I. GIỚI THIỆU VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH

1. Tích phân trong hình học là gì?

Tích phân xác định là một công cụ toán học mạnh mẽ được sử dụng để tính toán diện tích, thể tích và nhiều đại lượng hình học khác. Về bản chất, tích phân giúp chúng ta:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
• Tính thể tích vật thể trong không gian
• Tính độ dài đường cong
• Tính diện tích bề mặt

Ý tưởng cơ bản: Tích phân dựa trên nguyên lý “chia nhỏ rồi cộng lại” – chia vật thể thành vô số phần tử nhỏ, tính từng phần tử, rồi cộng tổng lại (tổng vô hạn).

Liên hệ với thể tích: Để tính thể tích một vật thể phức tạp, ta có thể:

1. Cắt vật thể thành các lát mỏng (thiết diện)
2. Tính thể tích từng lát mỏng
3. Cộng dồn tất cả các lát lại bằng tích phân

2. Tại sao dùng tích phân để tính thể tích?

Tính được thể tích vật thể phức tạp:

• Các vật thể không có dạng hình học đơn giản (hình hộp, hình cầu…)
• Vật thể có hình dạng bất kỳ tạo bởi các đường cong
• Vật thể có thiết diện thay đổi theo vị trí

Không cần công thức hình học đơn giản:

• Các công thức hình học cổ điển (hình nón, trụ, cầu) chỉ áp dụng cho một số hình dạng cụ thể
• Tích phân cho phép tính thể tích một cách tổng quát

Ứng dụng rộng rãi:

• Kỹ thuật: Thiết kế chi tiết máy, tính toán vật liệu
• Vật lý: Tính khối lượng, mô men quán tính
• Y học: Tính thể tích các cơ quan từ ảnh CT scan
• Kiến trúc: Tính toán dung tích, vật liệu xây dựng

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết sẽ trình bày hệ thống các công thức tính thể tích bằng tích phân:

• Phần II: Công thức thể tích khối tròn xoay (quay quanh Ox, Oy)
• Phần III: Công thức thể tích vật thể biết thiết diện
• Phần IV: 6 dạng bài tập thường gặp có lời giải chi tiết
• Phần V: Phương pháp giải nhanh 6 bước
• Phần VI: Mẹo nhớ và cảnh báo sai lầm

II. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

A. Quay quanh trục Ox

Trường hợp 1: Một đường cong

Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x) \geq 0$, liên tục trên đoạn $[a, b]$.

Xét hình phẳng giới hạn bởi:

• Đồ thị $y = f(x)$
• Trục hoành (Ox)
• Hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$

Khi quay hình phẳng này quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay.

Công thức tính thể tích:

$$\boxed{V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) , dx = \pi \int_{a}^{b} y^2 , dx}$$

Cách nhớ: “Pi nhân tích phân y bình”

Giải thích:

• $\pi$: Hằng số Pi (≈ 3.14159)
• $y^2 = [f(x)]^2$: Bình phương hàm số
• $dx$: Vi phân theo biến x
• Tích phân từ $a$ đến $b$

Ví dụ 1: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay đường thẳng $y = x$ từ $x = 0$ đến $x = 3$ quanh trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Xác định hàm số và cận:

• $y = f(x) = x$
• Cận: $a = 0$, $b = 3$

Bước 2: Áp dụng công thức: $$V = \pi \int_{0}^{3} x^2 , dx$$

Bước 3: Tính nguyên hàm: $$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3$$

Bước 4: Thay cận: $$V = \pi \left( \frac{3^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right) = \pi \times \frac{27}{3} = 9\pi$$

Kết luận: Thể tích khối tròn xoay là $9\pi$ đơn vị khối.

Kiểm tra: Đây chính là hình nón có bán kính đáy $R = 3$, chiều cao $h = 3$: $$V_{nón} = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 9 \times 3 = 9\pi$$ ✓

Trường hợp 2: Hai đường cong

Định nghĩa: Cho hai hàm số $f(x) \geq g(x) \geq 0$ trên đoạn $[a, b]$.

Xét hình phẳng giới hạn bởi:

• Đồ thị $y = f(x)$ (trên)
• Đồ thị $y = g(x)$ (dưới)
• Hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$

Quay hình phẳng này quanh trục Ox.

Công thức:

$$\boxed{V = \pi \int_{a}^{b} [f^2(x) – g^2(x)] , dx = \pi \int_{a}^{b} (y_1^2 – y_2^2) , dx}$$

Cách nhớ: “Bình của hàm lớn trừ bình của hàm nhỏ”

Giải thích: Đây là thể tích vỏ rỗng = thể tích khối ngoài – thể tích khối trong.

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = 2x$ và $y = x^2$ từ $x = 0$ đến $x = 2$ quanh trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện:

• Tại $x = 1$: $2(1) = 2$ và $(1)^2 = 1$ → $2x \geq x^2$ ✓
• Trên $[0, 2]$: $2x \geq x^2$ (có thể kiểm tra bằng đạo hàm)

Bước 2: Áp dụng công thức: $$V = \pi \int_{0}^{2} [(2x)^2 – (x^2)^2] , dx$$

Bước 3: Khai triển: $$V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 – x^4) , dx$$

Bước 4: Tính nguyên hàm: $$V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} – \frac{x^5}{5} \right]_0^2$$

Bước 5: Thay cận: $$V = \pi \left( \frac{4 \times 8}{3} – \frac{32}{5} \right) = \pi \left( \frac{32}{3} – \frac{32}{5} \right)$$

$$V = \pi \times \frac{160 – 96}{15} = \frac{64\pi}{15}$$

Kết luận: Thể tích là $\frac{64\pi}{15}$ đơn vị khối.

B. Quay quanh trục Oy

Định nghĩa: Cho hàm số $x = g(y) \geq 0$, liên tục trên đoạn $[c, d]$.

Quay hình phẳng giới hạn bởi $x = g(y)$, trục Oy, $y = c$, $y = d$ quanh trục Oy.

Công thức:

$$\boxed{V = \pi \int_{c}^{d} g^2(y) , dy = \pi \int_{c}^{d} x^2 , dy}$$

Lưu ý quan trọng:

• Cần đổi biến từ $y = f(x)$ sang $x = g(y)$
• Biến tích phân là $dy$ (không phải $dx$)
• Cận tích phân là giá trị của $y$

Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay parabol $y = x^2$ từ $y = 0$ đến $y = 4$ quanh trục Oy.

Lời giải:

Bước 1: Đổi biến:

• Từ $y = x^2$, ta có $x = \sqrt{y}$ (lấy nghiệm dương)

Bước 2: Xác định cận theo y:

• $c = 0$, $d = 4$

Bước 3: Áp dụng công thức: $$V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{y})^2 , dy = \pi \int_{0}^{4} y , dy$$

Bước 4: Tính nguyên hàm: $$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4$$

Bước 5: Thay cận: $$V = \pi \left( \frac{16}{2} – 0 \right) = 8\pi$$

Kết luận: Thể tích là $8\pi$ đơn vị khối.

Kiểm tra: Có thể hình dung đây là một phần của paraboloid tròn xoay.

C. Quay quanh đường thẳng bất kỳ

Ngoài việc quay quanh các trục tọa độ, ta có thể quay quanh các đường thẳng khác.

Quay quanh đường thẳng $y = k$ (song song với trục Ox):

Công thức: $$\boxed{V = \pi \int_{a}^{b} [f(x) – k]^2 , dx}$$

Chú ý:

• Bán kính quay là khoảng cách từ điểm trên đường cong đến đường thẳng $y = k$
• $r(x) = |f(x) – k|$

Quay quanh đường thẳng $x = h$ (song song với trục Oy):

Công thức: $$\boxed{V = \pi \int_{c}^{d} [g(y) – h]^2 , dy}$$

Ví dụ 4: Tính thể tích khi quay đường thẳng $y = x$ từ $x = 0$ đến $x = 2$ quanh đường thẳng $y = 2$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định bán kính quay:

• Tại điểm có hoành độ $x$, điểm trên đường thẳng $y = x$ có tung độ là $x$
• Khoảng cách đến đường thẳng $y = 2$: $r(x) = |2 – x| = 2 – x$ (vì $0 \leq x \leq 2$)

Bước 2: Áp dụng công thức: $$V = \pi \int_{0}^{2} (2-x)^2 , dx$$

Bước 3: Khai triển: $$V = \pi \int_{0}^{2} (4 – 4x + x^2) , dx$$

Bước 4: Tính nguyên hàm: $$V = \pi \left[ 4x – 2x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_0^2$$

Bước 5: Thay cận: $$V = \pi \left( 8 – 8 + \frac{8}{3} \right) = \frac{8\pi}{3}$$

Kết luận: Thể tích là $\frac{8\pi}{3}$ đơn vị khối.

III. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ BIẾT THIẾT DIỆN

A. Công thức tổng quát

Định nghĩa: Cho vật thể trong không gian. Tại mỗi điểm $x$ trên đoạn $[a, b]$, thiết diện vuông góc với trục Ox có diện tích $S(x)$.

Công thức tính thể tích:

$$\boxed{V = \int_{a}^{b} S(x) , dx}$$

Ý nghĩa:

• Chia vật thể thành các lát mỏng vuông góc với Ox
• Lát tại vị trí $x$ có độ dày $dx$ và diện tích mặt cắt $S(x)$
• Thể tích lát mỏng: $dV = S(x) , dx$
• Cộng dồn tất cả các lát: $V = \int S(x) , dx$

Điểm khác biệt với khối tròn xoay:

• Không có hệ số $\pi$ (trừ khi thiết diện là hình tròn)
• Thiết diện có thể là hình vuông, tam giác, hình chữ nhật, v.v.
• Không nhất thiết phải quay quanh trục

B. Các dạng thiết diện thường gặp

1. Thiết diện là hình vuông cạnh $a(x)$

Diện tích: $S(x) = a^2(x)$

Công thức: $$V = \int_{a}^{b} a^2(x) , dx$$

Ví dụ: Vật thể có đáy là hình tròn tâm O bán kính $R$. Các thiết diện vuông góc với đường kính AB là các hình vuông. Tính thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

• Đặt trục Ox trùng với đường kính AB
• Gốc O tại tâm hình tròn
• Hình tròn có phương trình: $x^2 + y^2 = R^2$

Bước 2: Xác định thiết diện tại vị trí $x$

• Tại vị trí $x$ (với $-R \leq x \leq R$), thiết diện cắt hình tròn tại hai điểm có tung độ $y = \pm\sqrt{R^2 – x^2}$
• Cạnh hình vuông: $a(x) = 2\sqrt{R^2 – x^2}$

Bước 3: Tính diện tích thiết diện: $$S(x) = [a(x)]^2 = 4(R^2 – x^2)$$

Bước 4: Áp dụng công thức thể tích: $$V = \int_{-R}^{R} 4(R^2 – x^2) , dx$$

Bước 5: Tính nguyên hàm: $$V = 4 \left[ R^2x – \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R}$$

Bước 6: Thay cận: $$V = 4 \left[ \left(R^3 – \frac{R^3}{3}\right) – \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right]$$

$$V = 4 \left[ \frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3} \right] = 4 \times \frac{4R^3}{3} = \frac{16R^3}{3}$$

Kết luận: Thể tích vật thể là $\frac{16R^3}{3}$ đơn vị khối.

2. Thiết diện là tam giác đều cạnh $a(x)$

Diện tích tam giác đều: $$S(x) = \frac{a^2(x)\sqrt{3}}{4}$$

Công thức thể tích: $$V = \int_{a}^{b} \frac{a^2(x)\sqrt{3}}{4} , dx = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{a}^{b} a^2(x) , dx$$

3. Thiết diện là tam giác vuông cân

Cạnh góc vuông $a(x)$:

Diện tích: $$S(x) = \frac{1}{2} \times a(x) \times a(x) = \frac{a^2(x)}{2}$$

Công thức: $$V = \int_{a}^{b} \frac{a^2(x)}{2} , dx$$

4. Thiết diện là nửa hình tròn bán kính $r(x)$

Diện tích: $$S(x) = \frac{\pi r^2(x)}{2}$$

Công thức: $$V = \int_{a}^{b} \frac{\pi r^2(x)}{2} , dx$$

5. Thiết diện là hình chữ nhật

Kích thước $a(x) \times b(x)$:

Diện tích: $$S(x) = a(x) \cdot b(x)$$

Công thức: $$V = \int_{a}^{b} a(x) \cdot b(x) , dx$$

C. Ví dụ tổng hợp – Chứng minh công thức thể tích hình nón

Bài toán: Cho hình nón có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$. Chứng minh công thức thể tích hình nón: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$ bằng tích phân.

Lời giải:

Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ

• Đặt đỉnh hình nón tại gốc O
• Trục Ox trùng với trục hình nón
• Đáy hình nón tại vị trí $x = h$

Bước 2: Xác định thiết diện

• Tại vị trí $x$ (với $0 \leq x \leq h$), thiết diện là hình tròn
• Bán kính thiết diện tỉ lệ với khoảng cách từ đỉnh: $r(x) = \frac{R}{h}x$

Bước 3: Tính diện tích thiết diện: $$S(x) = \pi [r(x)]^2 = \pi \left(\frac{R}{h}x\right)^2 = \pi \frac{R^2}{h^2}x^2$$

Bước 4: Áp dụng công thức thể tích: $$V = \int_{0}^{h} \pi \frac{R^2}{h^2}x^2 , dx$$

Bước 5: Đưa hằng số ra ngoài: $$V = \pi \frac{R^2}{h^2} \int_{0}^{h} x^2 , dx$$

Bước 6: Tính nguyên hàm: $$V = \pi \frac{R^2}{h^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^h$$

Bước 7: Thay cận: $$V = \pi \frac{R^2}{h^2} \times \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$$

Kết luận: Ta đã chứng minh được công thức thể tích hình nón quen thuộc! ✓

IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Khối tròn xoay – Hàm đa thức

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 + 1$, trục Ox, $x = 0$ và $x = 2$ quanh trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức khối tròn xoay quanh Ox: $$V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 + 1)^2 , dx$$

Bước 2: Khai triển bình phương: $$(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$$

$$V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 + 2x^2 + 1) , dx$$

Bước 3: Tính nguyên hàm: $$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^2$$

Bước 4: Thay cận: $$V = \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 – 0 \right)$$

Bước 5: Quy đồng và tính: $$V = \pi \left( \frac{96 + 80 + 30}{15} \right) = \frac{206\pi}{15}$$

Kết luận: Thể tích là $\frac{206\pi}{15}$ đơn vị khối.

Dạng 2: Khối tròn xoay – Hai đường cong

Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$ và $y = x^2$ quanh trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm: $$\sqrt{x} = x^2$$ $$x^{1/2} = x^2$$ $$x^{1/2} – x^2 = 0$$ $$x^{1/2}(1 – x^{3/2}) = 0$$

Vậy $x = 0$ hoặc $x^{3/2} = 1 \Rightarrow x = 1$

Bước 2: Kiểm tra hàm nào lớn hơn trên $[0, 1]$:

• Tại $x = 0.5$: $\sqrt{0.5} \approx 0.707$ và $(0.5)^2 = 0.25$
• Vậy $\sqrt{x} \geq x^2$ trên $[0, 1]$

Bước 3: Áp dụng công thức: $$V = \pi \int_{0}^{1} [(\sqrt{x})^2 – (x^2)^2] , dx$$

$$V = \pi \int_{0}^{1} (x – x^4) , dx$$

Bước 4: Tính nguyên hàm: $$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} – \frac{x^5}{5} \right]_0^1$$

Bước 5: Thay cận: $$V = \pi \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{5} \right) = \pi \times \frac{5 – 2}{10} = \frac{3\pi}{10}$$

Kết luận: Thể tích là $\frac{3\pi}{10}$ đơn vị khối.

Dạng 3: Quay quanh trục Oy

Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = 2x – x^2$, trục Oy, từ $y = 0$ đến $y = 1$ quanh trục Oy.

Lời giải:

Bước 1: Đổi biến từ $y = 2x – x^2$ ra $x$: $$x^2 – 2x + y = 0$$

Giải phương trình bậc hai: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 4y}}{2} = 1 \pm \sqrt{1-y}$$

Chọn nghiệm phù hợp: $x = 1 – \sqrt{1-y}$ (nhánh gần trục Oy hơn)

Bước 2: Áp dụng công thức quay quanh Oy: $$V = \pi \int_{0}^{1} (1 – \sqrt{1-y})^2 , dy$$

Bước 3: Khai triển: $$(1 – \sqrt{1-y})^2 = 1 – 2\sqrt{1-y} + (1-y) = 2 – y – 2\sqrt{1-y}$$

$$V = \pi \int_{0}^{1} (2 – y – 2\sqrt{1-y}) , dy$$

Bước 4: Tính từng phần: $$V = \pi \left[ 2y – \frac{y^2}{2} + \frac{4(1-y)^{3/2}}{3} \right]_0^1$$

Bước 5: Thay cận: $$V = \pi \left[ \left(2 – \frac{1}{2} + 0\right) – \left(0 – 0 + \frac{4}{3}\right) \right]$$

$$V = \pi \left( \frac{3}{2} – \frac{4}{3} \right) = \pi \times \frac{9 – 8}{6} = \frac{\pi}{6}$$

Kết luận: Thể tích là $\frac{\pi}{6}$ đơn vị khối.

Dạng 4: Hàm lượng giác

Bài 4: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay đường cong $y = \sin x$ từ $x = 0$ đến $x = \pi$ quanh trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức: $$V = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x , dx$$

Bước 2: Sử dụng công thức hạ bậc: $$\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$$

$$V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 – \cos 2x}{2} , dx$$

Bước 3: Tính nguyên hàm: $$V = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 – \cos 2x) , dx$$

$$V = \frac{\pi}{2} \left[ x – \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi}$$

Bước 4: Thay cận: $$V = \frac{\pi}{2} \left[ \left(\pi – 0\right) – \left(0 – 0\right) \right] = \frac{\pi^2}{2}$$

Kết luận: Thể tích là $\frac{\pi^2}{2}$ đơn vị khối.

Dạng 5: Vật thể có thiết diện hình vuông

Bài 5: Cho vật thể có đáy là hình tròn $x^2 + y^2 = 9$. Các thiết diện vuông góc với trục Ox là các hình vuông. Tính thể tích vật thể.

Lời giải:

Bước 1: Từ phương trình hình tròn: $$x^2 + y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm\sqrt{9-x^2}$$

Bước 2: Xác định cạnh hình vuông tại vị trí $x$:

• Thiết diện cắt hình tròn tại hai điểm: $y = \sqrt{9-x^2}$ và $y = -\sqrt{9-x^2}$
• Cạnh hình vuông: $a(x) = 2\sqrt{9-x^2}$

Bước 3: Tính diện tích thiết diện: $$S(x) = [a(x)]^2 = 4(9-x^2)$$

Bước 4: Áp dụng công thức: $$V = \int_{-3}^{3} 4(9-x^2) , dx$$

Bước 5: Tính nguyên hàm: $$V = 4 \left[ 9x – \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3}$$

Bước 6: Thay cận: $$V = 4 \left[ \left(27 – 9\right) – \left(-27 + 9\right) \right]$$

$$V = 4(18 + 18) = 144$$

Kết luận: Thể tích vật thể là 144 đơn vị khối.

Dạng 6: Vật thể có thiết diện tam giác đều

Bài 6: Cho vật thể có đáy là elip $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$. Các thiết diện vuông góc với trục Ox là các tam giác đều. Tính thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Từ phương trình elip: $$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm\sqrt{1 – \frac{x^2}{4}}$$

Bước 2: Cạnh tam giác đều tại vị trí $x$: $$a(x) = 2\sqrt{1 – \frac{x^2}{4}}$$

Bước 3: Diện tích tam giác đều: $$S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}[a(x)]^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4\left(1 – \frac{x^2}{4}\right) = \sqrt{3}\left(1 – \frac{x^2}{4}\right)$$

Bước 4: Áp dụng công thức thể tích: $$V = \int_{-2}^{2} \sqrt{3}\left(1 – \frac{x^2}{4}\right) , dx$$

Bước 5: Đưa hằng số ra ngoài: $$V = \sqrt{3} \int_{-2}^{2} \left(1 – \frac{x^2}{4}\right) , dx$$

Bước 6: Tính nguyên hàm: $$V = \sqrt{3} \left[ x – \frac{x^3}{12} \right]_{-2}^{2}$$

Bước 7: Thay cận: $$V = \sqrt{3} \left[ \left(2 – \frac{8}{12}\right) – \left(-2 + \frac{8}{12}\right) \right]$$

$$V = \sqrt{3} \left[ 2 – \frac{2}{3} + 2 – \frac{2}{3} \right] = \sqrt{3} \times \frac{8}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Kết luận: Thể tích là $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ đơn vị khối.

V. PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH

Bước 1: Xác định loại bài toán

Nhận biết khối tròn xoay:

• Từ khóa: “quay quanh”, “xoay quanh”
• Công thức: $V = \pi \int y^2 , dx$ hoặc $V = \pi \int x^2 , dy$
• Luôn có hệ số $\pi$

Nhận biết vật thể biết thiết diện:

• Từ khóa: “thiết diện”, “mặt cắt”, “cắt vuông góc”
• Công thức: $V = \int S(x) , dx$
• Không có $\pi$ (trừ khi thiết diện là hình tròn)

Bước 2: Vẽ hình (nếu cần)

Khi nào nên vẽ hình:

• Bài toán có nhiều đường cong
• Cần xác định miền giới hạn
• Cần kiểm tra hàm nào lớn hơn

Cách vẽ:

• Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
• Vẽ các đường cong đã cho
• Tô màu miền cần tính
• Xác định trục quay (nếu có)

Bước 3: Tìm cận tích phân

Phương pháp:

• Giao điểm các đường: Giải phương trình $f(x) = g(x)$
• Cho sẵn trong đề: $x = a$, $x = b$
• Miền xác định: Tập hợp các giá trị $x$ hợp lệ

Lưu ý:

• Cận dưới luôn nhỏ hơn cận trên: $a < b$
• Kiểm tra các điểm đặc biệt (giao trục, đỉnh…)

Bước 4: Lập công thức tích phân

Đối với khối tròn xoay:

• Quanh Ox: $V = \pi \int_a^b y^2 , dx$
• Quanh Oy: $V = \pi \int_c^d x^2 , dy$
• Hai đường: $V = \pi \int_a^b (y_1^2 – y_2^2) , dx$

Đối với vật thể biết thiết diện:

• Xác định diện tích $S(x)$
• $V = \int_a^b S(x) , dx$

Bước 5: Tính tích phân

Các bước tính:

1. Khai triển biểu thức (nếu cần)
2. Tìm nguyên hàm của từng thành phần
3. Thay cận trên và dưới
4. Tính hiệu giá trị tại hai cận
5. Rút gọn kết quả

Công thức nguyên hàm thường dùng:

• $\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \neq -1$)
• $\int \sin x , dx = -\cos x + C$
• $\int \cos x , dx = \sin x + C$
• $\int \sin^2 x , dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C$

Bước 6: Kết luận và kiểm tra

Kết luận:

• Ghi rõ giá trị thể tích
• Đơn vị: đơn vị khối (không ghi cụ thể nếu đề không cho)

Kiểm tra:

• Thể tích phải dương: $V > 0$
• So sánh với hình đơn giản để ước lượng
• Kiểm tra lại phép tính nếu kết quả bất hợp lý

VI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên bình phương hàm số

Sai: $$V = \pi \int_{a}^{b} y , dx$$ ❌

Đúng: $$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 , dx$$ ✓

Nhớ: Luôn có bình phương khi tính khối tròn xoay!

❌ SAI LẦM 2: Quên nhân hệ số $\pi$

Sai: $$V = \int_{a}^{b} y^2 , dx$$ ❌ (thiếu $\pi$)

Đúng: $$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 , dx$$ ✓

Nhớ: Khối tròn xoay luôn có $\pi$, vật thể biết thiết diện thì không!

❌ SAI LẦM 3: Sai cận tích phân

Lỗi thường gặp:

• Đảo ngược cận trên và cận dưới
• Không tìm đúng giao điểm
• Nhầm lẫn giữa cận theo $x$ và theo $y$

Cách tránh:

• Luôn vẽ hình
• Kiểm tra: cận dưới < cận trên
• Thử thay giá trị vào hàm số

❌ SAI LẦM 4: Nhầm công thức Ox và Oy

Phân biệt:

• Quay quanh Ox: Biến tích phân là $dx$, bình phương $y$
• Quay quanh Oy: Biến tích phân là $dy$, bình phương $x$

2. Mẹo tính nhanh

🔹 Mẹo 1: Nhận biết loại bài toán

Khối tròn xoay:

• Có từ “quay”, “xoay”
• Có trục quay (Ox, Oy, hoặc đường khác)
• Công thức có $\pi$

Vật thể biết thiết diện:

• Có từ “thiết diện”, “mặt cắt”
• Nói rõ hình dạng thiết diện (vuông, tam giác…)
• Không có $\pi$ (trừ khi thiết diện là hình tròn)

🔹 Mẹo 2: Các công thức nguyên hàm hay dùng

$$\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

$$\int (a – bx^2) , dx = ax – \frac{bx^3}{3} + C$$

$$\int \sin^2 x , dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C$$

$$\int \cos^2 x , dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$

🔹 Mẹo 3: Kiểm tra kết quả

Thể tích phải dương:

• Nếu $V < 0$, có lỗi sai
• Kiểm tra lại dấu và cận

So sánh với hình đơn giản:

• Hình nón: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$
• Hình trụ: $V = \pi R^2 h$
• Hình cầu: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Ước lượng:

• Nếu kết quả quá lớn hoặc quá nhỏ → kiểm tra lại

3. Công thức diện tích thiết diện thường gặp

VII. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã hệ thống hóa công thức tính thể tích bằng tích phân một cách đầy đủ:

Hai loại công thức chính:

1. Khối tròn xoay:

• Quay quanh Ox: $V = \pi \int_a^b y^2 , dx$
• Quay quanh Oy: $V = \pi \int_c^d x^2 , dy$
• Hai đường cong: $V = \pi \int_a^b (y_1^2 – y_2^2) , dx$
• Quay quanh đường bất kỳ: Dùng bán kính từ điểm đến đường thẳng

2. Vật thể biết thiết diện:

• Công thức tổng quát: $V = \int_a^b S(x) , dx$
• Áp dụng với nhiều dạng thiết diện: vuông, tam giác, tròn…

6 dạng bài tập với lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao

Phương pháp giải nhanh 6 bước rõ ràng, dễ áp dụng

Mẹo nhận biết và cảnh báo sai lầm thường gặp

Bảng công thức tóm tắt tiện tra cứu nhanh

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa