I. Giới Thiệu Về Đường Trung Tuyến

1. Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.

Ký hiệu:

• Đường trung tuyến từ đỉnh A: $m_a$ (hoặc $AM$, với M là trung điểm BC)
• Đường trung tuyến từ đỉnh B: $m_b$ (hoặc $BN$, với N là trung điểm AC)
• Đường trung tuyến từ đỉnh C: $m_c$ (hoặc $CP$, với P là trung điểm AB)

Tính chất quan trọng:

• Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến
• Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm gọi là trọng tâm G
• Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1 tính từ đỉnh:
  • $AG = \frac{2}{3}m_a$ và $GM = \frac{1}{3}m_a$
  • $BG = \frac{2}{3}m_b$ và $GN = \frac{1}{3}m_b$
  • $CG = \frac{2}{3}m_c$ và $GP = \frac{1}{3}m_c$

2. Phân biệt với đường cao và phân giác

Lưu ý: Trong tam giác đều, ba đường này trùng nhau. Trong tam giác cân, đường trung tuyến từ đỉnh trùng với đường cao và phân giác.

3. Tại sao cần tính đường trung tuyến?

Đường trung tuyến có nhiều ứng dụng quan trọng:

Xác định trọng tâm của tam giác – điểm cân bằng

Tính diện tích tam giác bằng công thức đặc biệt

Chứng minh các định lý hình học

Ứng dụng trong cơ học để tìm khối tâm của vật thể

Giải bài toán về chia tam giác thành các phần bằng nhau

4. Cấu trúc bài viết

Bài viết sẽ hệ thống hóa đầy đủ các công thức tính đường trung tuyến:

• Công thức trung tuyến tam giác thường (tổng quát)
• Công thức trung tuyến tam giác đều
• Công thức trung tuyến tam giác cân
• Công thức trung tuyến tam giác vuông
• 24 bài tập có lời giải chi tiết (8 bài/dạng)

II. Công Thức Trung Tuyến Tam Giác Thường

1. Công thức tổng quát (Công thức trung tuyến)

Trong tam giác ABC với ba cạnh $a$, $b$, $c$ (đối diện với đỉnh A, B, C):

$$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4}$$

$$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 – b^2}{4}$$

$$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 – c^2}{4}$$

Hoặc viết dưới dạng:

$$4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 – a^2$$

Cách nhớ: “Hai lần hai cạnh kề bình, trừ cạnh đối bình, rồi chia 4”

Ví dụ 1: Tam giác có ba cạnh $a = 5$cm, $b = 6$cm, $c = 7$cm. Tính đường trung tuyến $m_a$ (ứng với cạnh 5cm).

Lời giải:

$$m_a^2 = \frac{2 \times 6^2 + 2 \times 7^2 – 5^2}{4}$$

$$m_a^2 = \frac{2 \times 36 + 2 \times 49 – 25}{4} = \frac{72 + 98 – 25}{4} = \frac{145}{4}$$

$$m_a = \sqrt{\frac{145}{4}} = \frac{\sqrt{145}}{2} \approx 6.02 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{\sqrt{145}}{2}$ cm (≈ 6.02 cm)

2. Quan hệ giữa ba đường trung tuyến

Tổng bình phương ba đường trung tuyến liên hệ với tổng bình phương ba cạnh:

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$$

Ví dụ 2: Tam giác có $m_a = 6$cm, $m_b = 5$cm, $m_c = 4$cm. Tính $a^2 + b^2 + c^2$.

Lời giải:

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = 36 + 25 + 16 = 77$$

$$77 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{77 \times 4}{3} = \frac{308}{3} \approx 102.67 \text{ cm}^2$$

Đáp án: $\frac{308}{3}$ cm² (≈ 102.67 cm²)

3. Công thức ngược – Tính cạnh từ trung tuyến

Từ công thức $4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 – a^2$, ta có thể tính cạnh:

$$a^2 = 2b^2 + 2c^2 – 4m_a^2$$

Ví dụ 3: Tam giác có $b = 8$cm, $c = 6$cm, $m_a = 5$cm. Tính cạnh $a$.

Lời giải:

$$a^2 = 2 \times 8^2 + 2 \times 6^2 – 4 \times 5^2$$

$$a^2 = 2 \times 64 + 2 \times 36 – 4 \times 25$$

$$a^2 = 128 + 72 – 100 = 100$$

$$a = 10 \text{ cm}$$

Đáp án: 10 cm

4. Ví dụ tính ba đường trung tuyến

Ví dụ 4: Tam giác có ba cạnh 13cm, 14cm, 15cm. Tính cả ba đường trung tuyến.

Lời giải:

Trung tuyến $m_a$ (ứng với cạnh 13cm):

$$m_a^2 = \frac{2 \times 14^2 + 2 \times 15^2 – 13^2}{4}$$

$$m_a^2 = \frac{2 \times 196 + 2 \times 225 – 169}{4} = \frac{392 + 450 – 169}{4} = \frac{673}{4}$$

$$m_a = \frac{\sqrt{673}}{2} \approx 12.97 \text{ cm}$$

Trung tuyến $m_b$ (ứng với cạnh 14cm):

$$m_b^2 = \frac{2 \times 13^2 + 2 \times 15^2 – 14^2}{4}$$

$$m_b^2 = \frac{2 \times 169 + 2 \times 225 – 196}{4} = \frac{338 + 450 – 196}{4} = \frac{592}{4} = 148$$

$$m_b = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \approx 12.17 \text{ cm}$$

Trung tuyến $m_c$ (ứng với cạnh 15cm):

$$m_c^2 = \frac{2 \times 13^2 + 2 \times 14^2 – 15^2}{4}$$

$$m_c^2 = \frac{2 \times 169 + 2 \times 196 – 225}{4} = \frac{338 + 392 – 225}{4} = \frac{505}{4}$$

$$m_c = \frac{\sqrt{505}}{2} \approx 11.24 \text{ cm}$$

Đáp án: $m_a \approx 12.97$ cm, $m_b \approx 12.17$ cm, $m_c \approx 11.24$ cm

III. Công Thức Trung Tuyến Tam Giác Đều

1. Đặc điểm tam giác đều

Tam giác đều có những đặc điểm đặc biệt:

• Ba cạnh bằng nhau: $a = b = c$
• Ba góc bằng nhau: mỗi góc 60°
• Ba đường trung tuyến bằng nhau: $m_a = m_b = m_c$
• Đường trung tuyến = Đường cao = Đường phân giác

2. Công thức đường trung tuyến tam giác đều

$$m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Giống hệt công thức đường cao tam giác đều!

Chứng minh:

Áp dụng công thức tổng quát với $a = b = c$:

$$m^2 = \frac{2a^2 + 2a^2 – a^2}{4} = \frac{4a^2 – a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$

$$m = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Ví dụ 5: Tam giác đều có cạnh 10cm. Tính đường trung tuyến.

Lời giải:

$$m = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ cm}$$

Đáp án: $5\sqrt{3}$ cm (≈ 8.66 cm)

Ví dụ 6: Tam giác đều có đường trung tuyến 12cm. Tính cạnh.

Lời giải:

Từ công thức $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra:

$$a = \frac{2m}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 12}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \approx 13.86 \text{ cm}$$

Đáp án: $8\sqrt{3}$ cm (≈ 13.86 cm)

3. Mối liên hệ với trọng tâm

Trong tam giác đều, trọng tâm G chia đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1:

Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh:

$$AG = \frac{2}{3}m = \frac{2}{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Khoảng cách từ trọng tâm đến cạnh đối diện:

$$GM = \frac{1}{3}m = \frac{1}{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

IV. Công Thức Trung Tuyến Tam Giác Cân

1. Đặc điểm tam giác cân

Tam giác cân ABC (cân tại A) có:

• Hai cạnh bên bằng nhau: $AB = AC = b$
• Cạnh đáy: $BC = a$
• Đường trung tuyến từ đỉnh cân = Đường cao = Đường phân giác

2. Đường trung tuyến từ đỉnh cân

$$m_A = \sqrt{b^2 – \frac{a^2}{4}}$$

Giống hệt công thức đường cao tam giác cân!

Chứng minh:

Đường trung tuyến AM từ A xuống BC, với M là trung điểm BC, tạo tam giác vuông AMB:

• Cạnh huyền: AB = $b$
• Một cạnh góc vuông: BM = $\frac{a}{2}$
• Cạnh góc vuông còn lại: AM = $m_A$

Theo định lý Pythagore:

$$m_A^2 = b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2 – \frac{a^2}{4}$$

Ví dụ 7: Tam giác cân có cạnh bên 10cm, cạnh đáy 12cm. Tính đường trung tuyến từ đỉnh cân.

Lời giải:

$$m_A = \sqrt{10^2 – \frac{12^2}{4}} = \sqrt{100 – \frac{144}{4}} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$

Đáp án: 8 cm

3. Đường trung tuyến từ đỉnh đáy

Đường trung tuyến từ B hoặc C (đỉnh ở đáy) lên cạnh bên được tính bằng công thức tổng quát:

$$m_B^2 = \frac{2b^2 + 2b^2 – a^2}{4} = \frac{4b^2 – a^2}{4}$$

$$m_B = \frac{1}{2}\sqrt{4b^2 – a^2}$$

Do tính đối xứng: $m_B = m_C$

Ví dụ 8: Tam giác cân có cạnh bên 13cm, cạnh đáy 10cm. Tính đường trung tuyến từ đỉnh đáy.

Lời giải:

$$m_B^2 = \frac{4 \times 13^2 – 10^2}{4} = \frac{4 \times 169 – 100}{4} = \frac{676 – 100}{4} = \frac{576}{4} = 144$$

$$m_B = 12 \text{ cm}$$

Đáp án: 12 cm

4. Bảng tổng hợp tam giác cân

V. Công Thức Trung Tuyến Tam Giác Vuông

1. Tính chất đặc biệt

Trong tam giác vuông (vuông tại A), đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông có tính chất CỰC KỲ QUAN TRỌNG:

$$m_A = \frac{a}{2}$$

Trong đó $a$ là cạnh huyền BC.

Nghĩa là: Đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền!

Ví dụ 9: Tam giác vuông có cạnh huyền 10cm. Tính đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông.

Lời giải:

$$m_A = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$$

Đáp án: 5 cm

2. Chứng minh công thức

Cho tam giác ABC vuông tại A:

• Cạnh huyền: $BC = a$
• Hai cạnh góc vuông: $AB = c$, $AC = b$

Theo định lý Pythagore: $a^2 = b^2 + c^2$

Áp dụng công thức trung tuyến tổng quát:

$$m_A^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4}$$

Thay $a^2 = b^2 + c^2$:

$$m_A^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – (b^2 + c^2)}{4} = \frac{b^2 + c^2}{4} = \frac{a^2}{4}$$

$$m_A = \frac{a}{2}$$ ✓

3. Đường trung tuyến từ đỉnh góc nhọn

Đường trung tuyến từ B hoặc C (đỉnh góc nhọn) được tính bằng công thức tổng quát:

$$m_B^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 – b^2}{4}$$

$$m_C^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 – c^2}{4}$$

Ví dụ 10: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6cm và 8cm. Tính đường trung tuyến từ đỉnh góc nhọn B (kề cạnh AB = 6cm).

Lời giải:

• Cạnh huyền: $a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm
• Cạnh đối B: $b = AC = 8$ cm
• Cạnh kề B: $c = AB = 6$ cm

$$m_B^2 = \frac{2 \times 10^2 + 2 \times 6^2 – 8^2}{4}$$

$$m_B^2 = \frac{2 \times 100 + 2 \times 36 – 64}{4} = \frac{200 + 72 – 64}{4} = \frac{208}{4} = 52$$

$$m_B = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21 \text{ cm}$$

Đáp án: $2\sqrt{13}$ cm (≈ 7.21 cm)

4. Tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân (vuông tại A) có:

• Hai cạnh góc vuông bằng nhau: $b = c$
• Cạnh huyền: $a = b\sqrt{2}$

Đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông:

$$m_A = \frac{a}{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2}$$

Đường trung tuyến từ đỉnh góc 45°:

Do tính đối xứng và tính toán: $m_B = m_C = \frac{a\sqrt{5}}{4}$

VI. Bảng Tổng Hợp Công Thức

Quan hệ giữa ba trung tuyến:

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$$

VII. Bài Tập Tổng Hợp

Dạng 1: Tam giác thường (8 bài)

Bài 1: Tam giác có ba cạnh 7cm, 8cm, 9cm. Tính đường trung tuyến ứng với cạnh 7cm.

Lời giải:

$$m_7^2 = \frac{2 \times 8^2 + 2 \times 9^2 – 7^2}{4}$$

$$m_7^2 = \frac{2 \times 64 + 2 \times 81 – 49}{4} = \frac{128 + 162 – 49}{4} = \frac{241}{4}$$

$$m_7 = \frac{\sqrt{241}}{2} \approx 7.76 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{\sqrt{241}}{2}$ cm (≈ 7.76 cm)

Bài 2: Tam giác có ba cạnh 5cm, 6cm, 7cm. Tính cả ba đường trung tuyến.

Lời giải:

• $m_5^2 = \frac{2 \times 36 + 2 \times 49 – 25}{4} = \frac{72 + 98 – 25}{4} = \frac{145}{4}$$m_5 = \frac{\sqrt{145}}{2} \approx 6.02$ cm
• $m_6^2 = \frac{2 \times 25 + 2 \times 49 – 36}{4} = \frac{50 + 98 – 36}{4} = \frac{112}{4} = 28$$m_6 = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5.29$ cm
• $m_7^2 = \frac{2 \times 25 + 2 \times 36 – 49}{4} = \frac{50 + 72 – 49}{4} = \frac{73}{4}$$m_7 = \frac{\sqrt{73}}{2} \approx 4.27$ cm

Đáp án: $m_5 \approx 6.02$ cm, $m_6 \approx 5.29$ cm, $m_7 \approx 4.27$ cm

Bài 3: Tam giác có $b = 10$cm, $c = 8$cm, $m_a = 6$cm. Tính cạnh $a$.

Lời giải:

$$a^2 = 2b^2 + 2c^2 – 4m_a^2$$

$$a^2 = 2 \times 100 + 2 \times 64 – 4 \times 36$$

$$a^2 = 200 + 128 – 144 = 184$$

$$a = \sqrt{184} = 2\sqrt{46} \approx 13.56 \text{ cm}$$

Đáp án: $2\sqrt{46}$ cm (≈ 13.56 cm)

Bài 4: Tam giác có ba cạnh 3cm, 4cm, 5cm. Tính trung tuyến ứng với cạnh 5cm.

Lời giải:

$$m_5^2 = \frac{2 \times 9 + 2 \times 16 – 25}{4} = \frac{18 + 32 – 25}{4} = \frac{25}{4}$$

$$m_5 = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}$$

Đáp án: 2.5 cm

Bài 5: Tam giác có $m_a = 8$cm, $m_b = 6$cm, $m_c = 5$cm. Tính $a^2 + b^2 + c^2$.

Lời giải:

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$$

$$64 + 36 + 25 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$$

$$125 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{125 \times 4}{3} = \frac{500}{3} \approx 166.67 \text{ cm}^2$$

Đáp án: $\frac{500}{3}$ cm² (≈ 166.67 cm²)

Bài 6: Tam giác có ba cạnh 10cm, 12cm, 14cm. Tính trung tuyến ứng với cạnh 10cm.

Lời giải:

$$m_{10}^2 = \frac{2 \times 144 + 2 \times 196 – 100}{4}$$

$$m_{10}^2 = \frac{288 + 392 – 100}{4} = \frac{580}{4} = 145$$

$$m_{10} = \sqrt{145} \approx 12.04 \text{ cm}$$

Đáp án: $\sqrt{145}$ cm (≈ 12.04 cm)

Bài 7: Tam giác có $a = 9$cm, $b = 7$cm, $m_c = 5$cm. Tính cạnh $c$.

Lời giải:

$$c^2 = 2a^2 + 2b^2 – 4m_c^2$$

$$c^2 = 2 \times 81 + 2 \times 49 – 4 \times 25$$

$$c^2 = 162 + 98 – 100 = 160$$

$$c = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \approx 12.65 \text{ cm}$$

Đáp án: $4\sqrt{10}$ cm (≈ 12.65 cm)

Bài 8: Tam giác có ba cạnh 6cm, 8cm, 10cm. Tính tổng bình phương ba trung tuyến.

Lời giải:

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$$

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(36 + 64 + 100) = \frac{3}{4} \times 200 = 150 \text{ cm}^2$$

Đáp án: 150 cm²

Dạng 2: Tam giác đều (8 bài)

Bài 9: Tam giác đều có cạnh 12cm. Tính đường trung tuyến.

Lời giải:

$$m = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ cm}$$

Đáp án: $6\sqrt{3}$ cm (≈ 10.39 cm)

Bài 10: Tam giác đều có đường trung tuyến 9cm. Tính cạnh.

Lời giải:

$$a = \frac{2m}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 9}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ cm}$$

Đáp án: $6\sqrt{3}$ cm (≈ 10.39 cm)

Bài 11: Tam giác đều có cạnh 8cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh.

Lời giải:

$$AG = \frac{2}{3}m = \frac{2}{3} \times \frac{8\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{3} \times 4\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm (≈ 4.62 cm)

Bài 12: Tam giác đều có trung tuyến 15cm. Tính chu vi.

Lời giải:

• Cạnh: $a = \frac{2 \times 15}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$ cm
• Chu vi: $P = 3a = 3 \times 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3} \approx 51.96$ cm

Đáp án: $30\sqrt{3}$ cm (≈ 51.96 cm)

Bài 13: Tam giác đều có cạnh 20mm. Tính trung tuyến.

Lời giải:

$$m = \frac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ mm}$$

Đáp án: $10\sqrt{3}$ mm (≈ 17.32 mm)

Bài 14: Tam giác đều có trung tuyến 6cm. Tính cạnh.

Lời giải:

$$a = \frac{2 \times 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ cm}$$

Đáp án: $4\sqrt{3}$ cm (≈ 6.93 cm)

Bài 15: Tam giác đều có cạnh 14cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm đến cạnh.

Lời giải:

$$GM = \frac{1}{3}m = \frac{1}{3} \times \frac{14\sqrt{3}}{2} = \frac{14\sqrt{3}}{6} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4.04 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{7\sqrt{3}}{3}$ cm (≈ 4.04 cm)

Bài 16: Tam giác đều có đường trung tuyến 18cm. Tính diện tích.

Lời giải:

• Cạnh: $a = \frac{2 \times 18}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$ cm
• Diện tích: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(12\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144 \times 3 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{432\sqrt{3}}{4} = 108\sqrt{3} \approx 187.06$ cm²

Đáp án: $108\sqrt{3}$ cm² (≈ 187.06 cm²)

Dạng 3: Tam giác cân và vuông (8 bài)

Bài 17: Tam giác cân có cạnh bên 13cm, cạnh đáy 10cm. Tính trung tuyến từ đỉnh.

Lời giải:

$$m_A = \sqrt{13^2 – \frac{10^2}{4}} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$

Đáp án: 12 cm

Bài 18: Tam giác vuông có cạnh huyền 14cm. Tính trung tuyến từ góc vuông.

Lời giải:

$$m_A = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm}$$

Đáp án: 7 cm

Bài 19: Tam giác cân có cạnh bên 10cm, cạnh đáy 12cm. Tính trung tuyến từ đỉnh đáy.

Lời giải:

$$m_B^2 = \frac{4 \times 10^2 – 12^2}{4} = \frac{400 – 144}{4} = \frac{256}{4} = 64$$

$$m_B = 8 \text{ cm}$$

Đáp án: 8 cm

Bài 20: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5cm và 12cm. Tính trung tuyến từ góc vuông.

Lời giải:

• Cạnh huyền: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ cm
• Trung tuyến: $m_A = \frac{13}{2} = 6.5$ cm

Đáp án: 6.5 cm

Bài 21: Tam giác cân có cạnh bên 17cm, trung tuyến từ đỉnh 15cm. Tính cạnh đáy.

Lời giải:

$$m_A = \sqrt{b^2 – \frac{a^2}{4}}$$

$$15 = \sqrt{17^2 – \frac{a^2}{4}}$$

$$225 = 289 – \frac{a^2}{4}$$

$$\frac{a^2}{4} = 64$$

$$a^2 = 256$$

$$a = 16 \text{ cm}$$

Đáp án: 16 cm

Bài 22: Tam giác vuông có cạnh huyền 20cm, một cạnh góc vuông 12cm. Tính trung tuyến từ đỉnh góc nhọn (kề cạnh 12cm).

Lời giải:

• Cạnh góc vuông còn lại: $b = \sqrt{20^2 – 12^2} = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16$ cm
• Cạnh đối B (kề 12cm): $b = 16$ cm
• Cạnh kề B: $c = 12$ cm

$$m_B^2 = \frac{2 \times 20^2 + 2 \times 12^2 – 16^2}{4}$$

$$m_B^2 = \frac{800 + 288 – 256}{4} = \frac{832}{4} = 208$$

$$m_B = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \approx 14.42 \text{ cm}$$

Đáp án: $4\sqrt{13}$ cm (≈ 14.42 cm)

Bài 23: Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 8cm. Tính trung tuyến từ góc vuông.

Lời giải:

• Cạnh huyền: $a = 8\sqrt{2}$ cm
• Trung tuyến: $m_A = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66$ cm

Đáp án: $4\sqrt{2}$ cm (≈ 5.66 cm)

Bài 24: Tam giác cân có cạnh bên 15cm, đáy 18cm. Tính cả hai loại trung tuyến.

Lời giải:

• Trung tuyến từ đỉnh:

$$m_A = \sqrt{15^2 – \frac{18^2}{4}} = \sqrt{225 – 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$

• Trung tuyến từ đáy:

$$m_B^2 = \frac{4 \times 15^2 – 18^2}{4} = \frac{900 – 324}{4} = \frac{576}{4} = 144$$

$$m_B = 12 \text{ cm}$$

Đáp án: $m_A = 12$ cm, $m_B = 12$ cm

VIII. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã hệ thống hóa đầy đủ các công thức tính đường trung tuyến tam giác:

Công thức tổng quát: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4}$

Tam giác đều: $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác cân (từ đỉnh): $m_A = \sqrt{b^2 – \frac{a^2}{4}}$

Tam giác vuông (từ góc vuông): $m_A = \frac{a}{2}$ (a: cạnh huyền)

Quan hệ ba trung tuyến: $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$

24 bài tập có lời giải chi tiết (8 bài/dạng)

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa