I. GIỚI THIỆU VỀ XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

1. Xác suất có điều kiện là gì?

Định nghĩa: Xác suất có điều kiện là xác suất của một biến cố A khi biết chắc chắn rằng một biến cố B khác đã xảy ra. Đây là công cụ quan trọng để cập nhật xác suất khi có thêm thông tin mới.

Ký hiệu: $P(A|B)$ đọc là:

• “Xác suất của A với điều kiện B”
• “Xác suất của A khi biết B”
• “Xác suất A cho trước B”

Ý nghĩa cốt lõi:

• Khi B đã xảy ra, không gian mẫu ban đầu $\Omega$ thu hẹp lại chỉ còn B
• Trong không gian mới này (chỉ gồm B), ta tính xác suất A xảy ra
• Đây là “xác suất cập nhật” sau khi có thêm thông tin về B

Ví dụ đơn giản:

• $P(\text{Mưa})$: Xác suất trời mưa bất kỳ ngày nào
• $P(\text{Mưa | Có mây đen})$: Xác suất mưa khi biết trời có mây đen (cao hơn nhiều!)

2. Các khái niệm liên quan

3. Phân biệt với xác suất thường

⚠️ ĐIỂM QUAN TRỌNG:

$$\boxed{P(A|B) \neq P(A)}$$

Ngoại trừ: Chỉ bằng nhau khi A và B độc lập

Ví dụ minh họa:

• $P(\text{Trúng số})$ ≈ 0.0001% (rất thấp)
• $P(\text{Trúng số | Đã mua vé})$ ≈ 0.01% (vẫn thấp nhưng cao hơn nhiều!)

So sánh:

II. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

📌 CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT (CẦN NHỚ THUỘC):

$$\boxed{P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)}$$

Trong đó:

• $P(A|B)$: Xác suất của A khi biết B đã xảy ra
• $P(A \cap B)$: Xác suất để cả A và B cùng xảy ra
• $P(B)$: Xác suất của B

Điều kiện áp dụng: $P(B) > 0$ (B phải có khả năng xảy ra, nếu $P(B) = 0$ thì công thức không có nghĩa)

Cách đọc công thức:

• Tử số: Phần “giao” của A và B (phần chồng lấp)
• Mẫu số: “Chuẩn hóa” theo không gian mới B

2. Ý nghĩa hình học

Minh họa bằng sơ đồ Venn:

          Ω (không gian mẫu ban đầu)
    ┌─────────────────────────────┐
    │         A                   │
    │      ┌──────┐       B       │
    │      │      └───┬────────┐  │
    │      │   A∩B    │        │  │
    │      └──────────┘        │  │
    │                          │  │
    │                          │  │
    └──────────────────────────┴──┘
    
Khi B xảy ra → Không gian mẫu mới = B (vùng màu)
Trong không gian B, xác suất A = (A∩B) / B

Giải thích trực quan:

Bước 1: Ban đầu, không gian mẫu là toàn bộ $\Omega$

Bước 2: Khi biết B đã xảy ra, không gian mẫu thu hẹp lại chỉ còn B

Bước 3: Trong không gian mới B, phần thuận lợi cho A là $A \cap B$

Bước 4: Tỉ lệ = $\frac{A \cap B}{B} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

3. Ví dụ trực quan

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Biết kết quả là số chẵn, tính xác suất để được số 6?

Lời giải:

Cách 1: Dùng định nghĩa xác suất có điều kiện

Bước 1: Xác định không gian mẫu và các biến cố

• Không gian mẫu: $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$, $n(\Omega) = 6$

Bước 2: Xác định biến cố B

• Biến cố B: “Kết quả là số chẵn” = ${2, 4, 6}$
• $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Bước 3: Xác định biến cố A

• Biến cố A: “Kết quả là số 6” = ${6}$
• $P(A) = \frac{1}{6}$

Bước 4: Tìm giao $A \cap B$

• $A \cap B$: “Vừa là số 6 vừa là số chẵn” = ${6}$
• $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

Bước 5: Áp dụng công thức $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{3}$$

Cách 2: Nhìn trực tiếp vào không gian mới (trực quan hơn)

• Khi biết kết quả là số chẵn, không gian mẫu mới chỉ còn: ${2, 4, 6}$ (3 kết quả)
• Trong 3 kết quả này, số 6 chiếm 1 kết quả
• Vậy $P(A|B) = \frac{1}{3}$

Kết luận: Xác suất được số 6 khi biết kết quả là số chẵn là $\frac{1}{3} \approx 33.3\%$.

Nhận xét: Xác suất này ($\frac{1}{3}$) cao hơn xác suất ban đầu ($\frac{1}{6}$) vì không gian mẫu đã thu hẹp.

4. Tính chất của xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện $P(A|B)$ có các tính chất tương tự xác suất thông thường:

Tính chất 1: Giới hạn $$0 \leq P(A|B) \leq 1$$

Tính chất 2: Biến cố chắc chắn trong B $$P(\Omega|B) = 1$$

Khi B đã xảy ra, trong không gian B, điều chắc chắn có xác suất 1.

Tính chất 3: Biến cố không thể trong B $$P(\emptyset|B) = 0$$

Tính chất 4: Biến cố đối trong B $$P(\overline{A}|B) = 1 – P(A|B)$$

Tính chất 5: Nếu $A \subset B$ (A là con của B)

Khi $A \subset B$, ta có $A \cap B = A$, do đó: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)}$$

Ví dụ:

• A: “Được số 6”, B: “Được số chẵn”
• Vì ${6} \subset {2, 4, 6}$:
• $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$ ✓

III. CHỨNG MINH CÔNG THỨC

1. Chứng minh từ định nghĩa xác suất

Xét không gian mẫu rời rạc (hữu hạn):

Giả sử không gian mẫu $\Omega$ có $n(\Omega)$ phần tử.

Bước 1: Khi biến cố B đã xảy ra:

• Không gian mẫu mới là B
• Số phần tử trong không gian mới: $n(B)$

Bước 2: Trong không gian mới B, số kết quả thuận lợi cho A:

• Chính là số phần tử của $A \cap B$
• Ký hiệu: $n(A \cap B)$

Bước 3: Theo định nghĩa xác suất cổ điển: $$P(A|B) = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi}}{\text{Tổng số kết quả}} = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$

Bước 4: Chia cả tử và mẫu cho $n(\Omega)$: $$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{n(A \cap B)/n(\Omega)}{n(B)/n(\Omega)}$$

Bước 5: Nhận ra:

• $\frac{n(A \cap B)}{n(\Omega)} = P(A \cap B)$
• $\frac{n(B)}{n(\Omega)} = P(B)$

Kết luận: $$\boxed{P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}$$

2. Giải thích bằng tần suất

Thí nghiệm lặp lại N lần:

Bước 1: Trong N lần thử:

• Biến cố B xảy ra $N_B$ lần
• Biến cố $A \cap B$ (cả A và B cùng xảy ra) xảy ra $N_{A \cap B}$ lần

Bước 2: Trong $N_B$ lần mà B xảy ra, số lần A cũng xảy ra là $N_{A \cap B}$

Bước 3: Xác suất có điều kiện (theo tần suất): $$P(A|B) = \frac{N_{A \cap B}}{N_B}$$

Bước 4: Chia cả tử và mẫu cho N: $$P(A|B) = \frac{N_{A \cap B}/N}{N_B/N}$$

Bước 5: Khi $N \to \infty$:

• $\frac{N_{A \cap B}}{N} \to P(A \cap B)$
• $\frac{N_B}{N} \to P(B)$

Kết luận: $$\boxed{P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}$$

3. Ý nghĩa của công thức

Phân tích công thức:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Tử số $P(A \cap B)$:

• Phần “giao” của A và B
• Đại diện cho “cả hai cùng xảy ra”
• Là phần chồng lấp trong sơ đồ Venn

Mẫu số $P(B)$:

• “Chuẩn hóa” theo không gian mới B
• Biến đổi xác suất từ không gian $\Omega$ sang không gian B
• Đảm bảo $\sum P(\text{mọi biến cố}|B) = 1$ trong không gian mới

Ý nghĩa tổng thể:

• Công thức cho phép “zoom in” vào một phần của không gian mẫu
• Cập nhật xác suất dựa trên thông tin mới
• Là cơ sở toán học cho suy luận có điều kiện

IV. CÔNG THỨC NHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1. Công thức nhân từ xác suất có điều kiện

Từ định nghĩa xác suất có điều kiện: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Nhân cả hai vế với $P(B)$:

📌 CÔNG THỨC NHÂN:

$$\boxed{P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)}$$

Hoặc (tương đương):

$$\boxed{P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)}$$

Ý nghĩa: Đây là cách tính xác suất giao $P(A \cap B)$ khi biết xác suất có điều kiện!

Khi nào dùng:

• Khi đề bài cho $P(A|B)$ hoặc $P(B|A)$
• Khi các biến cố không độc lập (có ảnh hưởng lẫn nhau)
• Đặc biệt hữu ích cho bài toán “không hoàn lại”

2. Mở rộng cho nhiều biến cố

Công thức nhân cho 3 biến cố:

$$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2)$$

Công thức tổng quát cho n biến cố:

$$P(A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdot … \cdot P(A_n|A_1 \cap … \cap A_{n-1})$$

Ý nghĩa: Xác suất của “chuỗi sự kiện” bằng tích các xác suất có điều kiện liên tiếp.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 2: Một hộp có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi không hoàn lại (lấy xong không bỏ trở lại). Tính xác suất cả 2 viên bi đều là bi đỏ?

Lời giải:

Phân tích: Đây là bài toán “không hoàn lại” → các biến cố không độc lập

Đặt:

• Biến cố A: “Bi thứ nhất là đỏ”
• Biến cố B: “Bi thứ hai là đỏ”

Bước 1: Tính $P(A)$

• Ban đầu có 5 bi đỏ trong tổng 8 bi
• $P(A) = \frac{5}{8}$

Bước 2: Tính $P(B|A)$ (xác suất bi thứ hai đỏ, biết bi thứ nhất đã đỏ)

• Sau khi lấy 1 bi đỏ: còn 4 bi đỏ, 3 bi xanh (tổng 7 bi)
• $P(B|A) = \frac{4}{7}$

Bước 3: Áp dụng công thức nhân $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$$

Kết luận: Xác suất cả 2 viên bi đều đỏ là $\frac{5}{14} \approx 35.7\%$.

Lưu ý quan trọng: Nếu sai lầm dùng công thức độc lập $P(A) \times P(B) = \frac{5}{8} \times \frac{5}{8} = \frac{25}{64}$ thì sẽ SAI vì hai lần lấy không độc lập!

4. So sánh với biến cố độc lập

Bảng so sánh:

Kiểm tra tính độc lập:

Để kiểm tra A và B có độc lập không, tính $P(A|B)$ và so sánh với $P(A)$:

• Nếu $P(A|B) = P(A)$ → A và B độc lập
• Nếu $P(A|B) \neq P(A)$ → A và B không độc lập

V. ĐỊNH LÝ BAYES

1. Động cơ – Vấn đề “đảo ngược điều kiện”

Câu hỏi cốt lõi:

Nếu biết $P(A|B)$, làm thế nào để tính $P(B|A)$?

Tại sao quan trọng?

Trong thực tế, thường dễ biết/đo được xác suất theo một chiều, nhưng ta lại cần xác suất theo chiều ngược lại:

Ví dụ thực tế:

Y tế:

• Biết: $P(\text{Test dương tính | Có bệnh})$ = 99% (dễ đo)
• Cần: $P(\text{Có bệnh | Test dương tính})$ = ? (cần biết để chẩn đoán)

Lọc spam:

• Biết: $P(\text{Từ “free” | Email spam})$ = 80% (thống kê từ dữ liệu spam)
• Cần: $P(\text{Email spam | Có từ “free”})$ = ? (dùng để phân loại)

Pháp luật:

• Biết: $P(\text{Chứng cứ | Phạm tội})$ (khả năng xuất hiện chứng cứ nếu phạm tội)
• Cần: $P(\text{Phạm tội | Chứng cứ})$ (xác suất thực sự có tội khi có chứng cứ)

2. Công thức Bayes đơn giản

📌 ĐỊNH LÝ BAYES (Dạng cơ bản):

$$\boxed{P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)}}$$

Chứng minh:

Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, ta có: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$ $$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$$

Do cả hai đều bằng $P(A \cap B)$, nên: $$P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$$

Chia cả hai vế cho $P(A)$: $$P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)}$$

Các thành phần của công thức:

3. Công thức Bayes đầy đủ

Khi có nhiều “nguyên nhân” $B_1, B_2, …, B_n$ có thể dẫn đến “kết quả” A:

Điều kiện: $B_1, B_2, …, B_n$ là hệ đầy đủ (xung khắc từng đôi và hợp thành $\Omega$)

📌 CÔNG THỨC BAYES ĐẦY ĐỦ:

$$\boxed{P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)}}$$

Trong đó:

• Tử số: $P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ – Xác suất “con đường” thứ i
• Mẫu số: Tổng xác suất của tất cả các “con đường” (xác suất toàn phần)

4. Thuật ngữ trong Bayes

Công thức Bayes bằng lời:

$$\text{Posterior} = \frac{\text{Likelihood} \times \text{Prior}}{\text{Evidence}}$$

5. Ví dụ Bayes cổ điển – Chẩn đoán y tế

Bài toán: Một bệnh hiếm có tỉ lệ mắc bệnh trong dân số là 0.1% (1 người trong 1000 người). Có một xét nghiệm phát hiện bệnh với các đặc tính sau:

• Độ nhạy (Sensitivity): 99% (nếu có bệnh thì 99% test dương tính)
• Độ đặc hiệu (Specificity): 95% (nếu không bệnh thì 95% test âm tính)

Một người được xét nghiệm và kết quả là dương tính (+). Hỏi xác suất người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Đặt các biến cố

• B: “Có bệnh”, $P(B) = 0.001$ (0.1%)
• $\overline{B}$: “Không bệnh”, $P(\overline{B}) = 0.999$ (99.9%)
• A: “Test dương tính (+)”

Bước 2: Xác định các xác suất có điều kiện

• $P(A|B) = 0.99$ (độ nhạy – test + khi có bệnh)
• $P(\overline{A}|\overline{B}) = 0.95$ (độ đặc hiệu – test – khi không bệnh)
• Suy ra: $P(A|\overline{B}) = 1 – 0.95 = 0.05$ (test + khi không bệnh – sai số)

Bước 3: Cần tính $P(B|A)$ – xác suất có bệnh khi test +

Áp dụng công thức Bayes đầy đủ:

$$P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B})}$$

Bước 4: Thay số

$$P(B|A) = \frac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.05}$$

$$= \frac{0.00099}{0.00099 + 0.04995}$$

$$= \frac{0.00099}{0.05094}$$

$$\approx 0.0194 \approx 1.94%$$

Kết luận놀라운: Mặc dù test dương tính (+), xác suất người đó thực sự bị bệnh chỉ khoảng 2%!

Giải thích tại sao:

• Bệnh quá hiếm (chỉ 0.1% dân số)
• Test có tỉ lệ dương tính giả 5% → trong 999 người khỏe, có ~50 người test +
• Chỉ có ~1 người bệnh thật test +
• Vậy trong tổng ~51 người test +, chỉ 1 người thật sự bệnh → P ≈ 1/51 ≈ 2%

Bài học quan trọng: Không thể kết luận chắc chắn dựa vào một test duy nhất!

6. Ứng dụng của Định lý Bayes

Trong y tế:

• Chẩn đoán bệnh từ triệu chứng
• Đánh giá kết quả xét nghiệm
• Dự đoán tiến triển bệnh

Trong công nghệ:

• Machine Learning: Naive Bayes Classifier (phân loại văn bản, nhận dạng spam)
• Lọc spam email: Tính xác suất email là spam dựa trên từ khóa
• Hệ thống gợi ý: Netflix, YouTube dự đoán sở thích người dùng
• Nhận dạng giọng nói: Từ âm thanh suy ra từ ngữ

Trong pháp luật:

• Đánh giá chứng cứ trong tòa án
• Tính xác suất có tội dựa trên bằng chứng

Trong kinh tế:

• Dự báo thị trường chứng khoán
• Đánh giá rủi ro tín dụng

Trong khoa học:

• Cập nhật giả thuyết khoa học khi có dữ liệu mới
• Thống kê Bayesian

VI. XÁC SUẤT TOÀN PHẦN

1. Hệ đầy đủ các biến cố

Định nghĩa: Các biến cố $B_1, B_2, …, B_n$ tạo thành một hệ đầy đủ nếu:

Điều kiện 1: Xung khắc từng đôi $$B_i \cap B_j = \emptyset \quad \text{với mọi } i \neq j$$

Điều kiện 2: Hợp thành toàn bộ không gian mẫu $$B_1 \cup B_2 \cup … \cup B_n = \Omega$$

Ý nghĩa: Các biến cố này “phủ kín” không gian mẫu mà không trùng lặp.

Ví dụ:

• {Sấp, Ngửa} khi tung đồng xu
• {1, 2, 3, 4, 5, 6} khi gieo xúc xắc
• {Nam, Nữ} trong một lớp học
• {Máy 1, Máy 2, Máy 3} trong nhà máy có 3 máy

2. Công thức xác suất toàn phần

📌 ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT TOÀN PHẦN:

Nếu $B_1, B_2, …, B_n$ là hệ đầy đủ, thì:

$$\boxed{P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)}$$

$$= P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2) + … + P(B_n) \cdot P(A|B_n)$$

Ý nghĩa: Phân tích biến cố A qua các “con đường” (nguyên nhân) $B_i$ khác nhau.

Khi nào dùng:

• Khi A có thể xảy ra qua nhiều trường hợp khác nhau
• Khi biết $P(A|B_i)$ nhưng cần tính $P(A)$
• Là mẫu số trong công thức Bayes

3. Sơ đồ cây minh họa

                    ┌─ B₁ ─→ P(A|B₁)
                    │
          A ────────┼─ B₂ ─→ P(A|B₂)
                    │
                    └─ B₃ ─→ P(A|B₃)

P(A) = P(B₁)·P(A|B₁) + P(B₂)·P(A|B₂) + P(B₃)·P(A|B₃)

Cách đọc sơ đồ:

• A có thể xảy ra qua 3 “con đường”: B₁, B₂, B₃
• Xác suất của mỗi con đường: $P(B_i) \cdot P(A|B_i)$
• Tổng xác suất tất cả các con đường = $P(A)$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Một nhà máy có 3 máy sản xuất sản phẩm:

• Máy 1 sản xuất 30% tổng sản lượng, tỉ lệ lỗi 2%
• Máy 2 sản xuất 45% tổng sản lượng, tỉ lệ lỗi 3%
• Máy 3 sản xuất 25% tổng sản lượng, tỉ lệ lỗi 4%

Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ tổng sản lượng. Tính xác suất sản phẩm đó bị lỗi?

Lời giải:

Đặt:

• $B_1$: “Sản phẩm từ máy 1”, $P(B_1) = 0.3$
• $B_2$: “Sản phẩm từ máy 2”, $P(B_2) = 0.45$
• $B_3$: “Sản phẩm từ máy 3”, $P(B_3) = 0.25$
• L: “Sản phẩm bị lỗi”

Xác suất có điều kiện:

• $P(L|B_1) = 0.02$ (2%)
• $P(L|B_2) = 0.03$ (3%)
• $P(L|B_3) = 0.04$ (4%)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(L) = P(B_1) \cdot P(L|B_1) + P(B_2) \cdot P(L|B_2) + P(B_3) \cdot P(L|B_3)$$

$$= 0.3 \times 0.02 + 0.45 \times 0.03 + 0.25 \times 0.04$$

$$= 0.006 + 0.0135 + 0.01$$

$$= 0.0295 = 2.95\%$$

Kết luận: Xác suất một sản phẩm ngẫu nhiên bị lỗi là 2.95%.

VII. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức xác suất có điều kiện

B. Định lý Bayes

C. Xác suất toàn phần

D. Mối liên hệ giữa các công thức

        Định nghĩa P(A|B)
              ↓
        P(A∩B) = P(B)·P(A|B)  ←─┐
              ↓                  │
        Định lý Bayes           │
        P(B|A) = P(A|B)·P(B)/P(A)│
              ↓                  │
        Xác suất toàn phần ─────┘
        P(A) = ΣP(Bᵢ)·P(A|Bᵢ)

Giải thích sơ đồ:

1. Bắt đầu từ định nghĩa $P(A|B)$
2. Suy ra công thức nhân $P(A \cap B)$
3. Dẫn đến Định lý Bayes (đảo ngược)
4. Mẫu số của Bayes chính là xác suất toàn phần

VIII. DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Tính P(A|B) từ định nghĩa

Đề bài: Gieo 2 con xúc xắc cân đối. Biết tổng hai mặt ≥ 9, tính xác suất có ít nhất một mặt 6?

Lời giải:

Bước 1: Xác định biến cố B: “Tổng ≥ 9”

Liệt kê các cặp có tổng ≥ 9:

• Tổng = 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)
• Tổng = 10: (4,6), (5,5), (6,4)
• Tổng = 11: (5,6), (6,5)
• Tổng = 12: (6,6)

B = {(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

$n(B) = 10$, $P(B) = \frac{10}{36}$

Bước 2: Xác định biến cố A: “Có ít nhất một mặt 6”

Bước 3: Tìm $A \cap B$: “Tổng ≥ 9 VÀ có ít nhất một mặt 6”

$A \cap B$ = {(3,6), (4,6), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

$n(A \cap B) = 7$, $P(A \cap B) = \frac{7}{36}$

Bước 4: Áp dụng công thức

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{7/36}{10/36} = \frac{7}{10} = 0.7 = 70\%$$

Kết luận: Xác suất là 70%.

Dạng 2: Dùng công thức nhân và xác suất toàn phần

Đề bài: Hộp I có 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Hộp II có 4 bi đỏ, 1 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp II. Tính xác suất bi lấy từ hộp II là bi đỏ?

Lời giải:

Đặt:

• A: “Bi lấy từ hộp II là đỏ”
• $B_1$: “Bi chuyển từ I sang II là đỏ”
• $B_2$: “Bi chuyển từ I sang II là xanh”

Bước 1: Tính $P(B_1)$ và $P(B_2)$

• $P(B_1) = \frac{3}{5}$ (3 đỏ trong 5 bi ở hộp I)
• $P(B_2) = \frac{2}{5}$ (2 xanh trong 5 bi ở hộp I)

Bước 2: Tính $P(A|B_1)$ – xác suất lấy đỏ từ II khi đã bỏ bi đỏ vào

• Hộp II lúc này có: 5 đỏ, 1 xanh (tổng 6 bi)
• $P(A|B_1) = \frac{5}{6}$

Bước 3: Tính $P(A|B_2)$ – xác suất lấy đỏ từ II khi đã bỏ bi xanh vào

• Hộp II lúc này có: 4 đỏ, 2 xanh (tổng 6 bi)
• $P(A|B_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Bước 4: Áp dụng công thức xác suất toàn phần

$$P(A) = P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2)$$

$$= \frac{3}{5} \times \frac{5}{6} + \frac{2}{5} \times \frac{2}{3}$$

$$= \frac{15}{30} + \frac{4}{15}$$

$$= \frac{1}{2} + \frac{4}{15} = \frac{15 + 8}{30} = \frac{23}{30}$$

Kết luận: Xác suất bi lấy từ hộp II là đỏ là $\frac{23}{30} \approx 76.7\%$.

Dạng 3: Bayes – Tìm nguyên nhân

Đề bài: (Tiếp ví dụ trên) Biết bi lấy từ hộp II là bi đỏ, tính xác suất bi đã chuyển từ hộp I sang hộp II cũng là bi đỏ?

Lời giải:

Cần tính: $P(B_1|A)$ – xác suất bi chuyển là đỏ, khi biết bi lấy ra là đỏ

Áp dụng Định lý Bayes:

$$P(B_1|A) = \frac{P(B_1) \cdot P(A|B_1)}{P(A)}$$

Thay số:

$$P(B_1|A) = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{5}{6}}{\frac{23}{30}}$$

$$= \frac{\frac{15}{30}}{\frac{23}{30}} = \frac{15}{23} \approx 0.652 \approx 65.2\%$$

Kết luận: Xác suất bi đã chuyển cũng là đỏ khoảng 65.2%.

Dạng 4: Bài toán thực tế

Đề bài: Trong một lớp học: 60% học sinh học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp. Trong số người học tiếng Anh, 70% đậu kỳ thi. Trong số người học tiếng Pháp, 80% đậu kỳ thi. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp:

a) Tính xác suất học sinh đó đậu kỳ thi? b) Biết học sinh đó đậu, tính xác suất học sinh đó học tiếng Anh?

Lời giải:

Đặt:

• A: “Học Anh”, $P(A) = 0.6$
• F: “Học Pháp”, $P(F) = 0.4$
• Đ: “Đậu kỳ thi”
• $P(\text{Đ}|A) = 0.7$
• $P(\text{Đ}|F) = 0.8$

Câu a) Tính $P(\text{Đ})$:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(\text{Đ}) = P(A) \cdot P(\text{Đ}|A) + P(F) \cdot P(\text{Đ}|F)$$

$$= 0.6 \times 0.7 + 0.4 \times 0.8$$

$$= 0.42 + 0.32 = 0.74 = 74%$$

Câu b) Tính $P(A|\text{Đ})$:

Áp dụng Định lý Bayes:

$$P(A|\text{Đ}) = \frac{P(A) \cdot P(\text{Đ}|A)}{P(\text{Đ})}$$

$$= \frac{0.6 \times 0.7}{0.74} = \frac{0.42}{0.74} = \frac{21}{37} \approx 0.568 \approx 56.8\%$$

Kết luận:

• a) Xác suất đậu: 74%
• b) Xác suất học Anh khi biết đậu: 56.8%

IX. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhận biết dạng bài

Nhận biết 1: Có từ “biết rằng”, “với điều kiện”, “khi biết”

→ Dùng xác suất có điều kiện $P(A|B)$

Ví dụ: “Biết tổng ≥ 9, tính xác suất…”

Nhận biết 2: Từ “tìm nguyên nhân”, “từ kết quả suy ra”

→ Dùng Định lý Bayes để “đảo ngược”

Ví dụ: “Biết đậu, tìm xác suất học Anh”

Nhận biết 3: Nhiều “con đường” dẫn đến kết quả

→ Dùng xác suất toàn phần

Ví dụ: “Sản phẩm từ 3 máy khác nhau…”

2. Các sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Nhầm $P(A|B)$ với $P(B|A)$

Nhớ: $P(A|B) \neq P(B|A)$ trong hầu hết các trường hợp!

Ví dụ sai lầm:

• $P(\text{Mưa | Mây})$ ≠ $P(\text{Mây | Mưa})$
• $P(\text{Bệnh | Test}+)$ ≠ $P(\text{Test}+ | \text{Bệnh})$

❌ Sai lầm 2: Quên điều kiện $P(B) > 0$

Công thức $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ chỉ có nghĩa khi $P(B) > 0$

❌ Sai lầm 3: Dùng công thức độc lập khi có điều kiện

Sai: Rút bài không hoàn lại nhưng tính như độc lập

Đúng: Phải dùng $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

❌ Sai lầm 4: Không xác định rõ không gian mẫu mới

Khi tính $P(A|B)$, không gian mẫu đã thu hẹp còn B!

3. Chiến lược giải bài tập

Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định rõ biến cố điều kiện

• Biến cố nào đã xảy ra? (B)
• Biến cố nào cần tính xác suất? (A)

Bước 2: Chọn công thức phù hợp

• Tính $P(A|B)$ → Dùng định nghĩa: $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• Tính $P(B|A)$ khi biết $P(A|B)$ → Dùng Bayes
• Tính $P(A)$ qua nhiều trường hợp → Xác suất toàn phần

Bước 3: Vẽ sơ đồ cây nếu bài phức tạp

• Giúp hình dung rõ ràng các “con đường”
• Dễ dàng áp dụng công thức toàn phần

Bước 4: Tính toán cẩn thận

• Kiểm tra điều kiện $P(B) > 0$
• Chú ý đến việc “chuẩn hóa” (chia cho tổng)

Bước 5: Kiểm tra kết quả

• $0 \le P \le 1$?
• Kết quả có hợp lý về mặt logic?

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về xác suất có điều kiện, một trong những nội dung quan trọng nhất của Xác suất lớp 12:

Định nghĩa (QUAN TRỌNG NHẤT): $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$$

Công thức nhân: $$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

Định lý Bayes (Đảo ngược điều kiện): $$P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)}$$

Xác suất toàn phần: $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$$

3 Điểm QUAN TRỌNG NHẤT cần nhớ

1. $P(A|B) \neq P(B|A)$ – KHÔNG ĐƯỢC NHẦM LẪN!

Đây là sai lầm phổ biến nhất! Hai xác suất này hoàn toàn khác nhau.

2. Định lý Bayes “đảo ngược” điều kiện

Từ $P(A|B)$ tìm $P(B|A)$ – rất quan trọng cho việc “tìm nguyên nhân từ kết quả”

3. Xác suất toàn phần – Phân tích qua nhiều trường hợp

Khi A có thể xảy ra qua nhiều “con đường” $B_i$ khác nhau

Sơ đồ mối liên hệ

        P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
              ↓
    Công thức nhân: P(A∩B) = P(B)·P(A|B)
              ↓
    Định lý Bayes: P(B|A) = P(A|B)·P(B)/P(A)
              ↓
    Xác suất toàn phần: P(A) = ΣP(Bᵢ)·P(A|Bᵢ)

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa