I. GIỚI THIỆU VỀ CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Tỷ số lượng giác là gì?

Tỷ số lượng giác là tỷ số giữa các cạnh trong tam giác vuông, được định nghĩa để mô tả mối quan hệ giữa góc và cạnh. Khái niệm này xuất phát từ nhu cầu thực tế trong đo đạc – từ việc xác định chiều cao của kim tự tháp Ai Cập cổ đại đến việc tính toán quỹ đạo vệ tinh hiện đại.

6 hàm lượng giác cơ bản:

• Sin (sinus) – đọc là “si-nus”
• Cos (cosinus) – đọc là “co-si-nus”
• Tan (tangens) – đọc là “tan-gan”
• Cot (cotangens) – đọc là “co-tan-gan”
• Sec (secans) – đọc là “se-can”
• Csc (cosecans) – đọc là “co-se-can”

2. Vai trò của sin, cos, tan, cot

Trong học tập:

• Giải tam giác vuông: Tính cạnh và góc chưa biết
• Nền tảng toán học: Cơ sở cho giải tích, hình học không gian
• Công cụ đo lường: Tính khoảng cách, độ cao không thể đo trực tiếp

Trong thực tế:

• Kiến trúc: Tính độ nghiêng mái nhà, thiết kế cầu thang
• Thiên văn học: Xác định vị trí ngôi sao, tính quỹ đạo hành tinh
• Kỹ thuật: GPS, radar, xử lý tín hiệu số

3. Sự khác biệt giữa lớp 9 và lớp 10

4. Cấu trúc bài viết

Bài viết được chia thành các phần rõ ràng:

• Định nghĩa sin, cos, tan, cot trong tam giác vuông (lớp 9)
• Mở rộng định nghĩa trên đường tròn lượng giác (lớp 10)
• Công thức tính và mối quan hệ giữa các hàm
• Bảng giá trị các góc đặc biệt với mẹo nhớ
• Ví dụ tính toán cụ thể và ứng dụng thực tế
• So sánh chi tiết chương trình lớp 9 và lớp 10

II. ĐỊNH NGHĨA SIN, COS, TAN, COT TRONG TAM GIÁC VUÔNG (LỚP 9)

1. Tam giác vuông và các cạnh

Cho tam giác ABC vuông tại A, góc nhọn B:

        C
        |\\
  kề    |  \\  huyền
        |    \\
        |______\\
        A   đối   B

Phân loại cạnh theo góc B:

• Cạnh huyền: BC (cạnh đối diện góc vuông, dài nhất)
• Cạnh đối: AC (đối diện với góc B)
• Cạnh kề: AB (kề với góc B, tạo thành góc B)

Lưu ý quan trọng: Cạnh “đối” và “kề” thay đổi tùy theo góc đang xét. Với góc C, thì AB là cạnh đối và AC là cạnh kề.

2. Định nghĩa 4 tỷ số lượng giác cơ bản

Công thức Sin (sinus):

$$\sin B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}$$

Cách nhớ: “Sin = Đối / Huyền”

Ý nghĩa vật lý: Sin cho biết tỷ lệ “độ cao” so với “độ dài” trong tam giác vuông.

Công thức Cos (cosinus):

$$\cos B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}$$

Cách nhớ: “Cos = Kề / Huyền”

Ý nghĩa vật lý: Cos cho biết tỷ lệ “độ rộng” so với “độ dài” trong tam giác vuông.

Công thức Tan (tangent):

$$\tan B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB}$$

Cách nhớ: “Tan = Đối / Kề”

Hoặc: $\tan B = \frac{\sin B}{\cos B}$

Ý nghĩa vật lý: Tan cho biết “độ dốc” – tỷ lệ giữa độ cao và độ rộng.

Công thức Cot (cotangent):

$$\cot B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{AB}{AC}$$

Cách nhớ: “Cot = Kề / Đối” (ngược lại với Tan)

Hoặc: $\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{1}{\tan B}$

Ý nghĩa: Cot là nghịch đảo của Tan.

3. Khẩu quyết nhớ nhanh

Phương pháp 1: “ĐHKH – ĐK”

• ĐH: Sin (Đối – Huyền)
• KH: Cos (Kề – Huyền)
• ĐK: Tan (Đối – Kề)

Phương pháp 2: “SOHCAHTOA” (tiếng Anh)

• SOH: Sin = Opposite / Hypotenuse
• CAH: Cos = Adjacent / Hypotenuse
• TOA: Tan = Opposite / Adjacent

Phương pháp 3: Câu thơ

“Sin bằng đối chia huyền
Cos thì kề chia huyền liền
Tan là đối chia kề ấy
Cot thì ngược lại tan thôi”

4. Ví dụ minh họa cơ bản

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính sin B, cos B, tan B, cot B.

Lời giải:

• Bước 1: Tính cạnh huyền BC
  • $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ cm
• Bước 2: Xác định cạnh theo góc B
  • Cạnh đối với góc B: AC = 4cm
  • Cạnh kề với góc B: AB = 3cm
  • Cạnh huyền: BC = 5cm
• Bước 3: Tính các tỷ số lượng giác
  • $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5} = 0.8$
  • $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} = 0.6$
  • $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
  • $\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} = 0.75$

Kiểm tra: $\sin^2 B + \cos^2 B = 0.8^2 + 0.6^2 = 0.64 + 0.36 = 1$ ✓

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông có cạnh huyền 13cm, một cạnh góc vuông 5cm. Tính các tỷ số lượng giác của góc nhọn.

Lời giải:

• Cạnh góc vuông còn lại: $\sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12$ cm
• Với góc α đối diện cạnh 5cm:
  • $\sin α = \frac{5}{13}$, $\cos α = \frac{12}{13}$, $\tan α = \frac{5}{12}$, $\cot α = \frac{12}{5}$

III. ĐỊNH NGHĨA SIN, COS, TAN, COT TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC (LỚP 10)

1. Đường tròn lượng giác

Định nghĩa: Đường tròn tâm O, bán kính R = 1 đơn vị, với:

• Trục hoành (Ox): trục cos
• Trục tung (Oy): trục sin
• Chiều dương: ngược chiều kim đồng hồ

Điểm M trên đường tròn: Ứng với góc α quay từ tia Ox, điểm M có tọa độ M(cos α, sin α).

2. Định nghĩa mới của sin, cos (Lớp 10)

Cho điểm M(x, y) trên đường tròn đơn vị, góc α từ trục Ox:

$$\sin α = y \text{ (tung độ điểm M)}$$ $$\cos α = x \text{ (hoành độ điểm M)}$$

Đặc điểm mới:

• Áp dụng cho mọi góc: 0°, 90°, 180°, 270°, 360° và cả góc âm
• Giá trị có thể âm: tùy thuộc vào vị trí điểm M
• Mở rộng từ định nghĩa lớp 9: Khi 0° < α < 90°, hai định nghĩa cho kết quả giống nhau

3. Định nghĩa tan, cot (Lớp 10)

$$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} \quad (\cos α \neq 0)$$

$$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} \quad (\sin α \neq 0)$$

Điều kiện xác định:

• Tan không xác định khi $α = 90° + k \cdot 180°$ (cos α = 0)
• Cot không xác định khi $α = k \cdot 180°$ (sin α = 0)

4. Miền giá trị và tính chất

5. So sánh định nghĩa lớp 9 và lớp 10

IV. CÔNG THỨC TÍNH SIN, COS, TAN, COT

1. Công thức tính từ cạnh tam giác vuông

Bài toán 1: Biết 2 cạnh, tính tỷ số lượng giác

Quy trình 3 bước:

1. Tính cạnh còn lại: Dùng định lý Pythagore $a^2 + b^2 = c^2$
2. Xác định cạnh đối, kề, huyền theo góc cần tính
3. Áp dụng định nghĩa sin, cos, tan, cot

Ví dụ: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5cm và 12cm. Tính sin, cos của góc nhọn.

Lời giải:

• Cạnh huyền: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$ cm
• Với góc α đối diện cạnh 5cm:
  • $\sin α = \frac{5}{13} \approx 0.385$
  • $\cos α = \frac{12}{13} \approx 0.923$
• Với góc β đối diện cạnh 12cm:
  • $\sin β = \frac{12}{13} \approx 0.923$
  • $\cos β = \frac{5}{13} \approx 0.385$

Bài toán 2: Biết 1 tỷ số lượng giác, tính các tỷ số khác

Công thức liên hệ quan trọng:

• $\sin^2 α + \cos^2 α = 1$ (công thức vàng)
• $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$
• $\cot α = \frac{1}{\tan α}$
• $\tan α \cdot \cot α = 1$

Ví dụ: Cho $\sin α = \frac{3}{5}$ với α là góc nhọn. Tính $\cos α$, $\tan α$, $\cot α$.

Lời giải:

• Tính cos α:
  • Từ $\sin^2 α + \cos^2 α = 1$
  • $\cos^2 α = 1 – \sin^2 α = 1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
  • Vì α nhọn nên $\cos α > 0$, suy ra $\cos α = \frac{4}{5}$
• Tính tan α:
  • $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$
• Tính cot α:
  • $\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{4}{3}$

Bài toán 3: Biết 1 cạnh và 1 góc, tính các cạnh còn lại

Công thức ứng dụng:

• $a = c \cdot \sin A$ (cạnh đối = huyền × sin góc)
• $b = c \cdot \cos A$ (cạnh kề = huyền × cos góc)
• $a = b \cdot \tan A$ (cạnh đối = cạnh kề × tan góc)
• $b = a \cdot \cot A$ (cạnh kề = cạnh đối × cot góc)

Ví dụ: Tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30°, BC = 10cm. Tính AB, AC.

Lời giải:

• Cạnh đối AC:
  • $AC = BC \cdot \sin B = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ cm
• Cạnh kề AB:
  • $AB = BC \cdot \cos B = 10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ cm

Kiểm tra: $AB^2 + AC^2 = (5\sqrt{3})^2 + 5^2 = 75 + 25 = 100 = 10^2$ ✓

2. Công thức tính sử dụng máy tính

Trên máy tính Casio fx-580VN X hoặc Vinacal:

Tính sin, cos, tan:

1. Đảm bảo máy ở chế độ DEG (độ) hoặc RAD (radian)
2. Nhập: sin → góc → =
3. Tương tự với cos và tan

Ví dụ: Tính sin 35°

• Bấm: sin 3 5 = → Kết quả: 0.5736

Tính cot (cotangent):

• Phương pháp: 1 ÷ tan → góc → =
• Ví dụ: Tính cot 45°
  • Bấm: 1 ÷ tan 4 5 = → Kết quả: 1

Tính góc từ tỷ số lượng giác (hàm ngược):

• Tìm góc từ sin: SHIFT sin → giá trị → =
• Tìm góc từ cos: SHIFT cos → giá trị → =
• Tìm góc từ tan: SHIFT tan → giá trị → =

Ví dụ: Tìm góc α biết $\sin α = 0.6$

• Bấm: SHIFT sin 0 . 6 = → Kết quả: α ≈ 36.87°

V. CÔNG THỨC COT VÀ CÁC HÀM PHỤ (SEC, CSC)

1. Công thức Cot chi tiết

Định nghĩa 3 cách:

Cách 1 – Trong tam giác vuông: $$\cot α = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}$$

Cách 2 – Từ sin và cos: $$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} \quad (\sin α \neq 0)$$

Cách 3 – Nghịch đảo tan: $$\cot α = \frac{1}{\tan α} \quad (\tan α \neq 0)$$

Công thức tính cot khi biết sin hoặc cos:

Từ sin: $\cot α = \frac{\sqrt{1-\sin^2 α}}{\sin α}$ (với α nhọn)

Từ cos: $\cot α = \frac{\cos α}{\sqrt{1-\cos^2 α}}$ (với α nhọn)

Ví dụ: Tính cot 60°

Cách 1: $\cot 60° = \frac{1}{\tan 60°} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Cách 2: $\cot 60° = \frac{\cos 60°}{\sin 60°} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

2. Hàm Sec (secant) – Hàm phụ

Định nghĩa:

$$\sec α = \frac{1}{\cos α} \quad (\cos α \neq 0)$$

Trong tam giác vuông:

$$\sec α = \frac{\text{cạnh huyền}}{\text{cạnh kề}}$$

Công thức liên quan:

$$1 + \tan^2 α = \sec^2 α$$

Lưu ý: Hàm sec ít được sử dụng trong chương trình THPT Việt Nam, chủ yếu xuất hiện trong toán cao cấp.

3. Hàm Csc (cosecant) – Hàm phụ

Định nghĩa:

$$\csc α = \frac{1}{\sin α} \quad (\sin α \neq 0)$$

Trong tam giác vuông:

$$\csc α = \frac{\text{cạnh huyền}}{\text{cạnh đối}}$$

Công thức liên quan:

$$1 + \cot^2 α = \csc^2 α$$

4. Bảng tổng hợp 6 hàm lượng giác

VI. BẢNG GIÁ TRỊ SIN, COS, TAN, COT CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

1. Bảng giá trị đầy đủ (0° – 90°)

2. Mẹo nhớ bảng giá trị sin

Quy tắc “0-1-2-3-4 chia cho 4”:

$$\sin 0° = \sqrt{\frac{0}{4}} = \sqrt{0} = 0$$ $$\sin 30° = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\sin 45° = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin 60° = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin 90° = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$$

Mẹo nhớ cos: Đảo ngược sin

• $\cos 0° = \sin 90° = 1$
• $\cos 30° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 45° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 60° = \sin 30° = \frac{1}{2}$
• $\cos 90° = \sin 0° = 0$

Mẹo nhớ tan: tan = sin / cos

• $\tan 30° = \frac{\sin 30°}{\cos 30°} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\tan 45° = \frac{\sin 45°}{\cos 45°} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$
• $\tan 60° = \frac{\sin 60°}{\cos 60°} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

3. Cách nhớ bằng tam giác đặc biệt

Tam giác vuông cân 45°-45°-90°:

• Hai cạnh góc vuông: 1 và 1
• Cạnh huyền: $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
• $\sin 45° = \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tan 45° = \cot 45° = \frac{1}{1} = 1$

Tam giác vuông 30°-60°-90°:

• Cạnh đối góc 30°: 1
• Cạnh đối góc 60°: $\sqrt{3}$
• Cạnh huyền: 2
• $\sin 30° = \frac{1}{2}$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$

VII. MỐI QUAN HỆ GIỮA SIN, COS, TAN, COT

1. Các hệ thức cơ bản (Công thức vàng)

Hệ thức Pythagore lượng giác:

$$\sin^2 α + \cos^2 α = 1$$

Hệ quả quan trọng:

• $\sin^2 α = 1 – \cos^2 α$
• $\cos^2 α = 1 – \sin^2 α$
• $\sin α = ±\sqrt{1 – \cos^2 α}$
• $\cos α = ±\sqrt{1 – \sin^2 α}$

Ví dụ: Cho $\cos α = 0.8$ và α là góc nhọn, tính $\sin α$.

• $\sin^2 α = 1 – \cos^2 α = 1 – 0.8^2 = 1 – 0.64 = 0.36$
• Vì α nhọn nên $\sin α > 0$, suy ra $\sin α = \sqrt{0.36} = 0.6$

Hệ thức liên hệ tan và sec:

$1 + \tan^2 α = \sec^2 α = \frac{1}{\cos^2 α}$

Hệ quả:

• $\tan^2 α = \frac{1}{\cos^2 α} – 1 = \frac{1 – \cos^2 α}{\cos^2 α} = \frac{\sin^2 α}{\cos^2 α}$

Hệ thức liên hệ cot và csc:

$1 + \cot^2 α = \csc^2 α = \frac{1}{\sin^2 α}$

2. Quan hệ giữa tan và cot

$\tan α \cdot \cot α = 1$ $\cot α = \frac{1}{\tan α}$ $\tan α = \frac{1}{\cot α}$

Ví dụ: Cho $\tan α = \frac{2}{3}$, tính $\cot α$.

• $\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$

3. Biểu diễn các hàm qua nhau

Biểu diễn tan, cot qua sin, cos:

$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ $\cot α = \frac{\cos α}{\sin α}$

Biểu diễn sin, cos qua tan:

$\sin α = \frac{\tan α}{\sqrt{1 + \tan^2 α}} \quad \text{(α nhọn)}$ $\cos α = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 α}} \quad \text{(α nhọn)}$

Biểu diễn sin, cos qua cot:

$\sin α = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 α}} \quad \text{(α nhọn)}$ $\cos α = \frac{\cot α}{\sqrt{1 + \cot^2 α}} \quad \text{(α nhọn)}$

4. Bảng tóm tắt các công thức liên hệ

VIII. ỨNG DỤNG GIẢI TAM GIÁC VUÔNG

1. Các dạng bài toán cơ bản

Dạng 1: Tính cạnh khi biết 1 cạnh và 1 góc

Công thức ứng dụng:

Biết huyền c và góc α:

• Cạnh đối: $a = c \cdot \sin α$
• Cạnh kề: $b = c \cdot \cos α$

Biết cạnh kề b và góc α:

• Cạnh đối: $a = b \cdot \tan α$
• Cạnh huyền: $c = \frac{b}{\cos α}$

Biết cạnh đối a và góc α:

• Cạnh kề: $b = a \cdot \cot α$ hoặc $b = \frac{a}{\tan α}$
• Cạnh huyền: $c = \frac{a}{\sin α}$

Ví dụ 1: Tam giác ABC vuông tại A, góc B = 40°, AB = 5cm. Tính AC và BC.

Lời giải:

• Tính AC (cạnh đối với góc B):
  • $AC = AB \cdot \tan 40° = 5 \cdot 0.839 = 4.195$ cm
• Tính BC (cạnh huyền):
  • $BC = \frac{AB}{\cos 40°} = \frac{5}{0.766} = 6.527$ cm

Kiểm tra: $AB^2 + AC^2 = 5^2 + 4.195^2 = 25 + 17.60 = 42.60$ $BC^2 = 6.527^2 = 42.60$ ✓

Dạng 2: Tính góc khi biết 2 cạnh

Công thức ứng dụng:

Biết cạnh đối a và cạnh huyền c:

• $\sin α = \frac{a}{c} \Rightarrow α = \arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$

Biết cạnh kề b và cạnh huyền c:

• $\cos α = \frac{b}{c} \Rightarrow α = \arccos\left(\frac{b}{c}\right)$

Biết cạnh đối a và cạnh kề b:

• $\tan α = \frac{a}{b} \Rightarrow α = \arctan\left(\frac{a}{b}\right)$

Ví dụ 2: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính góc B và góc C.

Lời giải:

• Tính cạnh huyền BC:
  • $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm
• Tính góc B:
  • $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0.8$
  • $B = \arcsin(0.8) \approx 53.13°$
• Tính góc C:
  • $C = 90° – B = 90° – 53.13° = 36.87°$

Hoặc kiểm tra: $\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = 0.75$ $C = \arctan(0.75) \approx 36.87°$ ✓

Dạng 3: Tính diện tích tam giác

Công thức: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

Trong đó a, b là hai cạnh bất kỳ và C là góc xen giữa.

Ví dụ 3: Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, góc A = 60°. Tính diện tích.

Lời giải:

• $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$
• $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60°$
• $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.16$ cm²

Dạng 4: Ứng dụng thực tế – Đo chiều cao

Bài toán: Đứng cách chân tháp 50m, nhìn lên đỉnh tháp với góc nâng 35°. Tính chiều cao tháp (biết mắt người quan sát cao 1.6m so với mặt đất).

Lời giải:

• Gọi h là chiều cao từ mắt đến đỉnh tháp
• $\tan 35° = \frac{h}{50}$
• $h = 50 \cdot \tan 35° = 50 \cdot 0.7 = 35$ m
• Chiều cao tháp = 35 + 1.6 = 36.6m

2. Định lý sin và cos trong tam giác thường (Lớp 10)

Định lý Sin:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ví dụ: Tam giác ABC có a = 7cm, góc A = 60°, góc B = 45°. Tính b.

Lời giải:

• Từ định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
• $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{7 \cdot \sin 45°}{\sin 60°}$
• $b = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{6}}{3} \approx 5.72$ cm

Định lý Cos:

$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$

Ví dụ: Tam giác ABC có b = 5cm, c = 7cm, góc A = 60°. Tính a.

Lời giải:

• $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$
• $a^2 = 25 + 49 – 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°$
• $a^2 = 74 – 70 \cdot 0.5 = 74 – 35 = 39$
• $a = \sqrt{39} \approx 6.24$ cm

IX. MẸO VÀ KỸ THUẬT NHỚ CÔNG THỨC

1. Các sai lầm thường gặp

SAI:

• Nhầm lẫn “đối” và “kề” khi xác định cạnh
• $\sin A = \frac{AB}{BC}$ khi AB là cạnh kề với góc A (không phải đối)
• $\tan A = \sin A \cdot \cos A$ (sai – phải là chia)
• Quên kiểm tra điều kiện góc nhọn

ĐÚNG:

• Xác định rõ cạnh đối, cạnh kề theo góc đang xét
• Vẽ hình rõ ràng, ghi ký hiệu đầy đủ
• $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ (chia, không phải nhân)
• Kiểm tra điều kiện: 0° < α < 90° cho tam giác vuông

2. Mẹo nhớ định nghĩa

Khẩu quyết “SOHCAHTOA” (tiếng Anh):

• SOH: Sin = Opposite / Hypotenuse (Đối / Huyền)
• CAH: Cos = Adjacent / Hypotenuse (Kề / Huyền)
• TOA: Tan = Opposite / Adjacent (Đối / Kề)

Khẩu quyết tiếng Việt:

“Đôi Hư, Kẻ Hư, Đôi Kẻ”

• Sin: Đôi (đối) / Hư (huyền)
• Cos: Kẻ (kề) / Hư (huyền)
• Tan: Đôi (đối) / Kẻ (kề)

Câu thơ dễ nhớ:

“Sin bằng đối chia huyền
Cos thì kề chia huyền liền
Tan là đối chia kề ấy
Cot thì ngược lại tan thôi”

3. Mẹo nhớ bảng giá trị

Thủ công “5 ngón tay” cho sin:

• Nắm tay lại, mở dần từng ngón từ trái sang phải
• Ngón 1 (0°): $\sin 0° = \sqrt{\frac{0}{4}} = 0$
• Ngón 2 (30°): $\sin 30° = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
• Ngón 3 (45°): $\sin 45° = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Ngón 4 (60°): $\sin 60° = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• Ngón 5 (90°): $\sin 90° = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1$

Mẹo cos: Đếm ngược lại (từ phải sang trái)

Mẹo tan:

• Tan 0° = 0 (bắt đầu từ 0)
• Tan 30° = “1 gốc” = $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
• Tan 45° = 1 (giữa)
• Tan 60° = “gốc 3” = $\sqrt{3}$
• Tan 90° = ∞ (không xác định)

4. Thứ tự ưu tiên khi giải bài tập

1. Vẽ hình và ghi đầy đủ dữ kiện
2. Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền
3. Chọn công thức phù hợp (tùy theo đề cho gì, hỏi gì)
4. Tính toán cẩn thận (chú ý đơn vị độ/radian)
5. Kiểm tra kết quả (sin, cos ≤ 1, các cạnh tỷ lệ hợp lý)

5. Kỹ thuật học thuộc lâu

• Viết tay nhiều lần: Viết định nghĩa 20 lần mỗi ngày
• Vẽ tam giác mẫu: Vẽ tam giác vuông, ghi sin, cos, tan mỗi khi học
• Làm bài tập ngay: Áp dụng công thức vào 5-10 bài ngay sau khi học
• Dán bảng công thức: Dán lên bàn học, nhìn mỗi ngày
• Giảng lại cho bạn: Cách tốt nhất để nhớ là dạy người khác

6. Lưu ý khi sử dụng máy tính

• Chế độ Degree (DEG): Đảm bảo máy tính ở chế độ độ (°), không phải radian (RAD)
• Kiểm tra kết quả: Thử với góc đặc biệt (30°, 45°, 60°) để xem máy tính hoạt động đúng
• Làm tròn hợp lý: Thường làm tròn 2-4 chữ số thập phân
• Lưu kết quả trung gian: Dùng nút MEMORY để lưu kết quả tính toán nhiều bước

X. SO SÁNH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9 VÀ LỚP 10

Bảng so sánh chi tiết

Kiến thức lớp 9 (Nền tảng)

Nội dung chính:

1. Định nghĩa sin, cos, tan, cot trong tam giác vuông
2. Bảng giá trị góc đặc biệt: 30°, 45°, 60°
3. Hệ thức: $\sin^2 α + \cos^2 α = 1$
4. Giải tam giác vuông: tính cạnh, góc
5. Ứng dụng đơn giản: đo chiều cao, khoảng cách

Mục tiêu: Hiểu định nghĩa, tính toán cơ bản

Kiến thức lớp 10 (Mở rộng)

Nội dung chính:

1. Cung và góc lượng giác, số đo radian
2. Đường tròn lượng giác, định nghĩa mới sin, cos
3. Giá trị lượng giác của góc bất kỳ (cả góc âm, góc > 90°)
4. Công thức lượng giác của cung liên quan
5. Định lý sin, cos trong tam giác thường
6. Hàm số lượng giác: tập xác định, đồ thị, tính chất

Mục tiêu: Mở rộng kiến thức, vận dụng linh hoạt

Lời khuyên chuyển tiếp 9 → 10

• Nắm vững lớp 9 trước khi học lớp 10
• Hiểu rõ sự khác biệt giữa “tỷ số” và “hàm số”
• Làm quen dần với radian
• Luyện tập vẽ đường tròn lượng giác
• Ôn lại bảng giá trị đặc biệt thường xuyên

XI. BÀI TẬP MẪU CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Dạng 1: Tính tỷ số lượng giác (Lớp 9)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8cm, AC = 15cm. a) Tính BC b) Tính sin B, cos B, tan B, cot B c) Tính sin C, cos C, tan C, cot C

Lời giải:

a) Tính BC:

• Áp dụng định lý Pythagore: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ cm

b) Với góc B:

• Cạnh đối: AC = 15cm
• Cạnh kề: AB = 8cm
• Cạnh huyền: BC = 17cm

Suy ra:

• $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{17}$
• $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{17}$
• $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{8}$
• $\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{15}$

c) Với góc C:

• Cạnh đối: AB = 8cm
• Cạnh kề: AC = 15cm

Suy ra:

• $\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{17} = \cos B$
• $\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{17} = \sin B$
• $\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{15} = \cot B$
• $\cot C = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{8} = \tan B$

Nhận xét: Hai góc phụ nhau có: sin ↔ cos, tan ↔ cot

Bài 2: Cho $\sin α = 0.6$ với α là góc nhọn. Tính cos α, tan α, cot α.

Lời giải:

• Từ $\sin^2 α + \cos^2 α = 1$
• $\cos^2 α = 1 – (0.6)^2 = 1 – 0.36 = 0.64$
• Vì α nhọn nên $\cos α > 0$, suy ra $\cos α = 0.8$
• $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75$
• $\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

Dạng 2: Giải tam giác vuông (Lớp 9)

Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A, góc B = 35°, BC = 12cm. Tính AB, AC.

Lời giải:

• Tính AB (cạnh kề với góc B):
  • $\cos B = \frac{AB}{BC}$
  • $AB = BC \cdot \cos B = 12 \cdot \cos 35° = 12 \cdot 0.819 = 9.83$ cm
• Tính AC (cạnh đối với góc B):
  • $\sin B = \frac{AC}{BC}$
  • $AC = BC \cdot \sin B = 12 \cdot \sin 35° = 12 \cdot 0.574 = 6.88$ cm

Kiểm tra: $AB^2 + AC^2 = 9.83^2 + 6.88^2 = 96.63 + 47.33 = 143.96 ≈ 144 = 12^2$ ✓

Bài 4: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm. Tính góc B, góc C.

Lời giải:

• Tính BC: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$ cm
• Tính góc B: $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{5} = 2.4$
  • $B = \arctan(2.4) ≈ 67.38°$
• Tính góc C: $C = 90° – B = 90° – 67.38° = 22.62°$

Dạng 3: Ứng dụng thực tế

Bài 5: Một chiếc thang dài 5m dựa vào tường, tạo với mặt đất góc 70°. Tính: a) Chiều cao mà thang chạm tường b) Khoảng cách từ chân thang đến tường

Lời giải:

a) Chiều cao h:

• $\sin 70° = \frac{h}{5}$
• $h = 5 \cdot \sin 70° = 5 \cdot 0.940 = 4.7$ m

b) Khoảng cách d:

• $\cos 70° = \frac{d}{5}$
• $d = 5 \cdot \cos 70° = 5 \cdot 0.342 = 1.71$ m

Bài 6: Từ đỉnh tháp cao 45m, nhìn xuống một điểm trên mặt đất với góc hạ 28°. Tính khoảng cách từ chân tháp đến điểm đó.

Lời giải:

• Gọi d là khoảng cách cần tìm
• $\tan 28° = \frac{45}{d}$
• $d = \frac{45}{\tan 28°} = \frac{45}{0.532} = 84.6$ m

XII. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ về 4 hàm lượng giác cơ bản sin, cos, tan, cot:

Định nghĩa rõ ràng trong tam giác vuông (lớp 9) và trên đường tròn lượng giác (lớp 10)

Công thức tính chi tiết từ cạnh, từ tỷ số lượng giác khác, bằng máy tính

Bảng giá trị đầy đủ các góc đặc biệt 0°, 30°, 45°, 60°, 90°

Mối quan hệ giữa các hàm: hệ thức Pythagore, biểu diễn qua nhau

Ứng dụng giải tam giác: tính cạnh, góc, diện tích, bài toán thực tế

Mẹo nhớ hiệu quả: khẩu quyết, thủ công ngón tay, tam giác đặc biệt

Phân biệt rõ lớp 9 và lớp 10: nội dung, phạm vi, ứng dụng

Tầm quan trọng

• Nền tảng toán học: Sin, cos, tan, cot là cơ sở cho toàn bộ lượng giác
• Công cụ giải quyết vấn đề: Giải tam giác, tính toán hình học
• Ứng dụng thực tế: Đo đạc, kiến trúc, điều hướng, vật lý

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa