I. GIỚI THIỆU

1. Vectơ trong toán học

Vectơ là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong toán học hiện đại. Khác với số vô hướng (chỉ có độ lớn), vectơ là đại lượng có cả hướng và độ dài (còn gọi là độ lớn hay mô-đun).

Ký hiệu: $\vec{a}$, $\vec{AB}$ (mũi tên trên đầu)

Biểu diễn: Vectơ được biểu diễn bằng mũi tên, trong đó:

• Điểm đầu: Gốc của vectơ
• Điểm cuối: Ngọn mũi tên
• Độ dài mũi tên: Độ lớn của vectơ
• Chiều mũi tên: Hướng của vectơ

Ứng dụng rộng rãi:

• Hình học: Biểu diễn điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian
• Vật lý: Biểu diễn lực, vận tốc, gia tốc, điện trường, từ trường
• Kỹ thuật: Cơ học kết cấu, động lực học, điều khiển tự động
• Đồ họa máy tính: Dịch chuyển, xoay đối tượng 3D
• Trí tuệ nhân tạo: Vector embedding trong machine learning

2. Nội dung bài viết

Bài viết này tập trung vào 5 nhóm công thức vectơ cơ bản nhất mà mọi học sinh THPT cần nắm vững:

1. Độ dài vectơ – Tính độ lớn của vectơ từ tọa độ
2. Độ dài đoạn thẳng – Khoảng cách giữa hai điểm
3. Cộng vectơ – Các phép toán cơ bản với vectơ
4. Góc giữa hai vectơ – Tính góc bằng tích vô hướng
5. Góc giữa hai đường thẳng – Ứng dụng trong hình học không gian

II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ

1. Trong mặt phẳng (Oxy)

Cho vectơ $\vec{a} = (x; y)$ với tọa độ x, y

Công thức tính độ dài:

$$\boxed{|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}}$$

Đọc: “Mô-đun vectơ a” hoặc “Độ dài vectơ a”

Ý nghĩa hình học: Độ dài vectơ chính là độ dài đoạn thẳng từ gốc tọa độ O đến điểm có tọa độ (x; y).

Ví dụ 1: Tính độ dài vectơ $\vec{a} = (3; 4)$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Đáp án: $|\vec{a}| = 5$

Ví dụ 2: Tính độ dài vectơ $\vec{b} = (-5; 12)$

Lời giải: $$|\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Lưu ý: Dù tọa độ âm, khi bình phương vẫn cho kết quả dương.

2. Trong không gian (Oxyz)

Cho vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ với tọa độ x, y, z

Công thức tính độ dài:

$$\boxed{|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

Quy tắc nhớ: “Bình phương tất cả tọa độ, cộng lại, rồi lấy căn bậc hai”

Ví dụ 3: Tính độ dài vectơ $\vec{a} = (2; 3; 6)$

Lời giải: $$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$$

Đáp án: $|\vec{a}| = 7$

Ví dụ 4: Tính độ dài vectơ $\vec{c} = (1; -2; 2)$

Lời giải: $$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

3. Tính chất của độ dài vectơ

Tính chất 1: Độ dài luôn không âm $$|\vec{a}| \geq 0$$

Tính chất 2: Độ dài bằng 0 khi và chỉ khi vectơ là vectơ không $$|\vec{a}| = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{0} \Leftrightarrow (x = 0, y = 0, z = 0)$$

Tính chất 3: Độ dài của vectơ nhân với số k $$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$$

Ví dụ: Nếu $|\vec{a}| = 5$ thì:

• $|3\vec{a}| = 3 \cdot 5 = 15$
• $|-2\vec{a}| = 2 \cdot 5 = 10$

Tính chất 4: Bất đẳng thức tam giác $$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$$

Lưu ý quan trọng: $|\vec{a} + \vec{b}| \neq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ (trừ khi hai vectơ cùng hướng)

4. Vectơ đơn vị

Định nghĩa: Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1.

Vectơ đơn vị cùng hướng với $\vec{a}$:

$$\boxed{\vec{a}_0 = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{|\vec{a}|}(x; y; z)}$$

Tính chất: $|\vec{a}_0| = 1$ (luôn có độ dài bằng 1)

Ví dụ 5: Tìm vectơ đơn vị cùng hướng với $\vec{a} = (3; 4)$

Lời giải:

Bước 1: Tính độ dài: $$|\vec{a}| = \sqrt{9 + 16} = 5$$

Bước 2: Tính vectơ đơn vị: $$\vec{a}_0 = \frac{1}{5}(3; 4) = \left(\frac{3}{5}; \frac{4}{5}\right)$$

Kiểm tra: $|\vec{a}_0| = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1$ ✓

Ví dụ 6: Tìm vectơ đơn vị cùng hướng với $\vec{b} = (2; -2; 1)$

Lời giải: $$|\vec{b}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$$ $$\vec{b}_0 = \left(\frac{2}{3}; -\frac{2}{3}; \frac{1}{3}\right)$$

III. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG

1. Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng

Cho hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$

Công thức tính khoảng cách AB:

$$\boxed{AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}}$$

Cách nhớ: “Hiệu tọa độ bình phương, cộng lại, lấy căn”

Ví dụ 7: Tính khoảng cách giữa $A(1; 2)$ và $B(4; 6)$

Lời giải: $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Đáp án: AB = 5

Ví dụ 8: Cho $M(2; 3)$ và $N(-1; 7)$. Tính MN?

Lời giải: $$MN = \sqrt{(-1-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

2. Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian

Cho hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$

Công thức tính khoảng cách AB:

$$\boxed{AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}}$$

Ví dụ 9: Tính khoảng cách giữa $A(1; 0; 0)$ và $B(0; 1; 1)$

Lời giải: $$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2}$$ $$= \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$

Đáp án: $AB = \sqrt{3}$

Ví dụ 10: Cho $P(2; 1; 3)$ và $Q(5; 5; 6)$. Tính PQ?

Lời giải: $$PQ = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2 + (6-3)^2}$$ $$= \sqrt{9 + 16 + 9} = \sqrt{34}$$

3. Mối liên hệ với độ dài vectơ

Độ dài đoạn thẳng AB chính là độ dài của vectơ $\vec{AB}$:

$$\boxed{AB = |\vec{AB}|}$$

với $\vec{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)$

Công thức thống nhất:

Bước 1: Tính tọa độ vectơ: $$\vec{AB} = B – A = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)$$

Bước 2: Tính độ dài: $$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}$$

Lưu ý:

• $\vec{AB} = -\vec{BA}$ (ngược hướng)
• Nhưng $AB = BA$ (độ dài bằng nhau)

IV. CÔNG THỨC CỘNG VECTƠ

1. Quy tắc cộng vectơ

A. Quy tắc ba điểm (Cộng liên tiếp)

$$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$

Ý nghĩa: Đi từ A đến B, rồi từ B đến C, tương đương với đi thẳng từ A đến C.

Tổng quát: $$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \ldots + \vec{YZ} = \vec{AZ}$$

B. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành với A là đỉnh, thì:

$$\boxed{\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}}$$

Ý nghĩa: Hai cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh cộng lại cho đường chéo.

Chứng minh: Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{BC} = \vec{AD}$ $$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$

2. Công thức tọa độ

Trong mặt phẳng:

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$

$$\boxed{\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)}$$

Quy tắc: Cộng từng tọa độ tương ứng.

Trong không gian:

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$

$$\boxed{\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)}$$

Ví dụ 11: Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (4; 5; 6)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$?

Lời giải: $$\vec{a} + \vec{b} = (1+4; 2+5; 3+6) = (5; 7; 9)$$

Ví dụ 12: Cho $\vec{u} = (2; -3)$ và $\vec{v} = (-1; 5)$. Tính $\vec{u} + \vec{v}$?

Lời giải: $$\vec{u} + \vec{v} = (2-1; -3+5) = (1; 2)$$

3. Tính chất phép cộng

Giải thích:

• Giao hoán: Thứ tự cộng không quan trọng
• Kết hợp: Cách nhóm không quan trọng
• Vectơ không: $\vec{0} = (0; 0; 0)$ không làm thay đổi vectơ
• Vectơ đối: $-\vec{a} = (-x; -y; -z)$ cùng độ dài nhưng ngược hướng

4. Hiệu của hai vectơ

Định nghĩa: $$\boxed{\vec{a} – \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})}$$

Công thức tọa độ: $$\boxed{\vec{a} – \vec{b} = (x_1 – x_2; y_1 – y_2; z_1 – z_2)}$$

Quy tắc hiệu vectơ: $$\boxed{\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA}}$$

với O là gốc tọa độ bất kỳ.

Ví dụ 13: Cho $\vec{a} = (5; 7; 9)$ và $\vec{b} = (2; 3; 4)$. Tính $\vec{a} – \vec{b}$?

Lời giải: $$\vec{a} – \vec{b} = (5-2; 7-3; 9-4) = (3; 4; 5)$$

5. Nhân vectơ với số thực

Định nghĩa: Cho số thực k và vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$

$$\boxed{k\vec{a} = (kx; ky; kz)}$$

Tính chất:

• $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$ (độ dài nhân với |k|)
• Nếu $k > 0$: $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$
• Nếu $k < 0$: $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$
• Nếu $k = 0$: $k\vec{a} = \vec{0}$

Ví dụ 14: Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$. Tính $3\vec{a}$ và $-2\vec{a}$?

Lời giải:

• $3\vec{a} = (3; 6; 9)$
• $-2\vec{a} = (-2; -4; -6)$

6. Ứng dụng: Tìm tọa độ điểm đặc biệt

A. Trung điểm I của đoạn AB

$$\boxed{\vec{OI} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}}$$

Công thức tọa độ: $$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right)}$$

Ví dụ 15: Tìm trung điểm I của AB với $A(2; 4; 6)$ và $B(8; 10; 12)$

Lời giải: $$I\left(\frac{2+8}{2}; \frac{4+10}{2}; \frac{6+12}{2}\right) = I(5; 7; 9)$$

B. Trọng tâm G của tam giác ABC

$$\boxed{\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}}$$

Công thức tọa độ: $$\boxed{G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)}$$

Ví dụ 16: Tìm trọng tâm G của tam giác với $A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $C(0; 3; 0)$

Lời giải: $$G\left(\frac{0+3+0}{3}; \frac{0+0+3}{3}; \frac{0+0+0}{3}\right) = G(1; 1; 0)$$

V. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa góc giữa hai vectơ

Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (đều khác vectơ không) là góc $\alpha$ thỏa mãn:

$$\boxed{0° \leq \alpha \leq 180°}$$

Quy ước: Góc giữa hai vectơ luôn từ 0° đến 180° (không vượt quá 180°).

2. Tích vô hướng (Scalar product)

Định nghĩa: Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số thực:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$$

Công thức tọa độ:

• Mặt phẳng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
• Không gian: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

3. Công thức tính góc

Từ định nghĩa tích vô hướng, ta có:

$$\boxed{\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$$

Trong mặt phẳng: $$\boxed{\cos \alpha = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}}$$

Trong không gian: $$\boxed{\cos \alpha = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}}$$

Quy trình 3 bước:

1. ✅ Tính tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b}$
2. ✅ Tính độ dài: $|\vec{a}|$ và $|\vec{b}|$
3. ✅ Tính $\cos \alpha$ rồi suy ra $\alpha$

4. Ví dụ chi tiết

Ví dụ 17: Tính góc giữa $\vec{a} = (1; 0; 0)$ và $\vec{b} = (1; 1; 0)$

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(1) + 0(1) + 0(0) = 1$$

Bước 2: Tính độ dài: $$|\vec{a}| = \sqrt{1 + 0 + 0} = 1$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$

Bước 3: Tính góc: $$\cos \alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\alpha = 45°$$

Đáp án: Góc giữa hai vectơ là 45°

Ví dụ 18: Tính góc giữa $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (0; 1; 1)$

Lời giải:

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 + 1 + 0 = 1$
• $|\vec{u}| = \sqrt{2}$, $|\vec{v}| = \sqrt{2}$
• $\cos \alpha = \frac{1}{2}$
• $\alpha = 60°$

5. Các trường hợp đặc biệt

6. Điều kiện vuông góc

Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0:

$$\boxed{\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0}$$

Trong không gian: $$\boxed{\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0}$$

Ví dụ 19: Chứng minh $\vec{a} = (1; -1; 0)$ vuông góc với $\vec{b} = (1; 1; 2)$

Lời giải:

Tính tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(1) + (-1)(1) + 0(2) = 1 – 1 + 0 = 0$$

Vậy $\vec{a} \perp \vec{b}$ ✓

VI. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1. Khái niệm

Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương (VTCP) của chúng, nhưng chỉ lấy góc nhỏ hơn (từ 0° đến 90°).

Khác biệt quan trọng:

• Góc giữa hai vectơ: 0° → 180°
• Góc giữa hai đường thẳng: 0° → 90°

2. Trong mặt phẳng

Đường thẳng $d_1$ có VTCP $\vec{u_1} = (a_1; b_1)$
Đường thẳng $d_2$ có VTCP $\vec{u_2} = (a_2; b_2)$

Công thức:

$$\boxed{\cos(d_1, d_2) = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}}$$

⚠️ Lưu ý quan trọng: Có giá trị tuyệt đối ở tử số!

Lý do: Để đảm bảo $\cos \alpha \geq 0$, tức góc từ 0° đến 90°.

3. Trong không gian

Đường thẳng $d_1$ có VTCP $\vec{u_1} = (a_1; b_1; c_1)$
Đường thẳng $d_2$ có VTCP $\vec{u_2} = (a_2; b_2; c_2)$

Công thức:

$$\boxed{\cos(d_1, d_2) = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}}$$

Công thức rút gọn:

$$\boxed{\cos(d_1, d_2) = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}}$$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 20: Tính góc giữa hai đường thẳng:

• $d_1$: $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{3}$
• $d_2$: $\frac{x}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z+1}{2}$

Lời giải:

Bước 1: Xác định VTCP:

• $\vec{u_1} = (2; 1; 3)$
• $\vec{u_2} = (1; -1; 2)$

Bước 2: Tính tích vô hướng: $$\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 2(1) + 1(-1) + 3(2) = 2 – 1 + 6 = 7$$

Bước 3: Tính độ dài: $$|\vec{u_1}| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$$ $$|\vec{u_2}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$

Bước 4: Tính góc: $$\cos \alpha = \frac{|7|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{84}} = \frac{7}{2\sqrt{21}} = \frac{7\sqrt{21}}{42} = \frac{\sqrt{21}}{6}$$

$$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{6}\right) \approx 40.4°$$

Ví dụ 21: Cho $d_1: \vec{u_1} = (1; 0; 1)$ và $d_2: \vec{u_2} = (1; 1; 0)$. Tính góc?

Lời giải:

• $\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 1(1) + 0(1) + 1(0) = 1$
• $|\vec{u_1}| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$
• $|\vec{u_2}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$
• $\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
• $\alpha = 60°$

5. Điều kiện vuông góc và song song

A. Hai đường thẳng vuông góc

$$\boxed{d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0}$$

Trong không gian: $$\boxed{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0}$$

Ví dụ: $\vec{u_1} = (2; 1; 0)$ và $\vec{u_2} = (1; -2; 3)$

Kiểm tra: $2(1) + 1(-2) + 0(3) = 2 – 2 = 0$ → Vuông góc ✓

B. Hai đường thẳng song song

$$\boxed{d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow \vec{u_1} = k\vec{u_2}}$$

Trong không gian: $$\boxed{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}}$$

Ví dụ: $\vec{u_1} = (2; 4; 6)$ và $\vec{u_2} = (1; 2; 3)$

Kiểm tra: $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2$ → Song song ✓

6. So sánh góc giữa vectơ và đường thẳng

Mẹo nhớ quan trọng:

• Góc vectơ: Không có dấu |…|
• Góc đường thẳng: Có dấu |…| ở tử số

VII. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT

A. Độ dài vectơ

Tính chất: $|\vec{a}| \geq 0$, $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$

B. Độ dài đoạn thẳng

C. Cộng vectơ và phép toán

Quy tắc hình học:

• Quy tắc ba điểm: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
• Quy tắc hình bình hành: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

D. Góc giữa hai vectơ

Lưu ý: Góc từ 0° đến 180°, KHÔNG có giá trị tuyệt đối

E. Góc giữa hai đường thẳng

⚠️ Lưu ý: Có giá trị tuyệt đối ở tử số! Góc từ 0° đến 90°

 F. Điểm đặc biệt

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo tính nhanh

Độ dài vectơ: “Bình phương tất cả tọa độ, cộng lại, lấy căn” $$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Cộng vectơ: “Cộng từng tọa độ tương ứng” $$(x_1; y_1; z_1) + (x_2; y_2; z_2) = (x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2)$$

Góc giữa vectơ: “Tích vô hướng chia tích độ dài” $$\cos \alpha = \frac{\text{(tích vô hướng)}}{\text{(độ dài 1)} \times \text{(độ dài 2)}}$$

Góc giữa đường thẳng: “Giống góc vectơ nhưng có |…| ở tử” $$\cos \alpha = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}$$

2. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Quên lấy căn bậc hai khi tính độ dài

• Sai: $|\vec{a}| = x^2 + y^2 + z^2$
• Đúng: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

❌ Sai lầm 2: Nhầm lẫn công thức góc vectơ và góc đường thẳng

• Góc vectơ: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ (KHÔNG có |…|)
• Góc đường thẳng: $\cos \alpha = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}$ (CÓ |…|)

❌ Sai lầm 3: Cộng độ dài thay vì cộng tọa độ

• Sai: $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$
• Đúng: Tính $\vec{a} + \vec{b}$ theo tọa độ trước, rồi mới tính độ dài

❌ Sai lầm 4: Nhầm VTCP và VTPT khi tính góc

• Góc giữa đường thẳng dùng VTCP (vectơ chỉ phương)
• Không dùng VTPT (vectơ pháp tuyến)

❌ Sai lầm 5: Quên kiểm tra điều kiện vectơ khác $\vec{0}$

• Góc giữa hai vectơ chỉ xác định khi cả hai đều khác vectơ không

3. Kiểm tra nhanh

Độ dài luôn không âm: $$|\vec{a}| \geq 0$$

Góc giữa vectơ: $$0° \leq \alpha \leq 180°$$

Góc giữa đường thẳng: $$0° \leq \alpha \leq 90°$$

Giá trị cosin: $$-1 \leq \cos \alpha \leq 1$$

Nếu tính được $\cos \alpha > 1$ hoặc $\cos \alpha < -1$ → Đã sai!

Kiểm tra vuông góc: $$\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \cos 90° = 0$$ ✓

4. Chiến lược làm bài

Với bài toán tính độ dài:

1. Xác định tọa độ vectơ
2. Bình phương từng tọa độ
3. Cộng lại và lấy căn

Với bài toán tính góc:

1. Tính tích vô hướng (tử số)
2. Tính độ dài hai vectơ (mẫu số)
3. Tính cos và suy ra góc
4. Kiểm tra nếu là góc đường thẳng → Thêm |…| ở tử

Với bài toán chứng minh vuông góc:

1. Chỉ cần tính tích vô hướng
2. Nếu = 0 → Vuông góc
3. Không cần tính góc!

IX. BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Tính độ dài vectơ

Đề bài: Cho $\vec{a} = (2; -3; 6)$. Tính $|\vec{a}|$?

Lời giải: $$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$$

Đáp án: $|\vec{a}| = 7$

Bài 2: Tính khoảng cách giữa hai điểm

Đề bài: Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(4; 6; 8)$. Tính AB?

Lời giải: $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (8-3)^2}$$ $$= \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Đáp án: $AB = 5\sqrt{2}$

Bài 3: Cộng vectơ

Đề bài: Cho $\vec{a} = (1; -2; 3)$ và $\vec{b} = (2; 1; -1)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$ và $|\vec{a} + \vec{b}|$?

Lời giải:

Bước 1: Cộng tọa độ: $$\vec{a} + \vec{b} = (1+2; -2+1; 3-1) = (3; -1; 2)$$

Bước 2: Tính độ dài: $$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$$

Đáp án: $\vec{a} + \vec{b} = (3; -1; 2)$, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{14}$

Bài 4: Góc giữa hai vectơ

Đề bài: Cho $\vec{a} = (1; 1; 0)$ và $\vec{b} = (0; 1; 1)$. Tính góc giữa chúng?

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(0) + 1(1) + 0(1) = 0 + 1 + 0 = 1$$

Bước 2: Tính độ dài: $$|\vec{a}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$$

Bước 3: Tính góc: $$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ $$\alpha = 60°$$

Đáp án: Góc giữa hai vectơ là 60°

Bài 5: Góc giữa hai đường thẳng

Đề bài: Cho đường thẳng $d_1$ có VTCP $\vec{u_1} = (1; 0; 1)$ và $d_2$ có VTCP $\vec{u_2} = (1; 1; 0)$. Tính góc giữa chúng?

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng: $$\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 1(1) + 0(1) + 1(0) = 1$$

Bước 2: Tính độ dài: $$|\vec{u_1}| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{u_2}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$

Bước 3: Tính góc (CHÚ Ý có |…|): $$\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ $$\alpha = 60°$$

Đáp án: Góc giữa hai đường thẳng là 60°

Bài 6: Chứng minh vuông góc

Đề bài: Chứng minh $\vec{a} = (2; 1; -1)$ và $\vec{b} = (1; -2; 0)$ vuông góc?

Lời giải:

Tính tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(1) + 1(-2) + (-1)(0) = 2 – 2 + 0 = 0$$

Vì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ nên $\vec{a} \perp \vec{b}$ ✓

Kết luận: Hai vectơ vuông góc

Bài 7: Tìm tọa độ điểm

Đề bài: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB với $A(2; 4; 6)$ và $B(6; 8; 10)$?

Lời giải:

Áp dụng công thức trung điểm: $$I\left(\frac{2+6}{2}; \frac{4+8}{2}; \frac{6+10}{2}\right) = I(4; 6; 8)$$

Đáp án: $I(4; 6; 8)$

Bài 8: Tìm vectơ đơn vị

Đề bài: Tìm vectơ đơn vị cùng hướng với $\vec{a} = (6; -2; 3)$?

Lời giải:

Bước 1: Tính độ dài: $$|\vec{a}| = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$$

Bước 2: Tính vectơ đơn vị: $$\vec{a}_0 = \frac{1}{7}(6; -2; 3) = \left(\frac{6}{7}; -\frac{2}{7}; \frac{3}{7}\right)$$

Đáp án: $\vec{a}_0 = \left(\frac{6}{7}; -\frac{2}{7}; \frac{3}{7}\right)$

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ 5 nhóm công thức vectơ cơ bản mà mọi học sinh cần nắm vững:

1. Độ dài vectơ: $$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ Công cụ để đo “kích thước” của vectơ

2. Độ dài đoạn thẳng: $$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$$ Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian

3. Cộng vectơ: $$(x_1; y_1; z_1) + (x_2; y_2; z_2) = (x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2)$$ Cộng từng tọa độ tương ứng

4. Góc giữa hai vectơ: $$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ Dùng tích vô hướng, góc từ 0° đến 180°

5. Góc giữa hai đường thẳng: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}$$ Có giá trị tuyệt đối, góc từ 0° đến 90°

Lời khuyên học tập

Học thuộc 5 công thức trọng tâm

Đây là nền tảng cho mọi bài toán vectơ. Viết ra giấy và đọc mỗi ngày cho đến khi thuộc nằm lòng.

Phân biệt rõ góc vectơ vs góc đường thẳng

Đây là điểm dễ nhầm nhất! Nhớ:

• Góc vectơ: KHÔNG có |…|, từ 0° → 180°
• Góc đường thẳng: CÓ |…|, từ 0° → 90°

Nhớ: Góc đường thẳng có |…| ở tử số

Viết ra giấy note to: “ĐƯỜNG THẲNG CÓ |…|”

Luyện tập với tọa độ cụ thể

Làm ít nhất 10-15 bài tập cho mỗi dạng để thành thạo.

Kiểm tra đáp án

• Độ dài ≥ 0
• -1 ≤ cos ≤ 1
• Góc vectơ: 0° → 180°
• Góc đường thẳng: 0° → 90°

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa