ phương của $d$: $\vec{u} = (2, 1, -1)$

Bước 2: Vector pháp tuyến của mặt phẳng: $\vec{n} = \vec{u} = (2, 1, -1)$

Bước 3: Phương trình qua $M(1, 2, 3)$: $$2(x – 1) + 1(y – 2) + (-1)(z – 3) = 0$$ $$2x – 2 + y – 2 – z + 3 = 0$$

Kết luận: $\boxed{2x + y – z – 1 = 0}$

Dạng 4: Mặt phẳng qua 1 điểm và song song với 2 vector

Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0$ và song song với hai vector $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$ không cùng phương.

Phương pháp: Vector pháp tuyến là tích có hướng: $$\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2}$$

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ $O(0, 0, 0)$ và song song với hai vector $\vec{a} = (1, 0, 1)$, $\vec{b} = (0, 1, 1)$

Lời giải:

Bước 1: Tính vector pháp tuyến: $$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(0 – 1) – \vec{j}(1 – 0) + \vec{k}(1 – 0)$$ $$= (-1, -1, 1)$$

Bước 2: Phương trình qua $O(0, 0, 0)$: $$-1(x – 0) – 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0$$ $$-x – y + z = 0$$

Kết luận: $\boxed{x + y – z = 0}$ (nhân -1 để đơn giản)

Dạng 5: Mặt phẳng qua 1 điểm và song song với mặt phẳng cho trước

Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0$ và song song với mặt phẳng $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$

Phương pháp: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến: $$\vec{n} = (A, B, C)$$

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng qua $M(1, 2, 3)$ và song song với mặt phẳng $(\alpha): 2x – y + 3z – 5 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Vector pháp tuyến của $(\alpha)$: $\vec{n} = (2, -1, 3)$

Bước 2: Mặt phẳng cần tìm cũng có $\vec{n} = (2, -1, 3)$

Bước 3: Phương trình qua $M(1, 2, 3)$: $$2(x – 1) – 1(y – 2) + 3(z – 3) = 0$$ $$2x – 2 – y + 2 + 3z – 9 = 0$$

Kết luận: $\boxed{2x – y + 3z – 9 = 0}$

Kiểm tra: So sánh với $(\alpha): 2x – y + 3z – 5 = 0$

• Vector pháp tuyến giống nhau: $(2, -1, 3)$ ✓
• Số hạng tự do khác nhau: $-9 \neq -5$ ✓
• Vậy hai mặt phẳng song song với nhau

Dạng 6: Mặt phẳng qua 1 đường thẳng và 1 điểm ngoài đường thẳng

Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng $d$ (đi qua điểm $M_0$ và có vector chỉ phương $\vec{u}$) và điểm $A$ không nằm trên $d$.

Phương pháp:

Bước 1: Tính vector $\overrightarrow{M_0A}$

Bước 2: Tính vector pháp tuyến: $$\vec{n} = \vec{u} \times \overrightarrow{M_0A}$$

Bước 3: Viết phương trình qua $M_0$ (hoặc $A$) với vector pháp tuyến $\vec{n}$

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng $d: \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ và điểm $A(1, 1, 1)$

Lời giải:

Bước 1: Đường thẳng $d$ đi qua $O(0, 0, 0)$ và có $\vec{u} = (1, 2, 3)$

Bước 2: $\overrightarrow{OA} = (1, 1, 1)$

Bước 3: Tính vector pháp tuyến: $$\vec{n} = \vec{u} \times \overrightarrow{OA} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(2 – 3) – \vec{j}(1 – 3) + \vec{k}(1 – 2)$$ $$= (-1, 2, -1)$$

Bước 4: Phương trình qua $O(0, 0, 0)$: $$-1(x – 0) + 2(y – 0) – 1(z – 0) = 0$$

Kết luận: $\boxed{x – 2y + z = 0}$ (nhân -1)

Dạng 7: Mặt phẳng qua 1 đường thẳng và song song với đường thẳng khác

Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng $d_1$ (có vector chỉ phương $\vec{u_1}$) và song song với đường thẳng $d_2$ (có vector chỉ phương $\vec{u_2}$).

Phương pháp: Vector pháp tuyến vuông góc với cả hai vector chỉ phương: $$\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2}$$

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng chứa trục $Ox$ và song song với đường thẳng $d: \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$

Lời giải:

Bước 1: Trục $Ox$ có vector chỉ phương $\vec{u_1} = (1, 0, 0)$

Bước 2: Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương $\vec{u_2} = (1, 1, 1)$

Bước 3: Tính vector pháp tuyến: $$\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(0 – 0) – \vec{j}(1 – 0) + \vec{k}(1 – 0)$$ $$= (0, -1, 1)$$

Bước 4: Mặt phẳng chứa $Ox$ nên đi qua $O(0, 0, 0)$: $$0(x – 0) – 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0$$

Kết luận: $\boxed{-y + z = 0}$ hay $\boxed{y = z}$

V. BẢNG TỔNG HỢP CÔNG THỨC

Bảng 1: Các dạng phương trình mặt phẳng

Bảng 2: Phương pháp tìm vector pháp tuyến

Bảng 3: Tóm tắt 7 dạng bài tập

VI. MẸO VÀ KỸ THUẬT

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm lẫn vector chỉ phương và pháp tuyến

SAI:

• Dùng vector chỉ phương của đường thẳng để làm vector chỉ phương của mặt phẳng

ĐÚNG:

• Đường thẳng có vector chỉ phương $\vec{u}$
• Mặt phẳng có vector pháp tuyến $\vec{n}$
• Nếu đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì $\vec{n} = \vec{u}$

❌ SAI LẦM 2: Quên kiểm tra 3 điểm thẳng hàng

SAI:

• Áp dụng công thức cho 3 điểm thẳng hàng

ĐÚNG:

• Kiểm tra: Nếu $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương thì 3 điểm thẳng hàng
• Khi đó không xác định được mặt phẳng duy nhất

❌ SAI LẦM 3: Tính sai tích có hướng

SAI:

• Nhầm lẫn dấu khi tính định thức
• Quên dấu trừ ở thành phần $\vec{j}$

ĐÚNG: $$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

Chú ý dấu trừ ở $\vec{j}$!

❌ SAI LẦM 4: Quên rút gọn phương trình

SAI:

• Để phương trình dạng $2x – 4y + 6z – 8 = 0$

ĐÚNG:

• Rút gọn: $x – 2y + 3z – 4 = 0$ (chia cho 2)
• Phương trình đẹp hơn, dễ nhìn hơn

2. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: Nhận dạng vector pháp tuyến

“Hệ số xyz = Tọa độ vector pháp tuyến”

• Phương trình $3x – 2y + z + 5 = 0$ → $\vec{n} = (3, -2, 1)$
• Phương trình $x + y + z = 1$ → $\vec{n} = (1, 1, 1)$

Mẹo 2: Kiểm tra song song

Hai mặt phẳng:

• $(\alpha): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$
• $(\beta): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

Song song khi: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$$

Mẹo 3: Kiểm tra vuông góc

Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng khi: $$\vec{n} = k\vec{u} \quad (k \neq 0)$$

Tức là vector pháp tuyến cùng phương với vector chỉ phương.

Mẹo 4: Mặt phẳng qua gốc tọa độ

Nếu mặt phẳng đi qua $O(0, 0, 0)$ thì phương trình có dạng: $$Ax + By + Cz = 0$$

(Không có số hạng tự do)

3. Thứ tự ưu tiên khi giải bài

BƯỚC 1: Đọc kỹ đề bài – Xác định dạng

• Xác định đề cho gì? (điểm, vector, đường thẳng, mặt phẳng,…)
• Cần tìm gì? (phương trình mặt phẳng)
• Thuộc dạng nào trong 7 dạng?

BƯỚC 2: Tìm vector pháp tuyến

• Dựa vào dạng bài để chọn phương pháp
• Tính toán cẩn thận (đặc biệt là tích có hướng)

BƯỚC 3: Tìm một điểm thuộc mặt phẳng

• Lấy từ đề bài
• Hoặc tính toán từ các điều kiện

BƯỚC 4: Áp dụng công thức

$$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$$

BƯỚC 5: Khai triển và rút gọn

• Nhân ngoặc
• Thu gọn số hạng tự do
• Rút gọn hệ số nếu có thể
• Viết dạng chuẩn: $Ax + By + Cz + D = 0$

BƯỚC 6: Kiểm tra kết quả

• Thế tọa độ các điểm cho trước vào phương trình
• Kiểm tra vector pháp tuyến
• Kiểm tra các điều kiện khác (song song, vuông góc,…)

VII. BÀI TẬP MẪU

Bài tập 1: Dạng đoạn chắn

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 3)$.

Lời giải:

Phương pháp 1: Dùng công thức đoạn chắn

Ba điểm đã cho chính là giao điểm với ba trục tọa độ:

• $a = 1$ (giao với $Ox$)
• $b = 2$ (giao với $Oy$)
• $c = 3$ (giao với $Oz$)

Áp dụng công thức đoạn chắn: $$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$$

Nhân cả hai vế với 6: $$6x + 3y + 2z = 6$$

Kết luận: $\boxed{6x + 3y + 2z – 6 = 0}$

Phương pháp 2: Dùng tích có hướng

Tính hai vector: $$\vec{AB} = (-1, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = (-1, 0, 3)$$

Vector pháp tuyến: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (6, 3, 2)$$

Phương trình qua $A(1, 0, 0)$: $$6(x-1) + 3y + 2z = 0$$ $$6x + 3y + 2z – 6 = 0$$

Kết luận: Cả hai phương pháp cho cùng kết quả ✓

Bài tập 2: Mặt phẳng trung trực

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ với $A(1, 2, 3)$, $B(3, 4, 5)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm trung điểm $I$ của $AB$: $$I\left(\frac{1+3}{2}; \frac{2+4}{2}; \frac{3+5}{2}\right) = I(2, 3, 4)$$

Bước 2: Mặt phẳng trung trực vuông góc với $AB$, nên vector pháp tuyến: $$\vec{n} = \vec{AB} = (3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)$$

Rút gọn: $\vec{n} = (1, 1, 1)$

Bước 3: Phương trình qua $I(2, 3, 4)$: $$1(x-2) + 1(y-3) + 1(z-4) = 0$$ $$x + y + z – 9 = 0$$

Kết luận: $\boxed{x + y + z = 9}$

Kiểm tra: Khoảng cách từ $A$ và $B$ đến mặt phẳng phải bằng nhau.

Bài tập 3: Qua 3 điểm (cách khác)

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng qua $M(1, 0, 0)$, $N(0, 1, 0)$, $P(0, 0, 1)$.

Lời giải đã trình bày ở Dạng 2

Kết quả: $\boxed{x + y + z – 1 = 0}$

Cách kiểm tra nhanh:

• Thế $M(1,0,0)$: $1+0+0-1=0$ ✓
• Thế $N(0,1,0)$: $0+1+0-1=0$ ✓
• Thế $P(0,0,1)$: $0+0+1-1=0$ ✓

Bài tập 4: Song song với mặt phẳng cho trước

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(2, -1, 3)$ và song song với mặt phẳng $(\alpha): x + 2y – z + 5 = 0$.

Lời giải:

Bước 1: Vector pháp tuyến của $(\alpha)$: $\vec{n} = (1, 2, -1)$

Bước 2: Mặt phẳng cần tìm song song với $(\alpha)$ nên cũng có $\vec{n} = (1, 2, -1)$

Bước 3: Phương trình qua $M(2, -1, 3)$: $$1(x-2) + 2(y+1) + (-1)(z-3) = 0$$ $$x – 2 + 2y + 2 – z + 3 = 0$$ $$x + 2y – z + 3 = 0$$

Kết luận: $\boxed{x + 2y – z + 3 = 0}$

Kiểm tra song song:

• $(\alpha)$: $x + 2y – z + 5 = 0$ có $\vec{n_1} = (1, 2, -1)$
• Mặt phẳng tìm được: $x + 2y – z + 3 = 0$ có $\vec{n_2} = (1, 2, -1)$
• $\vec{n_1} = \vec{n_2}$ và $5 \neq 3$ → Song song ✓

Bài tập 5: Ứng dụng thực tế

Đề bài: Trong không gian, ba điểm $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 3)$ là ba chân của một mái nhà hình tam giác. Viết phương trình mặt phẳng chứa mái nhà này.

Lời giải: Đây chính là Bài tập 1

Kết luận: Phương trình mặt phẳng mái nhà: $\boxed{6x + 3y + 2z = 6}$

Hoặc dạng đoạn chắn: $\boxed{\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1}$

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ và chi tiết các công thức về phương trình mặt phẳng:

Công thức tổng quát (QUAN TRỌNG NHẤT): $$\boxed{Ax + By + Cz + D = 0}$$ Vector pháp tuyến: $\vec{n} = (A, B, C)$

Công thức lập phương trình: $$\boxed{A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0}$$

Công thức đoạn chắn: $$\boxed{\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1}$$

7 dạng bài tập cơ bản với phương pháp giải chi tiết

Bảng tổng hợp các công thức và phương pháp

Mẹo và kỹ thuật giải nhanh, tránh sai lầm

Công thức quan trọng nhất

🔥 PHẢI NHỚ:

$$\boxed{Ax + By + Cz + D = 0}$$

“Hệ số của x, y, z chính là tọa độ vector pháp tuyến”

$\vec{n} = (A, B, C)$

Quy tắc vàng

Ba bước lập phương trình mặt phẳng:

1. Xác định vector pháp tuyến $\vec{n} = (A, B, C)$
2. Tìm một điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ thuộc mặt phẳng
3. Áp dụng công thức: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa