I. GIỚI THIỆU VỀ XÁC SUẤT

1. Xác suất là gì?

Định nghĩa: Xác suất là một con số dùng để đo lường mức độ có thể xảy ra của một sự kiện (biến cố) nào đó. Xác suất giúp chúng ta dự đoán khả năng một sự việc sẽ xảy ra trong tương lai dựa trên các điều kiện đã biết.

Giá trị của xác suất:

Xác suất của một biến cố A, ký hiệu là $P(A)$, luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (hoặc từ 0% đến 100%):

• P(A) = 0: Biến cố không thể xảy ra (biến cố không thể)
  • Ví dụ: Xác suất tung xúc xắc được mặt 7 là 0
• P(A) = 1: Biến cố chắc chắn xảy ra (biến cố chắc chắn)
  • Ví dụ: Xác suất tung xúc xắc được mặt từ 1 đến 6 là 1
• 0 < P(A) < 1: Biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra (biến cố ngẫu nhiên)
  • Ví dụ: Xác suất tung xúc xắc được mặt 6 là $\frac{1}{6} \approx 0.167$

Cách biểu diễn:

• Dạng phân số: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$
• Dạng thập phân: 0.5, 0.75
• Dạng phần trăm: 50%, 75%

2. Các khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ xác suất, cần nắm vững các khái niệm sau:

Giải thích chi tiết:

Phép thử: Là một hành động mà kết quả của nó không thể biết trước được. Mỗi lần thực hiện phép thử có thể cho ra kết quả khác nhau.

Không gian mẫu: Là tập hợp chứa tất cả các kết quả có thể có của phép thử. Ký hiệu là $\Omega$ (omega). Số phần tử của không gian mẫu ký hiệu là $n(\Omega)$.

Biến cố: Là một tập hợp con của không gian mẫu, chứa các kết quả mà ta quan tâm. Số phần tử của biến cố A ký hiệu là $n(A)$.

3. Phân chia theo cấp học

Chương trình xác suất được xây dựng theo từng bậc học, từ đơn giản đến phức tạp:

Lộ trình học tập:

Lớp 8-9: Nền tảng - Học đếm và tính xác suất cơ bản
    ↓
Lớp 10: Công cụ - Học tổ hợp để đếm nhanh hơn
    ↓
Lớp 11: Nâng cao - Học các phép toán với xác suất

II. CÔNG THỨC CƠ BẢN (LỚP 8-9)

1. Công thức tính xác suất cổ điển

📌 CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT:

$$\boxed{P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}}$$

Trong đó:

• $P(A)$: Xác suất của biến cố A (Probability of A)
• $n(A)$: Số kết quả thuận lợi cho biến cố A
• $n(\Omega)$: Tổng số kết quả có thể xảy ra trong không gian mẫu

Cách đọc: “Xác suất của A bằng số kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả có thể”

Điều kiện áp dụng:

• Các kết quả trong không gian mẫu phải đồng khả năng (có xác suất xảy ra bằng nhau)
• Không gian mẫu phải hữu hạn (có thể đếm được)
• Các kết quả phải loại trừ lẫn nhau (không xảy ra đồng thời)

Ý nghĩa: Công thức này cho biết trong tổng số các trường hợp có thể xảy ra, có bao nhiêu trường hợp thuận lợi cho biến cố A.

2. Các bước tính xác suất

Để tính xác suất một cách chính xác, hãy làm theo 3 bước sau:

Bước 1: Xác định không gian mẫu Ω

• Liệt kê hoặc đếm tất cả các kết quả có thể xảy ra
• Tính số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega)$

Bước 2: Xác định biến cố A

• Liệt kê hoặc đếm các kết quả thuận lợi cho biến cố A
• Tính số phần tử của biến cố A: $n(A)$

Bước 3: Áp dụng công thức

• Thay số vào công thức: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
• Rút gọn phân số nếu có thể
• Viết kết quả dưới dạng phân số, thập phân hoặc phần trăm

3. Ví dụ minh họa lớp 8-9

Ví dụ 1: Tung một đồng xu cân đối. Tính xác suất xuất hiện mặt sấp?

Lời giải:

Bước 1: Xác định không gian mẫu

• Khi tung đồng xu, có 2 kết quả có thể: Sấp hoặc Ngửa
• $\Omega = {\text{Sấp}, \text{Ngửa}}$
• $n(\Omega) = 2$

Bước 2: Xác định biến cố A

• Biến cố A: “Xuất hiện mặt sấp”
• $A = {\text{Sấp}}$
• $n(A) = 1$

Bước 3: Tính xác suất $$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\%$$

Kết luận: Xác suất xuất hiện mặt sấp là $\frac{1}{2}$ hay 50%.

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất được mặt chẵn?

Lời giải:

Bước 1: Xác định không gian mẫu

• Con xúc xắc có 6 mặt: 1, 2, 3, 4, 5, 6
• $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$
• $n(\Omega) = 6$

Bước 2: Xác định biến cố A

• Biến cố A: “Xuất hiện mặt chẵn”
• Các mặt chẵn là: 2, 4, 6
• $A = {2, 4, 6}$
• $n(A) = 3$

Bước 3: Tính xác suất $$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\%$$

Kết luận: Xác suất gieo được mặt chẵn là $\frac{1}{2}$ hay 50%.

Ví dụ 3: Một hộp có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ?

Lời giải:

Bước 1: Xác định không gian mẫu

• Tổng số bi trong hộp: $5 + 3 = 8$ viên
• Số cách lấy 1 bi bất kỳ: $n(\Omega) = 8$

Bước 2: Xác định biến cố A

• Biến cố A: “Lấy được bi đỏ”
• Số bi đỏ: $n(A) = 5$

Bước 3: Tính xác suất $$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{5}{8} = 0.625 = 62.5\%$$

Kết luận: Xác suất lấy được bi đỏ là $\frac{5}{8}$ hay 62.5%.

Ví dụ 4: Gieo một con xúc xắc. Tính xác suất được số chia hết cho 3?

Lời giải:

Bước 1: Không gian mẫu

• $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$, $n(\Omega) = 6$

Bước 2: Biến cố A

• A: “Số chia hết cho 3”
• Các số chia hết cho 3: 3, 6
• $A = {3, 6}$, $n(A) = 2$

Bước 3: Tính xác suất $$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \approx 33.3\%$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{1}{3}$ hay khoảng 33.3%.

4. Tính chất cơ bản của xác suất

📌 Tính chất 1: Xác suất luôn không âm và không vượt quá 1

$$\boxed{0 \leq P(A) \leq 1}$$

Ý nghĩa: Xác suất là một số nằm trong đoạn $[0; 1]$. Không có xác suất âm hay lớn hơn 1.

📌 Tính chất 2: Xác suất của biến cố chắc chắn

$$\boxed{P(\Omega) = 1}$$

Ý nghĩa: Biến cố chắc chắn xảy ra có xác suất bằng 1.

Ví dụ: Xác suất gieo xúc xắc được mặt từ 1 đến 6 là $P(\Omega) = 1$ (chắc chắn xảy ra).

📌 Tính chất 3: Xác suất của biến cố không thể

$$\boxed{P(\emptyset) = 0}$$

Ý nghĩa: Biến cố không thể xảy ra có xác suất bằng 0.

Ví dụ: Xác suất gieo xúc xắc được mặt 7 là $P(\emptyset) = 0$ (không thể xảy ra).

📌 Tính chất 4: Biến cố đối (Biến cố phủ định)

$$\boxed{P(\overline{A}) = 1 – P(A)}$$

Trong đó: $\overline{A}$ (đọc là “A gạch đầu”) là biến cố đối của A, tức là biến cố “A không xảy ra”.

Ý nghĩa: Xác suất để A không xảy ra bằng 1 trừ đi xác suất A xảy ra.

Công thức mở rộng: $$P(A) + P(\overline{A}) = 1$$

Ví dụ 5: Gieo xúc xắc. Tính xác suất KHÔNG được mặt 6?

Lời giải:

Cách 1: Tính trực tiếp

• Biến cố “không được 6” = {1, 2, 3, 4, 5}
• $P = \frac{5}{6}$

Cách 2: Dùng biến cố đối (nhanh hơn)

• Biến cố “được 6”: $P(A) = \frac{1}{6}$
• Biến cố “không được 6”: $P(\overline{A}) = 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Kết luận: Xác suất không được mặt 6 là $\frac{5}{6} \approx 83.3\%$

Khi nào dùng biến cố đối?

• Khi bài toán hỏi “không”, “ít nhất”, “nhiều nhất”
• Khi đếm biến cố đối đơn giản hơn đếm biến cố gốc

III. CÔNG THỨC KẾT HỢP TỔ HỢP (LỚP 10-11)

1. Công thức tổ hợp

Khi cần đếm số cách chọn k phần tử từ n phần tử (không quan tâm thứ tự), ta dùng công thức tổ hợp:

$$\boxed{C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}}$$

Trong đó:

• $n$: Tổng số phần tử
• $k$: Số phần tử cần chọn
• $n!$ (n giai thừa): $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times 2 \times 1$

Ký hiệu khác:

• $C_n^k$ (Combination)
• $\binom{n}{k}$ (ký hiệu nhị thức)
• $C(n, k)$

Điều kiện: $0 \leq k \leq n$

Tính chất:

• $C_n^0 = 1$ (không chọn phần tử nào)
• $C_n^n = 1$ (chọn tất cả)
• $C_n^1 = n$ (chọn 1 trong n)
• $C_n^k = C_n^{n-k}$ (tính chất đối xứng)

Ví dụ tính toán:

Chọn 3 học sinh từ 10 học sinh: $$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \times 7!}$$ $$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$$

Cách tính nhanh:

• Tử số: Lấy n số liên tiếp giảm dần, bắt đầu từ n, lấy k số
• Mẫu số: Giai thừa của k

Ví dụ: $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}$

2. Công thức xác suất với tổ hợp

Khi bài toán yêu cầu chọn k phần tử từ n phần tử, ta áp dụng:

$$\boxed{P(A) = \frac{\text{Số cách chọn thuận lợi}}{\text{Tổng số cách chọn}} = \frac{C_{\text{thuận lợi}}}{C_n^k}}$$

Ví dụ 6: Một hộp có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để cả 3 viên đều là bi đỏ?

Lời giải:

Bước 1: Tính tổng số cách lấy 3 bi từ 10 bi $$n(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$

Bước 2: Tính số cách lấy 3 bi đỏ từ 6 bi đỏ $$n(A) = C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$$

Bước 3: Tính xác suất $$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \approx 16.7\%$$

Kết luận: Xác suất để cả 3 viên đều đỏ là $\frac{1}{6}$ hay khoảng 16.7%.

3. Các dạng bài tập tổ hợp thường gặp

Dạng 1: Chọn tất cả cùng loại

Bài toán: Chọn k phần tử, tất cả cùng loại A.

Công thức: Số cách = $C_{\text{số phần tử loại A}}^k$

Ví dụ: Từ ví dụ 6, chọn 3 bi đều đỏ từ 6 bi đỏ: $$C_6^3 = 20$$

Dạng 2: Chọn hỗn hợp (có cả loại A và loại B)

Bài toán: Chọn k phần tử, trong đó có $k_1$ phần tử loại A và $k_2$ phần tử loại B (với $k_1 + k_2 = k$).

Công thức: Số cách = $C_{\text{loại A}}^{k_1} \times C_{\text{loại B}}^{k_2}$

Ví dụ 7: Từ hộp có 6 bi đỏ, 4 bi xanh. Lấy 3 bi gồm 2 đỏ và 1 xanh. Tính xác suất?

Lời giải:

• Số cách lấy 3 bi: $n(\Omega) = C_{10}^3 = 120$
• Số cách lấy 2 đỏ, 1 xanh: $n(A) = C_6^2 \times C_4^1 = 15 \times 4 = 60$
• Xác suất: $P(A) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} = 50\%$

Dạng 3: Ít nhất (dùng biến cố đối)

Bài toán: Tính xác suất “ít nhất 1 phần tử loại A”.

Phương pháp: Dùng biến cố đối $$P(\text{ít nhất 1 loại A}) = 1 – P(\text{không có loại A nào})$$

Ví dụ 8: Từ hộp 6 bi đỏ, 4 bi xanh. Lấy 3 bi. Tính xác suất có ít nhất 1 bi đỏ?

Lời giải:

Cách 1: Tính trực tiếp (phức tạp)

• Ít nhất 1 đỏ = 1 đỏ hoặc 2 đỏ hoặc 3 đỏ
• Phải tính 3 trường hợp rồi cộng lại

Cách 2: Dùng biến cố đối (đơn giản)

• “Ít nhất 1 đỏ” ⟺ “Không phải cả 3 đều xanh”
• $P(\text{cả 3 xanh}) = \frac{C_4^3}{C_{10}^3} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$
• $P(\text{ít nhất 1 đỏ}) = 1 – \frac{1}{30} = \frac{29}{30} \approx 96.7\%$

Kết luận: Xác suất có ít nhất 1 bi đỏ là $\frac{29}{30}$ hay 96.7%.

IV. CÔNG THỨC CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT (LỚP 11)

1. Công thức cộng xác suất

📌 Công thức tổng quát

$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)}$$

Trong đó:

• $A \cup B$ (đọc là “A hợp B”): Biến cố “A hoặc B xảy ra” (ít nhất một trong hai)
• $A \cap B$ (đọc là “A giao B”): Biến cố “A và B cùng xảy ra”
• $P(A \cup B)$: Xác suất “A hoặc B”
• $P(A \cap B)$: Xác suất “A và B”

Ý nghĩa: Để tính xác suất “A hoặc B”, ta cộng xác suất của A và B, nhưng phải trừ đi phần giao (vì đã tính 2 lần).

Minh họa bằng sơ đồ Venn:

     A           B
   ┌───┐       ┌───┐
   │   └───┬───┘   │
   │  A∩B  │       │
   └───────┘───────┘

📌 Trường hợp đặc biệt: Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra đồng thời, tức là $A \cap B = \emptyset$.

Khi đó: $$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$

Ví dụ về biến cố xung khắc:

• Gieo xúc xắc: “Được mặt 2” và “Được mặt 5” (xung khắc)
• Rút bài: “Rút được rô” và “Rút được cơ” (xung khắc)

Ví dụ 9: Gieo một con xúc xắc. Tính xác suất được số chẵn HOẶC số chia hết cho 3?

Lời giải:

Bước 1: Xác định các biến cố

• Biến cố A: “Được số chẵn” = {2, 4, 6}
  • $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• Biến cố B: “Được số chia hết cho 3” = {3, 6}
  • $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
• Biến cố $A \cap B$: “Số vừa chẵn vừa chia hết cho 3” = {6}
  • $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

Bước 2: Áp dụng công thức cộng $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$ $$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}$$ $$= \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{2}{3} \approx 66.7\%$.

Ví dụ 10: Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ 52 lá. Tính xác suất rút được Át HOẶC lá bích?

Lời giải:

Phân tích:

• Tổng số lá: 52
• Số lá Át: 4 (Át rô, cơ, bích, chuồn)
• Số lá bích: 13 (từ Át bích đến K bích)
• Lá vừa là Át vừa là bích: 1 (Át bích)

Tính toán:

• $P(\text{Át}) = \frac{4}{52}$
• $P(\text{Bích}) = \frac{13}{52}$
• $P(\text{Át bích}) = \frac{1}{52}$

Áp dụng công thức: $$P = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 30.8%$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{4}{13}$ hay khoảng 30.8%.

2. Công thức nhân xác suất

📌 Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu sự xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Công thức: $$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \times P(B)}$$

Ý nghĩa: Xác suất “A VÀ B cùng xảy ra” bằng tích các xác suất.

Ví dụ về biến cố độc lập:

• Tung 2 đồng xu: Kết quả đồng xu thứ nhất không ảnh hưởng đến đồng xu thứ hai
• Gieo 2 xúc xắc: Kết quả con xúc xắc thứ nhất độc lập với con thứ hai
• Bắn 2 viên đạn: Kết quả viên thứ nhất không ảnh hưởng viên thứ hai

Ví dụ 11: Tung 2 đồng xu cân đối. Tính xác suất cả 2 đều xuất hiện mặt sấp?

Lời giải:

Phân tích: Hai lần tung là độc lập, không ảnh hưởng lẫn nhau.

• Xác suất sấp lần 1: $P(A) = \frac{1}{2}$
• Xác suất sấp lần 2: $P(B) = \frac{1}{2}$

Áp dụng công thức nhân: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25 = 25\%$$

Kết luận: Xác suất cả 2 đều sấp là $\frac{1}{4}$ hay 25%.

📌 Biến cố không độc lập (có liên quan)

Khi hai biến cố không độc lập, ta dùng công thức:

$$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)}$$

Trong đó: $P(B|A)$ là xác suất có điều kiện, tức xác suất B xảy ra khi biết A đã xảy ra.

Ví dụ 12: Một hộp có 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi KHÔNG hoàn lại (lấy xong không bỏ trở lại). Tính xác suất cả 2 viên đều đỏ?

Lời giải:

Phân tích: Hai lần lấy KHÔNG độc lập vì không hoàn lại.

Bước 1: Xác suất lấy đỏ lần 1

• Có 3 bi đỏ trong 5 bi: $P(\text{Đỏ}_1) = \frac{3}{5}$

Bước 2: Xác suất lấy đỏ lần 2, biết lần 1 đã lấy đỏ

• Sau lần 1, còn 2 bi đỏ trong 4 bi: $P(\text{Đỏ}_2|\text{Đỏ}_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Bước 3: Áp dụng công thức nhân $$P = P(\text{Đỏ}_1) \times P(\text{Đỏ}_2|\text{Đỏ}_1)$$ $$= \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3 = 30\%$$

Kết luận: Xác suất cả 2 đều đỏ là $\frac{3}{10}$ hay 30%.

3. Công thức xác suất có điều kiện

📌 Định nghĩa:

$$\boxed{P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)}$$

Đọc là: “Xác suất của A biết B” hoặc “Xác suất A với điều kiện B”.

Ý nghĩa: Xác suất để A xảy ra trong trường hợp biết chắc chắn B đã xảy ra.

Biến đổi: $$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$$

Ví dụ 13: Gieo 2 con xúc xắc cân đối. Biết rằng tổng hai mặt ≥ 10. Tính xác suất để tổng hai mặt bằng đúng 11?

Lời giải:

Bước 1: Xác định biến cố B: “Tổng ≥ 10”

• Các cặp có tổng ≥ 10: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)
• $n(B) = 6$

Bước 2: Xác định biến cố A: “Tổng = 11”

• Các cặp có tổng = 11: (5,6), (6,5)
• Trong số các cặp thuộc B, có 2 cặp thuộc A
• $n(A \cap B) = 2$

Bước 3: Tính xác suất có điều kiện $$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33.3\%$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{1}{3}$ hay khoảng 33.3%.

V. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức cơ bản (Lớp 8-9-10)

B. Công thức nâng cao (Lớp 11)

C. Bảng tóm tắt theo tình huống

VI. PHÂN CHIA THEO CẤP HỌC

A. LỚP 8: Xác suất đơn giản

Nội dung chính:

• Làm quen với khái niệm xác suất
• Học công thức cơ bản: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
• Không gian mẫu đơn giản (tung xúc xắc, đồng xu, rút bi)
• Đếm trực tiếp số kết quả

Ví dụ điển hình:

• Tung đồng xu: P(sấp) = ?
• Gieo xúc xắc: P(mặt 6) = ?
• Chọn bi từ hộp: P(bi đỏ) = ?
• Rút thẻ đơn giản

Mục tiêu: Hiểu được xác suất là gì, biết đếm và tính xác suất cơ bản.

B. LỚP 9: Củng cố và mở rộng

Nội dung chính:

• Củng cố công thức lớp 8
• Biến cố đối: $P(\overline{A}) = 1 – P(A)$
• Bài toán thực tế đơn giản
• Thống kê mô tả kết hợp xác suất

Ví dụ điển hình:

• Xác suất không trúng thưởng = 1 – Xác suất trúng
• Bài toán dự báo thời tiết đơn giản
• Xác suất trong trò chơi

Ví dụ 14: Xác suất trúng giải là 0.05. Tính xác suất không trúng? $$P(\text{không trúng}) = 1 – 0.05 = 0.95 = 95\%$$

Mục tiêu: Vận dụng linh hoạt biến cố đối, hiểu xác suất trong đời sống.

C. LỚP 10: Tổ hợp + Xác suất

Nội dung chính:

• Hoán vị: $P_n = n!$ (sắp xếp n phần tử)
• Chỉnh hợp: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (chọn k và sắp xếp)
• Tổ hợp: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (chỉ chọn k, không sắp xếp)
• Áp dụng tổ hợp vào bài toán xác suất

Công thức quan trọng: $$P(A) = \frac{C_{\text{thuận lợi}}}{C_n^k}$$

Ví dụ điển hình:

• Chọn đội bóng từ nhóm học sinh
• Xếp chỗ ngồi cho học sinh
• Rút nhiều viên bi cùng lúc
• Chọn ban cán sự lớp

Ví dụ 15: Chọn 3 học sinh từ 5 nam, 3 nữ. P(cả 3 đều nam)? $$P = \frac{C_5^3}{C_8^3} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}$$

Mục tiêu: Nắm vững công cụ đếm (tổ hợp), vận dụng vào xác suất.

D. LỚP 11: Xác suất nâng cao

Nội dung chính:

• Công thức cộng xác suất (biến cố hợp)
• Công thức nhân xác suất (biến cố giao)
• Xác suất có điều kiện
• Biến cố độc lập vs phụ thuộc
• Sơ đồ cây xác suất

Công thức trọng tâm:

1. Cộng: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
2. Nhân (độc lập): $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
3. Có điều kiện: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Ví dụ điển hình:

• Bài toán gặp nhau (độc lập hay không?)
• Rút bi không hoàn lại (phụ thuộc)
• Xác suất theo điều kiện (biết trước một sự kiện)
• Bắn nhiều viên đạn

Mục tiêu: Giải quyết bài toán xác suất phức tạp, nhiều bước, có điều kiện.

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1: Bài toán “ít nhất”

Công thức vàng: $$\boxed{P(\text{ít nhất 1}) = 1 – P(\text{không có nào})}$$

Khi nào dùng: Đề bài có từ “ít nhất”, “có ít nhất một”, “có tối thiểu”.

Tại sao hiệu quả: Đếm “không có nào” thường đơn giản hơn nhiều so với đếm “ít nhất 1”.

Ví dụ 16: Tung 3 đồng xu. Tính xác suất có ít nhất 1 mặt sấp?

Cách làm sai (dài):

• Ít nhất 1 sấp = 1 sấp hoặc 2 sấp hoặc 3 sấp
• Phải tính 3 trường hợp…

Cách làm đúng (nhanh): $$P(\text{ít nhất 1 sấp}) = 1 – P(\text{cả 3 ngửa})$$ $$= 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 – \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

Mẹo 2: Phân biệt “HOẶC” và “VÀ”

Lưu ý: Khi dùng CỘNG, nhớ trừ phần giao để tránh tính 2 lần.

Mẹo 3: Sơ đồ cây xác suất

Khi nào dùng: Bài toán nhiều bước, có phân nhánh.

Cách vẽ:

1. Vẽ các nhánh cho từng bước
2. Ghi xác suất trên mỗi nhánh
3. Nhân xác suất dọc theo nhánh (từ gốc đến lá)
4. Cộng xác suất các nhánh cuối cùng thỏa mãn

Ví dụ: Lấy bi 2 lần không hoàn lại từ hộp 3 đỏ, 2 xanh.

         3/5 [Đỏ] --- 2/4 [Đỏ] → (3/5)×(2/4) = 6/20
        /            \ 2/4 [Xanh] → (3/5)×(2/4) = 6/20
  [Gốc]
        \    2/5 [Xanh] --- 3/4 [Đỏ] → (2/5)×(3/4) = 6/20
                         \ 1/4 [Xanh] → (2/5)×(1/4) = 2/20

2. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Quên trừ phần giao khi dùng công thức cộng

Sai: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ (không phân biệt xung khắc hay không)

Đúng:

• Nếu A, B xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ✓
• Nếu không: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$ ✓

❌ Sai lầm 2: Nhân xác suất khi hai biến cố KHÔNG độc lập

Sai: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$ (khi A, B phụ thuộc)

Đúng:

• Kiểm tra tính độc lập trước
• Nếu không độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$ ✓

Ví dụ: Rút bi không hoàn lại → KHÔNG độc lập!

❌ Sai lầm 3: Đếm sai số kết quả thuận lợi hoặc không gian mẫu

Cách tránh:

• Liệt kê cẩn thận tất cả các trường hợp
• Kiểm tra lại: có trùng lặp không? có bỏ sót không?
• Dùng tổ hợp khi chọn nhiều phần tử

❌ Sai lầm 4: Nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp

Chỉnh hợp $A_n^k$: Có quan tâm thứ tự

• Ví dụ: Xếp hàng, mật khẩu, số điện thoại

Tổ hợp $C_n^k$: Không quan tâm thứ tự

• Ví dụ: Chọn đội, chọn ban cán sự, rút bi

3. Kiểm tra kết quả

Sau khi tính xong xác suất, hãy kiểm tra các điều kiện sau:

Kiểm tra 1: Xác suất trong khoảng [0; 1]

$$0 \leq P(A) \leq 1$$

Nếu $P(A) < 0$ hoặc $P(A) > 1$ → Sai!

Kiểm tra 2: Tổng xác suất biến cố đối bằng 1

$$P(A) + P(\overline{A}) = 1$$

Nếu tổng $\neq 1$ → Sai!

Kiểm tra 3: Biến cố con có xác suất nhỏ hơn

Nếu $A \subset B$ (A là con của B) thì $P(A) \leq P(B)$

Ví dụ: P(được 6) ≤ P(được chẵn) ✓

VIII. BÀI TẬP MẪU THEO CẤP

Lớp 8-9: Bài tập cơ bản

Bài 1: Một hộp có 10 viên bi gồm 4 viên đỏ và 6 viên xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ?

Lời giải:

• Tổng số bi: $n(\Omega) = 10$
• Số bi đỏ: $n(A) = 4$
• Xác suất: $P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0.4 = 40\%$

Bài 2: Gieo 2 con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng hai mặt bằng 7?

Lời giải:

Bước 1: Không gian mẫu

• Số kết quả: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$

Bước 2: Biến cố A: “Tổng = 7”

• A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
• $n(A) = 6$

Bước 3: Tính xác suất $$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16.7\%$$

Lớp 10: Bài tập tổ hợp

Bài 3: Một lớp có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất để cả 2 học sinh đều là nam?

Lời giải:

Bước 1: Tổng số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh $$n(\Omega) = C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$

Bước 2: Số cách chọn 2 nam từ 5 nam $$n(A) = C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

Bước 3: Tính xác suất $$P(A) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \approx 35.7\%$$

Bài 4: Từ hộp bi ở Bài 3 (5 nam, 3 nữ), chọn 3 học sinh. Tính xác suất có đúng 2 nam và 1 nữ?

Lời giải:

Bước 1: Tổng số cách chọn 3 từ 8 $$n(\Omega) = C_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

Bước 2: Số cách chọn 2 nam từ 5 nam VÀ 1 nữ từ 3 nữ $$n(A) = C_5^2 \times C_3^1 = 10 \times 3 = 30$$

Bước 3: Tính xác suất $$P(A) = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 53.6\%$$

Lớp 11: Bài tập nâng cao

Bài 5: Một xạ thủ bắn 2 viên đạn, mỗi viên có xác suất trúng đích là 0.7. Tính xác suất để có ít nhất 1 viên trúng đích?

Lời giải:

Cách 1: Dùng biến cố đối (nhanh) $$P(\text{ít nhất 1 trúng}) = 1 – P(\text{cả 2 trượt})$$ $$= 1 – P(\text{trượt}) \times P(\text{trượt})$$ $$= 1 – 0.3 \times 0.3$$ $$= 1 – 0.09 = 0.91 = 91%$$

Cách 2: Tính trực tiếp (dài hơn)

• P(ít nhất 1 trúng) = P(1 trúng) + P(2 trúng)
• = $0.7 \times 0.3 \times 2 + 0.7 \times 0.7$
• = $0.42 + 0.49 = 0.91$

Kết luận: Xác suất là 0.91 hay 91%.

Bài 6: Một hộp có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất để được 1 viên đỏ và 1 viên xanh?

Lời giải:

Bước 1: Tổng số cách lấy 2 bi từ 8 bi $$n(\Omega) = C_8^2 = 28$$

Bước 2: Số cách lấy 1 đỏ và 1 xanh $$n(A) = C_5^1 \times C_3^1 = 5 \times 3 = 15$$

Bước 3: Tính xác suất $$P(A) = \frac{15}{28} \approx 53.6\%$$

Kết luận: Xác suất là $\frac{15}{28}$ hay khoảng 53.6%.

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã hệ thống hóa đầy đủ công thức xác suất từ lớp 8 đến lớp 11, bao gồm:

Lớp 8-9: Công thức cơ bản

• Công thức vàng: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
• Biến cố đối: $P(\overline{A}) = 1 – P(A)$
• Các tính chất cơ bản của xác suất

Lớp 10: Tổ hợp + Xác suất

• Công thức tổ hợp: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Áp dụng tổ hợp vào đếm nhanh
• Các dạng: chọn cùng loại, hỗn hợp, ít nhất

Lớp 11: Xác suất nâng cao

• Công thức cộng: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
• Công thức nhân: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ (độc lập)
• Xác suất có điều kiện: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Công thức QUAN TRỌNG NHẤT

$$\boxed{P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}}$$

Đây là nền tảng của mọi công thức xác suất! Tất cả các công thức nâng cao đều xuất phát từ công thức cơ bản này.

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa