I. GIỚI THIỆU VỀ SAI SỐ

1. Sai số là gì?

Định nghĩa:

Sai số là độ chênh lệch giữa giá trị đo được (hoặc giá trị gần đúng) và giá trị thực (hoặc giá trị chính xác). Trong thực tế, không có phép đo nào hoàn toàn chính xác tuyệt đối – luôn tồn tại sai số.

Ký hiệu chuẩn:

• $\bar{x}$: Giá trị gần đúng (giá trị đo được)
• $a$: Giá trị chính xác (giá trị thực)
• $\Delta$: Sai số tuyệt đối (đọc là “delta”)
• $\delta$: Sai số tương đối (đọc là “delta nhỏ”)

Nguyên nhân gây ra sai số:

1. Sai số dụng cụ:

• Mỗi thiết bị đo có độ chính xác nhất định
• Ví dụ: Thước kẻ có vạch chia nhỏ nhất 1mm không thể đo chính xác đến 0.1mm

2. Sai số phương pháp:

• Do cách thức đo hoặc phương pháp tính toán
• Ví dụ: Đo nhiệt độ nước nóng bằng nhiệt kế thủy ngân, nhiệt kế sẽ làm nguội nước một chút

3. Sai số con người:

• Do kỹ năng, kinh nghiệm người đo
• Sai số đọc số, sai số thị sai (góc nhìn không vuông góc)

4. Sai số ngẫu nhiên:

• Do các yếu tố môi trường không kiểm soát được
• Nhiệt độ, độ ẩm, rung động, gió,…

II. CÔNG THỨC SAI SỐ TUYỆT ĐỐI

1. Định nghĩa sai số tuyệt đối

Sai số tuyệt đối là độ lớn (trị tuyệt đối) của hiệu giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác.

Công thức sai số tuyệt đối:

$$\boxed{\Delta = |\bar{x} – a|}$$

Trong đó:

• $\Delta$ (delta): Sai số tuyệt đối
• $\bar{x}$: Giá trị gần đúng (giá trị đo được)
• $a$: Giá trị chính xác (giá trị thực)
• $|…|$: Trị tuyệt đối (luôn lấy giá trị dương)

Đơn vị: Sai số tuyệt đối có cùng đơn vị với đại lượng đo

Ví dụ:

• Đo chiều dài → Sai số có đơn vị: cm, m, mm,…
• Đo khối lượng → Sai số có đơn vị: g, kg,…
• Đo nhiệt độ → Sai số có đơn vị: °C, K,…

2. Các trường hợp tính sai số tuyệt đối

A. Khi biết giá trị chính xác

Đây là trường hợp lý tưởng, khi ta biết giá trị thực để so sánh.

Công thức: $$\Delta = |\bar{x} – a|$$

Ví dụ 1: Chiều dài thực của thanh kim loại là 10 cm. Đo được 10.2 cm. Tính sai số tuyệt đối?

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$\Delta = |\bar{x} – a| = |10.2 – 10| = |0.2| = 0.2 \text{ cm}$$

Kết luận: Sai số tuyệt đối là 0.2 cm

Ví dụ 2: Khối lượng chuẩn của quả cân là 200g. Cân điện tử hiển thị 199.8g. Tính sai số?

Lời giải: $$\Delta = |199.8 – 200| = |-0.2| = 0.2 \text{ g}$$

Chú ý: Dù $\bar{x} < a$ hay $\bar{x} > a$, sai số tuyệt đối luôn dương do lấy trị tuyệt đối.

B. Khi đo nhiều lần (không biết giá trị chính xác)

Trong thực tế, ta thường không biết giá trị chính xác. Khi đó, cần đo nhiều lần và tính toán.

Quy trình 3 bước:

Bước 1: Tính giá trị trung bình (coi như giá trị gần đúng nhất): $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + … + x_n}{n}$$

Bước 2: Tính sai số tuyệt đối của từng lần đo: $$\Delta_i = |x_i – \bar{x}|$$

Bước 3: Tính sai số tuyệt đối trung bình: $$\Delta = \frac{\Delta_1 + \Delta_2 + … + \Delta_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}|x_i – \bar{x}|}{n}$$

Ví dụ 3: Đo chiều dài một vật 5 lần được: 12.1 cm, 12.3 cm, 12.2 cm, 12.4 cm, 12.0 cm. Tính sai số tuyệt đối?

Lời giải:

Bước 1: Tính giá trị trung bình: $$\bar{x} = \frac{12.1 + 12.3 + 12.2 + 12.4 + 12.0}{5} = \frac{61.0}{5} = 12.2 \text{ cm}$$

Bước 2: Tính sai số tuyệt đối từng lần đo:

• $\Delta_1 = |12.1 – 12.2| = 0.1$ cm
• $\Delta_2 = |12.3 – 12.2| = 0.1$ cm
• $\Delta_3 = |12.2 – 12.2| = 0$ cm
• $\Delta_4 = |12.4 – 12.2| = 0.2$ cm
• $\Delta_5 = |12.0 – 12.2| = 0.2$ cm

Bước 3: Tính sai số tuyệt đối trung bình: $$\Delta = \frac{0.1 + 0.1 + 0 + 0.2 + 0.2}{5} = \frac{0.6}{5} = 0.12 \text{ cm}$$

Kết quả đo: $$\text{Chiều dài vật: } \bar{x} = 12.2 \pm 0.12 \text{ cm}$$

Giải thích: Chiều dài thực của vật nằm trong khoảng từ $12.2 – 0.12 = 12.08$ cm đến $12.2 + 0.12 = 12.32$ cm.

C. Sai số tuyệt đối giới hạn (dựa vào dụng cụ)

Khi sử dụng dụng cụ đo có độ chính xác $d$ (độ chia nhỏ nhất), sai số tuyệt đối giới hạn được ước tính:

$$\boxed{\Delta_{\text{max}} = \frac{d}{2}}$$

Nguyên lý: Nếu vạch chia nhỏ nhất là $d$, ta chỉ có thể đọc chính xác đến $\pm \frac{d}{2}$.

Ví dụ 4: Thước kẻ có vạch chia nhỏ nhất 1 mm. Sai số tuyệt đối giới hạn là bao nhiêu?

Lời giải: $$\Delta_{\text{max}} = \frac{d}{2} = \frac{1 \text{ mm}}{2} = 0.5 \text{ mm}$$

Ví dụ 5: Nhiệt kế thủy ngân có vạch chia 1°C. Sai số giới hạn?

Lời giải: $$\Delta_{\text{max}} = \frac{1°C}{2} = 0.5°C$$

Ví dụ 6: Thước micromet có độ chính xác 0.01 mm. Sai số giới hạn?

Lời giải: $$\Delta_{\text{max}} = \frac{0.01 \text{ mm}}{2} = 0.005 \text{ mm}$$

3. Tính chất của sai số tuyệt đối

Tính chất 1: ✅ Luôn không âm $$\Delta \geq 0$$

Do lấy trị tuyệt đối, sai số không bao giờ âm.

Tính chất 2: ✅ Có cùng đơn vị với đại lượng đo

• Đo chiều dài (cm) → Sai số (cm)
• Đo thời gian (s) → Sai số (s)
• Đo điện áp (V) → Sai số (V)

Tính chất 3: ❌ KHÔNG phản ánh độ chính xác tương đối

Đây là hạn chế lớn nhất của sai số tuyệt đối!

Ví dụ minh họa:

• Trường hợp A: Đo chiều dài 10 cm, sai số 1 cm → Sai số 10% (rất lớn!)
• Trường hợp B: Đo chiều dài 100 m = 10000 cm, sai số 1 cm → Sai số 0.01% (rất nhỏ!)

Cả hai đều có sai số tuyệt đối 1 cm, nhưng độ chính xác hoàn toàn khác nhau!

Kết luận: Để so sánh độ chính xác, cần dùng sai số tương đối.

III. CÔNG THỨC SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI (TỈ ĐỐI)

1. Định nghĩa sai số tương đối

Sai số tương đối (còn gọi là sai số tỉ đối) là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị tuyệt đối của giá trị gần đúng.

Công thức sai số tương đối:

$$\boxed{\delta = \frac{\Delta}{|\bar{x}|}}$$

Hoặc dạng phần trăm (thường dùng hơn):

$$\boxed{\delta\% = \frac{\Delta}{|\bar{x}|} \times 100\%}$$

Trong đó:

• $\delta$ (delta nhỏ): Sai số tương đối
• $\Delta$: Sai số tuyệt đối
• $\bar{x}$: Giá trị gần đúng (giá trị đo được)

Đơn vị: Sai số tương đối không có đơn vị (là tỉ số), hoặc được biểu diễn dưới dạng phần trăm (%), phần nghìn (‰).

2. Ý nghĩa của sai số tương đối

Ý nghĩa 1: ✅ Phản ánh độ chính xác thực sự

• $\delta$ nhỏ → Phép đo chính xác cao
• $\delta$ lớn → Phép đo chính xác thấp

Quy ước thông thường:

• $\delta < 1%$ → Phép đo rất chính xác
• $1% \leq \delta < 5%$ → Phép đo khá chính xác
• $5% \leq \delta < 10%$ → Phép đo chấp nhận được
• $\delta \geq 10%$ → Phép đo kém chính xác

Ý nghĩa 2: ✅ So sánh được các phép đo khác nhau

Sai số tương đối cho phép so sánh:

• Các phép đo khác nhau (chiều dài vs khối lượng)
• Các đại lượng có giá trị rất khác nhau (mm vs km)
• Các phép đo dùng đơn vị khác nhau

Ý nghĩa 3: ✅ Không phụ thuộc vào đơn vị

Vì là tỉ số, nên đổi đơn vị không ảnh hưởng kết quả.

Ví dụ:

• Đo: 10 cm ± 0.1 cm → $\delta = \frac{0.1}{10} = 1%$
• Đổi sang mm: 100 mm ± 1 mm → $\delta = \frac{1}{100} = 1%$ (giống nhau!)

3. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 7: Từ Ví dụ 1, ta có $\bar{x} = 10.2$ cm và $\Delta = 0.2$ cm. Tính sai số tương đối?

Lời giải: $$\delta = \frac{\Delta}{|\bar{x}|} = \frac{0.2}{10.2} \approx 0.0196$$

$$\delta% = 0.0196 \times 100% = 1.96%$$

Kết luận: Sai số tương đối khoảng 1.96%, phép đo khá chính xác.

Ví dụ 8: Từ Ví dụ 3, ta có $\bar{x} = 12.2$ cm và $\Delta = 0.12$ cm. Tính sai số tương đối?

Lời giải: $$\delta = \frac{0.12}{12.2} \approx 0.0098$$

$$\delta% = 0.0098 \times 100% = 0.98%$$

Kết luận: Sai số tương đối khoảng 0.98%, phép đo rất chính xác (dưới 1%).

Ví dụ 9: So sánh độ chính xác của hai phép đo

Hai phép đo:

• Phép đo A: Đo chiều dài 10 m, sai số tuyệt đối 5 cm = 0.05 m
• Phép đo B: Đo chiều dài 1 m, sai số tuyệt đối 1 cm = 0.01 m

Câu hỏi: Chỉ nhìn vào sai số tuyệt đối, ta có thể nói phép đo B chính xác hơn (sai số nhỏ hơn). Nhưng có đúng không?

Lời giải:

Phép đo A: $$\delta_A = \frac{\Delta_A}{|\bar{x}_A|} = \frac{0.05}{10} = 0.005 = 0.5%$$

Phép đo B: $$\delta_B = \frac{\Delta_B}{|\bar{x}_B|} = \frac{0.01}{1} = 0.01 = 1%$$

Kết luận:

Mặc dù phép đo A có sai số tuyệt đối lớn hơn (5 cm > 1 cm), nhưng phép đo A chính xác hơn phép đo B khi xét về sai số tương đối ($0.5% < 1%$).

Bài học: Không thể chỉ dựa vào sai số tuyệt đối để đánh giá độ chính xác!

4. Mối quan hệ giữa sai số tuyệt đối và tương đối

Từ công thức sai số tương đối $\delta = \frac{\Delta}{|\bar{x}|}$, ta có thể suy ra:

$$\boxed{\Delta = \delta \times |\bar{x}|}$$

Ứng dụng: Khi biết sai số tương đối và giá trị gần đúng, có thể tính ngược lại sai số tuyệt đối.

Ví dụ 10: Giá trị gần đúng là 250 m, sai số tương đối là 2%. Tính sai số tuyệt đối?

Lời giải:

Sử dụng công thức: $$\Delta = \delta \times |\bar{x}| = 0.02 \times 250 = 5 \text{ m}$$

Kết quả đo đầy đủ: $250 \pm 5$ m

5. Cách viết kết quả đo chuẩn

Có hai cách viết kết quả đo phổ biến:

Dạng 1: Sử dụng sai số tuyệt đối $$\boxed{a = \bar{x} \pm \Delta}$$

Ví dụ: Chiều dài: $12.2 \pm 0.12$ cm

Đọc: Chiều dài là 12.2 cm, sai số 0.12 cm (từ 12.08 cm đến 12.32 cm)

Dạng 2: Sử dụng sai số tương đối $$\boxed{a = \bar{x} \text{ (sai số } \delta\%)}$$

Ví dụ: Chiều dài: $12.2$ cm (sai số $0.98%$)

Đọc: Chiều dài là 12.2 cm với độ chính xác 0.98%

Lưu ý quan trọng:

✅ Luôn ghi rõ đơn vị khi viết kết quả
✅ Số chữ số thập phân của $\bar{x}$ và $\Delta$ nên tương ứng
✅ Sai số thường làm tròn đến 1-2 chữ số có nghĩa

IV. CÔNG THỨC SAI SỐ KHỐI

1. Khái niệm sai số khối

Sai số khối (còn gọi là sai số tích lũy, sai số lan truyền) là sai số của một đại lượng được tính toán từ nhiều phép đo khác nhau.

Khi nào cần dùng sai số khối?

Khi đại lượng cần tìm không đo trực tiếp mà tính từ các đại lượng đo được khác.

Ví dụ:

• Chu vi hình chữ nhật: $P = 2(L + W)$ → Cần đo L và W
• Diện tích hình chữ nhật: $S = L \times W$ → Cần đo L và W
• Thể tích hình lập phương: $V = a^3$ → Cần đo a
• Tốc độ: $v = \frac{s}{t}$ → Cần đo s và t

2. Công thức sai số khối cho các phép toán

A. Phép cộng và phép trừ

Khi $z = x + y$ hoặc $z = x – y$, công thức sai số:

$$\boxed{\Delta_z = \Delta_x + \Delta_y}$$

Quy tắc: Với phép cộng/trừ, sai số tuyệt đối cộng lại.

Lưu ý: Dù là cộng hay trừ, sai số đều cộng (không trừ)!

Ví dụ 11: Đo hai cạnh của hình chữ nhật:

• Chiều dài: $L = 10 \pm 0.1$ cm
• Chiều rộng: $W = 5 \pm 0.05$ cm

Tính chu vi $P = 2(L + W)$ và sai số của nó.

Lời giải:

Bước 1: Tính tổng $L + W$: $$L + W = 10 + 5 = 15 \text{ cm}$$

Bước 2: Tính sai số của $(L + W)$: $$\Delta_{L+W} = \Delta_L + \Delta_W = 0.1 + 0.05 = 0.15 \text{ cm}$$

Bước 3: Tính chu vi: $$P = 2(L + W) = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$$

Bước 4: Tính sai số của P (nhân với hằng số 2): $$\Delta_P = 2 \times \Delta_{L+W} = 2 \times 0.15 = 0.3 \text{ cm}$$

Kết quả: $$\boxed{P = 30 \pm 0.3 \text{ cm}}$$

B. Phép nhân và phép chia

Khi $z = x \times y$ hoặc $z = x \div y$, công thức sai số:

$$\boxed{\delta_z = \delta_x + \delta_y}$$

Quy tắc: Với phép nhân/chia, sai số tương đối cộng lại.

Ví dụ 12: Tính diện tích hình chữ nhật từ Ví dụ 11:

• $L = 10 \pm 0.1$ cm
• $W = 5 \pm 0.05$ cm

Lời giải:

Bước 1: Tính sai số tương đối từng đại lượng: $$\delta_L = \frac{\Delta_L}{L} = \frac{0.1}{10} = 0.01 = 1%$$

$$\delta_W = \frac{\Delta_W}{W} = \frac{0.05}{5} = 0.01 = 1%$$

Bước 2: Tính diện tích: $$S = L \times W = 10 \times 5 = 50 \text{ cm}^2$$

Bước 3: Tính sai số tương đối của S: $$\delta_S = \delta_L + \delta_W = 1% + 1% = 2%$$

Bước 4: Tính sai số tuyệt đối của S: $$\Delta_S = \delta_S \times S = 0.02 \times 50 = 1 \text{ cm}^2$$

Kết quả: $$\boxed{S = 50 \pm 1 \text{ cm}^2}$$

Hoặc viết: $S = 50$ cm² (sai số $2%$)

Ví dụ 13: Tính tốc độ $v = \frac{s}{t}$ với:

• Quãng đường: $s = 100 \pm 2$ m ($\delta_s = 2%$)
• Thời gian: $t = 10 \pm 0.1$ s ($\delta_t = 1%$)

Lời giải:

Tính tốc độ: $$v = \frac{s}{t} = \frac{100}{10} = 10 \text{ m/s}$$

Tính sai số tương đối: $$\delta_v = \delta_s + \delta_t = 2% + 1% = 3%$$

Tính sai số tuyệt đối: $$\Delta_v = 0.03 \times 10 = 0.3 \text{ m/s}$$

Kết quả: $v = 10 \pm 0.3$ m/s

C. Phép lũy thừa

Khi $z = x^n$ (n là hằng số), công thức sai số:

$$\boxed{\delta_z = n \times \delta_x}$$

Quy tắc: Sai số tương đối nhân với số mũ.

Ví dụ 14: Cạnh hình lập phương: $a = 5 \pm 0.05$ cm. Tính thể tích $V = a^3$ và sai số?

Lời giải:

Bước 1: Tính sai số tương đối của a: $$\delta_a = \frac{\Delta_a}{a} = \frac{0.05}{5} = 0.01 = 1%$$

Bước 2: Tính thể tích: $$V = a^3 = 5^3 = 125 \text{ cm}^3$$

Bước 3: Tính sai số tương đối của V: $$\delta_V = n \times \delta_a = 3 \times 1% = 3%$$

Bước 4: Tính sai số tuyệt đối của V: $$\Delta_V = \delta_V \times V = 0.03 \times 125 = 3.75 \text{ cm}^3$$

Kết quả: $$\boxed{V = 125 \pm 3.75 \text{ cm}^3}$$

Hoặc: $V = 125$ cm³ (sai số $3%$)

Nhận xét: Khi lũy thừa bậc 3, sai số tương đối tăng gấp 3 lần!

3. Bảng tổng hợp sai số khối

Mẹo nhớ:

• Cộng/Trừ: Dùng $\Delta$ (delta lớn – tuyệt đối)
• Nhân/Chia/Lũy thừa: Dùng $\delta$ (delta nhỏ – tương đối)

V. SO SÁNH CÁC LOẠI SAI SỐ

Bảng so sánh chi tiết

Khi nào dùng loại sai số nào?

Dùng sai số tuyệt đối khi:

1. Cần biết độ lệch chính xác bằng số (bao nhiêu cm, g, °C,…)
2. Đo cùng một đại lượng với cùng phương pháp
3. Tính sai số khối cho phép cộng/trừ
4. Đánh giá dụng cụ đo (sai số giới hạn)
5. Báo cáo kết quả trong phòng thí nghiệm

Ví dụ: “Thanh kim loại dài $10.5 \pm 0.2$ cm”

Dùng sai số tương đối khi:

1. So sánh độ chính xác của các phép đo khác nhau
2. Đo các đại lượng hoàn toàn khác nhau (chiều dài vs khối lượng)
3. Tính sai số khối cho phép nhân/chia/lũy thừa
4. Đánh giá chất lượng phương pháp đo
5. Giá trị đo có độ lớn rất khác nhau

Ví dụ: “Phép đo A chính xác hơn phép đo B vì $\delta_A = 0.5% < \delta_B = 2%$”

VI. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ BẢNG TRA CỨU NHANH

Bảng công thức tổng hợp

Quy trình 4 bước tính sai số

Bước 1: ✅ Xác định giá trị gần đúng $\bar{x}$

• Nếu biết giá trị đo: $\bar{x}$ = giá trị đo
• Nếu đo nhiều lần: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

Bước 2: ✅ Tính sai số tuyệt đối $\Delta$

• Nếu biết giá trị thực: $\Delta = |\bar{x} – a|$
• Nếu đo nhiều lần: $\Delta = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}$
• Dựa vào dụng cụ: $\Delta_{\max} = \frac{d}{2}$

Bước 3: ✅ Tính sai số tương đối $\delta$ (nếu cần) $$\delta = \frac{\Delta}{|\bar{x}|} \quad \text{hoặc} \quad \delta% = \frac{\Delta}{|\bar{x}|} \times 100%$$

Bước 4: ✅ Viết kết quả

• Dạng 1: $a = \bar{x} \pm \Delta$ (có đơn vị)
• Dạng 2: $a = \bar{x}$ (sai số $\delta%$)

Sơ đồ tư duy – Chọn công thức sai số

BẮT ĐẦU
    ↓
Cần tính sai số cho phép toán?
    ├─ KHÔNG → Tính sai số đơn lẻ
    │           ↓
    │        Biết giá trị thực?
    │           ├─ CÓ → Δ = |x̄ - a|
    │           └─ KHÔNG → Đo nhiều lần → Δ = Σ|xi - x̄|/n
    │
    └─ CÓ → Tính sai số khối
                ↓
             Phép toán gì?
                ├─ Cộng/Trừ → Dùng Δ → Δz = Δx + Δy
                ├─ Nhân/Chia → Dùng δ → δz = δx + δy
                └─ Lũy thừa → Dùng δ → δz = n × δx

VII. KẾT LUẬN

Tổng kết kiến thức

Qua bài viết này, chúng ta đã nắm vững:

Khái niệm sai số cơ bản

Sai số là độ chênh lệch giữa giá trị đo và giá trị thực, xuất hiện trong mọi phép đo. Hiểu rõ sai số giúp đánh giá độ tin cậy và cải thiện phương pháp đo.

Sai số tuyệt đối: $\Delta = |\bar{x} – a|$

• Có đơn vị (cùng với đại lượng đo)
• Phản ánh độ lệch tuyệt đối
• Dùng khi cần biết độ lệch chính xác
• Dùng trong sai số khối cho phép cộng/trừ

Sai số tương đối: $\delta = \frac{\Delta}{|\bar{x}|}$

• Không có đơn vị (hoặc %, ‰)
• Phản ánh độ chính xác tương đối
• Dùng để so sánh các phép đo
• Dùng trong sai số khối cho phép nhân/chia/lũy thừa

Sai số khối

• Cộng/Trừ: Sai số tuyệt đối cộng lại
• Nhân/Chia: Sai số tương đối cộng lại
• Lũy thừa: Sai số tương đối nhân với số mũ

10 ví dụ thực tế

Từ đo chiều dài đơn giản đến tính thể tích phức tạp, giúp hiểu sâu và áp dụng thành thạo.

Những điểm cần lưu ý

⚠️ Sai số không phải là sai lầm

Sai số là điều không tránh khỏi, không phải do sai sót của người đo.

⚠️ Sai số tuyệt đối luôn CỘNG trong phép cộng/trừ

Dù là $z = x – y$, sai số vẫn là: $\Delta_z = \Delta_x + \Delta_y$ (không trừ!)

⚠️ Không thể có sai số âm

Do lấy trị tuyệt đối, sai số luôn ≥ 0.

⚠️ Sai số tương đối không xác định khi $\bar{x} = 0$

Nếu giá trị gần đúng bằng 0, không thể tính sai số tương đối.

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa