I. GIỚI THIỆU VỀ TAM GIÁC CÂN

1. Tam giác cân là gì?

Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Đây là một trong những hình học cơ bản và quan trọng, xuất hiện nhiều trong toán học và thực tế.

Các thành phần của tam giác cân:

• 2 cạnh bên bằng nhau (thường ký hiệu là $a$): Là hai cạnh xuất phát từ đỉnh
• 1 cạnh đáy (ký hiệu là $b$): Là cạnh nối hai góc đáy
• 2 góc đáy bằng nhau (ký hiệu là $\beta$): Là hai góc ở hai đầu cạnh đáy
• 1 góc ở đỉnh (ký hiệu là $\alpha$): Là góc giữa hai cạnh bên
• Đường cao từ đỉnh (ký hiệu là $h$): Đường vuông góc từ đỉnh xuống cạnh đáy

Hình minh họa:

         A (đỉnh)
        /|\
       / | \ 
    a /  |h \ a (cạnh bên)
     /   |   \
    /____|____\
   B     M     C
      b (cạnh đáy)

Quy ước ký hiệu:

• Đỉnh tam giác cân: A
• Hai đầu cạnh đáy: B, C
• Chân đường cao (trung điểm đáy): M

2. Tính chất tam giác cân

Tam giác cân có những tính chất đặc biệt quan trọng:

Tính chất 1: Hai cạnh bên bằng nhau

$$AB = AC = a$$

Tính chất 2: Hai góc đáy bằng nhau

$$\angle ABC = \angle ACB = \beta$$

Hệ quả: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Tính chất 3: Đường cao từ đỉnh đặc biệt

Đường cao $AH$ từ đỉnh A xuống cạnh đáy BC có bốn vai trò:

1. Đường cao: $AH \perp BC$
2. Đường trung tuyến: M là trung điểm BC ($BM = MC = \frac{b}{2}$)
3. Đường phân giác: Chia góc ở đỉnh thành hai góc bằng nhau
4. Đường trung trực: Mọi điểm trên AH cách đều B và C

Công thức quan trọng: $$BM = MC = \frac{b}{2}$$

Tính chất 4: Đường cao chia tam giác cân thành hai tam giác vuông bằng nhau

Hai tam giác vuông $ABM$ và $ACM$ có:

• Cạnh huyền: $AB = AC = a$
• Cạnh góc vuông chung: $AM = h$
• Cạnh góc vuông: $BM = CM = \frac{b}{2}$

Hệ quả – Định lý Pitago: $$a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

3. Tam giác cân học lớp mấy?

Kiến thức về tam giác cân được học qua nhiều cấp học:

Ứng dụng thực tế:

• Kiến trúc: Mái nhà, cầu treo, kim tự tháp
• Nghệ thuật: Thiết kế logo, hoa văn đối xứng
• Kỹ thuật: Kết cấu chịu lực đều
• Thiên nhiên: Hình dạng cây, lá, động vật

II. CÔNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC CÂN

1. Công thức diện tích khi biết cạnh đáy và đường cao

Công thức cơ bản nhất:

$$\boxed{S = \frac{1}{2} \times b \times h}$$

Hoặc:

$$\boxed{S = \frac{bh}{2}}$$

Trong đó:

• $S$: Diện tích tam giác cân (đơn vị: cm², m², dm²…)
• $b$: Độ dài cạnh đáy (đơn vị: cm, m, dm…)
• $h$: Đường cao từ đỉnh xuống cạnh đáy (đơn vị: cm, m, dm…)

Cách nhớ: “Đáy nhân cao chia đôi” – giống công thức tam giác thường.

Giải thích: Tam giác cân là một trường hợp đặc biệt của tam giác thường, nên vẫn áp dụng công thức diện tích tam giác: “Một nửa tích của đáy và chiều cao”.

Ví dụ 1: Tam giác cân có cạnh đáy 8cm, đường cao 6cm. Tính diện tích?

Lời giải: $$S = \frac{b \times h}{2} = \frac{8 \times 6}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích tam giác cân là 24 cm².

2. Công thức diện tích khi biết 3 cạnh (Công thức Heron)

Trường hợp tổng quát – Công thức Heron:

Cho tam giác có ba cạnh $a$, $a$, $b$ (tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau).

Bước 1: Tính nửa chu vi: $$p = \frac{a + a + b}{2} = \frac{2a + b}{2} = a + \frac{b}{2}$$

Bước 2: Áp dụng công thức Heron: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)}$$

Rút gọn cho tam giác cân: $$S = \sqrt{p \cdot (p-a)^2 \cdot (p-b)}$$ $$= (p-a) \sqrt{p(p-b)}$$

Thay $p = a + \frac{b}{2}$: $$S = \left(\frac{b}{2}\right) \sqrt{\left(a + \frac{b}{2}\right)\left(a – \frac{b}{2}\right)}$$

Công thức rút gọn cuối cùng:

$$\boxed{S = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 – b^2}}$$

Cách nhớ: “b trên 4 nhân căn của (4a bình trừ b bình)”

Ví dụ 2: Tam giác cân có cạnh bên 5cm, cạnh đáy 6cm. Tính diện tích?

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức rút gọn $$S = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 – b^2}$$ $$= \frac{6}{4}\sqrt{4(5)^2 – 6^2}$$ $$= \frac{6}{4}\sqrt{100 – 36}$$ $$= \frac{6}{4}\sqrt{64}$$ $$= \frac{6 \times 8}{4} = \frac{48}{4} = 12 \text{ cm}^2$$

Cách 2: Tính đường cao trước

• Đường cao: $h = \sqrt{a^2 – \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{25 – 9} = 4$ cm
• Diện tích: $S = \frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm²

Kết luận: Diện tích tam giác cân là 12 cm².

3. Công thức diện tích khi biết cạnh bên và góc ở đỉnh

Công thức lượng giác:

$$\boxed{S = \frac{1}{2}a^2\sin\alpha}$$

Trong đó:

• $a$: Cạnh bên
• $\alpha$: Góc ở đỉnh (góc giữa hai cạnh bên)

Giải thích:

Áp dụng công thức diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa: $$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\angle BAC)$$

Vì $AB = AC = a$ và $\angle BAC = \alpha$ nên: $$S = \frac{1}{2} \times a \times a \times \sin\alpha = \frac{a^2\sin\alpha}{2}$$

Ví dụ 3: Tam giác cân có cạnh bên 10cm, góc ở đỉnh 60°. Tính diện tích?

Lời giải: $$S = \frac{a^2\sin\alpha}{2} = \frac{10^2 \times \sin 60°}{2}$$ $$= \frac{100 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$$ $$= \frac{50\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$$ $$\approx 25 \times 1.732 = 43.3 \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích tam giác cân là $25\sqrt{3} \approx 43.3$ cm².

Lưu ý: Công thức này yêu cầu kiến thức lượng giác (lớp 9-10).

4. Công thức diện tích khi biết cạnh bên và góc đáy

Liên hệ giữa góc đỉnh và góc đáy:

Trong tam giác, tổng ba góc bằng 180°: $$\alpha + \beta + \beta = 180°$$ $$\alpha = 180° – 2\beta$$

Công thức:

$$S = \frac{1}{2}a^2\sin(180° – 2\beta)$$

Vì $\sin(180° – x) = \sin x$ nên: $$S = \frac{1}{2}a^2\sin(2\beta)$$

Áp dụng công thức lượng giác $\sin(2\beta) = 2\sin\beta\cos\beta$:

$$\boxed{S = a^2\sin\beta\cos\beta}$$

Ví dụ 4: Tam giác cân có cạnh bên 6cm, góc đáy 45°. Tính diện tích?

Lời giải: $$S = a^2\sin\beta\cos\beta$$ $$= 6^2 \times \sin 45° \times \cos 45°$$ $$= 36 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$= 36 \times \frac{2}{4} = 18 \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích tam giác cân là 18 cm².

III. CÔNG THỨC ĐƯỜNG CAO TAM GIÁC CÂN

1. Công thức đường cao khi biết cạnh bên và cạnh đáy

Đường cao từ đỉnh xuống cạnh đáy chia tam giác cân thành hai tam giác vuông bằng nhau.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AMB:

$$AM^2 + BM^2 = AB^2$$

Vì $AM = h$ và $BM = \frac{b}{2}$, $AB = a$:

$$h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2$$

Công thức đường cao:

$$\boxed{h = \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}}$$

Hoặc viết dưới dạng:

$$\boxed{h = \frac{1}{2}\sqrt{4a^2 – b^2}}$$

Cách nhớ: “Căn của (a bình trừ nửa b bình)”

Ví dụ 5: Tam giác cân có cạnh bên 13cm, cạnh đáy 10cm. Tính đường cao?

Lời giải: $$h = \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}$$ $$= \sqrt{13^2 – \frac{10^2}{4}}$$ $$= \sqrt{169 – 25}$$ $$= \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$

Kết luận: Đường cao tam giác cân là 12 cm.

Kiểm tra: Đây là bộ số Pitago (5, 12, 13) vì tam giác vuông có cạnh $\frac{b}{2} = 5$, $h = 12$, $a = 13$.

2. Công thức đường cao khi biết diện tích và cạnh đáy

Xuất phát từ công thức diện tích:

$$S = \frac{1}{2}bh$$

Biến đổi để tìm $h$:

$$2S = bh$$

$$\boxed{h = \frac{2S}{b}}$$

Cách nhớ: “Hai lần diện tích chia cho đáy”

Ví dụ 6: Tam giác cân có diện tích 30 cm², cạnh đáy 10cm. Tính đường cao?

Lời giải: $$h = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 30}{10} = \frac{60}{10} = 6 \text{ cm}$$

Kết luận: Đường cao tam giác cân là 6 cm.

3. Liên hệ giữa đường cao, diện tích và các cạnh

Kết hợp các công thức:

Từ công thức đường cao: $$h = \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}$$

Thay vào công thức diện tích: $$S = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}b \times \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}$$

Rút gọn: $$S = \frac{b}{2}\sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}$$ $$= \frac{b}{2} \times \frac{1}{2}\sqrt{4a^2 – b^2}$$ $$= \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 – b^2}$$

→ Đây chính là công thức Heron rút gọn cho tam giác cân!

Kết luận: Ba công thức diện tích, đường cao, và Pitago có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.

IV. CÔNG THỨC CHU VI TAM GIÁC CÂN

1. Công thức chu vi cơ bản

Định nghĩa: Chu vi tam giác cân là tổng độ dài ba cạnh.

$$\boxed{P = a + a + b = 2a + b}$$

Trong đó:

• $P$: Chu vi tam giác cân (cùng đơn vị với các cạnh)
• $a$: Cạnh bên (có 2 cạnh)
• $b$: Cạnh đáy

Cách nhớ: “Hai lần cạnh bên cộng đáy”

Ví dụ 7: Tam giác cân có cạnh bên 7cm, cạnh đáy 10cm. Tính chu vi?

Lời giải: $$P = 2a + b = 2 \times 7 + 10 = 14 + 10 = 24 \text{ cm}$$

Kết luận: Chu vi tam giác cân là 24 cm.

2. Chu vi khi biết cạnh bên và đường cao

Từ định lý Pitago, ta có thể tính cạnh đáy:

$$b = 2\sqrt{a^2 – h^2}$$

Thay vào công thức chu vi:

$$\boxed{P = 2a + 2\sqrt{a^2 – h^2}}$$

Ví dụ 8: Tam giác cân có cạnh bên 5cm, đường cao 4cm. Tính chu vi?

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh đáy $$b = 2\sqrt{a^2 – h^2} = 2\sqrt{5^2 – 4^2}$$ $$= 2\sqrt{25 – 16} = 2\sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}$$

Bước 2: Tính chu vi $$P = 2a + b = 2 \times 5 + 6 = 10 + 6 = 16 \text{ cm}$$

Hoặc dùng công thức trực tiếp: $$P = 2 \times 5 + 2\sqrt{25 – 16} = 10 + 6 = 16 \text{ cm}$$

Kết luận: Chu vi tam giác cân là 16 cm.

Nhận xét: Đây là tam giác có bộ số Pitago (3, 4, 5) với $\frac{b}{2} = 3$, $h = 4$, $a = 5$.

V. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức diện tích

Lưu ý: Chọn công thức phù hợp với dữ kiện đề bài và kiến thức đã học.

B. Công thức đường cao

Điều kiện: Để đường cao tồn tại, cần $a > \frac{b}{2}$ (cạnh bên lớn hơn nửa đáy).

C. Công thức chu vi

D. Công thức liên hệ (Định lý Pitago)

Trong tam giác vuông tạo bởi đường cao:

$$\boxed{a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

Các hệ quả:

VI. BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: Tính diện tích khi biết cạnh đáy và đường cao

Bài 1: Một tam giác cân có cạnh đáy 12cm, đường cao ứng với cạnh đáy là 8cm. Tính diện tích tam giác?

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích cơ bản: $$S = \frac{bh}{2} = \frac{12 \times 8}{2} = \frac{96}{2} = 48 \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích tam giác cân là 48 cm².

Dạng 2: Tính diện tích khi biết 3 cạnh

Bài 2: Tam giác cân có cạnh bên 10cm, cạnh đáy 12cm. Tính diện tích?

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức Heron rút gọn

$$S = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 – b^2}$$ $$= \frac{12}{4}\sqrt{4 \times 10^2 – 12^2}$$ $$= 3\sqrt{400 – 144}$$ $$= 3\sqrt{256}$$ $$= 3 \times 16 = 48 \text{ cm}^2$$

Cách 2: Tính đường cao rồi tính diện tích

Bước 1: Tính đường cao $$h = \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}} = \sqrt{10^2 – 6^2}$$ $$= \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$

Bước 2: Tính diện tích $$S = \frac{bh}{2} = \frac{12 \times 8}{2} = 48 \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích tam giác cân là 48 cm².

Nhận xét: Hai cách cho cùng kết quả, tùy vào đề bài mà chọn cách phù hợp.

Dạng 3: Tính đường cao

Bài 3: Tam giác cân có cạnh bên 17cm, cạnh đáy 16cm. Tính độ dài đường cao từ đỉnh xuống cạnh đáy?

Lời giải:

Áp dụng công thức đường cao: $$h = \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}$$ $$= \sqrt{17^2 – \frac{16^2}{4}}$$ $$= \sqrt{289 – \frac{256}{4}}$$ $$= \sqrt{289 – 64}$$ $$= \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$$

Kết luận: Đường cao tam giác cân là 15 cm.

Kiểm tra: Tam giác vuông có cạnh (8, 15, 17) là bộ số Pitago.

Dạng 4: Tính chu vi

Bài 4: Tam giác cân có cạnh bên 9cm, cạnh đáy 12cm. Tính chu vi?

Lời giải:

Áp dụng công thức chu vi: $$P = 2a + b = 2 \times 9 + 12 = 18 + 12 = 30 \text{ cm}$$

Kết luận: Chu vi tam giác cân là 30 cm.

Dạng 5: Tính cạnh khi biết diện tích

Bài 5: Tam giác cân có diện tích 24 cm², đường cao 6cm. Tính độ dài cạnh đáy?

Lời giải:

Từ công thức diện tích $S = \frac{bh}{2}$:

$$24 = \frac{b \times 6}{2}$$ $$24 = 3b$$ $$b = \frac{24}{3} = 8 \text{ cm}$$

Kết luận: Cạnh đáy tam giác cân là 8 cm.

Dạng 6: Bài toán ngược – Tính cạnh bên

Bài 6: Tam giác cân có cạnh đáy 14cm, đường cao 24cm. Tính độ dài cạnh bên?

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông: $$a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$ $$a^2 = 24^2 + 7^2$$ $$a^2 = 576 + 49 = 625$$ $$a = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}$$

Kết luận: Cạnh bên tam giác cân là 25 cm.

Kiểm tra: Tam giác vuông (7, 24, 25) là bộ số Pitago.

Dạng 7: Dùng lượng giác (Lớp 9-10)

Bài 7: Tam giác cân có cạnh bên 8cm, góc ở đỉnh 120°. Tính diện tích?

Lời giải:

Áp dụng công thức lượng giác: $$S = \frac{a^2\sin\alpha}{2}$$ $$= \frac{8^2 \times \sin 120°}{2}$$ $$= \frac{64 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$$ $$= \frac{32\sqrt{3}}{2}$$ $$= 16\sqrt{3}$$ $$\approx 16 \times 1.732 = 27.7 \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích tam giác cân là $16\sqrt{3} \approx 27.7$ cm².

Lưu ý: $\sin 120° = \sin(180° – 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Công thức diện tích:

Cơ bản:

“Đáy nhân cao chia đôi”

$$S = \frac{bh}{2}$$

Biết 3 cạnh:

“b trên 4 nhân căn, 4a bình trừ b bình”

$$S = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 – b^2}$$

Lượng giác:

“a bình sin alpha chia đôi”

$$S = \frac{a^2\sin\alpha}{2}$$

Công thức đường cao:

“Căn a bình trừ nửa b bình”

$$h = \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}$$

Hoặc nhớ theo Pitago: Đường cao và nửa đáy tạo tam giác vuông với cạnh bên.

Công thức chu vi:

“Hai lần cạnh bên cộng đáy”

$$P = 2a + b$$

Dễ nhớ: Cộng cạnh bên hai lần với cạnh đáy.

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên chia 2 khi tính nửa cạnh đáy trong Pitago

Sai:

• $h = \sqrt{a^2 – b^2}$

Đúng:

• $h = \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}$ ✓

Lý do: Đường cao chia cạnh đáy làm hai phần bằng nhau, mỗi phần là $\frac{b}{2}$.

❌ SAI LẦM 2: Nhầm công thức tam giác cân với tam giác thường

Sai: Dùng $S = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 – b^2}$ cho tam giác thường

Đúng: Công thức này chỉ dùng cho tam giác cân có hai cạnh bên bằng $a$ ✓

❌ SAI LẦM 3: Quên rằng đường cao chia đôi cạnh đáy

Đường cao từ đỉnh không chỉ vuông góc với cạnh đáy mà còn chia đôi cạnh đáy.

$$BM = MC = \frac{b}{2}$$

❌ SAI LẦM 4: Nhầm lẫn cạnh bên và cạnh đáy

Lưu ý:

• Cạnh bên: Là cạnh xuất phát từ đỉnh, có 2 cạnh bằng nhau
• Cạnh đáy: Là cạnh đối diện với đỉnh, chỉ có 1 cạnh

3. Kiểm tra nhanh

Kiểm tra 1: Điều kiện tồn tại tam giác cân

Cạnh bên phải lớn hơn nửa cạnh đáy: $$a > \frac{b}{2}$$

Nếu không thỏa điều kiện này → Không tồn tại tam giác!

Kiểm tra 2: Đường cao nhỏ hơn cạnh bên

Trong tam giác cân: $$h < a$$

Vì $h$ là cạnh góc vuông, $a$ là cạnh huyền trong tam giác vuông.

Kiểm tra 3: Bất đẳng thức tam giác

Cạnh đáy phải nhỏ hơn tổng hai cạnh bên: $$b < 2a$$

Hoặc: $$2a > b$$

4. Trường hợp đặc biệt – Tam giác đều

Tam giác đều là trường hợp đặc biệt của tam giác cân khi cả ba cạnh bằng nhau:

$$a = b$$

Công thức đặc biệt cho tam giác đều (cạnh $a$):

Đường cao: $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Diện tích: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Chu vi: $$P = 3a$$

Nhận biết: Nếu $a = b$ trong tam giác cân → Tam giác đều.

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã hệ thống hóa đầy đủ các công thức tam giác cân từ cơ bản đến nâng cao:

Công thức diện tích:

• Cơ bản (lớp 7-8): $S = \frac{bh}{2}$
• Từ 3 cạnh (lớp 8): $S = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 – b^2}$
• Từ góc đỉnh (lớp 9-10): $S = \frac{a^2\sin\alpha}{2}$
• Từ góc đáy (lớp 10): $S = a^2\sin\beta\cos\beta$

Công thức đường cao:

• Từ cạnh: $h = \sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}$
• Từ diện tích: $h = \frac{2S}{b}$

Công thức chu vi:

• Cơ bản: $P = 2a + b$
• Từ đường cao: $P = 2a + 2\sqrt{a^2 – h^2}$

Định lý Pitago:

• $a^2 = h^2 + \frac{b^2}{4}$

Đặc điểm tam giác cân cần nhớ

Tính chất hình học:

• Hai cạnh bên bằng nhau: $AB = AC$
• Hai góc đáy bằng nhau: $\angle B = \angle C$
• Đường cao từ đỉnh có 4 vai trò: đường cao, trung tuyến, phân giác, trung trực

Tính chất số học:

• Đường cao chia đáy thành hai phần bằng nhau
• Tạo ra hai tam giác vuông bằng nhau
• Thỏa mãn định lý Pitago: $a^2 = h^2 + (\frac{b}{2})^2$

Lời khuyên học tập

📌 Nắm vững 3 công thức vàng: Diện tích, đường cao, chu vi

📌 Nhớ vai trò đặc biệt của đường cao: Chia đôi cạnh đáy, tạo tam giác vuông

📌 Vẽ hình khi làm bài: Đánh dấu đường cao, chân đường cao là trung điểm

📌 Phân biệt cạnh bên và cạnh đáy: Cạnh bên có 2, cạnh đáy chỉ 1

📌 Kiểm tra điều kiện tồn tại: $a > \frac{b}{2}$ và $b < 2a$

📌 Luyện tập đa dạng: Từ tính diện tích đến bài toán ngược

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa