I. Trọng Tâm Tam Giác Là Gì?

1. Định nghĩa trọng tâm tam giác

Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác.

Ký hiệu: G (từ tiếng Anh “Gravity center” – tâm trọng lực)

Đặc điểm quan trọng:

• Trọng tâm là điểm cân bằng hoàn hảo của tam giác
• Nếu cắt một tấm bìa hình tam giác và đặt tại trọng tâm, tam giác sẽ cân bằng
• Trọng tâm là tâm khối lượng khi tam giác được làm từ vật liệu đồng chất

2. Khái niệm đường trung tuyến

Đường trung tuyến là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

Tính chất:

• Mỗi tam giác có đúng 3 đường trung tuyến
• Ba đường trung tuyến luôn đồng quy tại một điểm duy nhất
• Điểm đồng quy đó chính là trọng tâm G

Ký hiệu đường trung tuyến:

• $AM_A$: đường trung tuyến từ A xuống BC (với $M_A$ là trung điểm BC)
• $BM_B$: đường trung tuyến từ B xuống AC (với $M_B$ là trung điểm AC)
• $CM_C$: đường trung tuyến từ C xuống AB (với $M_C$ là trung điểm AB)

3. Vị trí và đặc điểm của trọng tâm

Vị trí:

• Trọng tâm luôn nằm bên trong tam giác (với mọi loại tam giác)
• Không như trực tâm hay tâm ngoại tiếp có thể nằm ngoài tam giác

Đặc điểm vật lý:

• Là tâm khối lượng nếu tam giác làm bằng vật liệu đồng chất
• Nếu treo tam giác tại trọng tâm, tam giác sẽ cân bằng hoàn toàn
• Là điểm có tổng khoảng cách bình phương đến ba đỉnh nhỏ nhất

II. Công Thức Tính Trọng Tâm Tam Giác

1. Công thức tính tọa độ trọng tâm trong hệ tọa độ Oxyz

Cho tam giác ABC với tọa độ 3 đỉnh:

• $A(x_A; y_A; z_A)$
• $B(x_B; y_B; z_B)$
• $C(x_C; y_C; z_C)$

Công thức tọa độ trọng tâm G:

$$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \quad z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$$

Hoặc viết riêng từng tọa độ:

• Hoành độ trọng tâm: $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
• Tung độ trọng tâm: $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

Cách nhớ: “Trung bình cộng tọa độ của 3 đỉnh chia cho 3”

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(4; 6), C(7; 3). Tính tọa độ trọng tâm G.

Lời giải:

• Hoành độ trọng tâm: $$x_G = \frac{1 + 4 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4$$
• Tung độ trọng tâm: $$y_G = \frac{2 + 6 + 3}{3} = \frac{11}{3}$$
• Vậy tọa độ trọng tâm: $G\left(4; \frac{11}{3}\right)$

Đáp án: $G\left(4; \frac{11}{3}\right)$

2. Công thức dạng véc-tơ

Công thức véc-tơ cơ bản:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G:

$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

Công thức véc-tơ với gốc tọa độ:

$$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$$

Trong đó O là gốc tọa độ bất kỳ.

Ứng dụng:

• Công thức véc-tơ rất hữu ích trong chứng minh các bài toán hình học
• Giúp tính toán nhanh vị trí trọng tâm khi làm việc với véc-tơ

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ:

$$\overrightarrow{MG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC})$$

Chứng minh:

Từ công thức $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Ta có: $(\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MG}) + (\overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MG}) + (\overrightarrow{MC} – \overrightarrow{MG}) = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} – 3\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{MG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC})$ ✓

3. Công thức khi biết tọa độ 2 đỉnh và trọng tâm

Bài toán ngược: Biết tọa độ A, B và trọng tâm G, tìm tọa độ C

Công thức:

• $x_C = 3x_G – x_A – x_B$
• $y_C = 3y_G – y_A – y_B$

Giải thích: Từ công thức $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$, suy ra:

$$x_C = 3x_G – x_A – x_B$$

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(4; 1) và trọng tâm G(3; 2). Tìm tọa độ C.

Lời giải:

• Hoành độ C: $$x_C = 3 \times 3 – 2 – 4 = 9 – 6 = 3$$
• Tung độ C: $$y_C = 3 \times 2 – 3 – 1 = 6 – 4 = 2$$
• Vậy C(3; 2)

Đáp án: C(3; 2)

4. Công thức trong không gian Oxyz

Cho tam giác ABC trong không gian 3 chiều:

• $A(x_A; y_A; z_A)$
• $B(x_B; y_B; z_B)$
• $C(x_C; y_C; z_C)$

Công thức tọa độ trọng tâm:

$$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$$

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC trong không gian với A(1; 0; 2), B(3; 4; 1), C(2; 2; 5). Tính tọa độ trọng tâm G.

Lời giải:

$$x_G = \frac{1 + 3 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

$$y_G = \frac{0 + 4 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

$$z_G = \frac{2 + 1 + 5}{3} = \frac{8}{3}$$

Đáp án: $G\left(2; 2; \frac{8}{3}\right)$

III. Tính Chất Quan Trọng Của Trọng Tâm

1. Tính chất chia đường trung tuyến

Tính chất quan trọng nhất:

Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh.

Công thức:

• $AG = 2GM_A$ (với $M_A$ là trung điểm BC)
• $BG = 2GM_B$ (với $M_B$ là trung điểm AC)
• $CG = 2GM_C$ (với $M_C$ là trung điểm AB)

Hoặc viết dưới dạng tỉ lệ:

$$\frac{AG}{GM_A} = \frac{BG}{GM_B} = \frac{CG}{GM_C} = \frac{2}{1}$$

Ví dụ 5: Tam giác ABC có đường trung tuyến từ A xuống BC dài 9cm. Tính độ dài AG và $GM_A$.

Lời giải:

Đường trung tuyến $AM_A = 9$ cm

Do trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 từ đỉnh:

$$AG = \frac{2}{3} \times 9 = 6 \text{ cm}$$

$$GM_A = \frac{1}{3} \times 9 = 3 \text{ cm}$$

Đáp án: AG = 6 cm, $GM_A$ = 3 cm

2. Tính chất về véc-tơ

Tính chất 1: Tổng véc-tơ từ trọng tâm đến 3 đỉnh bằng véc-tơ không:

$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

Tính chất 2: Véc-tơ từ đỉnh đến trọng tâm:

$$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM_A}$$

Tính chất 3: Với điểm M bất kỳ:

$$\overrightarrow{MG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC})$$

3. Tính chất về khoảng cách

Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

$$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4}$$

Trong đó $m_a$ là độ dài đường trung tuyến từ đỉnh A, $a$, $b$, $c$ là ba cạnh.

Mối liên hệ với trọng tâm:

Do $AG = \frac{2}{3}m_a$, ta có:

$$AG^2 = \frac{4m_a^2}{9} = \frac{4}{9} \times \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4} = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{9}$$

Ví dụ 6: Tam giác có ba cạnh a = 5cm, b = 6cm, c = 7cm. Tính khoảng cách AG.

Lời giải:

$$AG^2 = \frac{2 \times 6^2 + 2 \times 7^2 – 5^2}{9} = \frac{72 + 98 – 25}{9} = \frac{145}{9}$$

$$AG = \frac{\sqrt{145}}{3} \approx 4.01 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{\sqrt{145}}{3}$ cm (≈ 4.01 cm)

4. Công thức diện tích liên quan đến trọng tâm

Tính chất chia diện tích:

Trọng tâm chia tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau:

$$S_{GBC} = S_{GCA} = S_{GAB} = \frac{S_{ABC}}{3}$$

Ví dụ 7: Tam giác ABC có diện tích 45 cm². Tính diện tích tam giác GBC (với G là trọng tâm).

Lời giải:

$$S_{GBC} = \frac{S_{ABC}}{3} = \frac{45}{3} = 15 \text{ cm}^2$$

Đáp án: 15 cm²

5. Vị trí đặc biệt trong các loại tam giác

Tam giác đều:

• Trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp O
• Trọng tâm G trùng với tâm đường tròn nội tiếp I
• Trọng tâm G trùng với trực tâm H
• Kết luận: G ≡ H ≡ O ≡ I

Tam giác vuông:

• Trọng tâm vẫn là giao điểm 3 đường trung tuyến
• Tâm ngoại tiếp O nằm tại trung điểm cạnh huyền
• G và O không trùng nhau

Tam giác cân:

• Trọng tâm nằm trên đường cao từ đỉnh (đồng thời là trung tuyến)
• Trọng tâm nằm trên trục đối xứng của tam giác

IV. Các Dạng Bài Tập Về Trọng Tâm

Dạng 1: Tính tọa độ trọng tâm khi biết tọa độ 3 đỉnh

Bài tập 1: Cho tam giác ABC với A(2; 5), B(-1; 3), C(4; -2). Tìm tọa độ trọng tâm G.

Lời giải:

$$x_G = \frac{2 + (-1) + 4}{3} = \frac{5}{3}$$

$$y_G = \frac{5 + 3 + (-2)}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

Đáp án: $G\left(\frac{5}{3}; 2\right)$

Bài tập 2: Trong không gian, cho A(1; 2; 3), B(0; 4; 1), C(3; 0; 2). Tìm tọa độ trọng tâm G.

Lời giải:

$$x_G = \frac{1 + 0 + 3}{3} = \frac{4}{3}$$

$$y_G = \frac{2 + 4 + 0}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

$$z_G = \frac{3 + 1 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

Đáp án: $G\left(\frac{4}{3}; 2; 2\right)$

Dạng 2: Tìm tọa độ đỉnh thứ 3 khi biết 2 đỉnh và trọng tâm

Bài tập 3: Cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2) và trọng tâm G(2; 3). Tìm tọa độ C.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

$$x_C = 3x_G – x_A – x_B = 3 \times 2 – 1 – 3 = 6 – 4 = 2$$

$$y_C = 3y_G – y_A – y_B = 3 \times 3 – 4 – 2 = 9 – 6 = 3$$

Đáp án: C(2; 3)

Bài tập 4: Tam giác ABC có B(0; 0), C(6; 0) và trọng tâm G(4; 2). Tìm tọa độ A.

Lời giải:

$$x_A = 3x_G – x_B – x_C = 3 \times 4 – 0 – 6 = 12 – 6 = 6$$

$$y_A = 3y_G – y_B – y_C = 3 \times 2 – 0 – 0 = 6$$

Đáp án: A(6; 6)

Dạng 3: Chứng minh tính chất về trọng tâm

Bài tập 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ:

$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3MG^2$$

Lời giải:

Sử dụng công thức véc-tơ: $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}$

$$MA^2 = |\overrightarrow{MA}|^2 = |\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}|^2$$

$$MA^2 = MG^2 + GA^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GA}$$

Tương tự: $$MB^2 = MG^2 + GB^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GB}$$ $$MC^2 = MG^2 + GC^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GC}$$

Cộng ba đẳng thức:

$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + (GA^2 + GB^2 + GC^2) + 2\overrightarrow{MG}(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})$$

Vì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$, ta có:

$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3MG^2$$ ✓

Dạng 4: Bài toán ứng dụng thực tế

Bài tập 6: Ba ngôi nhà có tọa độ A(0; 0), B(6; 0), C(3; 6) (đơn vị km). Cần đặt một trạm cấp nước tại vị trí có tổng bình phương khoảng cách đến 3 nhà là nhỏ nhất. Tìm vị trí tối ưu.

Lời giải:

Theo lý thuyết, vị trí có tổng bình phương khoảng cách nhỏ nhất chính là trọng tâm tam giác ABC.

$$x_G = \frac{0 + 6 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

$$y_G = \frac{0 + 0 + 6}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

Đáp án: Đặt trạm tại vị trí G(3; 2), tức là tọa độ (3km; 2km)

Bài tập 7: Một nhà máy cần chọn vị trí kho hàng để phục vụ 3 cửa hàng tại A(2; 1), B(5; 4), C(8; 2). Tìm vị trí tối ưu của kho hàng.

Lời giải:

Vị trí tối ưu là trọng tâm:

$$x_G = \frac{2 + 5 + 8}{3} = \frac{15}{3} = 5$$

$$y_G = \frac{1 + 4 + 2}{3} = \frac{7}{3}$$

Đáp án: $G\left(5; \frac{7}{3}\right)$

Dạng 5: Tìm quỹ tích trọng tâm

Bài tập 8: Cho tam giác ABC có A(0; 0), B(4; 0) cố định, C di động trên đường thẳng $y = x + 2$. Tìm quỹ tích trọng tâm G.

Lời giải:

Gọi C(t; t+2) thuộc đường thẳng $y = x + 2$

Tọa độ trọng tâm:

$$x_G = \frac{0 + 4 + t}{3} = \frac{4 + t}{3}$$

$$y_G = \frac{0 + 0 + (t+2)}{3} = \frac{t + 2}{3}$$

Từ $x_G = \frac{4 + t}{3}$ suy ra $t = 3x_G – 4$

Thay vào biểu thức $y_G$:

$$y_G = \frac{(3x_G – 4) + 2}{3} = \frac{3x_G – 2}{3} = x_G – \frac{2}{3}$$

$$y_G = x_G – \frac{2}{3}$$

Đáp án: Quỹ tích trọng tâm G là đường thẳng $y = x – \frac{2}{3}$ (song song với đường thẳng d)

V. So Sánh Trọng Tâm Với Các Tâm Khác

Lưu ý đặc biệt:

Tam giác đều: G ≡ H ≡ O ≡ I (4 tâm trùng nhau)

Tam giác cân: G, H, O, I cùng nằm trên đường cao từ đỉnh (trục đối xứng)

Tam giác vuông:

• O là trung điểm cạnh huyền
• H trùng với đỉnh góc vuông
• G và I không trùng với các tâm khác

Đường thẳng Euler:

Trong tam giác bất kỳ (không phải tam giác đều), ba điểm G, H, O thẳng hàng và thỏa mãn:

$$\overrightarrow{HG} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HO}$$

Hay: $HG = \frac{1}{2}HO$ và G nằm giữa H và O.

VI. Mẹo Và Lưu Ý Khi Giải Bài Tập Trọng Tâm

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm trọng tâm với tâm đường tròn ngoại tiếp

Đúng: Chỉ tam giác đều mới có G ≡ O. Với tam giác thường, G và O là hai điểm khác nhau.

❌ SAI LẦM 2: Quên chia cho 3 khi tính tọa độ trọng tâm

Sai: $x_G = x_A + x_B + x_C$

Đúng: $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

❌ SAI LẦM 3: Nhầm tỉ lệ 2:1 thành 1:2

Sai: $AG = \frac{1}{3}m_a$ (AG là phần nhỏ)

Đúng: $AG = \frac{2}{3}m_a$ (AG là phần lớn, từ đỉnh đến trọng tâm)

❌ SAI LẦM 4: Nghĩ trọng tâm luôn trùng với trực tâm

Đúng: G ≡ H chỉ xảy ra với tam giác đều. Các tam giác khác G ≠ H.

2. Mẹo tính nhanh

Mẹo 1: Nhớ công thức “cộng rồi chia 3”

Cộng tất cả tọa độ cùng loại của 3 đỉnh, sau đó chia cho 3.

Mẹo 2: Kiểm tra kết quả

Tọa độ trọng tâm phải nằm giữa giá trị min và max của tọa độ các đỉnh.

Ví dụ: Nếu $x_A = 1$, $x_B = 4$, $x_C = 7$ thì $1 < x_G < 7$

Tính ra $x_G = 4$ → Hợp lý ✓

Mẹo 3: Sử dụng tính đối xứng

Với tam giác cân hoặc đều, trọng tâm nằm trên trục đối xứng.

Ví dụ: Tam giác cân có A(0; 4), B(-2; 0), C(2; 0)

Do B và C đối xứng qua trục Oy nên $x_G = 0$

Mẹo 4: Công thức ngược nhanh

Khi biết G và 2 đỉnh, dùng: $x_C = 3x_G – x_A – x_B$

3. Thứ tự giải bài tập

1. Xác định đề bài: Cho gì? Hỏi gì?
2. Vẽ hình minh họa (nếu cần thiết)
3. Chọn công thức phù hợp:
   • Tìm G → Dùng công thức trung bình cộng
   • Tìm đỉnh → Dùng công thức ngược
4. Tính toán cẩn thận: Kiểm tra dấu âm, phân số
5. Kiểm tra kết quả: Xem có hợp lý không

VII. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ về trọng tâm tam giác, bao gồm:

Định nghĩa rõ ràng: Trọng tâm là giao điểm của 3 đường trung tuyến

Công thức tính tọa độ:

• Trong mặt phẳng Oxy: $G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$
• Trong không gian Oxyz: Thêm tọa độ $z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$
• Dạng véc-tơ: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Tính chất quan trọng:

• Chia đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 từ đỉnh
• Chia tam giác thành 3 phần có diện tích bằng nhau

Các dạng bài tập: Từ cơ bản đến nâng cao với 8 bài tập có lời giải chi tiết

Ứng dụng thực tế: Vật lý, kỹ thuật, quy hoạch, đồ họa máy tính

So sánh với các tâm khác: Phân biệt rõ G, H, O, I

Phụ Lục: Bảng Công Thức Nhanh

Công thức trọng tâm – Tóm tắt

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa