I. KHÁI NIỆM VỀ TIỆM CẬN

1. Tiệm cận là gì?

Định nghĩa trực quan:

Tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến gần đến khi:

• Biến số $x$ tiến tới vô cực ($x \to +\infty$ hoặc $x \to -\infty$)
• Hoặc biến số $x$ tiến tới một giá trị đặc biệt $x_0$

Nói cách khác, khoảng cách từ các điểm trên đồ thị đến đường tiệm cận tiến dần về 0 nhưng đồ thị không nhất thiết chạm vào đường tiệm cận.

Ý nghĩa hình học:

• Tiệm cận cho biết “hành vi” của hàm số ở xa (khi $x \to \pm\infty$) hoặc gần một điểm đặc biệt
• Giúp vẽ đồ thị chính xác hơn, đặc biệt là phần ở xa hoặc gần các điểm kỳ dị
• Là ranh giới mà đồ thị không thể vượt qua (tiệm cận đứng) hoặc tiến gần đến (tiệm cận ngang, xiên)
• Thể hiện xu hướng biến thiên của hàm số

Ví dụ trực quan:

• Hàm $y = \frac{1}{x}$ có tiệm cận đứng $x = 0$ và tiệm cận ngang $y = 0$
• Khi $x$ càng lớn, đồ thị càng gần trục Ox nhưng không bao giờ chạm vào

2. Phân loại tiệm cận

Có 3 loại tiệm cận cơ bản trong chương trình Toán phổ thông:

Lưu ý quan trọng:

✅ Một đồ thị có thể có nhiều tiệm cận đứng (mỗi điểm kỳ dị cho một tiệm cận)

✅ Một đồ thị có tối đa 2 tiệm cận ngang (một khi $x \to +\infty$, một khi $x \to -\infty$)

⚠️ Nếu có tiệm cận ngang thì KHÔNG có tiệm cận xiên và ngược lại

✅ Tiệm cận xiên xuất hiện khi bậc tử = bậc mẫu + 1 (với hàm phân thức)

✅ Một hàm số có thể có cả tiệm cận đứng VÀ tiệm cận ngang/xiên

3. Ứng dụng của tiệm cận

Trong toán học:

• Khảo sát hàm số: Xác định hành vi của hàm số ở vô cực và gần các điểm kỳ dị
• Vẽ đồ thị chính xác: Tiệm cận là “khung xương” của đồ thị, giúp định hình đường cong
• Xác định miền giá trị: Biết được hàm số có thể đạt những giá trị nào
• Nghiên cứu hàm số: Hiểu sâu về tính chất và đặc điểm của hàm số

Trong thực tế:

Kinh tế:

• Chi phí bình quân tiến đến một giá trị cố định khi sản lượng tăng lên vô hạn
• Doanh thu cận biên giảm dần khi sản xuất nhiều

Vật lý:

• Vận tốc giới hạn của vật rơi trong môi trường có ma sát
• Nhiệt độ của vật nguội dần tiến về nhiệt độ môi trường

Sinh học:

• Dân số tiến đến sức chứa tối đa (carrying capacity) của môi trường
• Nồng độ thuốc trong máu sau khi uống

Kỹ thuật:

• Phản ứng của hệ thống điều khiển khi thời gian tiến tới vô cực
• Đáp ứng tần số của mạch điện

4. Khi nào cần tìm tiệm cận?

✅ Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số – Đây là ứng dụng quan trọng nhất

✅ Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất – Tiệm cận cho biết giới hạn của hàm số

✅ Xác định tính chất của hàm số – Tăng, giảm, bị chặn hay không

✅ Trong đề thi THPT Quốc gia – Câu hỏi về tiệm cận xuất hiện thường xuyên

✅ Phân tích đồ thị cho trước – Xác định phương trình hàm số từ đồ thị

II. TIỆM CẬN ĐỨNG

1. Định nghĩa

Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau xảy ra:

$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$$

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$$

Giải thích:

• Khi $x$ tiến gần đến $x_0$ (từ bên phải hoặc bên trái), giá trị hàm số $|f(x)|$ tăng vô hạn
• Đồ thị “bay lên” hoặc “rơi xuống” theo phương thẳng đứng khi $x$ gần $x_0$
• Đường thẳng $x = x_0$ là ranh giới mà đồ thị không thể vượt qua

Ý nghĩa:

• $x_0$ thường là điểm mà hàm số không xác định (mẫu số bằng 0)
• Tiệm cận đứng chia mặt phẳng thành các miền, đồ thị nằm ở các miền khác nhau

2. Công thức tìm tiệm cận đứng

Đối với hàm phân thức $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$:

$$\boxed{x = x_0 \text{ là TCĐ} \Leftrightarrow \begin{cases} Q(x_0) = 0 \\ P(x_0) \neq 0 \end{cases}}$$

Điều kiện:

• Mẫu số bằng 0 tại $x_0$: $Q(x_0) = 0$
• Tử số khác 0 tại $x_0$: $P(x_0) \neq 0$

Quy trình tìm tiệm cận đứng (5 bước):

Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số (tìm điều kiện để mẫu $\neq 0$)

Bước 2: Giải phương trình $Q(x) = 0$ để tìm các nghiệm $x_1, x_2, …, x_n$

Bước 3: Với mỗi nghiệm $x_i$, kiểm tra $P(x_i) \neq 0$

Bước 4: Nếu thỏa mãn, kết luận $x = x_i$ là tiệm cận đứng

Bước 5: Liệt kê tất cả các tiệm cận đứng

Lưu ý đặc biệt:

⚠️ Nếu $P(x_0) = Q(x_0) = 0$ (cả tử và mẫu đều bằng 0):

• Phải rút gọn phân thức trước bằng cách phân tích và giản ước
• Sau khi rút gọn, kiểm tra lại điều kiện

⚠️ Hàm khác ngoài phân thức:

• Hàm logarit: $y = \ln(g(x))$ có TCĐ tại nghiệm của $g(x) = 0$ (nếu giới hạn là $-\infty$)
• Hàm mũ: Hiếm khi có TCĐ
• Hàm căn: Có thể có TCĐ tại biên của miền xác định

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Cơ bản – Một tiệm cận đứng):

Tìm tiệm cận đứng của hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$

Lời giải:

Bước 1: Miền xác định: $x \neq 2$

Bước 2: Giải phương trình mẫu = 0: $$x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$$

Bước 3: Kiểm tra tử số tại $x = 2$: $$P(2) = 2 + 1 = 3 \neq 0 \quad \text{✓}$$

Bước 4: Kết luận: Đường thẳng $\boxed{x = 2}$ là tiệm cận đứng

Kiểm tra bằng giới hạn:

• $\lim_{x \to 2^+} \frac{x+1}{x-2} = +\infty$ (vì tử dương, mẫu dương tiến về 0)
• $\lim_{x \to 2^-} \frac{x+1}{x-2} = -\infty$ (vì tử dương, mẫu âm tiến về 0)

Ví dụ 2 (Nhiều tiệm cận đứng):

Tìm tiệm cận đứng của hàm số $y = \frac{x}{x^2 – 4}$

Lời giải:

Bước 1: Miền xác định: $x^2 – 4 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 2$

Bước 2: Giải phương trình mẫu = 0: $$x^2 – 4 = 0$$ $$(x-2)(x+2) = 0$$ $$x = 2 \text{ hoặc } x = -2$$

Bước 3: Kiểm tra tử số:

• Tại $x = 2$: $P(2) = 2 \neq 0$ ✓
• Tại $x = -2$: $P(-2) = -2 \neq 0$ ✓

Bước 4: Kết luận: Có 2 tiệm cận đứng:

• $\boxed{x = 2}$
• $\boxed{x = -2}$

Ví dụ 3 (Cần rút gọn phân thức):

Tìm tiệm cận đứng của hàm số $y = \frac{x^2 – 1}{x^2 – 3x + 2}$

Lời giải:

Bước 1: Phân tích tử và mẫu: $$y = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}$$

Bước 2: Rút gọn (với $x \neq 1$): $$y = \frac{x+1}{x-2}$$

Bước 3: Tìm nghiệm mẫu sau rút gọn: $$x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$$

Bước 4: Kiểm tra tử số: $$P(2) = 2 + 1 = 3 \neq 0 \quad \text{✓}$$

Kết luận: Tiệm cận đứng duy nhất là $\boxed{x = 2}$

Lưu ý: Không có tiệm cận đứng tại $x = 1$ vì đã bị rút gọn (đây chỉ là điểm bị loại khỏi miền xác định, không phải tiệm cận đứng).

Ví dụ 4 (Hàm logarit):

Tìm tiệm cận đứng của hàm số $y = \ln(x – 1)$

Lời giải:

Bước 1: Điều kiện xác định: $$x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$$

Bước 2: Xét giới hạn tại biên miền xác định: $$\lim_{x \to 1^+} \ln(x-1) = -\infty$$

Kết luận: Đường thẳng $\boxed{x = 1}$ là tiệm cận đứng

Giải thích: Khi $x$ tiến về 1 từ bên phải, $(x-1)$ tiến về $0^+$, do đó $\ln(x-1) \to -\infty$.

Ví dụ 5 (Không có tiệm cận đứng):

Tìm tiệm cận đứng của hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 4}$

Lời giải:

Bước 1: Giải phương trình mẫu = 0: $$x^2 + 4 = 0$$ $$x^2 = -4$$

Phương trình vô nghiệm (vì $x^2 \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$)

Kết luận: Hàm số không có tiệm cận đứng

Giải thích: Mẫu số $x^2 + 4 \geq 4 > 0$ với mọi $x$, nên hàm số xác định trên toàn trục số và không có điểm kỳ dị.

4. Dấu hiệu nhận biết nhanh

✅ Hàm phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$: Giải $Q(x) = 0$, kiểm tra $P(x_0) \neq 0$

✅ Hàm $\ln(g(x))$: Tìm nghiệm $g(x) = 0$ (nếu giới hạn là $-\infty$)

✅ Hàm $\frac{1}{g(x)}$: Tìm nghiệm $g(x) = 0$

✅ Hàm $\tan x$: TCĐ tại $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

✅ Hàm $\cot x$: TCĐ tại $x = k\pi$

III. TIỆM CẬN NGANG

1. Định nghĩa

Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong hai điều kiện sau xảy ra:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0$$

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$$

Giải thích:

• Khi $x$ tiến ra vô cực (dương hoặc âm), giá trị hàm số tiến gần đến một giá trị cố định $y_0$
• Đồ thị tiến gần đến đường thẳng $y = y_0$ khi càng ra xa
• Hàm số có giá trị “ổn định” ở vô cực

Ý nghĩa:

• Tiệm cận ngang cho biết giới hạn của hàm số khi $x$ rất lớn hoặc rất nhỏ
• Trong thực tế, đây thường là giá trị cân bằng, giá trị bão hòa

2. Công thức tìm tiệm cận ngang

Đối với hàm phân thức $y = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + … + b_0}$:

Quy trình tìm tiệm cận ngang:

Bước 1: Xác định bậc của tử số ($n$) và mẫu số ($m$)

Bước 2: So sánh $n$ và $m$:

• Nếu $n < m$ → TCN: $y = 0$
• Nếu $n = m$ → TCN: $y = \frac{a_n}{b_m}$ (tỉ số hệ số bậc cao nhất)
• Nếu $n > m$ → Không có TCN (có thể có TCX)

Bước 3: Kết luận tiệm cận ngang

Lưu ý:

• Nếu giới hạn khi $x \to +\infty$ khác giới hạn khi $x \to -\infty$, có thể có 2 TCN khác nhau
• Phải tính cả hai giới hạn để chắc chắn

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Bậc tử < Bậc mẫu):

Tìm tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{2x + 1}{x^2 + 3}$

Lời giải:

Bước 1: Xác định bậc:

• Bậc tử số: $n = 1$
• Bậc mẫu số: $m = 2$

Bước 2: So sánh: $n = 1 < m = 2$

Bước 3: Áp dụng công thức: $$\text{Bậc tử < Bậc mẫu} \Rightarrow \text{TCN: } y = 0$$

Kiểm tra bằng giới hạn: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(2 + \frac{1}{x})}{x^2(1 + \frac{3}{x^2})} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{x(1 + \frac{3}{x^2})} = 0$$

Kết luận: Tiệm cận ngang là $\boxed{y = 0}$ (trục hoành)

Ví dụ 2 (Bậc tử = Bậc mẫu):

Tìm tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{3x^2 – 2x + 1}{2x^2 + 5}$

Lời giải:

Bước 1: Xác định bậc:

• Bậc tử số: $n = 2$
• Bậc mẫu số: $m = 2$

Bước 2: So sánh: $n = m = 2$ (bằng nhau)

Bước 3: Áp dụng công thức: $$y = \frac{a_n}{b_m} = \frac{3}{2}$$

Kiểm tra bằng giới hạn: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 – 2x + 1}{2x^2 + 5} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(3 – \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(2 + \frac{5}{x^2})} = \frac{3}{2}$$

Kết luận: Tiệm cận ngang là $\boxed{y = \frac{3}{2}}$

Ví dụ 3 (Không có tiệm cận ngang):

Tìm tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{x^3 + 1}{x^2 – 1}$

Lời giải:

Bước 1: Xác định bậc:

• Bậc tử số: $n = 3$
• Bậc mẫu số: $m = 2$

Bước 2: So sánh: $n = 3 > m = 2$

Bước 3: Kết luận: Không có tiệm cận ngang

Giải thích: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 1}{x^2 – 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} x = \pm\infty$$

Hàm số này có tiệm cận xiên (sẽ xét ở phần sau).

Ví dụ 4 (Hàm mũ – Hai tiệm cận ngang khác nhau):

Tìm tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{e^x}{1 + e^x}$

Lời giải:

Bước 1: Tính giới hạn khi $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{1 + e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x(\frac{1}{e^x} + 1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{e^x} + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$$

Bước 2: Tính giới hạn khi $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{1 + e^x} = \frac{0}{1 + 0} = 0$$ (vì $e^x \to 0$ khi $x \to -\infty$)

Kết luận: Có 2 tiệm cận ngang:

• $\boxed{y = 1}$ (khi $x \to +\infty$)
• $\boxed{y = 0}$ (khi $x \to -\infty$)

Ví dụ 5 (Hàm chứa căn):

Tìm tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x + 2}$

Lời giải:

Với $x \to +\infty$: $$y = \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x + 2} = \frac{\sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x^2})}}{x(1 + \frac{2}{x})} = \frac{|x|\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{x(1 + \frac{2}{x})}$$

Vì $x > 0$ nên $|x| = x$: $$= \frac{x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{x(1 + \frac{2}{x})} = \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{1 + \frac{2}{x}} \to \frac{\sqrt{4}}{1} = \frac{2}{1} = 2$$

Với $x \to -\infty$: Vì $x < 0$ nên $|x| = -x$: $$y = \frac{-x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{x(1 + \frac{2}{x})} = \frac{-\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{1 + \frac{2}{x}} \to \frac{-2}{1} = -2$$

Kết luận: Có 2 tiệm cận ngang:

• $\boxed{y = 2}$ (khi $x \to +\infty$)
• $\boxed{y = -2}$ (khi $x \to -\infty$)

4. Lưu ý quan trọng

⚠️ Một hàm số có thể có 2 tiệm cận ngang khác nhau khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$

⚠️ Nếu có tiệm cận ngang thì KHÔNG có tiệm cận xiên và ngược lại

✅ Với hàm phân thức, chỉ cần so sánh bậc là xong, không cần tính giới hạn

IV. TIỆM CẬN XIÊN

1. Định nghĩa

Đường thẳng $y = ax + b$ (với $a \neq 0$) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:

$$\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0$$

hoặc

$$\lim_{x \to -\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0$$

Giải thích:

• Khi $x$ tiến ra vô cực, khoảng cách từ đồ thị đến đường thẳng $y = ax + b$ tiến về 0
• Đồ thị “bám sát” vào đường thẳng nghiêng khi càng ra xa
• Tiệm cận xiên là “xu hướng tuyến tính” của hàm số ở vô cực

Ý nghĩa:

• Tiệm cận xiên xuất hiện khi hàm số tăng/giảm theo xu hướng tuyến tính ở vô cực
• Khác với TCN (nằm ngang), TCX có độ dốc $a \neq 0$

2. Công thức tính tiệm cận xiên

Công thức tổng quát (quan trọng nhất):

$$\boxed{\begin{cases} a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \\[10pt] b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – ax] \end{cases}}$$

Điều kiện tồn tại:

• Hệ số góc $a$ phải hữu hạn và $a \neq 0$
• Tung độ gốc $b$ phải hữu hạn
• Nếu $a = 0$ → Đó là tiệm cận ngang, không phải tiệm cận xiên

Đối với hàm phân thức $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ với bậc $P$ = bậc $Q$ + 1:

Phương pháp chia đa thức (nhanh hơn):

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức $P(x) : Q(x)$

Bước 2: Viết dưới dạng: $$f(x) = ax + b + \frac{R(x)}{Q(x)}$$

Trong đó $R(x)$ là dư, có bậc < bậc $Q(x)$

Bước 3: Khi $x \to \pm\infty$: $\frac{R(x)}{Q(x)} \to 0$

Bước 4: Kết luận tiệm cận xiên: $y = ax + b$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Phương pháp công thức):

Tìm tiệm cận xiên của hàm số $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$

Lời giải:

Phương pháp 1: Dùng công thức

Bước 1: Tính hệ số góc $a$: $$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x + 1}{x(x+1)}$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{1}{x})} = 1$$

Bước 2: Tính tung độ gốc $b$: $$b = \lim_{x \to +\infty} \left[\frac{x^2 + x + 1}{x + 1} – x\right]$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x + 1 – x(x+1)}{x + 1}$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x + 1 – x^2 – x}{x + 1}$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x + 1} = 0$$

Kết luận: Tiệm cận xiên là $\boxed{y = x}$

Ví dụ 2 (Phương pháp chia đa thức – Nhanh hơn):

Tìm tiệm cận xiên của hàm số $y = \frac{2x^2 – 3x + 1}{x – 2}$

Lời giải:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức:

  2x² - 3x + 1  |  x - 2
 -2x² + 4x      |  2x + 1
 ____________
      x + 1
     -x + 2
  __________
          3  (dư)

Bước 2: Viết lại hàm số: $$y = 2x + 1 + \frac{3}{x – 2}$$

Bước 3: Khi $x \to \pm\infty$: $$\frac{3}{x – 2} \to 0$$

Kết luận: Tiệm cận xiên là $\boxed{y = 2x + 1}$

Giải thích: Phần $\frac{3}{x-2}$ tiến về 0 khi $x$ càng lớn, nên đồ thị càng gần đường thẳng $y = 2x + 1$.

Ví dụ 3 (Hàm có cả TCĐ và TCX):

Tìm tất cả các tiệm cận của hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x – 1}$

Lời giải:

Phần 1: Tìm tiệm cận đứng

• Mẫu số: $x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
• Tử số tại $x = 1$: $1 + 1 = 2 \neq 0$ ✓
• Tiệm cận đứng: $\boxed{x = 1}$

Phần 2: Tìm tiệm cận xiên

Kiểm tra: Bậc tử = 2, Bậc mẫu = 1 → Bậc tử = Bậc mẫu + 1 ✓ (có thể có TCX)

Chia đa thức:

  x² + 1  |  x - 1
 -x² + x  |  x + 1
 ________
     x + 1
    -x + 1
   _______
        2  (dư)

Viết lại: $y = x + 1 + \frac{2}{x – 1}$

Tiệm cận xiên: $\boxed{y = x + 1}$

Kết luận tổng hợp:

• Tiệm cận đứng: $x = 1$
• Tiệm cận xiên: $y = x + 1$
• Không có tiệm cận ngang

Ví dụ 4 (Hàm vô tỉ):

Tìm tiệm cận xiên của hàm số $y = \sqrt{x^2 + x}$

Lời giải:

Với $x \to +\infty$:

Bước 1: Tính $a$: $$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x})}}{x}$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{|x|\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x}$$ (vì $x > 0$ nên $|x| = x$) $$= \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} = 1$$

Bước 2: Tính $b$: $$b = \lim_{x \to +\infty} [\sqrt{x^2 + x} – x]$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} – x)(\sqrt{x^2 + x} + x)}{\sqrt{x^2 + x} + x}$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x – x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x}$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1)}$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

Kết luận: Tiệm cận xiên là $\boxed{y = x + \frac{1}{2}}$ (khi $x \to +\infty$)

Với $x \to -\infty$: Tính tương tự (hoặc không xét nếu hàm không xác định).

Ví dụ 5 (Không có tiệm cận xiên):

Kiểm tra xem hàm số $y = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$ có tiệm cận xiên không?

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện:

• Bậc tử = 3, Bậc mẫu = 2
• Bậc tử = Bậc mẫu + 1 ✓ (thỏa điều kiện có thể có TCX)

Bước 2: Tính $a$: $$a = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 1}{x(x^2 + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 1}{x^3 + x}$$ $$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3})}{x^3(1 + \frac{1}{x^2})} = 1$$

Bước 3: Tính $b$: $$b = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} – x\right]$$ $$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 1 – x(x^2 + 1)}{x^2 + 1}$$ $$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 1 – x^3 – x}{x^2 + 1}$$ $$= \lim_{x \to \infty} \frac{1 – x}{x^2 + 1} = 0$$

Kết luận: Tiệm cận xiên là $\boxed{y = x}$

4. Điều kiện để có tiệm cận xiên

✅ Hàm phân thức: Bậc tử = Bậc mẫu + 1

✅ Hàm vô tỉ: Một số hàm chứa căn có TCX

✅ Điều kiện chung: $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ phải hữu hạn và $\neq 0$

❌ KHÔNG có TCX nếu:

• Đã có tiệm cận ngang (TCN và TCX loại trừ nhau)
• Bậc tử $\neq$ Bậc mẫu + 1 (với hàm phân thức)
• Giới hạn $a$ hoặc $b$ không hữu hạn

Quy tắc vàng: TCN và TCX KHÔNG thể cùng tồn tại!

V. BẢNG TỔNG HỢP CÔNG THỨC

Bảng 1: So sánh 3 loại tiệm cận

Bảng 2: Công thức cho hàm phân thức $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$

Ghi nhớ:

• Bậc tử < Bậc mẫu → TCN: $y = 0$
• Bậc tử = Bậc mẫu → TCN: $y = \frac{a_n}{b_m}$
• Bậc tử = Bậc mẫu + 1 → TCX (chia đa thức)

Bảng 3: Công thức tính tiệm cận xiên

Bảng 4: Các trường hợp đặc biệt thường gặp

VI. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG HỢP

Quy trình tìm TẤT CẢ các tiệm cận (7 bước)

Bước 1: Xác định miền xác định

• Tìm điều kiện để hàm số xác định
• Ghi rõ các giá trị $x$ bị loại

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng

• Giải phương trình mẫu = 0 (hoặc điều kiện không xác định)
• Kiểm tra tử số $\neq$ 0 tại các điểm đó
• Nếu tử = mẫu = 0 → Rút gọn trước

Bước 3: So sánh bậc (với hàm phân thức)

• Xác định bậc tử số và bậc mẫu số
• Áp dụng quy tắc trong bảng tổng hợp

Bước 4: Tìm tiệm cận ngang (nếu có)

• Bậc tử < Bậc mẫu → TCN: $y = 0$
• Bậc tử = Bậc mẫu → TCN: $y = \frac{a_n}{b_m}$

Bước 5: Tìm tiệm cận xiên (nếu không có TCN)

• Bậc tử = Bậc mẫu + 1 → Có TCX
• Dùng phép chia đa thức hoặc tính $a, b$

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả

• Thế vào công thức kiểm tra
• Tính giới hạn để xác nhận

Bước 7: Kết luận

• Liệt kê đầy đủ tất cả các tiệm cận tìm được

Sơ đồ tư duy

                    Cho hàm y = f(x)
                           |
                           ↓
    ┌──────────────────────┴──────────────────────┐
    |                                              |
Tìm TCĐ: x = x₀                           So sánh bậc tử/mẫu
(mẫu = 0, tử ≠ 0)                                 |
                                 ┌────────────────┼────────────────┐
                                 |                |                |
                        Bậc tử < Bậc mẫu   Bậc tử = Bậc mẫu   Bậc tử = Bậc mẫu + 1
                                 |                |                |
                              TCN: y = 0      TCN: y = aₙ/bₘ    TCX: y = ax + b
                                                                (chia đa thức)

Ví dụ tổng hợp

Đề bài: Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 – 4}$

Lời giải đầy đủ:

Bước 1: Miền xác định $$x^2 – 4 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 2$$

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng

Giải phương trình mẫu = 0: $$x^2 – 4 = 0$$ $$(x-2)(x+2) = 0$$ $$x = 2 \text{ hoặc } x = -2$$

Kiểm tra tử số:

• Tại $x = 2$: $P(2) = 2(4) – 3(2) + 1 = 8 – 6 + 1 = 3 \neq 0$ ✓
• Tại $x = -2$: $P(-2) = 2(4) – 3(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15 \neq 0$ ✓

Tiệm cận đứng: $\boxed{x = 2}$ và $\boxed{x = -2}$

Bước 3: So sánh bậc

• Bậc tử số: 2
• Bậc mẫu số: 2
• Bậc tử = Bậc mẫu → Có tiệm cận ngang

Bước 4: Tìm tiệm cận ngang $$y = \frac{2x^2 + …}{x^2 + …} \to \frac{2}{1} = 2$$

Tiệm cận ngang: $\boxed{y = 2}$

Bước 5: Kiểm tra tiệm cận xiên Vì đã có TCN nên không có TCX

Kết luận tổng hợp:

• 2 tiệm cận đứng: $x = 2$ và $x = -2$
• 1 tiệm cận ngang: $y = 2$
• Không có tiệm cận xiên

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Quên kiểm tra tử số khi tìm TCĐ

Sai:

• Chỉ giải mẫu = 0 mà không kiểm tra tử

Đúng:

• Phải có: Mẫu = 0 VÀ Tử $\neq$ 0

Ví dụ: $y = \frac{x-1}{(x-1)(x-2)}$ không có TCĐ tại $x = 1$ (vì tử cũng = 0).

❌ Sai lầm 2: Nhầm lẫn TCN và TCX

Nhớ: TCN và TCX loại trừ lẫn nhau!

• Có TCN thì KHÔNG có TCX
• Có TCX thì KHÔNG có TCN

❌ Sai lầm 3: Quên rút gọn phân thức

Nếu tử và mẫu có nhân tử chung $(x – a)$:

• Phải rút gọn trước khi tìm tiệm cận
• Điểm $x = a$ không phải là TCĐ

Ví dụ: $y = \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-3)}$ sau rút gọn là $y = \frac{x+2}{x-3}$ → Chỉ có TCĐ tại $x = 3$

❌ Sai lầm 4: Sai khi chia đa thức

Phải thực hiện phép chia chính xác:

• Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của bậc
• Chia từng bước cẩn thận
• Kiểm tra lại bằng phép nhân ngược

❌ Sai lầm 5: Không xét cả hai giới hạn

Một hàm có thể có:

• 2 TCN khác nhau khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$
• 2 TCX khác nhau (hiếm gặp)

Ví dụ: $y = \frac{e^x}{1 + e^x}$ có TCN: $y = 1$ (khi $x \to +\infty$) và $y = 0$ (khi $x \to -\infty$)

2. Mẹo nhận biết nhanh

✅ Mẹo 1: Nhận dạng nhanh loại tiệm cận từ công thức

Nhìn vào hàm phân thức:

• Đếm bậc tử và mẫu → Biết ngay loại tiệm cận
• Mẫu = 0 → Có TCĐ
• Bậc tử ≤ Bậc mẫu → Có TCN
• Bậc tử = Bậc mẫu + 1 → Có TCX

✅ Mẹo 2: Công thức nhanh cho $y = \frac{ax + b}{cx + d}$

Không cần tính gì cả, nhớ luôn:

• TCĐ: $x = -\frac{d}{c}$ (cho mẫu = 0)
• TCN: $y = \frac{a}{c}$ (tỉ số hệ số bậc nhất)

Ví dụ: $y = \frac{2x + 3}{3x – 6}$

• TCĐ: $x = 2$
• TCN: $y = \frac{2}{3}$

✅ Mẹo 3: Kiểm tra nhanh TCX bằng chia đa thức

Chỉ cần chia đa thức, lấy phần nguyên (bỏ phần dư)

✅ Mẹo 4: Hàm đặc biệt – Nhớ luôn

3. Thứ tự ưu tiên khi làm bài thi

📝 Tìm TCĐ trước (dễ nhất, ít sai sót, 1-2 phút)

📝 Tìm TCN tiếp theo (so sánh bậc rất nhanh, 30 giây)

📝 Tìm TCX cuối cùng (phức tạp nhất, mất nhiều thời gian, 2-3 phút)

Lý do:

• TCĐ và TCN dễ, làm trước để đảm bảo điểm
• TCX khó, để sau, nếu hết thời gian thì bỏ qua

4. Cách kiểm tra kết quả

✔️ Kiểm tra TCĐ:

Thế $x = x_0$ vào:

• Mẫu → phải bằng 0
• Tử → phải khác 0

✔️ Kiểm tra TCN:

Tính lại giới hạn: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0$$

✔️ Kiểm tra TCX:

Tính giới hạn: $$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0$$

Nếu bằng 0 → Đúng ✓

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về 3 loại tiệm cận:

Tiệm cận đứng (TCĐ): $$x = x_0 \quad \text{(mẫu = 0, tử ≠ 0)}$$

Tiệm cận ngang (TCN): $$y = y_0 \quad \text{(so sánh bậc tử/mẫu)}$$

Tiệm cận xiên (TCX): $$y = ax + b \quad \text{(chia đa thức hoặc tính } a, b\text{)}$$

4 bảng công thức tổng hợp đầy đủ để tra cứu nhanh

15+ ví dụ chi tiết từ cơ bản đến nâng cao, bao quát mọi dạng bài

Quy trình 7 bước tìm tất cả tiệm cận một cách hệ thống

Mẹo nhận biết nhanh và cách tránh 5 sai lầm thường gặp

Phương pháp kiểm tra kết quả chính xác

Những điểm cần nhớ

TCĐ: Song song với trục Oy – Đường thẳng đứng $x = x_0$

TCN: Song song với trục Ox – Đường thẳng ngang $y = y_0$

TCX: Đường thẳng nghiêng $y = ax + b$ với $a \neq 0$

Quy tắc vàng: Có TCN thì KHÔNG có TCX và ngược lại

Một hàm số có thể có:

• Nhiều TCĐ (mỗi điểm kỳ dị một TCĐ)
• Tối đa 2 TCN (một khi $x \to +\infty$, một khi $x \to -\infty$)
• Tối đa 2 TCX (tương tự TCN)

Với hàm phân thức: Chỉ cần so sánh bậc là biết ngay loại tiệm cận

So sánh 3 loại tiệm cận

Sơ đồ tổng quát

                    TIỆM CẬN
                        |
        ┌───────────────┼───────────────┐
        |               |               |
   TIỆM CẬN ĐỨNG   TIỆM CẬN NGANG   TIỆM CẬN XIÊN
        |               |               |
    x = x₀          y = y₀         y = ax + b
        |               |               |
   Song song Oy    Song song Ox    Đường xiên
        |               |               |
  Mẫu = 0          So sánh bậc      Chia đa thức
  Tử ≠ 0              |                  |
                      |                  |
                 Bậc tử < Bậc mẫu   Bậc tử = Bậc mẫu + 1
                      ↓                  ↓
                   y = 0            y = ax + b
                      
                 Bậc tử = Bậc mẫu
                      ↓
                  y = aₙ/bₘ

📚 Xem thêm các bài viết liên quan:

• [Khảo sát hàm số – Quy trình 7 bước chuẩn]
• [Công thức đạo hàm đầy đủ từ cơ bản đến nâng cao]
• [Giới hạn hàm số – Công thức và phương pháp]
• [Bài tập tiệm cận có lời giải chi tiết – 50 bài]
• [Vẽ đồ thị hàm số – Kỹ thuật và mẹo hay]

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

Q1: Làm sao biết hàm số có tiệm cận ngang hay tiệm cận xiên?

A: Với hàm phân thức, so sánh bậc:

• Bậc tử ≤ Bậc mẫu → Có TCN
• Bậc tử = Bậc mẫu + 1 → Có TCX
• Nhớ: TCN và TCX không thể cùng tồn tại!

Q2: Khi nào cần rút gọn phân thức trước khi tìm tiệm cận?

A: Khi cả tử và mẫu đều có nhân tử chung. Ví dụ: $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+3)}$ cần rút gọn thành $\frac{x+2}{x+3}$ trước khi tìm tiệm cận.

Q3: Một hàm số có thể có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A: Có thể có nhiều tiệm cận đứng, mỗi nghiệm của mẫu số (thỏa mãn tử ≠ 0) cho một tiệm cận đứng.

Q4: Tại sao có TCN thì không có TCX?

A: Vì:

• TCN: $\lim_{x \to \infty} f(x) = y_0$ (hàm tiến đến hằng số)
• TCX: $\lim_{x \to \infty} [f(x) – ax] = b$ (hàm tiến đến đường thẳng nghiêng)

Hai điều kiện này mâu thuẫn với nhau.

Q5: Làm thế nào để kiểm tra kết quả nhanh?

A:

• TCĐ: Thế $x_0$ vào mẫu phải được 0, vào tử phải khác 0
• TCN: Tính $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ phải bằng $y_0$
• TCX: Tính $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – (ax+b)]$ phải bằng 0

Q6: Hàm nào thường có tiệm cận đứng?

A:

• Hàm phân thức: $\frac{P(x)}{Q(x)}$
• Hàm logarit: $\ln(g(x))$
• Hàm lượng giác: $\tan x$, $\cot x$
• Hàm $\frac{1}{g(x)}$

Q7: Có công thức nhớ nhanh không?

A: Có! Với $y = \frac{ax+b}{cx+d}$:

• TCĐ: $x = -\frac{d}{c}$
• TCN: $y = \frac{a}{c}$

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa