I. GIỚI THIỆU VỀ DÃY SỐ CÁCH ĐỀU

1. Dãy số cách đều là gì?

Định nghĩa đơn giản: Dãy số cách đều là một dãy các số được xếp theo thứ tự, trong đó mỗi số cách nhau một khoảng bằng nhau (cố định).

Tên gọi khác:

• Dãy số đều
• Dãy số có khoảng cách đều
• Cấp số cộng (ở lớp lớn hơn – THPT)

Ví dụ dễ hiểu:

Ví dụ 1: Dãy 1, 3, 5, 7, 9

• Số thứ 2 hơn số thứ 1: 3 – 1 = 2
• Số thứ 3 hơn số thứ 2: 5 – 3 = 2
• Số thứ 4 hơn số thứ 3: 7 – 5 = 2
• → Các số cách nhau 2 đơn vị → Đây là dãy số cách đều

Ví dụ 2: Dãy 10, 20, 30, 40, 50

• Mỗi số cách nhau 10 đơn vị
• Đây là dãy số cách đều

Ví dụ 3: Dãy 2, 5, 9, 12

• 5 – 2 = 3
• 9 – 5 = 4
• 12 – 9 = 3
• → Khoảng cách không đều → KHÔNG phải dãy số cách đều

2. Các khái niệm cơ bản

Cách tính khoảng cách: $$\text{Khoảng cách} = \text{Số sau} – \text{Số trước}$$

Ví dụ: Dãy 5, 8, 11, 14

• Khoảng cách: 8 – 5 = 3

3. Bài toán cơ bản

Với dãy số cách đều, chúng ta thường gặp 3 loại bài toán chính:

Bài toán 1: Tìm số số hạng

• Câu hỏi: Dãy có bao nhiêu số?
• Ví dụ: Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số?

Bài toán 2: Tìm số hạng thứ n

• Câu hỏi: Số thứ 10 (hoặc thứ n) là số nào?
• Ví dụ: Dãy 3, 6, 9, 12… thì số thứ 20 là số nào?

Bài toán 3: Tìm tổng

• Câu hỏi: Tổng các số trong dãy là bao nhiêu?
• Ví dụ: Tính 1 + 2 + 3 + … + 50 = ?

4. Phân chia theo lớp

Dãy số cách đều được học ở nhiều cấp với độ khó tăng dần:

Lớp 3-4:

• Dãy số đơn giản, số nhỏ
• Khoảng cách nhỏ (1, 2, 5, 10)
• Ví dụ: 2, 4, 6, 8, 10

Lớp 5-6:

• Dãy số phức tạp hơn, số lớn hơn
• Khoảng cách đa dạng
• Ví dụ: 15, 23, 31, 39, 47

THCS (Lớp 7-9):

• Gọi là “Cấp số cộng”
• Công thức tổng quát hơn
• Liên hệ với đại số

II. CÔNG THỨC TÍNH SỐ SỐ HẠNG

1. Công thức cơ bản (Lớp 3, 4)

📌 Công thức đơn giản:

$$\boxed{\text{Số số hạng} = \frac{\text{Số cuối} – \text{Số đầu}}{\text{Khoảng cách}} + 1}$$

Hoặc viết bằng ký hiệu toán học:

$$\boxed{n = \frac{u_{\text{cuối}} – u_{\text{đầu}}}{d} + 1}$$

Trong đó:

• $n$: số số hạng (số lượng số trong dãy)
• $u_{\text{đầu}}$: số hạng đầu tiên
• $u_{\text{cuối}}$: số hạng cuối cùng
• $d$: khoảng cách (hiệu của 2 số liên tiếp)

⚠️ LƯU Ý QUAN TRỌNG: Nhớ CỘNG 1 ở cuối công thức! Đây là điểm học sinh hay quên nhất.

2. Giải thích công thức

Tại sao phải cộng 1?

Hãy xem ví dụ đơn giản này:

Ví dụ: Từ số 1 đến số 5 (cách nhau 1), có bao nhiêu số?

Cách 1: Đếm trực tiếp

• Các số là: 1, 2, 3, 4, 5
• Đếm ra: có 5 số

Cách 2: Dùng công thức KHÔNG cộng 1 (SAI)

• $(5 – 1) \div 1 = 4$ → Kết quả SAI

Cách 3: Dùng công thức CÓ cộng 1 (ĐÚNG)

• $(5 – 1) \div 1 + 1 = 4 + 1 = 5$ → Kết quả ĐÚNG ✓

Giải thích: Từ 1 đến 5, ta đi qua 4 bước (1→2→3→4→5), nhưng có tất cả 5 số (kể cả số đầu và số cuối). Vì vậy phải cộng thêm 1.

Quy tắc ghi nhớ: “Chia xong nhớ cộng 1”

3. Các bước tính số số hạng

Bước 1: Xác định số đầu và số cuối của dãy

Bước 2: Tính khoảng cách (lấy số sau trừ số trước)

Bước 3: Áp dụng công thức: $$(u_{\text{cuối}} – u_{\text{đầu}}) \div d + 1$$

Bước 4: Kiểm tra kết quả (nếu số nhỏ có thể đếm thử)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Lớp 3): Đếm từ 1 đến 10. Có bao nhiêu số?

Lời giải:

• Số đầu: 1
• Số cuối: 10
• Khoảng cách: 1 (các số liên tiếp)

Áp dụng công thức: $$n = \frac{10 – 1}{1} + 1 = \frac{9}{1} + 1 = 9 + 1 = 10 \text{ số}$$

Kiểm tra: Đếm trực tiếp: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Đúng 10 số ✓

Ví dụ 2 (Lớp 4): Dãy: 5, 10, 15, 20, 25, 30. Có bao nhiêu số?

Lời giải:

• Số đầu: 5
• Số cuối: 30
• Khoảng cách: 10 – 5 = 5

Áp dụng công thức: $$n = \frac{30 – 5}{5} + 1 = \frac{25}{5} + 1 = 5 + 1 = 6 \text{ số}$$

Kiểm tra: Đếm trực tiếp: 5, 10, 15, 20, 25, 30 → Đúng 6 số ✓

Ví dụ 3 (Lớp 5): Các số chẵn từ 20 đến 100. Có bao nhiêu số?

Lời giải:

• Số chẵn đầu tiên: 20
• Số chẵn cuối cùng: 100
• Khoảng cách giữa các số chẵn: 2

Áp dụng công thức: $$n = \frac{100 – 20}{2} + 1 = \frac{80}{2} + 1 = 40 + 1 = 41 \text{ số}$$

Đáp án: Có 41 số chẵn từ 20 đến 100.

Ví dụ 4 (Lớp 6): Các số chia hết cho 7 từ 7 đến 140. Có bao nhiêu số?

Lời giải:

• Số chia hết cho 7 đầu tiên: 7
• Số chia hết cho 7 cuối cùng: 140
• Khoảng cách: 7 (vì mỗi số chia hết cho 7 cách nhau 7 đơn vị)

Áp dụng công thức: $$n = \frac{140 – 7}{7} + 1 = \frac{133}{7} + 1 = 19 + 1 = 20 \text{ số}$$

Đáp án: Có 20 số chia hết cho 7 từ 7 đến 140.

5. Dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: Đếm các số từ a đến b

Công thức đặc biệt khi các số liên tiếp nhau (khoảng cách = 1): $$n = b – a + 1$$

Ví dụ: Từ 15 đến 50 có bao nhiêu số? $$n = 50 – 15 + 1 = 36 \text{ số}$$

Dạng 2: Đếm các số chẵn/lẻ trong khoảng

Phương pháp:

• Tìm số chẵn/lẻ đầu tiên và cuối cùng
• Khoảng cách luôn là 2

Ví dụ: Có bao nhiêu số lẻ từ 11 đến 99?

• Số lẻ đầu: 11
• Số lẻ cuối: 99
• Khoảng cách: 2 $$n = \frac{99 – 11}{2} + 1 = \frac{88}{2} + 1 = 44 + 1 = 45 \text{ số}$$

Dạng 3: Đếm các số chia hết cho k

Phương pháp:

• Tìm số chia hết cho k đầu tiên và cuối cùng trong khoảng
• Khoảng cách là k

Ví dụ: Có bao nhiêu số chia hết cho 3 từ 1 đến 90?

• Số đầu: 3
• Số cuối: 90
• Khoảng cách: 3 $$n = \frac{90 – 3}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30 \text{ số}$$

III. CÔNG THỨC TÍNH SỐ HẠNG THỨ n

1. Công thức số hạng thứ n

📌 Công thức:

$$\boxed{u_n = u_1 + (n – 1) \times d}$$

Trong đó:

• $u_n$: số hạng thứ n (số cần tìm)
• $u_1$: số hạng đầu tiên
• $n$: thứ tự (vị trí của số cần tìm)
• $d$: khoảng cách giữa các số liên tiếp

Giải thích công thức: Từ số đầu tiên, để đến số thứ n, ta phải cộng thêm khoảng cách d tổng cộng $(n-1)$ lần.

Ví dụ minh họa:

• Số thứ 1: $u_1$
• Số thứ 2: $u_1 + d$ (cộng 1 lần d)
• Số thứ 3: $u_1 + 2d$ (cộng 2 lần d)
• Số thứ 4: $u_1 + 3d$ (cộng 3 lần d)
• …
• Số thứ n: $u_1 + (n-1)d$ (cộng n-1 lần d)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Dãy 3, 7, 11, 15, 19… Tìm số hạng thứ 10?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng

• Số đầu: $u_1 = 3$
• Khoảng cách: $d = 7 – 3 = 4$
• Cần tìm: $u_{10}$ (số thứ 10)

Bước 2: Áp dụng công thức $$u_{10} = 3 + (10-1) \times 4$$ $$= 3 + 9 \times 4$$ $$= 3 + 36 = 39$$

Đáp án: Số hạng thứ 10 là 39.

Kiểm tra: Viết tiếp dãy: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39 ✓

Ví dụ 2: Dãy các số lẻ: 1, 3, 5, 7, 9… Số hạng thứ 20 là số nào?

Lời giải:

• $u_1 = 1$ (số lẻ đầu tiên)
• $d = 2$ (khoảng cách giữa các số lẻ)
• $n = 20$

Áp dụng công thức: $$u_{20} = 1 + (20-1) \times 2$$ $$= 1 + 19 \times 2$$ $$= 1 + 38 = 39$$

Đáp án: Số lẻ thứ 20 là 39.

Ví dụ 3: Dãy bội của 5: 5, 10, 15, 20, 25… Số thứ 15 là số nào?

Lời giải:

• $u_1 = 5$
• $d = 5$
• $n = 15$

Áp dụng công thức: $$u_{15} = 5 + (15-1) \times 5$$ $$= 5 + 14 \times 5$$ $$= 5 + 70 = 75$$

Đáp án: Bội thứ 15 của 5 là 75.

3. Bài toán ngược: Tìm vị trí của một số

Bài toán: Số 47 ở vị trí thứ mấy trong dãy 3, 7, 11, 15, 19…?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết

• $u_n = 47$ (số cần tìm vị trí)
• $u_1 = 3$
• $d = 4$

Bước 2: Áp dụng công thức $u_n = u_1 + (n-1) \times d$ $$47 = 3 + (n-1) \times 4$$

Bước 3: Giải phương trình $$47 – 3 = (n-1) \times 4$$ $$44 = (n-1) \times 4$$ $$n – 1 = 44 \div 4$$ $$n – 1 = 11$$ $$n = 12$$

Đáp án: Số 47 là số hạng thứ 12 trong dãy.

Kiểm tra: $u_{12} = 3 + 11 \times 4 = 3 + 44 = 47$ ✓

IV. CÔNG THỨC TÍNH TỔNG DÃY SỐ CÁCH ĐỀU

1. Công thức tính tổng (Phương pháp Gauss)

📌 Công thức cơ bản:

$$\boxed{S = \frac{(\text{Số đầu} + \text{Số cuối}) \times \text{Số số hạng}}{2}}$$

Hoặc viết bằng ký hiệu:

$$\boxed{S = \frac{(u_{\text{đầu}} + u_{\text{cuối}}) \times n}{2}}$$

Ý nghĩa công thức:

• Tổng = Trung bình cộng của số đầu và số cuối × Số lượng số
• Hoặc: Tổng = (Số đầu + Số cuối) × Số lượng số ÷ 2

2. Nguồn gốc công thức – Câu chuyện Gauss

Truyền thuyết nổi tiếng:

Khi còn là học sinh tiểu học (khoảng 7-8 tuổi), nhà toán học thiên tài Carl Friedrich Gauss được thầy giáo ra bài tính tổng từ 1 đến 100 để giữ lớp yên lặng. Trong khi các bạn còn đang tính, Gauss đã nhanh chóng đưa ra đáp án đúng!

Phương pháp thông minh của Gauss:

Gauss không cộng từng số một, mà sử dụng cách ghép cặp:

• Ghép số đầu với số cuối: (1 + 100) = 101
• Ghép số thứ 2 với số kế cuối: (2 + 99) = 101
• Ghép số thứ 3 với số kế nữa: (3 + 98) = 101
• …
• Ghép số thứ 50 với số thứ 51: (50 + 51) = 101

Nhận xét:

• Mỗi cặp có tổng = 101
• Có tất cả 50 cặp (100 số chia đôi)
• Tổng = $101 \times 50 = 5050$

Công thức tổng quát: $$S = \frac{(1 + 100) \times 100}{2} = \frac{101 \times 100}{2} = 5050$$

3. Các bước tính tổng

Bước 1: Tìm số đầu và số cuối của dãy

Bước 2: Tính số số hạng (dùng công thức ở Phần II nếu chưa biết)

Bước 3: Áp dụng công thức tổng: $$S = \frac{(u_{\text{đầu}} + u_{\text{cuối}}) \times n}{2}$$

Bước 4: Kiểm tra kết quả (tổng phải lớn hơn số lớn nhất trong dãy)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Lớp 3): Tính tổng: 1 + 2 + 3 + … + 20

Lời giải:

Bước 1: Xác định

• Số đầu: 1
• Số cuối: 20
• Số số hạng: $n = 20 – 1 + 1 = 20$

Bước 2: Áp dụng công thức $$S = \frac{(1 + 20) \times 20}{2}$$ $$= \frac{21 \times 20}{2}$$ $$= \frac{420}{2} = 210$$

Đáp án: $1 + 2 + 3 + … + 20 = 210$

Ví dụ 2 (Lớp 4): Tính tổng: 2 + 4 + 6 + 8 + … + 50

Lời giải:

Bước 1: Xác định

• Số đầu: 2
• Số cuối: 50
• Khoảng cách: 2

Bước 2: Tính số số hạng $$n = \frac{50 – 2}{2} + 1 = \frac{48}{2} + 1 = 24 + 1 = 25$$

Bước 3: Tính tổng $$S = \frac{(2 + 50) \times 25}{2}$$ $$= \frac{52 \times 25}{2}$$ $$= \frac{1300}{2} = 650$$

Đáp án: $2 + 4 + 6 + … + 50 = 650$

Ví dụ 3 (Lớp 5): Tính tổng các số lẻ từ 1 đến 99

Lời giải:

Bước 1: Xác định

• Số lẻ đầu: 1
• Số lẻ cuối: 99
• Khoảng cách: 2

Bước 2: Tính số số hạng $$n = \frac{99 – 1}{2} + 1 = \frac{98}{2} + 1 = 49 + 1 = 50$$

Bước 3: Tính tổng $$S = \frac{(1 + 99) \times 50}{2}$$ $$= \frac{100 \times 50}{2}$$ $$= \frac{5000}{2} = 2500$$

Đáp án: Tổng các số lẻ từ 1 đến 99 là 2500.

Ví dụ 4 (Lớp 6): Tính tổng các bội của 7 từ 7 đến 140

Lời giải:

Bước 1: Xác định

• Bội đầu: 7
• Bội cuối: 140
• Khoảng cách: 7

Bước 2: Tính số số hạng $$n = \frac{140 – 7}{7} + 1 = \frac{133}{7} + 1 = 19 + 1 = 20$$

Bước 3: Tính tổng $$S = \frac{(7 + 140) \times 20}{2}$$ $$= \frac{147 \times 20}{2}$$ $$= \frac{2940}{2} = 1470$$

Đáp án: Tổng các bội của 7 từ 7 đến 140 là 1470.

5. Công thức tổng dạng khác

Khi biết số đầu, khoảng cách và số số hạng (chưa biết số cuối):

$$\boxed{S = \frac{n \times [2u_1 + (n-1) \times d]}{2}}$$

Ví dụ: Dãy bắt đầu từ 5, cách đều 3 đơn vị, có 10 số. Tính tổng?

Lời giải:

• $u_1 = 5$
• $d = 3$
• $n = 10$

Áp dụng công thức: $$S = \frac{10 \times [2 \times 5 + (10-1) \times 3]}{2}$$ $$= \frac{10 \times [10 + 9 \times 3]}{2}$$ $$= \frac{10 \times [10 + 27]}{2}$$ $$= \frac{10 \times 37}{2}$$ $$= \frac{370}{2} = 185$$

Đáp án: Tổng là 185.

V. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức số số hạng

Lưu ý: Luôn nhớ CỘNG 1 ở cuối công thức!

B. Công thức số hạng thứ n

C. Công thức tổng

D. Bảng tóm tắt theo lớp

VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Đếm các số từ a đến b

Bài 1: Từ 15 đến 75 có bao nhiêu số?

Lời giải:

Các số liên tiếp nhau (khoảng cách = 1), dùng công thức đơn giản: $$n = 75 – 15 + 1 = 61 \text{ số}$$

Đáp án: Có 61 số từ 15 đến 75.

Dạng 2: Đếm các số chẵn/lẻ

Bài 2: Có bao nhiêu số chẵn từ 10 đến 100?

Lời giải:

Bước 1: Xác định

• Số chẵn đầu tiên: 10
• Số chẵn cuối cùng: 100
• Khoảng cách giữa các số chẵn: 2

Bước 2: Áp dụng công thức $$n = \frac{100 – 10}{2} + 1 = \frac{90}{2} + 1 = 45 + 1 = 46$$

Đáp án: Có 46 số chẵn từ 10 đến 100.

Dạng 3: Đếm các bội của k

Bài 3: Có bao nhiêu số chia hết cho 5 từ 1 đến 100?

Lời giải:

Bước 1: Xác định

• Số chia hết cho 5 đầu tiên trong khoảng: 5
• Số chia hết cho 5 cuối cùng trong khoảng: 100
• Khoảng cách: 5

Bước 2: Áp dụng công thức $$n = \frac{100 – 5}{5} + 1 = \frac{95}{5} + 1 = 19 + 1 = 20$$

Đáp án: Có 20 số chia hết cho 5 từ 1 đến 100.

Dạng 4: Tính tổng

Bài 4: Tính: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 49

Lời giải:

Bước 1: Xác định

• Số đầu: 1
• Số cuối: 49
• Khoảng cách: 2

Bước 2: Tính số số hạng $$n = \frac{49 – 1}{2} + 1 = \frac{48}{2} + 1 = 24 + 1 = 25$$

Bước 3: Tính tổng $$S = \frac{(1 + 49) \times 25}{2} = \frac{50 \times 25}{2} = \frac{1250}{2} = 625$$

Đáp án: $1 + 3 + 5 + … + 49 = 625$

Dạng 5: Tìm số hạng thứ n

Bài 5: Dãy 7, 12, 17, 22, 27… Số hạng thứ 20 là số nào?

Lời giải:

Bước 1: Xác định

• $u_1 = 7$
• $d = 12 – 7 = 5$
• $n = 20$

Bước 2: Áp dụng công thức $$u_{20} = 7 + (20-1) \times 5$$ $$= 7 + 19 \times 5$$ $$= 7 + 95 = 102$$

Đáp án: Số hạng thứ 20 là 102.

Dạng 6: Bài toán thực tế

Bài 6: Một rạp chiếu phim có 20 hàng ghế. Hàng đầu có 15 ghế, mỗi hàng sau có nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Hỏi rạp có tất cả bao nhiêu ghế?

Lời giải:

Bước 1: Phân tích

• Hàng 1: 15 ghế
• Hàng 2: 15 + 2 = 17 ghế
• Hàng 3: 17 + 2 = 19 ghế
• …
• Đây là dãy số cách đều với $u_1 = 15$, $d = 2$, $n = 20$

Bước 2: Tìm số ghế hàng cuối $$u_{20} = 15 + (20-1) \times 2$$ $$= 15 + 19 \times 2$$ $$= 15 + 38 = 53 \text{ ghế}$$

Bước 3: Tính tổng số ghế $$S = \frac{(15 + 53) \times 20}{2}$$ $$= \frac{68 \times 20}{2}$$ $$= \frac{1360}{2} = 680 \text{ ghế}$$

Đáp án: Rạp có tất cả 680 ghế.

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Công thức số số hạng:

Khẩu quyết: “Cuối trừ đầu, chia khoảng cách, cộng 1”

$$n = \frac{u_{\text{cuối}} – u_{\text{đầu}}}{d} + 1$$

Điểm quan trọng nhất: LUÔN NHỚ CỘNG 1 Ở CUỐI!

Công thức tổng:

Khẩu quyết: “(Đầu + Cuối) × Số lượng ÷ 2”

$$S = \frac{(u_{\text{đầu}} + u_{\text{cuối}}) \times n}{2}$$

Cách nhớ: Ghép cặp đầu-cuối, rồi nhân với số cặp (bằng n÷2)

Công thức số hạng thứ n:

Khẩu quyết: “Đầu + (n-1) × Khoảng cách”

$$u_n = u_1 + (n-1) \times d$$

Cách nhớ: Từ số đầu, cộng thêm (n-1) bước, mỗi bước là d

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên cộng 1 trong công thức số số hạng

Sai: $$n = \frac{u_{\text{cuối}} – u_{\text{đầu}}}{d}$$

Đúng: $$n = \frac{u_{\text{cuối}} – u_{\text{đầu}}}{d} + 1$$

❌ SAI LẦM 2: Tính sai khoảng cách

Sai: Lấy số trước trừ số sau

Đúng: Lấy số sau trừ số trước $$d = u_{\text{sau}} – u_{\text{trước}}$$

❌ SAI LẦM 3: Quên chia 2 trong công thức tổng

Sai: $$S = (u_{\text{đầu}} + u_{\text{cuối}}) \times n$$

Đúng: $$S = \frac{(u_{\text{đầu}} + u_{\text{cuối}}) \times n}{2}$$

❌ SAI LẦM 4: Nhầm $(n-1)$ thành $n$

Sai: $$u_n = u_1 + n \times d$$

Đúng: $$u_n = u_1 + (n-1) \times d$$

Giải thích: Từ số thứ 1 đến số thứ n, chỉ có $(n-1)$ bước, không phải $n$ bước.

3. Cách kiểm tra

Kiểm tra số số hạng:

• Nếu dãy nhỏ, đếm thử trực tiếp
• Kết quả phải là số tự nhiên dương

Kiểm tra tổng:

• Tổng phải lớn hơn số lớn nhất trong dãy
• Với dãy nhỏ, tính tay vài số hạng để so sánh

Kiểm tra số hạng thứ n:

• Viết tiếp dãy để xem có đúng không
• Số tìm được phải phù hợp quy luật dãy

4. Mẹo tính nhanh

Với dãy 1, 2, 3, …, n:

• Số số hạng: $n$
• Tổng: $S = \frac{n(n+1)}{2}$

Ví dụ: Tổng từ 1 đến 50: $$S = \frac{50 \times 51}{2} = \frac{2550}{2} = 1275$$

Với các số chẵn/lẻ:

• Khoảng cách luôn là 2
• Số chẵn: 2, 4, 6, 8…
• Số lẻ: 1, 3, 5, 7…

Với bội của k:

• Khoảng cách luôn là k
• Bội của 3: 3, 6, 9, 12… (cách 3)
• Bội của 7: 7, 14, 21, 28… (cách 7)

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ 3 công thức quan trọng về dãy số cách đều:

1. Công thức số số hạng:

$$\boxed{n = \frac{u_{\text{cuối}} – u_{\text{đầu}}}{d} + 1}$$

Ghi nhớ: “Cuối trừ đầu, chia khoảng cách, CỘNG 1”

2. Công thức số hạng thứ n:

$$\boxed{u_n = u_1 + (n-1) \times d}$$

Ghi nhớ: “Đầu + (n-1) × Khoảng cách”

3. Công thức tổng dãy số:

$$\boxed{S = \frac{(u_{\text{đầu}} + u_{\text{cuối}}) \times n}{2}}$$

Ghi nhớ: “(Đầu + Cuối) × Số lượng ÷ 2”

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa