I. GIỚI THIỆU VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Khái niệm vectơ trong không gian

Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đại lượng có hướng và độ dài, được xác định trong không gian ba chiều (không gian Oxyz).

Biểu diễn vectơ qua tọa độ:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, mỗi vectơ $\vec{a}$ được biểu diễn bởi bộ ba số thực có thứ tự: $$\vec{a} = (x; y; z)$$

Trong đó:

• $x$ là thành phần theo trục Ox
• $y$ là thành phần theo trục Oy
• $z$ là thành phần theo trục Oz

Độ dài (module) vectơ:

Độ dài của vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ được tính theo công thức: $$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Ví dụ: Vectơ $\vec{a} = (3; 4; 12)$ có độ dài: $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

2. Hệ trục tọa độ Oxyz

Gốc tọa độ: Điểm O(0; 0; 0) là giao điểm của ba trục tọa độ.

Ba trục tọa độ:

• Trục Ox (trục hoành): Nằm ngang, hướng từ trái sang phải
• Trục Oy (trục tung): Nằm ngang, vuông góc với Ox
• Trục Oz (trục cao): Thẳng đứng, vuông góc với cả Ox và Oy

Tính chất: Ba trục tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một và cắt nhau tại gốc tọa độ O.

Ba vectơ đơn vị:

• $\vec{i} = (1; 0; 0)$: Vectơ đơn vị trên trục Ox
• $\vec{j} = (0; 1; 0)$: Vectơ đơn vị trên trục Oy
• $\vec{k} = (0; 0; 1)$: Vectơ đơn vị trên trục Oz

Biểu diễn vectơ theo vectơ đơn vị:

Mọi vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ đều có thể biểu diễn dưới dạng: $$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$

Ví dụ: $\vec{a} = (2; -3; 5) = 2\vec{i} – 3\vec{j} + 5\vec{k}$

II. TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ

1. Tọa độ điểm trong không gian

Định nghĩa: Mỗi điểm M trong không gian Oxyz được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực có thứ tự: $$M(x; y; z)$$

Trong đó:

• $x$ (hoành độ): Khoảng cách có dấu từ M đến mặt phẳng (Oyz)
• $y$ (tung độ): Khoảng cách có dấu từ M đến mặt phẳng (Oxz)
• $z$ (cao độ): Khoảng cách có dấu từ M đến mặt phẳng (Oxy)

Khoảng cách từ M đến gốc O:

$$OM = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Ví dụ: Điểm $M(3; 4; 12)$ có khoảng cách đến gốc O: $$OM = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$$

2. Tọa độ vectơ

Công thức cơ bản:

Cho hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ trong không gian.

Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ:

$$\boxed{\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)}$$

Quy tắc nhớ: “Điểm cuối trừ điểm đầu” (giống như trong mặt phẳng, chỉ thêm tọa độ z)

Ví dụ 1: Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(4; 6; 8)$

Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$: $$\overrightarrow{AB} = (4-1; 6-2; 8-3) = (3; 4; 5)$$

Ví dụ 2: Cho $C(-2; 5; -1)$ và $D(3; -2; 4)$

Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow{CD}$: $$\overrightarrow{CD} = (3-(-2); -2-5; 4-(-1)) = (5; -7; 5)$$

Tính chất:

• $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$
• $\overrightarrow{AA} = \vec{0} = (0; 0; 0)$

3. Độ dài vectơ (module)

Công thức:

Cho vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$, độ dài (module) của vectơ được tính:

$$\boxed{|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

Khoảng cách giữa hai điểm:

Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$:

$$\boxed{AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}}$$

Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(4; 6; 8)$

Lời giải: $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (8-3)^2}$$ $$= \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}$$ $$= \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Lưu ý: Độ dài vectơ luôn không âm: $|\vec{a}| \geq 0$, và $|\vec{a}| = 0$ khi và chỉ khi $\vec{a} = \vec{0}$.

III. CÁC PHÉP TOÁN VỚI VECTƠ

1. Cộng, trừ vectơ

Công thức cộng vectơ:

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$

$$\boxed{\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)}$$

Công thức trừ vectơ:

$$\boxed{\vec{a} – \vec{b} = (x_1 – x_2; y_1 – y_2; z_1 – z_2)}$$

Quy tắc: Cộng (hoặc trừ) từng tọa độ tương ứng.

Ví dụ 4: Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (4; 5; 6)$

Tính:

• $\vec{a} + \vec{b} = (1+4; 2+5; 3+6) = (5; 7; 9)$
• $\vec{a} – \vec{b} = (1-4; 2-5; 3-6) = (-3; -3; -3)$

Tính chất:

• Giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
• Kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
• Phần tử trung hòa: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
• Phần tử đối: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

2. Nhân vectơ với số thực

Công thức:

Cho vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và số thực $k$:

$$\boxed{k\vec{a} = (kx; ky; kz)}$$

Quy tắc: Nhân số $k$ với từng tọa độ của vectơ.

Tính chất về độ dài: $$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$$

Tính chất về hướng:

• Nếu $k > 0$: $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$
• Nếu $k < 0$: $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$
• Nếu $k = 0$: $k\vec{a} = \vec{0}$ (vectơ không)

Ví dụ 5: Cho $\vec{a} = (2; -3; 4)$

Tính:

• $2\vec{a} = (4; -6; 8)$
• $-\vec{a} = (-2; 3; -4)$
• $0.5\vec{a} = (1; -1.5; 2)$

Tính chất đại số:

• $(k_1 + k_2)\vec{a} = k_1\vec{a} + k_2\vec{a}$
• $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
• $k_1(k_2\vec{a}) = (k_1k_2)\vec{a}$

3. Điều kiện cùng phương

Định nghĩa: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (với $\vec{b} \neq \vec{0}$) được gọi là cùng phương khi tồn tại số thực $k$ sao cho: $$\vec{a} = k\vec{b}$$

Điều kiện tọa độ:

Hai vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ cùng phương khi và chỉ khi:

$$\boxed{\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}}$$

(với điều kiện $x_2, y_2, z_2 \neq 0$)

Ví dụ 6: Kiểm tra hai vectơ $\vec{a} = (2; 4; 6)$ và $\vec{b} = (1; 2; 3)$ có cùng phương không?

Lời giải: $$\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2$$

Vậy $\vec{a} = 2\vec{b}$, hai vectơ cùng phương ✓

Trường hợp đặc biệt:

• Nếu $k > 0$: hai vectơ cùng hướng
• Nếu $k < 0$: hai vectơ ngược hướng

4. Điều kiện ba điểm thẳng hàng

Định lý: Ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Điều kiện: $$\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$$

với $k$ là số thực.

Ví dụ 7: Kiểm tra ba điểm $A(1; 2; 3)$, $B(2; 4; 5)$, $C(3; 6; 7)$ có thẳng hàng không?

Lời giải:

• $\overrightarrow{AB} = (1; 2; 2)$
• $\overrightarrow{AC} = (2; 4; 4)$
• Kiểm tra: $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{4}{2} = 2$
• Vậy $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ → Ba điểm thẳng hàng ✓

5. Tìm tọa độ trung điểm, trọng tâm

Trung điểm:

Trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ có tọa độ:

$$\boxed{I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right)}$$

Ví dụ 8: Cho $A(2; 4; 6)$ và $B(8; 10; 12)$

Trung điểm $I$ có tọa độ: $$I\left(\frac{2+8}{2}; \frac{4+10}{2}; \frac{6+12}{2}\right) = I(5; 7; 9)$$

Trọng tâm tam giác:

Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ:

$$\boxed{G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)}$$

Ví dụ 9: Cho tam giác $ABC$ với $A(1; 2; 3)$, $B(4; 5; 6)$, $C(7; 8; 9)$

Trọng tâm $G$ có tọa độ: $$G\left(\frac{1+4+7}{3}; \frac{2+5+8}{3}; \frac{3+6+9}{3}\right) = G(4; 5; 6)$$

Trọng tâm tứ diện:

Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ có tọa độ:

$$\boxed{G\left(\frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}; \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}; \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4}\right)}$$

Ví dụ 10: Cho tứ diện $ABCD$ với $A(0; 0; 0)$, $B(4; 0; 0)$, $C(0; 4; 0)$, $D(0; 0; 4)$

Trọng tâm: $$G\left(\frac{0+4+0+0}{4}; \frac{0+0+4+0}{4}; \frac{0+0+0+4}{4}\right) = G(1; 1; 1)$$

IV. TÍCH VÔ HƯỚNG (TÍCH VÔ HƯỚNG)

1. Định nghĩa tích vô hướng

Định nghĩa hình học:

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số thực, được định nghĩa:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$$

Trong đó $(\vec{a}, \vec{b})$ là góc giữa hai vectơ.

Công thức tọa độ:

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$:

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}$$

Quy tắc nhớ: “Nhân hoành với hoành, tung với tung, cao với cao, rồi cộng lại”

Ví dụ 11: Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (4; 5; 6)$

Tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$

2. Tính chất tích vô hướng

Tính chất cơ bản:

1. Giao hoán: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
2. Phân phối: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
3. Kết hợp với số: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$
4. Bình phương vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = x^2 + y^2 + z^2$

Hệ quả quan trọng: $$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$$

3. Góc giữa hai vectơ

Công thức:

Góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (cả hai khác vectơ không) được tính:

$$\boxed{\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$$

Hoặc viết đầy đủ:

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$

Ví dụ 12: Tính góc giữa $\vec{a} = (1; 0; 0)$ và $\vec{b} = (1; 1; 0)$

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 0 \times 1 + 0 \times 0 = 1$$

Bước 2: Tính độ dài: $$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$

Bước 3: Tính cosine: $$\cos\alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Kết luận: $\alpha = 45°$ (hoặc $\frac{\pi}{4}$ rad)

4. Điều kiện vuông góc

Định lý: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (cả hai khác vectơ không) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$$\boxed{\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0}$$

Điều kiện tọa độ:

$$\boxed{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0}$$

Ví dụ 13: Kiểm tra hai vectơ $\vec{a} = (1; 2; -1)$ và $\vec{b} = (2; -1; 0)$ có vuông góc không?

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + (-1) \times 0$$ $$= 2 – 2 + 0 = 0$$

Vậy $\vec{a} \perp \vec{b}$ ✓

Ứng dụng:

• Kiểm tra hai đường thẳng vuông góc
• Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
• Chứng minh hình học không gian (hình hộp chữ nhật, lập phương)

5. Hình chiếu của vectơ

Định nghĩa: Hình chiếu vuông góc của vectơ $\vec{a}$ lên vectơ $\vec{b}$ (với $\vec{b} \neq \vec{0}$) là số thực:

$$\boxed{\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}}$$

Ý nghĩa hình học: Đây là độ dài (có dấu) của “bóng” của vectơ $\vec{a}$ khi chiếu lên phương của $\vec{b}$.

Vectơ hình chiếu:

$$\vec{a}_b = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}$$

Ví dụ 14: Cho $\vec{a} = (3; 4; 0)$ và $\vec{b} = (1; 0; 0)$

Hình chiếu của $\vec{a}$ lên $\vec{b}$: $$\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3 \times 1 + 4 \times 0 + 0 \times 0}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{3}{1} = 3$$

V. TÍCH CÓ HƯỚNG (TÍCH VECTOR)

1. Định nghĩa tích có hướng

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một vectơ, ký hiệu $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ (hoặc $[\vec{a}, \vec{b}]$).

Tính chất hình học:

1. Vuông góc: $\vec{c} \perp \vec{a}$ và $\vec{c} \perp \vec{b}$
2. Độ dài: $|\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})$
3. Hướng: Theo quy tắc bàn tay phải
   • Đặt bàn tay phải sao cho bốn ngón từ $\vec{a}$ quay về $\vec{b}$
   • Ngón cái choãi ra chỉ hướng của $\vec{c}$

2. Công thức tọa độ tích có hướng

Công thức định thức:

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$$

Khai triển theo hàng đầu:

$$\boxed{\vec{a} \times \vec{b} = \left(y_1z_2 – y_2z_1; z_1x_2 – z_2x_1; x_1y_2 – x_2y_1\right)}$$

Công thức nhớ dễ hơn (dùng định thức 2×2):

$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}; -\begin{vmatrix} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} \right)$$

Lưu ý quan trọng: Chỉ có thành phần thứ hai (tọa độ y) có dấu âm phía trước!

Ví dụ 15: Tính tích có hướng của $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (4; 5; 6)$

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp

$$\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 – y_2z_1; z_1x_2 – z_2x_1; x_1y_2 – x_2y_1)$$

Thay số:

• Tọa độ x: $2 \times 6 – 3 \times 5 = 12 – 15 = -3$
• Tọa độ y: $3 \times 4 – 1 \times 6 = 12 – 6 = 6$
• Tọa độ z: $1 \times 5 – 2 \times 4 = 5 – 8 = -3$

Vậy $\vec{a} \times \vec{b} = (-3; 6; -3)$

Cách 2: Dùng định thức 2×2

$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}; -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} \right)$$

$$= (2 \times 6 – 3 \times 5; -(1 \times 6 – 3 \times 4); 1 \times 5 – 2 \times 4)$$

$$= (12 – 15; -(6 – 12); 5 – 8)$$

$$= (-3; 6; -3)$$

3. Tính chất tích có hướng

Các tính chất cơ bản:

1. Phản giao hoán: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$
2. Tích với chính nó: $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$
3. Phân phối: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
4. Kết hợp với số: $(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$
5. Tích với vectơ đơn vị:
   • $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$
   • $\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$
   • $\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$

Lưu ý: Tích có hướng không có tính chất giao hoán và không có tính chất kết hợp.

4. Ứng dụng: Tính diện tích hình bình hành, tam giác

Diện tích hình bình hành:

Hình bình hành ABCD với hai cạnh kề là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ có diện tích:

$$\boxed{S_{ABCD} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}|}$$

Diện tích tam giác:

Tam giác ABC có diện tích:

$$\boxed{S_{ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}$$

Ví dụ 16: Tính diện tích tam giác $ABC$ với $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$, $C(0; 0; 1)$

Lời giải:

Bước 1: Tính các vectơ: $$\overrightarrow{AB} = (0-1; 1-0; 0-0) = (-1; 1; 0)$$ $$\overrightarrow{AC} = (0-1; 0-0; 1-0) = (-1; 0; 1)$$

Bước 2: Tính tích có hướng: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left( \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}; -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \right)$$

$$= (1 \times 1 – 0 \times 0; -((-1) \times 1 – 0 \times (-1)); (-1) \times 0 – 1 \times (-1))$$

$$= (1; -(-1); 1) = (1; 1; 1)$$

Bước 3: Tính độ dài: $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$

Bước 4: Tính diện tích: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

5. Điều kiện cùng phương qua tích có hướng

Định lý: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi:

$$\boxed{\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}}$$

Ứng dụng: Đây là cách khác để kiểm tra hai vectơ cùng phương, đặc biệt hữu ích khi có một tọa độ bằng 0.

6. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với mặt phẳng đó.

Công thức:

Mặt phẳng qua ba điểm $A$, $B$, $C$ có vectơ pháp tuyến:

$$\boxed{\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}$$

Ví dụ 17: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$, $C(0; 0; 1)$

Lời giải:

Từ Ví dụ 16, ta đã tính được: $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1; 1; 1)$$

Vậy vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 1; 1)$

VI. TÍCH HỖN TẠP

1. Định nghĩa tích hỗn tạp

Định nghĩa: Tích hỗn tạp của ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ là một số thực, ký hiệu $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$, được định nghĩa:

$$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$$

Ý nghĩa hình học: Giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp bằng thể tích của khối hộp được tạo bởi ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

2. Công thức tọa độ

Công thức định thức:

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$, $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$, $\vec{c} = (x_3; y_3; z_3)$:

$$\boxed{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}}$$

Cách tính định thức 3×3 (Quy tắc Sarrus):

$$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} = x_1y_2z_3 + y_1z_2x_3 + z_1x_2y_3 – z_1y_2x_3 – y_1x_2z_3 – x_1z_2y_3$$

Ví dụ 18: Tính tích hỗn tạp của $\vec{a} = (1; 0; 0)$, $\vec{b} = (0; 1; 0)$, $\vec{c} = (0; 0; 1)$

Lời giải:

$$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Khai triển theo hàng đầu: $$= 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} – 0 + 0$$

$$= 1 \times (1 \times 1 – 0 \times 0) = 1$$

3. Ứng dụng: Thể tích khối hộp, tứ diện

Thể tích khối hộp:

Khối hộp được tạo bởi ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ có thể tích:

$$\boxed{V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|}$$

Thể tích tứ diện:

Tứ diện ABCD có thể tích:

$$\boxed{V_{ABCD} = \frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]|}$$

Ví dụ 19: Tính thể tích tứ diện ABCD với $A(0; 0; 0)$, $B(2; 0; 0)$, $C(0; 3; 0)$, $D(0; 0; 4)$

Lời giải:

Bước 1: Tính các vectơ:

• $\overrightarrow{AB} = (2; 0; 0)$
• $\overrightarrow{AC} = (0; 3; 0)$
• $\overrightarrow{AD} = (0; 0; 4)$

Bước 2: Tính tích hỗn tạp: $$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 2 \times 3 \times 4 = 24$$

Bước 3: Tính thể tích: $$V = \frac{1}{6} \times |24| = \frac{24}{6} = 4$$

Kết luận: Thể tích tứ diện là 4 đơn vị thể tích.

4. Điều kiện đồng phẳng

Ba vectơ đồng phẳng:

Ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đồng phẳng (cùng nằm trên một mặt phẳng hoặc song song với một mặt phẳng) khi và chỉ khi:

$$\boxed{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0}$$

Bốn điểm đồng phẳng:

Bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng khi và chỉ khi:

$$\boxed{[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0}$$

Ví dụ 20: Kiểm tra bốn điểm $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$, $C(0; 0; 1)$, $D(1; 1; 1)$ có đồng phẳng không?

Lời giải:

Tính:

• $\overrightarrow{AB} = (-1; 1; 0)$
• $\overrightarrow{AC} = (-1; 0; 1)$
• $\overrightarrow{AD} = (0; 1; 1)$

Tích hỗn tạp: $$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

$$= -1(0-1) – 1(-1-0) + 0 = 1 + 1 = 2 \neq 0$$

Vậy bốn điểm không đồng phẳng ✓

VII. ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1. Phương trình mặt phẳng

Dạng tổng quát:

Mặt phẳng trong không gian có phương trình tổng quát:

$$\boxed{Ax + By + Cz + D = 0}$$

Trong đó $\vec{n} = (A; B; C)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Phương trình mặt phẳng qua điểm:

Mặt phẳng qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$:

$$\boxed{A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0}$$

Ví dụ 21: Viết phương trình mặt phẳng qua $M(1; 2; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; -1; 3)$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$2(x-1) + (-1)(y-2) + 3(z-3) = 0$$ $$2x – 2 – y + 2 + 3z – 9 = 0$$ $$2x – y + 3z – 9 = 0$$

Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm:

Cho ba điểm không thẳng hàng $A$, $B$, $C$:

1. Tính vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
2. Viết phương trình mặt phẳng qua $A$ với VTPT $\vec{n}$

2. Phương trình đường thẳng

Phương trình tham số:

Đường thẳng $d$ qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$:

$$\boxed{\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}}$$

với $t \in \mathbb{R}$ là tham số.

Phương trình chính tắc:

$$\boxed{\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c}}$$

(với điều kiện $a, b, c \neq 0$)

Ví dụ 22: Viết phương trình đường thẳng qua $M(1; 2; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; -1; 4)$

Lời giải:

Dạng tham số: $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 – t \\ z = 3 + 4t \end{cases}$$

Dạng chính tắc: $$\frac{x – 1}{2} = \frac{y – 2}{-1} = \frac{z – 3}{4}$$

3. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Công thức:

Khoảng cách từ điểm $M(x_M; y_M; z_M)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$:

$$\boxed{d(M, (P)) = \frac{|Ax_M + By_M + Cz_M + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$$

Ví dụ 23: Tính khoảng cách từ $M(1; 2; 3)$ đến mặt phẳng $(P): 2x – y + 2z – 5 = 0$

Lời giải:

$$d = \frac{|2 \times 1 + (-1) \times 2 + 2 \times 3 – 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}$$

$$= \frac{|2 – 2 + 6 – 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|1|}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$$

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Công thức:

Góc $\alpha$ giữa hai mặt phẳng $(P_1)$ có VTPT $\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)$ và $(P_2)$ có VTPT $\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)$:

$$\boxed{\cos\alpha = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}}$$

Lưu ý: Có dấu giá trị tuyệt đối ở tử số để góc luôn nhọn (từ 0° đến 90°).

5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Công thức:

Góc $\alpha$ giữa đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (A; B; C)$:

$$\boxed{\sin\alpha = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$$

Lưu ý: Dùng sin (không phải cos) vì đây là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ví dụ 24: Tính góc giữa đường thẳng có VTCP $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và mặt phẳng có VTPT $\vec{n} = (1; 1; 0)$

Lời giải:

$$\sin\alpha = \frac{|1 \times 1 + 0 \times 1 + 0 \times 0|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+0^2}}$$

$$= \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Vậy $\alpha = 45°$

VIII. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT

A. Tọa độ và độ dài

B. Phép toán vectơ

C. Tích vô hướng

D. Tích có hướng

E. Tích hỗn tạp

F. Phương trình

IX. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo tính nhanh tích có hướng

Công thức nhớ nhanh bằng định thức 2×2:

Để tính $\vec{a} \times \vec{b}$ với $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$:

Bước 1: Tính thành phần x (bỏ cột x): $x = \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix} = y_1z_2 – y_2z_1$

Bước 2: Tính thành phần y (bỏ cột y, ĐỔI DẤU): $y = -\begin{vmatrix} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \end{vmatrix} = -(x_1z_2 – x_2z_1) = z_1x_2 – z_2x_1$

Bước 3: Tính thành phần z (bỏ cột z): $z = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = x_1y_2 – x_2y_1$

⚠️ LƯU Ý QUAN TRỌNG: Chỉ có thành phần y là đổi dấu! Đây là sai lầm rất dễ mắc phải.

Mẹo nhớ: “Bỏ x không đổi, bỏ y đổi dấu, bỏ z không đổi”

2. Phân biệt tích vô hướng và tích có hướng

Cách phân biệt nhanh:

• Tích vô hướng → kết quả là số → dùng cos → tính góc
• Tích có hướng → kết quả là vectơ → dùng sin → tính diện tích

3. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên đổi dấu thành phần y trong tích có hướng

Sai: $\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2-y_2z_1; x_1z_2-x_2z_1; x_1y_2-x_2y_1)$ ❌

Đúng: $\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2-y_2z_1; z_1x_2-z_2x_1; x_1y_2-x_2y_1)$ ✓

Chú ý: Thành phần y là $z_1x_2 – z_2x_1$ (không phải $x_1z_2 – x_2z_1$)

❌ SAI LẦM 2: Nhầm lẫn công thức tích vô hướng và tích có hướng

Sai:

• Dùng tích vô hướng để tính diện tích ❌
• Dùng tích có hướng để tính góc ❌

Đúng:

• Tích vô hướng → góc, vuông góc ✓
• Tích có hướng → diện tích, VTPT ✓

❌ SAI LẦM 3: Quên chia 2 khi tính diện tích tam giác

Sai: $S_{ABC} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ ❌

Đúng: $S_{ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ ✓

❌ SAI LẦM 4: Quên chia 6 khi tính thể tích tứ diện

Sai: $V_{ABCD} = |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]|$ ❌

Đúng: $V_{ABCD} = \frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]|$ ✓

❌ SAI LẦM 5: Nhầm VTPT (vectơ pháp tuyến) và VTCP (vectơ chỉ phương)

Phân biệt:

• VTPT: Vuông góc với mặt phẳng → Dùng cho mặt phẳng
• VTCP: Song song với đường thẳng → Dùng cho đường thẳng

4. Công thức nhớ nhanh

Công thức 1: Tích vô hướng

“Nhân hoành với hoành, tung với tung, cao với cao, rồi cộng lại”

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Công thức 2: Độ dài vectơ

“Bình phương rồi cộng, sau đó lấy căn”

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Công thức 3: Vuông góc

“Tích vô hướng bằng 0”

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Công thức 4: Diện tích tam giác

“Một nửa tích có hướng”

$S_{ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

Công thức 5: Thể tích tứ diện

“Một phần sáu tích hỗn tạp”

$V_{ABCD} = \frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]|$

5. Quy trình giải bài tập chuẩn

Dạng 1: Tính diện tích tam giác

Bước 1: Tìm tọa độ hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$

Bước 2: Tính tích có hướng $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

Bước 3: Tính độ dài $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

Bước 4: Chia cho 2: $S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

Dạng 2: Tính thể tích tứ diện

Bước 1: Tìm tọa độ ba vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$

Bước 2: Tính tích hỗn tạp (định thức 3×3)

Bước 3: Lấy giá trị tuyệt đối

Bước 4: Chia cho 6: $V = \frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]|$

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}$

• Nếu cho 3 điểm: $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
• Nếu cho trực tiếp: dùng luôn

Bước 2: Lấy một điểm thuộc mặt phẳng (thường là điểm đầu tiên)

Bước 3: Viết phương trình: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

Bước 4: Rút gọn về dạng $Ax + By + Cz + D = 0$

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã hệ thống hóa đầy đủ công thức vectơ trong không gian Oxyz:

Tọa độ và độ dài:

• Tọa độ vectơ: $\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)$
• Độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
• Khoảng cách giữa hai điểm
• Trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện

Các phép toán cơ bản:

• Cộng, trừ vectơ: cộng/trừ từng tọa độ
• Nhân vectơ với số: nhân số với từng tọa độ
• Điều kiện cùng phương, ba điểm thẳng hàng

Tích vô hướng:

• Công thức: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
• Tính góc giữa hai vectơ
• Điều kiện vuông góc: tích vô hướng = 0
• Hình chiếu của vectơ

Tích có hướng:

• Công thức: $(y_1z_2-y_2z_1; z_1x_2-z_2x_1; x_1y_2-x_2y_1)$
• Tính diện tích hình bình hành, tam giác
• Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
• Điều kiện cùng phương (tích có hướng = vectơ không)

Tích hỗn tạp:

• Công thức định thức 3×3
• Tính thể tích khối hộp, tứ diện
• Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ, 4 điểm

Ứng dụng:

• Phương trình mặt phẳng, đường thẳng
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa