I. GIỚI THIỆU VỀ VECTƠ

1. Vectơ là gì?

Định nghĩa:

Vectơ là một đại lượng có cả độ lớn (module) và hướng, được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng từ điểm đầu đến điểm cuối.

Ký hiệu chuẩn:

• Vectơ tổng quát: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$
• Vectơ nối hai điểm: $\vec{AB}$, $\vec{CD}$, $\vec{MN}$
  • Điểm A: điểm đầu
  • Điểm B: điểm cuối
• Độ dài (module): $|\vec{a}|$ hoặc $a$
• Độ dài đoạn thẳng: $AB = |\vec{AB}|$

Ví dụ thực tế dễ hiểu:

1. Lực: Khi đẩy một vật, lực có độ lớn (10N, 20N,…) và hướng tác dụng (sang phải, lên trên,…)
2. Vận tốc: Xe chạy 60 km/h (độ lớn) theo hướng Đông (hướng)
3. Chuyển dời: Đi từ nhà (A) đến trường (B), có khoảng cách (độ dài) và hướng đi
4. Gió: Gió mạnh 15 m/s thổi theo hướng Tây Nam

Phân biệt rõ ràng:

2. Các khái niệm cơ bản

A. Vectơ không

Ký hiệu: $\vec{0}$

Định nghĩa: Vectơ có độ dài bằng 0, không xác định hướng.

Ví dụ: $\vec{AA} = \vec{0}$ (vectơ từ A đến chính A)

B. Hai vectơ bằng nhau

Điều kiện: $\vec{a} = \vec{b}$ khi và chỉ khi:

1. Cùng độ dài: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$
2. Cùng hướng

Chú ý: Hai vectơ bằng nhau không nhất thiết trùng nhau về vị trí.

Ví dụ: Trong hình bình hành ABCD: $\vec{AB} = \vec{DC}$ (cùng độ dài, cùng hướng)

C. Vectơ đối

Định nghĩa: $\vec{a}$ và $-\vec{a}$ là hai vectơ đối khi:

• Cùng độ dài: $|\vec{a}| = |-\vec{a}|$
• Ngược hướng

Ví dụ: $\vec{AB}$ và $\vec{BA}$ là hai vectơ đối: $\vec{BA} = -\vec{AB}$

D. Vectơ cùng phương

Định nghĩa: Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ký hiệu: $\vec{a}$ // $\vec{b}$

Phân loại:

• Cùng hướng: $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ (cùng phương, cùng chiều)
• Ngược hướng: $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$ (cùng phương, ngược chiều)

Ví dụ:

• Ba điểm A, B, C thẳng hàng → $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương
• Hai cạnh đối của hình bình hành → vectơ cùng phương

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết này sẽ hệ thống hóa toàn bộ kiến thức vectơ lớp 10:

1. Các phép toán vectơ – Cộng, trừ, nhân với số
2. Phân tích vectơ – Quy tắc trung điểm, trọng tâm
3. Tích vô hướng – Định nghĩa, tính chất, ứng dụng
4. Tọa độ vectơ – Hệ trục Oxy, công thức tọa độ
5. Ứng dụng hình học – Chứng minh, tính toán cụ thể
6. Bảng công thức tổng hợp – Tra cứu nhanh

II. CÁC PHÉP TOÁN VỚI VECTƠ

1. Phép cộng vectơ

Phép cộng vectơ có hai quy tắc cơ bản:

A. Quy tắc hình bình hành

Nội dung: Cho hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ (có chung điểm đầu A). Dựng hình bình hành ABDC, ta có:

$$\boxed{\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}}$$

Hình minh họa:

        D ←---------- C
        ↑             ↑
    AD  |             | AC
        |             |
        A ----------→ B
              AB

Giải thích: Vectơ tổng là đường chéo xuất phát từ điểm đầu chung.

B. Quy tắc ba điểm (Quy tắc cộng dây chuyền)

Nội dung: Với ba điểm A, B, C bất kỳ:

$$\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}$$

Quy tắc nhớ: “Điểm cuối nối điểm đầu”

Giải thích: Đi từ A đến B, rồi từ B đến C, kết quả là đi từ A đến C.

C. Quy tắc chuỗi (Mở rộng cho n điểm)

Với dãy điểm $A_1, A_2, A_3, …, A_n$:

$$\boxed{\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + \ldots + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}}$$

Ví dụ: $$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{AE}$$

Quy tắc: Các điểm giữa “triệt tiêu” lẫn nhau, chỉ còn điểm đầu và điểm cuối.

D. Tính chất của phép cộng vectơ

2. Phép trừ vectơ

Định nghĩa

$$\boxed{\vec{a} – \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})}$$

Giải thích: Trừ một vectơ = Cộng với vectơ đối của nó

Quy tắc hiệu vectơ

Công thức quan trọng:

$$\boxed{\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{CB}}$$

Quy tắc nhớ: “Hiệu hai vectơ có điểm đầu là điểm cuối của vectơ trừ”

Chứng minh: $$\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CB}$$

Ví dụ ứng dụng:

• $\vec{OA} – \vec{OB} = \vec{BA}$
• $\vec{MA} – \vec{MB} = \vec{BA}$
• $\vec{PA} – \vec{PB} = \vec{BA}$

Lưu ý: Kết quả không phụ thuộc vào điểm đầu (O, M, hay P đều cho kết quả giống nhau)

3. Phép nhân vectơ với một số

Định nghĩa

Cho số thực $k$ và vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$:

$$\boxed{\vec{b} = k\vec{a}}$$

Tính chất của $\vec{b} = k\vec{a}$:

1. Về độ dài: $$|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$$

2. Về hướng:

• Nếu $k > 0$: $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$ (cùng hướng với $\vec{a}$)
• Nếu $k < 0$: $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}$ (ngược hướng với $\vec{a}$)
• Nếu $k = 0$: $\vec{b} = \vec{0}$ (vectơ không)

Ví dụ minh họa:

• $2\vec{a}$: Vectơ cùng hướng $\vec{a}$, độ dài gấp đôi
• $-3\vec{a}$: Vectơ ngược hướng $\vec{a}$, độ dài gấp 3
• $\frac{1}{2}\vec{a}$: Vectơ cùng hướng $\vec{a}$, độ dài bằng nửa

Tính chất đại số

4. Điều kiện hai vectơ cùng phương

Định lý

Hai vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ và $\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi:

$$\boxed{\exists k \in \mathbb{R}: \vec{b} = k\vec{a}}$$

Đọc: “Tồn tại số thực k sao cho vectơ b bằng k nhân vectơ a”

Ứng dụng: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Định lý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi:

$$\boxed{\vec{AB} = k\vec{AC} \text{ với } k \in \mathbb{R}}$$

Hoặc tương đương:

$$\boxed{\vec{AB} \text{ và } \vec{AC} \text{ cùng phương}}$$

Ví dụ: Cho A(1; 2), B(3; 4), C(5; 6). Chứng minh A, B, C thẳng hàng?

Lời giải:

• $\vec{AB} = (3-1; 4-2) = (2; 2)$
• $\vec{AC} = (5-1; 6-2) = (4; 4)$
• Ta có: $\vec{AC} = 2\vec{AB}$ với k = 2

→ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương → A, B, C thẳng hàng ✓

III. PHÂN TÍCH VECTƠ VÀ CÁC QUY TẮC ĐỘC LẬP

1. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

Định lý: Ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ (với $\vec{a}$, $\vec{b}$ không cùng phương) đồng phẳng khi và chỉ khi:

$$\boxed{\exists m, n \in \mathbb{R}: \vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}}$$

Ý nghĩa: Vectơ $\vec{c}$ có thể biểu diễn qua $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

Ứng dụng: Phân tích vectơ, chứng minh đồng phẳng.

2. Quy tắc trung điểm

Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB:

Công thức 1:

$$\boxed{\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}}$$

Hệ quả: $\vec{MA} = -\vec{MB}$

Công thức 2 (Quan trọng nhất):

Với O là điểm bất kỳ trong mặt phẳng:

$$\boxed{\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}}$$

Cách nhớ: “Tọa độ trung điểm = Trung bình cộng tọa độ hai đầu mút”

Chứng minh:

Từ $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$: $$\vec{OA} – \vec{OM} + \vec{OB} – \vec{OM} = \vec{0}$$ $$\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OM}$$ $$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$$

Ví dụ: Cho O(0; 0), A(2; 4), B(6; 8). Tìm tọa độ trung điểm M?

$$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{(2; 4) + (6; 8)}{2} = \frac{(8; 12)}{2} = (4; 6)$$

Vậy M(4; 6) ✓

3. Quy tắc trọng tâm tam giác

Cho G là trọng tâm tam giác ABC:

Công thức 1 (Tính chất đặc trưng):

$$\boxed{\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}}$$

Ý nghĩa: Tổng ba vectơ từ trọng tâm đến ba đỉnh bằng vectơ không.

Công thức 2 (Biểu diễn qua điểm bất kỳ):

Với O là điểm bất kỳ:

$$\boxed{\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}}$$

Cách nhớ: “Tọa độ trọng tâm = Trung bình cộng tọa độ ba đỉnh chia 3”

Các hệ quả quan trọng:

Hệ quả 1: Biểu diễn $\vec{AG}$ qua hai cạnh:

$$\boxed{\vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC})}$$

Hệ quả 2: Với M là trung điểm BC:

$$\boxed{\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AM}}$$

Hoặc: $\vec{MG} = \frac{1}{3}\vec{MA}$

Giải thích: Trọng tâm G chia trung tuyến AM theo tỉ lệ 2:1 (AG = 2GM)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(0; 3), B(4; 0), C(0; 0). Tìm tọa độ trọng tâm G?

$$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{(0; 3) + (4; 0) + (0; 0)}{3} = \frac{(4; 3)}{3} = \left(\frac{4}{3}; 1\right)$$

Vậy $G\left(\frac{4}{3}; 1\right)$ ✓

4. Công thức chia đoạn thẳng

Cho điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ -1):

Định nghĩa:

$$\boxed{\vec{MA} = k\vec{MB}}$$

Công thức tọa độ M:

Với O là điểm bất kỳ:

$$\boxed{\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + k\vec{OB}}{1 + k}}$$

Trường hợp đặc biệt:

• k = 1: M là trung điểm AB $$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$$
• k = 2: M chia AB theo tỉ lệ 2:1 (MA = 2MB) $$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OB}}{3}$$
• k = -1: Không xác định (M ở vô cực)

Ví dụ: Cho A(1; 2), B(7; 8). Tìm M chia AB theo tỉ lệ 2:1?

$$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OB}}{3} = \frac{(1; 2) + 2(7; 8)}{3} = \frac{(1; 2) + (14; 16)}{3} = \frac{(15; 18)}{3} = (5; 6)$$

Vậy M(5; 6) ✓

Kiểm tra: MA = 2MB ✓

IV. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa tích vô hướng

Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số thực, ký hiệu $\vec{a} \cdot \vec{b}$, được tính theo công thức:

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})}$$

Ký hiệu khác: $\vec{a} \cdot \vec{b}$ hoặc $(\vec{a}, \vec{b})$ hoặc $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$

Chú ý quan trọng:

• Tích vô hướng cho ra số thực (scalar), KHÔNG phải vectơ
• $(\vec{a}, \vec{b})$ là góc giữa hai vectơ: $0° \leq (\vec{a}, \vec{b}) \leq 180°$
• $\cos(\vec{a}, \vec{b})$ có thể dương, âm, hoặc bằng 0

Giải thích tên gọi: “Vô hướng” vì kết quả là số, không có hướng (khác với tích có hướng trong không gian).

2. Các công thức tính tích vô hướng

A. Công thức cơ bản – Bình phương vectơ

$$\boxed{\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2}$$

Hệ quả: $$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2}$$

B. Công thức hình chiếu

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot \text{pr}_{\vec{a}}\vec{b}}$$

Trong đó $\text{pr}_{\vec{a}}\vec{b}$ là độ dài hình chiếu của $\vec{b}$ lên phương của $\vec{a}$.

$$\text{pr}_{\vec{a}}\vec{b} = |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$$

C. Biểu thức theo độ dài các cạnh (Định lý cos)

Trong tam giác ABC:

$$\boxed{\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 – BC^2)}$$

Chứng minh: Áp dụng định lý cosin: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$$

$$\Rightarrow AB \cdot AC \cdot \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 – BC^2}{2}$$

$$\Rightarrow \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 – BC^2)$$

Ứng dụng: Tính tích vô hướng khi biết độ dài ba cạnh.

3. Tính chất của tích vô hướng

Lưu ý: Các hằng đẳng thức vectơ hoàn toàn giống đại số thông thường!

4. Điều kiện vuông góc

Định lý quan trọng:

$$\boxed{\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0}$$

Chứng minh:

$$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90° \Leftrightarrow \cos 90° = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

Quy ước đặc biệt: $\vec{0} \perp \vec{a}$ với mọi vectơ $\vec{a}$

Ứng dụng: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tam giác vuông, hình chữ nhật,…

5. Công thức tính góc giữa hai vectơ

Công thức quan trọng:

$$\boxed{\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$$

Điều kiện: $\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$

Quy trình tính góc:

1. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$
2. Tính $|\vec{a}|$ và $|\vec{b}|$
3. Tính $\cos(\vec{a}, \vec{b})$
4. Suy ra góc: $(\vec{a}, \vec{b}) = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$

Ứng dụng: Tính góc giữa hai đường thẳng, góc trong tam giác.

6. Công thức tính độ dài vectơ

Công thức cơ bản:

$$\boxed{|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}}$$

$$\boxed{AB = |\vec{AB}| = \sqrt{\vec{AB}^2}}$$

Công thức khai triển:

Độ dài tổng: $$\boxed{|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2}$$

Độ dài hiệu: $$\boxed{|\vec{a} – \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 – 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2}$$

Ứng dụng: Chứng minh đẳng thức về độ dài, tính khoảng cách.

Ví dụ: Cho $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$, $(\vec{a}, \vec{b}) = 60°$. Tính $|\vec{a} + \vec{b}|$?

Lời giải:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60° = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$

$$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$$

$$= 9 + 2 \cdot 6 + 16 = 9 + 12 + 16 = 37$$

$$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{37}$$

V. TỌA ĐỘ VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG

1. Hệ trục tọa độ Oxy

Hệ trục tọa độ Descartes vuông góc: Gồm hai trục số Ox và Oy vuông góc nhau, giao nhau tại gốc O.

Các thành phần:

• Gốc tọa độ: Điểm O
• Trục hoành: Trục Ox (nằm ngang)
• Trục tung: Trục Oy (thẳng đứng)

Vectơ đơn vị:

• $\vec{i}$: Vectơ đơn vị trên trục Ox, $|\vec{i}| = 1$
• $\vec{j}$: Vectơ đơn vị trên trục Oy, $|\vec{j}| = 1$
• $\vec{i} \perp \vec{j}$ (vuông góc nhau)
• $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$

2. Tọa độ của vectơ

Định lý phân tích duy nhất: Mọi vectơ $\vec{a}$ trong mặt phẳng đều phân tích duy nhất thành:

$$\boxed{\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}}$$

Ký hiệu tọa độ: $\vec{a} = (x; y)$ hoặc $\vec{a}(x; y)$

Trong đó:

• $x$: Hoành độ của vectơ $\vec{a}$ (tọa độ theo trục Ox)
• $y$: Tung độ của vectơ $\vec{a}$ (tọa độ theo trục Oy)

Ví dụ:

• $\vec{i} = (1; 0)$
• $\vec{j} = (0; 1)$
• $\vec{0} = (0; 0)$
• $\vec{a} = 3\vec{i} + 4\vec{j} = (3; 4)$

3. Tọa độ của điểm

Định nghĩa: Điểm M có tọa độ $(x; y)$ khi:

$$\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$$

Ký hiệu: $M(x; y)$ hoặc $M(x, y)$

Ý nghĩa:

• $x$: Khoảng cách có dấu từ M đến trục Oy (hoành độ)
• $y$: Khoảng cách có dấu từ M đến trục Ox (tung độ)

Lưu ý: Tọa độ điểm M chính là tọa độ của vectơ $\vec{OM}$.

4. Công thức tọa độ cơ bản

A. Tọa độ vectơ nối hai điểm

Cho $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$:

$$\boxed{\vec{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)}$$

Quy tắc nhớ: “Điểm cuối trừ điểm đầu”

Ví dụ: A(1; 2), B(5; 7) → $\vec{AB} = (5-1; 7-2) = (4; 5)$

B. Độ dài vectơ (Khoảng cách hai điểm)

$$\boxed{|\vec{AB}| = AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}}$$

Định lý Pythagore trong tọa độ

Ví dụ: A(1; 2), B(5; 7) → $AB = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$

C. Tọa độ trung điểm

Cho M là trung điểm của AB:

$$\boxed{M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$

Quy tắc nhớ: “Trung bình cộng tọa độ”

Ví dụ: A(2; 3), B(6; 9) → $M\left(\frac{2+6}{2}; \frac{3+9}{2}\right) = M(4; 6)$

D. Tọa độ trọng tâm tam giác

Cho G là trọng tâm tam giác ABC:

$$\boxed{G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)}$$

Quy tắc nhớ: “Trung bình cộng tọa độ ba đỉnh”

Ví dụ: A(0; 0), B(6; 0), C(0; 9) → $G\left(\frac{0+6+0}{3}; \frac{0+0+9}{3}\right) = G(2; 3)$

5. Các phép toán với tọa độ vectơ

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1)$, $\vec{b} = (x_2; y_2)$, và $k \in \mathbb{R}$:

Chú ý: Tất cả phép toán đều tính theo từng tọa độ (tọa độ x với x, y với y).

6. Điều kiện đặc biệt theo tọa độ

A. Hai vectơ bằng nhau

$$\boxed{\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \end{cases}}$$

B. Hai vectơ cùng phương

$$\boxed{\vec{a} \text{ // } \vec{b} \Leftrightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}}$$

Hoặc (tránh chia cho 0):

$$\boxed{x_1y_2 – x_2y_1 = 0}$$

Ví dụ: $\vec{a}=(2;3)$ và $\vec{b}=(4;6)$ → $2 \cdot 6 – 4 \cdot 3 = 0$ → Cùng phương ✓

C. Hai vectơ vuông góc

$$\boxed{\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0}$$

Ví dụ: $\vec{a}=(3;4)$ và $\vec{b}=(4;-3)$ → $3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 0$ → Vuông góc ✓

D. Góc giữa hai vectơ

$$\boxed{\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}}$$

Ví dụ: Tính góc giữa $\vec{a}=(1;0)$ và $\vec{b}=(1;1)$?

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot 1}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45°$$

VI. ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG HÌNH HỌC

1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp: Chứng minh $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương, tức:

$$\boxed{\vec{AB} = k\vec{AC} \text{ với } k \in \mathbb{R}}$$

Ví dụ: Cho A(1; 2), B(3; 4), C(5; 6). Chứng minh A, B, C thẳng hàng?

Lời giải:

$$\vec{AB} = (3-1; 4-2) = (2; 2)$$

$$\vec{AC} = (5-1; 6-2) = (4; 4) = 2(2; 2) = 2\vec{AB}$$

Vì $\vec{AC} = 2\vec{AB}$ nên $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.

Kết luận: A, B, C thẳng hàng ✓

2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp 1: Chứng minh hai cạnh đối bằng nhau và song song:

$$\boxed{\vec{AB} = \vec{DC}}$$

Phương pháp 2: Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm:

Trung điểm AC = Trung điểm BD

Ví dụ: Cho A(0; 0), B(4; 0), C(5; 3), D(1; 3). Chứng minh ABCD là hình bình hành?

Lời giải:

$$\vec{AB} = (4; 0), \quad \vec{DC} = (5-1; 3-3) = (4; 0)$$

Vì $\vec{AB} = \vec{DC}$ nên ABCD là hình bình hành ✓

3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp: Chứng minh tích vô hướng bằng 0:

$$\boxed{\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0}$$

Ví dụ: Chứng minh AB ⊥ CD với A(0; 0), B(3; 4), C(0; 5), D(4; 2)?

Lời giải:

$$\vec{AB} = (3; 4), \quad \vec{CD} = (4; -3)$$

$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 3 \times 4 + 4 \times (-3) = 12 – 12 = 0$$

Kết luận: AB ⊥ CD ✓

4. Tính góc trong tam giác

Phương pháp: Sử dụng công thức tích vô hướng:

$$\boxed{\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AB \cdot AC}}$$

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(3; 0), C(0; 4). Tính góc A?

Lời giải:

$$\vec{AB} = (3; 0), \quad \vec{AC} = (0; 4)$$

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times 0 + 0 \times 4 = 0$$

Vì tích vô hướng bằng 0 nên $\widehat{A} = 90°$

Kết luận: Tam giác ABC vuông tại A ✓

5. Chứng minh đẳng thức hình học

Ví dụ: Định lý trung tuyến

Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Chứng minh:

$$\boxed{MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + \frac{1}{4}(AB^2 + BC^2 + CA^2)}$$

(G là trọng tâm)

Chứng minh bằng vectơ:

Sử dụng các công thức:

• $\vec{MG} = \frac{1}{3}\vec{MA}$ (G chia trung tuyến theo tỉ lệ 2:1)
• $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$
• $\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}$ (M là trung điểm BC)

(Chi tiết chứng minh khá dài, học sinh cần thực hành)

VII. BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC

A. Phép toán vectơ

B. Tích vô hướng

C. Tọa độ vectơ

D. Công thức đặc biệt

VIII. KẾT LUẬN

Tổng kết kiến thức

Qua bài viết này, chúng ta đã hệ thống hóa đầy đủ công thức vectơ lớp 10:

Phép toán vectơ cơ bản:

• Cộng vectơ (quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm)
• Trừ vectơ (quy tắc hiệu)
• Nhân vectơ với số (độ dài và hướng)
• Điều kiện cùng phương

Quy tắc phân tích đặc biệt:

• Quy tắc trung điểm: $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$
• Quy tắc trọng tâm: $\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$
• Công thức chia đoạn thẳng

Tích vô hướng:

• Định nghĩa và tính chất
• Điều kiện vuông góc
• Công thức tính góc và độ dài
• Các hằng đẳng thức vectơ

Tọa độ vectơ trong Oxy:

• Các phép toán với tọa độ
• Công thức tọa độ cơ bản (trung điểm, trọng tâm, độ dài)
• Điều kiện đặc biệt (cùng phương, vuông góc)

Ứng dụng trong hình học:

• Chứng minh thẳng hàng, song song, vuông góc
• Chứng minh tứ giác đặc biệt
• Tính góc, độ dài, diện tích

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa