I. Giới Thiệu Về Vận Tốc

1. Vận Tốc Là Gì?

Vận tốc là một đại lượng vật lý biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động, được định nghĩa là độ biến thiên quãng đường theo thời gian. Vận tốc là một đại lượng vectơ, có cả độ lớn (tốc độ) và hướng.

Đơn vị:

• Hệ SI: mét/giây (m/s)
• Thông dụng: kilômét/giờ (km/h)
• Khác: centimet/giây (cm/s)

2. Phân Loại Vận Tốc

Trong vật lý và toán học, chúng ta phân biệt các loại vận tốc sau:

a) Vận tốc trung bình:

• Là tỷ số giữa tổng quãng đường đi được và tổng thời gian đi hết quãng đường đó
• Đặc trưng cho cả một quá trình chuyển động
• Thường được học ở chương trình Vật lý lớp 10

b) Vận tốc tức thời:

• Là vận tốc tại một thời điểm cụ thể
• Là giới hạn của vận tốc trung bình khi khoảng thời gian xét tiến tới 0
• Liên quan trực tiếp đến khái niệm đạo hàm trong toán học

c) Vận tốc cực đại:

• Là giá trị lớn nhất mà vận tốc đạt được trong khoảng thời gian xét
• Xác định bằng phương pháp tìm cực trị trong toán học

3. Mối Liên Hệ Giữa Vận Tốc và Đạo Hàm

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm trong thực tế là tính vận tốc tức thời. Nếu $s(t)$ là hàm số biểu thị quãng đường theo thời gian, thì:

$$v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$$

Điều này kết nối giữa vật lý (vận tốc) và toán học (đạo hàm), cho thấy toán học không chỉ là lý thuyết mà có ứng dụng thực tiễn rõ ràng.

II. Công Thức Vận Tốc Trung Bình (Lớp 10)

1. Định Nghĩa

Vận tốc trung bình là đại lượng được xác định bởi thương số giữa độ dịch chuyển (hoặc quãng đường) và khoảng thời gian thực hiện độ dịch chuyển đó.

2. Công Thức Cơ Bản

$$v_{tb} = \frac{s}{t}$$

Trong đó:

• $v_{tb}$: vận tốc trung bình (m/s hoặc km/h)
• $s$: quãng đường đi được (m hoặc km)
• $t$: thời gian đi hết quãng đường (s hoặc h)

Ví dụ 1: Một ô tô chạy được 180 km trong 3 giờ. Tính vận tốc trung bình của ô tô?

Lời giải: $$v_{tb} = \frac{180}{3} = 60 \text{ km/h}$$

3. Công Thức Suy Ra

Từ công thức cơ bản, ta có thể suy ra:

Tính quãng đường: $$s = v \cdot t$$

Ví dụ 2: Một người đi xe máy với vận tốc 40 km/h trong 2.5 giờ. Tính quãng đường người đó đi được?

Lời giải: $$s = 40 \times 2.5 = 100 \text{ km}$$

Tính thời gian: $$t = \frac{s}{v}$$

Ví dụ 3: Để đi hết quãng đường 150 km với vận tốc 50 km/h, cần bao nhiêu thời gian?

Lời giải: $$t = \frac{150}{50} = 3 \text{ giờ}$$

4. Vận Tốc Trung Bình Trên Nhiều Đoạn Đường

Trường hợp 1: Biết quãng đường và thời gian từng đoạn

$$v_{tb} = \frac{s_1 + s_2 + … + s_n}{t_1 + t_2 + … + t_n}$$

Ví dụ 4: Một người đi xe đạp:

• Đoạn 1: 30 km trong 1 giờ
• Đoạn 2: 45 km trong 1.5 giờ

Tính vận tốc trung bình trên cả quãng đường?

Lời giải: $$v_{tb} = \frac{30 + 45}{1 + 1.5} = \frac{75}{2.5} = 30 \text{ km/h}$$

Trường hợp 2: Hai đoạn đường bằng nhau với hai vận tốc khác nhau

Nếu một vật đi nửa đoạn đường đầu với vận tốc $v_1$ và nửa đoạn đường sau với vận tốc $v_2$, thì vận tốc trung bình trên cả quãng đường là:

$$v_{tb} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$$

Ví dụ 5: Một xe ô tô đi nửa đoạn đường đầu với vận tốc 40 km/h, nửa đoạn đường sau với vận tốc 60 km/h. Tính vận tốc trung bình trên cả quãng đường?

Lời giải: $$v_{tb} = \frac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60} = \frac{4800}{100} = 48 \text{ km/h}$$

Lưu ý: Kết quả này KHÔNG phải là trung bình cộng $(40 + 60)/2 = 50$ km/h!

5. Chuyển Đổi Đơn Vị

Công thức chuyển đổi giữa m/s và km/h:

$$1 \text{ m/s} = 3.6 \text{ km/h}$$ $$1 \text{ km/h} = \frac{1}{3.6} \text{ m/s} \approx 0.278 \text{ m/s}$$

Ví dụ 6: Đổi 72 km/h sang m/s?

Lời giải: $$72 \text{ km/h} = \frac{72}{3.6} = 20 \text{ m/s}$$

Ví dụ 7: Đổi 15 m/s sang km/h?

Lời giải: $$15 \text{ m/s} = 15 \times 3.6 = 54 \text{ km/h}$$

III. Công Thức Vận Tốc Tức Thời

1. Định Nghĩa Toán Học

Vận tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ là giới hạn của vận tốc trung bình khi khoảng thời gian xét tiến tới 0:

$$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) – s(t_0)}{\Delta t}$$

Đây chính là định nghĩa của đạo hàm trong toán học. Do đó:

$$v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$$

2. Ý Nghĩa Hình Học

• Vận tốc tức thời là hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị quãng đường – thời gian $s(t)$ tại thời điểm $t$
• Nếu $s'(t) > 0$: vật chuyển động theo chiều dương (tiến)
• Nếu $s'(t) < 0$: vật chuyển động theo chiều âm (lùi)
• Nếu $s'(t) = 0$: vật dừng lại tức thời

3. Công Thức Tính Với Các Dạng Chuyển Động

a) Chuyển động thẳng đều

$$s(t) = s_0 + vt$$

Vận tốc tức thời: $$v(t) = s'(t) = v = \text{hằng số}$$

Ví dụ 8: Một vật chuyển động với phương trình $s(t) = 5 + 10t$ (m, s). Tính vận tốc tức thời?

Lời giải: $$v(t) = s'(t) = (5 + 10t)’ = 10 \text{ m/s}$$

Vật chuyển động thẳng đều với vận tốc không đổi 10 m/s.

b) Chuyển động thẳng biến đổi đều

$$s(t) = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$$

Vận tốc tức thời: $$v(t) = s'(t) = v_0 + at$$

Ví dụ 9: Một vật chuyển động với phương trình $s(t) = 2t + 3t^2$ (m, s). Tính vận tốc tức thời tại $t = 2$s?

Lời giải:

• $v(t) = s'(t) = 2 + 6t$ (m/s)
• Tại $t = 2$s: $v(2) = 2 + 6(2) = 2 + 12 = 14$ m/s

c) Chuyển động tổng quát

Với hàm quãng đường $s(t)$ bất kỳ, vận tốc tức thời là:

$$v(t) = s'(t)$$

Ví dụ 10: Một chất điểm chuyển động với phương trình $s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t$ (m, s).

a) Tính vận tốc tức thời tại $t = 1$s?
b) Tại thời điểm nào vật dừng lại?

Lời giải:

a) $v(t) = s'(t) = 3t^2 – 12t + 9$ (m/s)

Tại $t = 1$s: $v(1) = 3(1)^2 – 12(1) + 9 = 3 – 12 + 9 = 0$ m/s

Vậy tại $t = 1$s, vật dừng lại.

b) Vật dừng lại khi $v(t) = 0$: $$3t^2 – 12t + 9 = 0$$ $$t^2 – 4t + 3 = 0$$ $$(t – 1)(t – 3) = 0$$ $$t = 1 \text{ hoặc } t = 3$$

Vật dừng lại tại thời điểm $t = 1$s và $t = 3$s.

4. Độ Lớn Vận Tốc (Tốc Độ)

Tốc độ là độ lớn của vận tốc:

$$\text{Tốc độ} = |v(t)| = |s'(t)|$$

Lưu ý: Vận tốc có thể âm (chuyển động ngược chiều dương), nhưng tốc độ luôn không âm.

5. Vận Tốc Trong Không Gian

Trong mặt phẳng Oxy:

Nếu chất điểm chuyển động với: $$\vec{r}(t) = (x(t); y(t))$$

Thì vận tốc: $$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (x'(t); y'(t))$$

Độ lớn vận tốc: $$|v(t)| = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}$$

Ví dụ 11: Một chất điểm chuyển động với $x(t) = 3t$ và $y(t) = 4t$ (m, s). Tính độ lớn vận tốc?

Lời giải:

• $x'(t) = 3$ m/s
• $y'(t) = 4$ m/s
• $|v(t)| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ m/s

Trong không gian Oxyz:

$$\vec{r}(t) = (x(t); y(t); z(t))$$ $$\vec{v}(t) = (x'(t); y'(t); z'(t))$$ $$|v(t)| = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2}$$

IV. Công Thức Vận Tốc Cực Đại

1. Định Nghĩa

Vận tốc cực đại là giá trị lớn nhất mà vận tốc đạt được trong khoảng thời gian xét. Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số $v(t)$.

2. Phương Pháp Tìm Vận Tốc Cực Đại

Bước 1: Tìm hàm vận tốc $v(t) = s'(t)$

Bước 2: Tìm đạo hàm cấp 2 (gia tốc): $a(t) = v'(t) = s”(t)$

Bước 3: Giải phương trình $v'(t) = 0$ để tìm các điểm tới hạn

Bước 4: Lập bảng biến thiên của $v(t)$ hoặc xét dấu $v'(t)$

Bước 5: So sánh giá trị của $v(t)$ tại các điểm tới hạn và tại hai đầu mút của khoảng thời gian

3. Ví Dụ Chi Tiết

Ví dụ 12: Một vật chuyển động với phương trình $s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 5$ (m) trong khoảng thời gian $0 \leq t \leq 5$ (s). Tìm vận tốc cực đại của vật?

Lời giải:

Bước 1: Tìm vận tốc tức thời: $$v(t) = s'(t) = 3t^2 – 12t + 9$$

Bước 2: Tìm gia tốc: $$a(t) = v'(t) = 6t – 12$$

Bước 3: Giải $v'(t) = 0$: $$6t – 12 = 0$$ $$t = 2$$

Bước 4 & 5: Tính giá trị vận tốc tại các điểm:

• Tại $t = 0$: $v(0) = 0 – 0 + 9 = 9$ m/s
• Tại $t = 2$: $v(2) = 3(4) – 12(2) + 9 = 12 – 24 + 9 = -3$ m/s
• Tại $t = 5$: $v(5) = 3(25) – 12(5) + 9 = 75 – 60 + 9 = 24$ m/s

Kết luận: Vận tốc cực đại là $v_{max} = 24$ m/s, đạt được tại thời điểm $t = 5$s.

4. Trường Hợp Đặc Biệt

a) Chuyển động thẳng đều:

$$v = \text{hằng số}$$

Vận tốc luôn bằng nhau nên $v_{max} = v$.

b) Chuyển động thẳng nhanh dần đều:

$$v(t) = v_0 + at \quad (a > 0)$$

Vận tốc tăng theo thời gian, do đó $v_{max}$ đạt được tại thời điểm cuối cùng.

c) Chuyển động thẳng chậm dần đều:

$$v(t) = v_0 – at \quad (a > 0)$$

Vận tốc giảm theo thời gian, do đó $v_{max} = v_0$ (tại thời điểm ban đầu).

d) Dao động điều hòa:

$$x = A\cos(\omega t + \varphi)$$ $$v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$$

Vận tốc cực đại: $$v_{max} = A\omega$$

Đạt được khi vật đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$).

Ví dụ 13: Một vật dao động điều hòa với phương trình $x = 5\cos(2t + \frac{\pi}{3})$ cm. Tìm vận tốc cực đại?

Lời giải:

• Biên độ: $A = 5$ cm = 0.05 m
• Tần số góc: $\omega = 2$ rad/s
• $v_{max} = A\omega = 0.05 \times 2 = 0.1$ m/s = 10 cm/s

V. Công Thức Vận Tốc Rơi Tự Do

1. Định Nghĩa

Rơi tự do là chuyển động của một vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực, bỏ qua mọi lực cản (như sức cản không khí). Đây là dạng chuyển động thẳng nhanh dần đều với gia tốc $g$.

2. Các Đại Lượng Cơ Bản

• $g$: gia tốc trọng trường ≈ 9.8 m/s² (thường lấy gần đúng 10 m/s²)
• $h$: độ cao ban đầu (m)
• $v_0$: vận tốc ban đầu (m/s)
• $t$: thời gian rơi (s)
• $v$: vận tốc tại thời điểm $t$ (m/s)

3. Công Thức Vận Tốc Theo Thời Gian

a) Rơi không có vận tốc ban đầu ($v_0 = 0$):

$$v = gt$$

Ví dụ 14: Thả một vật rơi tự do từ độ cao nào đó. Tính vận tốc của vật sau 3 giây? (Lấy $g = 10$ m/s²)

Lời giải: $$v = gt = 10 \times 3 = 30 \text{ m/s}$$

b) Rơi có vận tốc ban đầu:

$$v = v_0 + gt$$

Ví dụ 15: Ném một vật thẳng đứng xuống dưới với vận tốc ban đầu $v_0 = 5$ m/s. Tính vận tốc sau 2 giây?

Lời giải: $$v = v_0 + gt = 5 + 10 \times 2 = 5 + 20 = 25 \text{ m/s}$$

4. Công Thức Liên Hệ Giữa Vận Tốc và Độ Cao

a) Không có vận tốc ban đầu:

$$v^2 = 2gh$$

$$v = \sqrt{2gh}$$

Ví dụ 16: Thả một vật rơi tự do từ độ cao 20m. Tính vận tốc khi vật chạm đất? (Lấy $g = 10$ m/s²)

Lời giải: $$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \text{ m/s}$$

b) Có vận tốc ban đầu:

$$v^2 = v_0^2 + 2gh$$

Ví dụ 17: Ném một vật thẳng đứng xuống với vận tốc ban đầu $v_0 = 10$ m/s từ độ cao 45m. Tính vận tốc khi vật chạm đất?

Lời giải: $$v^2 = v_0^2 + 2gh = 10^2 + 2 \times 10 \times 45 = 100 + 900 = 1000$$ $$v = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10} \approx 31.6 \text{ m/s}$$

5. Công Thức Quãng Đường Rơi

$$h = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$$

Nếu $v_0 = 0$: $$h = \frac{1}{2}gt^2$$

Ví dụ 18: Thả một vật rơi tự do. Sau 4 giây, vật rơi được bao nhiêu mét? (Lấy $g = 10$ m/s²)

Lời giải: $$h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 4^2 = 5 \times 16 = 80 \text{ m}$$

6. Thời Gian Rơi

Từ độ cao $h$ xuống đất (không có $v_0$):

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Ví dụ 19: Thả một vật từ độ cao 80m. Tính thời gian vật chạm đất? (Lấy $g = 10$ m/s²)

Lời giải: $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 80}{10}} = \sqrt{16} = 4 \text{ giây}$$

7. Ném Vật Thẳng Đứng Lên

Khi ném vật thẳng đứng lên với vận tốc ban đầu $v_0$:

Vận tốc theo thời gian: $$v = v_0 – gt$$

Độ cao cực đại: $$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$$

Thời gian lên đến điểm cao nhất: $$t_{max} = \frac{v_0}{g}$$

Ví dụ 20: Ném một vật thẳng đứng lên với vận tốc ban đầu $v_0 = 20$ m/s.

a) Tính độ cao cực đại?
b) Tính thời gian để vật lên đến độ cao cực đại?
c) Tính vận tốc khi vật chạm đất?

Lời giải:

a) Độ cao cực đại: $$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 10} = \frac{400}{20} = 20 \text{ m}$$

b) Thời gian lên: $$t_{max} = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{10} = 2 \text{ giây}$$

c) Khi vật rơi từ độ cao 20m về đất, vận tốc: $$v = \sqrt{2gh_{max}} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = 20 \text{ m/s}$$

Hoặc theo tính đối xứng: thời gian xuống bằng thời gian lên (2s), vận tốc khi chạm đất bằng vận tốc ban đầu (20 m/s).

8. Bảng Tóm Tắt Công Thức Rơi Tự Do

VI. Các Dạng Chuyển Động Đặc Biệt

1. Chuyển Động Thẳng Đều

Phương trình: $$v = \text{hằng số}$$ $$s = s_0 + vt$$

Đặc điểm:

• Vận tốc không đổi theo thời gian
• Gia tốc bằng 0
• Quãng đường tỷ lệ thuận với thời gian

2. Chuyển Động Thẳng Biến Đổi Đều

a) Chuyển động thẳng nhanh dần đều:

$$v = v_0 + at \quad (a > 0)$$ $$s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$$ $$v^2 – v_0^2 = 2as$$

Đặc điểm: Vận tốc tăng đều theo thời gian

b) Chuyển động thẳng chậm dần đều:

$$v = v_0 – at \quad (a > 0)$$

Đặc điểm: Vận tốc giảm đều theo thời gian

3. Chuyển Động Tròn Đều

Vận tốc dài (tuyến tính): $$v = \omega r = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi rf$$

Vận tốc góc: $$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

Trong đó:

• $r$: bán kính quỹ đạo (m)
• $T$: chu kỳ (s)
• $f$: tần số (Hz)
• $\omega$: vận tốc góc (rad/s)

Ví dụ 21: Một vật chuyển động tròn đều trên quỹ đạo bán kính $r = 2$m với chu kỳ $T = 4$s. Tính vận tốc dài?

Lời giải: $$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \times 2}{4} = \pi \text{ m/s} \approx 3.14 \text{ m/s}$$

4. Dao Động Điều Hòa

Phương trình li độ: $$x = A\cos(\omega t + \varphi)$$

Phương trình vận tốc: $$v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$$

Vận tốc cực đại: $$v_{max} = A\omega$$

Đạt được khi vật qua vị trí cân bằng ($x = 0$).

5. Chuyển Động Ném Ngang

Khi ném một vật theo phương ngang từ độ cao $h$ với vận tốc ban đầu $v_0$:

Phương ngang: $v_x = v_0$ (không đổi)

Phương thẳng đứng: $v_y = gt$ (tăng dần)

Vận tốc tổng hợp: $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$$

Ví dụ 22: Ném một vật theo phương ngang với $v_0 = 10$ m/s. Tính vận tốc của vật sau 2 giây?

Lời giải:

• $v_x = 10$ m/s
• $v_y = gt = 10 \times 2 = 20$ m/s
• $v = \sqrt{10^2 + 20^2} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \approx 22.4$ m/s

VII. Bảng Công Thức Tổng Hợp

A. Vận Tốc Trung Bình

B. Vận Tốc Tức Thời

C. Vận Tốc Rơi Tự Do

D. Chuyển Động Đặc Biệt

VIII. Mẹo và Lưu Ý

1. Phân Biệt Vận Tốc và Tốc Độ

Vận tốc ($\vec{v}$):

• Là đại lượng vectơ (có hướng)
• Có thể dương, âm hoặc bằng 0
• Phụ thuộc vào chiều chuyển động

Tốc độ ($|v|$):

• Là đại lượng vô hướng (độ lớn)
• Luôn không âm ($|v| \geq 0$)
• Chỉ quan tâm đến độ lớn, không quan tâm đến hướng

2. Các Sai Lầm Thường Gặp

❌ Sai lầm 1: Nhầm vận tốc trung bình với vận tốc tức thời

Đúng: Vận tốc trung bình đặc trưng cho cả quá trình, vận tốc tức thời đặc trưng cho một thời điểm.

❌ Sai lầm 2: Quên đổi đơn vị

Đúng: Luôn kiểm tra và đổi về cùng hệ đơn vị trước khi tính toán.

❌ Sai lầm 3: Tính sai vận tốc trung bình với hai đoạn bằng nhau

Sai: $v_{tb} = \frac{v_1 + v_2}{2}$

Đúng: $v_{tb} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$

❌ Sai lầm 4: Quên dấu âm trong chuyển động chậm dần

Đúng: Khi ném vật lên, $v = v_0 – gt$ (có dấu trừ).

3. Mẹo Tính Nhanh

Đổi đơn vị nhanh:

• 36 km/h = 10 m/s (chia cho 3.6)
• 72 km/h = 20 m/s
• 108 km/h = 30 m/s

Rơi tự do:

• Nhớ $g \approx 10$ m/s² để tính nhẩm nhanh
• Vận tốc sau 1s: 10 m/s
• Vận tốc sau 2s: 20 m/s
• Vận tốc sau 3s: 30 m/s

Vận tốc tức thời:

• Vận tốc tức thời = Đạo hàm bậc nhất của quãng đường
• Gia tốc = Đạo hàm bậc hai của quãng đường = Đạo hàm bậc nhất của vận tốc

Tìm vận tốc cực đại:

• Giải phương trình $v'(t) = 0$
• Lập bảng biến thiên
• So sánh giá trị tại điểm tới hạn và biên

4. Kiểm Tra Đáp Án

Kiểm tra đơn vị: Đơn vị của vận tốc phải là m/s hoặc km/h

Kiểm tra dấu: Vận tốc có thể âm, nhưng tốc độ luôn không âm

Kiểm tra logic: Vận tốc rơi tự do tăng theo thời gian, không thể giảm

Kiểm tra thực tế: Vận tốc một người đi bộ khoảng 5 km/h, xe máy khoảng 40-60 km/h, ô tô khoảng 60-100 km/h

IX. Bài Tập Mẫu

Bài 1: Vận tốc trung bình

Đề: Một xe ô tô chạy được 120 km trong 2.5 giờ. Tính vận tốc trung bình của xe?

Lời giải: $$v_{tb} = \frac{s}{t} = \frac{120}{2.5} = 48 \text{ km/h}$$

Đáp án: 48 km/h

Bài 2: Vận tốc tức thời

Đề: Một chất điểm chuyển động với phương trình $s(t) = 2t^2 + 3t$ (m, s). Tính vận tốc tức thời tại $t = 2$s?

Lời giải:

• $v(t) = s'(t) = (2t^2 + 3t)’ = 4t + 3$ (m/s)
• Tại $t = 2$s: $v(2) = 4(2) + 3 = 8 + 3 = 11$ m/s

Đáp án: 11 m/s

Bài 3: Vận tốc cực đại

Đề: Một vật chuyển động với phương trình $s(t) = -t^3 + 6t^2$ (m) trong khoảng $0 \leq t \leq 5$ (s). Tìm vận tốc cực đại?

Lời giải:

• $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t$ (m/s)
• $v'(t) = -6t + 12 = 0 \Rightarrow t = 2$
• Tính giá trị vận tốc:
  • $v(0) = 0$
  • $v(2) = -3(4) + 12(2) = -12 + 24 = 12$ m/s
  • $v(5) = -3(25) + 12(5) = -75 + 60 = -15$ m/s
• So sánh: $v_{max} = 12$ m/s

Đáp án: $v_{max} = 12$ m/s tại $t = 2$s

Bài 4: Vận tốc rơi tự do

Đề: Thả một vật từ độ cao 45m. Tính vận tốc khi vật chạm đất? (Lấy $g = 10$ m/s²)

Lời giải: $$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 45} = \sqrt{900} = 30 \text{ m/s}$$

Đáp án: 30 m/s

Bài 5: Ném vật lên

Đề: Ném một vật thẳng đứng lên với vận tốc ban đầu $v_0 = 30$ m/s. a) Tính độ cao cực đại?
b) Tính thời gian để vật rơi xuống đất?

Lời giải:

a) Độ cao cực đại: $$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{30^2}{2 \times 10} = \frac{900}{20} = 45 \text{ m}$$

b) Thời gian lên: $$t_{lên} = \frac{v_0}{g} = \frac{30}{10} = 3 \text{ s}$$

Thời gian xuống bằng thời gian lên: $t_{xuống} = 3$ s

Tổng thời gian: $t = 3 + 3 = 6$ giây

Đáp án: a) 45 m; b) 6 giây

X. Kết Luận

Bài viết đã trình bày chi tiết 4 nhóm công thức vận tốc quan trọng:

Vận tốc trung bình ($v_{tb} = \frac{s}{t}$): Đặc trưng cho cả quá trình, được học ở Vật lý lớp 10

Vận tốc tức thời ($v(t) = s'(t)$): Vận tốc tại một thời điểm cụ thể, liên quan đến đạo hàm trong Toán học

Vận tốc cực đại: Giá trị lớn nhất của vận tốc, tìm bằng phương pháp cực trị

Vận tốc rơi tự do ($v = gt$ hoặc $v = \sqrt{2gh}$): Áp dụng cho chuyển động rơi tự do

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa